1) Nicolai Lobachevski fue un matemático ruso del siglo XIX que creó la geometría hiperbólica al estudiar las consecuencias de no cumplir el quinto postulado de Euclides. 2) Presentó sus ideas revolucionarias en obras como "Geometría" en 1823 y "Exposición succinta de los principios de la geometría" en 1826, pero fueron criticadas por sus contemporáneos. 3) Trabajó como profesor y rector de la Universidad de Kazán durante décadas y desar

1. Lobachevski: el poder de una herejía
Santiago Fernández Fernández
Asesor de matemáticas del Berritzegune de Abando-Bilbao
“Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar constantemente algo nuevo que recuerde que
vivimos...nada estorba tanto a la plenitud de la vida como la ignorancia..." Lobachevski.
Lobachevski fue un célebre matemático ruso del siglo XIX, creador de una de las
geometrías No-euclideanas, la geometría hiperbólica, honor que ha compartido con el
húngaro J. Bolyai y el genio alemán F. Gauss. Desempeñó el cargo de rector de la
Universidad de Kazán durante dos décadas y fue un trabajador infatigable. En
palabras de Clifford, Lobachevski era bastante más que un matemático, calificándole
de “el Copérnico de la geometría". Pero la Geometría es sólo una parte más del
amplio campo que renovó.
Su vida
Nicolai Ivanovich Lobachevski nació el 1 de diciembre de 1792 en una pequeña
localidad rusa llamada Nizhny Novgorod, muy cerca de la populosa ciudad de Kazán.
Cuando tenía siete años murió su padre, y ese mismo año su madre trasladó la
residencia a Kazán, en busca de mejores horizontes para sus tres hijos.
El año 1802, comienza sus estudios primarios en el Gimnasium. La vida escolar allí era
extremadamente severa. Sin embargo, en este ambiente hostil y lúgubre, Nicolai
encontró un joven profesor de matemáticas muy motivador (G.I. Kartashevski),
persona interesada por la ciencia en general y por las matemáticas en particular.
Kartashevski, dictaba sus cursos basándose en las grandes obras de la época, y
especialmente utilizaba el libro " Eléments de géométrie" del ilustre matemático
francés A. M. Legendre(1752-1833), publicado en el año1794. En 1807 finalizó
brillantemente sus estudios en el Gimnasium y se incorporó a la Universidad de Kazán.
Con tan sólo quince años, ya era capaz de leer memorias científicas en varios idiomas:
francés, alemán y latín.
El año 1.804 se fundó la Universidad de Kazán abriendo sus puertas un año más tarde.
Era, por tanto, una Universidad joven cuando Lobachevski comenzó sus estudios. La
necesidad de nuevos profesores llevó a los responsables de la Universidad a contratar a
docentes de un cierto prestigio. En el año 1808, tomó posesión de la cátedra de
matemáticas el profesor alemán M.F. Bartels(1769-1833), matemático de primer orden
y un excelente pedagogo (Bartels conocía personalmente al célebre F.Gauss, con el
cual había coincidido en Brunswick). Como hábil profesor, Bartels, pronto conectó con
Lobachevski y le hizo interesarse por temas relacionados con la historia de las
matemáticas. Es muy probable que el interés de Lobachevski por el problema de las
Paralelas fuera estimulado a raíz de los cursos impartidos por Bartels.
En el año 1811, Lobachevski recibió el título de Licenciado en Física y Matemáticas,
y dos años más tarde fue nombrado profesor adjunto. Ese mismo año, el profesor
Bartels fue elegido Decano de la Facultad.
El nuevo cargo de Lobachevski supuso más responsabilidad y nuevos requerimientos
para su persona. Además, la nueva categoría profesional le obligaba a impartir una serie
de cursos y conferencias sobre diversos temas: Algebra, Aritmética, Trigonometría,
Geometría, ... En todos los casos, Lobachevski, se esmeró en preparar con sumo
cuidado el contenido de los mismos para que sus alumnos comprendieran la materia. Su
método de enseñanza fue motivo de agudas reflexiones durante muchos años.

2. Posteriormente dejaría plasmadas en un famoso artículo, sus revolucionarias e
innovadoras ideas al respecto.
En julio de 1816, Lobachevski (sólo tenía 24 años) a petición del profesor y compañero
Bartels fue nombrado profesor extraordinario.
Con la fundación de la Santa Alianza, la vida intelectual en el Imperio Ruso se volvió
insoportable; por esa razón el profesor Bartels, aceptó ocupar un puesto en la
Universidad de Dorpat, dejando vacante el puesto de Decano. Para cubrir dicho cargo
fue propuesto Lobachevski.
De repente, Lobachevski se convirtió en la piedra angular de su Facultad. Su valía fue
también reconocida en otros estamentos universitarios; se le requirió para la mayoría de
los proyectos docentes y administrativos, entre ellos clasificar la enorme biblioteca
central de la Universidad, que en aquellos momentos ya disponía de unas decenas de
miles de libros, manuscritos y códices, por cierto, completamente desordenados. Se le
nombró miembro del comité de construcción de los edificios universitarios, labor que
consistía en poner en marcha las diversas construcciones que se erigieran por esa época
en la Universidad. Además, organizó el laboratorio de Física y la compra de nuevos
materiales para el laboratorio y participó en el proyecto de la construcción de un
observatorio astronómico, que posteriormente él mismo utilizaría. Fue nombrado
redactor de una revista surgida en el seno de la Universidad y que posteriormente se la
denominó "Memorias de la Universidad de Kazán". Formó parte del comité encargado
de dirigir y controlar la actividad docente de todos los centros educativos del distrito de
Kazán.
Cualquiera de esas labores eran de por sí suficientes para una persona normal; sin
embargo, Lobachevski parecía multiplicarse. Sin duda, se convirtió en el personaje
central de la Universidad, todo el mundo le estimaba y reconocía su valía. Pero lo más
notable es que fuera capaz de no olvidar las matemáticas, de seguir estudiando,
investigando, escribiendo, impartiendo clases, etc.
El año 1826 tomó el poder el zar Nicolás I e introdujo un régimen más tolerante. Con
ánimo de impulsar y renovar la vida universitaria el nuevo protector universitario
convocó elecciones a rector. Lobachevski presentó su candidatura, y fue elegido rector.
Tenía sólo 33 años y la tarea que se le avecinaba era compleja. El primer trabajo que
afrontó Lobachevski, en el cargo como rector, fue rebajar la tensión que existía entre los
profesores. Las reuniones del Consejo que antes eran ruidosas y poco planificadas, se
desarrollaban ahora con total normalidad y dentro de un clima constructivo. También se
preocupó por mejorar la vida universitaria de los estudiantes; estos participaban en los
estamentos universitarios y su voz tuvo eco. Un año después de tomar posesión como
rector Lobachevski pronunció un discurso, que supuso una gran conmoción por su
frescura de ideas, independencia, y progresismo, publicado en 1832 en el “Noticiero de
Kazán” con el título :“Sobre las materias de la educación social”. Lobachevski ocupó
durante 19 años el cargo de rector de manera ininterrumpida.
A punto de cumplir los 40 años, en el año 1832, Lobachevski contrajo matrimonio con
Varvara A. Moiséeva, con la que tuvo siete hijos. La dilatada vida universitaria de
Lobachevski finalizó en el año 1846, después de 30 años de servicio como profesor de
la Universidad. Tras jubilarse (esencialmente fue destituido de sus cargos), le fue
ofrecido el puesto de ayudante del protector educativo de la región de Kazán, cargo que
desempeñó con decoro pero sin ninguna influencia en la vida docente.
Coincidiendo con su salida de la Universidad, su mujer cayó gravemente enferma y al
poco tiempo su hijo mayor murió de tuberculosis. Esta conjunción de desgracias, unido
al hecho de que estaba quedándose ciego, por una precoz esclerosis, hicieron que su
salud se debilitara rápidamente. Sus últimos años en los que se sentía abandonado y

3. enfermo, debieron ser muy penosos para él. El 2 de febrero de 1856, Lobachevski
falleció en Kazán.
Su obra
Parar entender sus aportaciones es necesario explicar, aunque sea brevemente, el más
célebre de los postulados de la matemática. Como sabemos, el quinto postulado es una
de las piedras angulares sobre la que descansa la grandeza de los Elementos de
Euclides. Pero también ha sido la causa de los más duros ataques a su sistema
geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son enunciados sencillos y cortos,
mientras que el quinto es más enrevesado, su lectura nos da idea de una proposición más
que de un postulado. Es muy posible que el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa
misma sensación. De hecho, la ordenación de sus proposiciones, así como la
demostración que hace del recíproco del quinto postulado, nos hace pensar en esta
posibilidad.
Las situaciones derivadas al tratar de demostrar el quinto postulado, en función de los
otros cuatro, dieron lugar a un gran enredo intelectual que se conoce como el Problema
de las Paralelas. Si bien los fracasos por demostrarlo fueron agrandando más y más
la figura de Euclides, también condujeron a la invención de nuevas geometrías. Para
intentar solucionar este conflicto se hicieron dos tipos de intentos: el primero consistió
en sustituir el quinto postulado por otro enunciado más evidente, mientras que el
segundo se centró en deducirlo de los otros cuatro y de los teoremas o proposiciones
que se iban construyendo
La primera de las opciones ha dado lugar a postulados sustitutivos. Merece la pena
recordar el enunciado por el matemático escocés J. Playfair(1748-1819)
“ Por un punto P, exterior a una recta l se puede trazar una única recta que
pasa por el punto P y que no corta a la recta l “
Un nuevo rumbo geométrico
Lobachevski recorrió una nueva senda: estudió las consecuencias que tenía, respecto a
la geometría, el hecho de que no se cumpliera necesariamente el quinto postulado. Una
de sus obras principales, en la que se muestra este nuevo espíritu geométrico,
Geometría (1823) fue severamente criticada por el académico ruso N.I.Fuss(1755-
1826). En honor a la verdad, su Geometría resultó muy atrevida para su época, y
posiblemente el académico Fuss no comprendió el trasfondo de un planteamiento tan
novedoso y rupturista. La disposición de los distintos capítulos llama poderosamente la
atención. Los primeros cinco capítulos se redactan sin utilizar para nada el famoso
quinto postulado. Desde el punto de vista histórico, este hecho es fundamental, ya que
es la primera persona que trata de manera consciente la Geometría Absoluta (aquella
que no depende del quinto postulado, sino únicamente de los cuatro primeros)
Posiblemente influido por la filosofía expresada por D’Alembert(1717-1783), se
inclina por un “tratamiento métrico". Lobachevski se da cuenta de que la medida de
ángulos y de los segmentos no depende del quinto postulado, mientras que la medida de
las áreas tiene estrecha relación con el famoso quinto postulado. Por esta razón, el
aspecto de cálculo de áreas de diversas figuras no es abordado hasta bien avanzado el
libro.
En el tratamiento que realiza de la teoría de las paralelas ya se pueden reconocer breves
trazos de sus ulteriores trabajos. En efecto, en el trabajo presentado, Lobachevski

4. intenta demostrar el postulado de las paralelas a la inversa de la manera que fue
enunciado por Playfair.
Esto es, supuso que por un punto P no situado en la recta AB pasan, en el plano,
más de una recta no secante con AB, tal como muestra el dibujo.
Lobachevski, a partir de una hipótesis tan
absurda comienza a deducir resultados, con
la intención de encontrar alguna
contradicción. Curiosamente construye un
raro, pero armonioso, edificio geométrico que
él llama Geometría imaginaria, y que
actualmente llamamos Geometría hiperbólica
o de Lobachevski
Si bien el texto no llegó a publicarse hasta años más tarde, fue sin duda, la semilla de
sus investigaciones geométricas posteriores.
A pesar de las severísimas críticas recibidas, siguió trabajando y profundizando en la
teoría de las paralelas. Tres años más tarde, el 11 de Febrero de 1826, en una reunión
de la Facultad Físico-Matemática, Lobachevski presentó un informe de cara a conocer
la opinión de sus colegas profesores, respecto a sus investigaciones geométricas. Dicho
informe llevaba como título ”Expositiòn succinte des principies de la gèometrie avec
une dèmonstration rigoureuse du thèoréme des parallèles”(1826) en él se expresaban
buena parte de sus revolucionarias ideas. Para sopesar el informe se reunieron en
comisión tres profesores de la Universidad, quienes adoptaron la decisión de valorar
negativamente la publicación de su trabajo. Nuevamente Lobachevski era vilipendiado.
Si bien el trabajo no se editó, sí estamos en condiciones de hablar de su contenido, ya
que tres años más tarde, el mismo Lobachevski publicó en la revista “El mensajero de
Kazán, una memoria titulada “Acerca de los principios de geometría”(1829). Esta
memoria es compleja y difícil de leer, pero podemos señalar tres partes diferenciadas:
La primera se centra en el estudio de la llamada Geometría Absoluta; en realidad es un
resumen su”Geometría” presentada el año 1823 y que tan mal acogida tuvo. La segunda
parte expone el contenido de su “Exposition succinte.....” A lo largo de muchas páginas
se dedica a estudiar y obtener el ángulo de paralelismo, que él llama Π(a).
La función ( )aΠ
El ángulo de paralelismo fue estudiado por Lobachevski con suma atención, después de
un estudio analítico de funciones llega a la conclusión que el ángulo de paralelismo se
puede obtener mediante una función del tipo
1
( )
2
a
k
tag a e
−
Π =
El dibujo nos indica que la recta AB es paralela a las rectas p y q, pasando por el
punto C. Siendo ( )aΠ el ángulo que forman dichas rectas paralelas en el punto C, dónde
‘a’ expresa la distancia del punto C al D.

5. Al igual que los estudios realizados por Lambert, Taurinus, Gauss y tantos otros,
aparece en la fórmula del ángulo el valor K ¿qué significa K?
“teóricamente K puede tener cualquier valor, cada uno de los valores de la
constante K le corresponde una geometría imaginaria .....no hay una sola
geometría imaginaria ; existe un número infinito de variedades correspondientes
a los diversos valores de la constante K. Entre ellas, la vieja geometría euclidiana
corresponde al caso límite (cuando K tiende a infinito). (Lobachevski)
La última parte del libro está dedicada a la medida de longitudes, áreas y volúmenes.
El estudio se hace mediante procesos de integración. Además muchos de los cálculos
los realiza por varios procedimientos para verificar que las operaciones coinciden. Este
hecho le reafirmaba en su convicción de que la geometría que estaba edificando era
correcta desde un punto de vista lógico. En 1832, siendo Lobachevski rector de la
Universidad, el Consejo de la Universidad de Kazán, pidió a la Academia de Ciencias
de San Petersburgo, un informe "Acerca de los principios de geometría”. La Academia
encargó el trabajo al académico M. V.Ostrogradski, que después de estudiarlo hizo la
siguiente crítica verbal:
.”... después de haber estudiado una obra del rector Lobachevski, tengo que
observar que: la obra está redactada con tan poco cuidado, que una gran parte
es ininteligible. Por eso estimo que dicha obra de Lobachevski no merece la
menor atención de la Academia ".
A Lobachevski le debió molestar enormemente la crítica tan ofensiva del académico
ruso. Por lo que nuevamente hizo un gran esfuerzo por explicarse mejor. Con esta
intención publica una memoria titulada “Geometría imaginaria”(1835), continuando el
año siguiente con “Aplicación de la geometría imaginaria a algunas
integrales”(1836). En realidad estas memorias, publicadas en Memorias de la
Universidad de Kazán, no aportaban nada nuevo a sus trabajos anteriores, pero al
disponer de más espacio Lobachevski pudo explicar mejor los procesos, siendo sus
cálculos más entendibles. La obstinación de Lobachevski le llevó a redactar una y otra
vez sus trabajos desde diferentes ópticas, él era consciente de que sus escritos no eran
sencillos de leer: su concisión, la originalidad de sus planteamientos, las consecuencias
derivadas de su teoría y el escribir en contra del pensamiento geométrico establecido
(defendido por el filósofo alemán I. Kant) le llevó a redactar un tratado crucial:

6. “Geometrishe Untersuchungen zur theorie der parallellinien”(1840) Por medio de
este pequeño librito, escrito en alemán, la comunidad matemática toma contacto con las
revolucionarias ideas geométricas de Lobachevski. Este escrito debió impresionar tanto
a F.Gauss que en noviembre de 1842 propuso la candidatura de Lobachevski, para que
fuera nombrado miembro de la Sociedad Científica de Göttingen, que ya entonces tenía
el rango de Academia. Sin duda este reconocimiento por parte del mejor matemático
vivo, fue la consagración de sus teorías geométricas.
El trabajo de Lobachevski en temas no relacionados directamente con la geometría es
también muy sugerente. Su obra no geométrica más importante, tanto por su contenido
como por su extensión, fue el tratado de Álgebra ( 1834) manual muy original; de
hecho Lobachevski fue reconocido en su época por el contenido de este libro más que
por sus investigaciones geométricas. Con motivo del cincuentenario de la fundación de
la Universidad de Kazán, Lobachevski fue invitado a escribir un artículo sobre sus
investigaciones geométricas. A pesar de estar enfermo e impedido visualmente, aún
tuvo ánimos para escribir su última obra titulada “ Pangeometría”(1855 en ruso).
Conclusiones y consecuencias
Por un lado Lobachevski fue el primero que se percató de que el quinto postulado de
Euclides no podía deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometría
y se atrevió a negar la "verdad evidente" de ese postulado. Con su trabajo mostró no
sólo que el postulado quinto es indemostrable sino algo aún más importante: que desde
un punto de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías, entre
ellas se encuentra la vieja geometría de Euclides. Sin embargo, las ideas de
Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato; ideas tan radicales, que chocaban con
los prejuicios de casi todos los científicos, no habrían de anclarse fácilmente como
parte de la Ciencia. Lobachevski defendió sus ideas convencido de que sus trabajos
eran correctos y no vaciló en luchar contra la mentalidad dominante de la época, a la
que consideraba caduca e incompatible con el progreso de la Ciencia.
Con el nacimiento de las geometrías No-Euclidianas se planteó la pregunta sobre cuál
de las geometrías describe de la mejor manera posible el mundo físico, iniciándose uno
de los períodos dorados en la interacción entre las matemáticas y la física. En el debate
participaron las mejores mentes del siglo XIX : Riemann, Poincaré, Klein, Poincaré, ...
hasta el mismo Einstein. Señalemos, finalmente, que a mediados del siglo XIX
apareció un nuevo principio general de qué es lo que se puede entender por una
Geometría. Esta idea fue expuesta por Riemann en el año 1854 en una conferencia
titulada “Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la Geometría”(1867).
Riemann, puede ser considerado el nuevo Euclides; su contribución no sólo se refiere
al campo de la geometría; su estudio sobre la métrica de espacios curvos fue
fundamental, ya que allanó el camino en lo concerniente a la relatividad general.
Bibliografía
1) Fernández, S. (2004); Lobachevski. Nivola.Madrid
2) Gray,J.J.(1992) ; Ideas de espacio. Mondadori. Madrid

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