El documento describe diferentes tipos de números figurados como números triangulares, números tetraédricos (la suma de los primeros números triangulares), y números pentagonales. Explica sus definiciones formales, propiedades clave y fórmulas generales. También cubre teoremas importantes sobre la representación de números enteros como sumas de números triangulares.

1. Número triangular
Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por
convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados,
fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma
triangular, y al que llamaban Tetraktys
Se muestran los seis primeros números triangulares, así
como su término general. Además de la denotación
expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo
entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por
ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir,
T(4)=10.
Definición formal
Cada número triangular Tn está definido por la siguiente
fórmula:
Teorema. La suma de T n y Tn-1 es un
cuadrado perfecto o, si se quiere usar la
terminología pitagórica, un número
cuadrado.
Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo
La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un
romboide. Veamos su término general:
que es la expresión buscada. En la figura se observa cómo del número triangular T4 resulta el número
oblongo de (5·4) puntos.
Ejercicio Hallar el sexto número triangular = 6( 7 )/2 = 21

2. Suma de los primeros n números triangulares
La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el n-
ésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Su expresión es:
Gauss y su teorema
En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo
puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en
su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ
+ Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre
en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que
sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat.
El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2k
− 1 es 4095 (ecuación de
Ramanujan–Nagell).
Wacław Franciszek Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la
progresión geométrica. El matemático polaco Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era
falso. Los matemáticos chinos Fang y Chen demostraron esta inferencia en 2007.
Número tetraédrico
En las matemáticas un número tetraédrico , o número piramidal
triangular, es un número figurado que representa una pirámide de base
triangular y tres lados, llamada tetraedro. El n-ésimo número tetraédrico es
la suma de los primeros n números triangulares.
Los primeros números tetraédricos son:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …
La fórmula del n-ésimo número tetraédrico es
Propiedades
Los números tetraédricos se ubican en la cuarta posición en el triángulo de Pascal (tanto de derecha a
izquierda como de izquierda a derecha). Los números tetraédricos son los coeficientes binomiales
expresados por la siguiente fórmula:

3. Los números tetraédricos pueden ser representados apilando esferas. Por ejemplo, el quinto número
tetraédrico (T5 = 35) se puede representar con 35 bolas de billar y el marco estándar triangular que
permite acomodar 15 bolas de billar. Luego se forma un segundo nivel apilando 10 bolas adicionales
arriba de las 15 iniciales, otro nivel con 6, un cuarto nivel con tres bolas y finalmente una bola en el
último completa el tetraedro.
A.J. Meyl demostró en 1878 que solo existen 3 números tetraédricos que son a la vez cuadrados
perfectos. Los mismos son:
T1 = 1² = 1
T2 = 2² = 4
T48 = 140² = 19600.
El único número tetraédrico que es también un número piramidal cuadrado es el 1 (Beukers, 1988). Los
números tetraédricos satisfacen la siguiente relación: T5 = T4 + T3 + T2 + T1
Los siguientes son números tetraédricos y también números triangulares:
Tetraedro3 = Triángulo4 = 10
Tetraedro8 = Triángulo15 = 120
Tetraedro20 = Triángulo55 = 1540
Tetraedro34 = Triángulo119 = 7140
Número pentagonal
Un número pentagonal es un número figurado que extiende el
concepto de número triangular y cuadrado al pentágono, pero, a
diferencia de los dos primeros, los patrones utilizados en la
construcción de los números pentagonales no son simétricamente
rotacionales.
El n-ésimo número pentagonal pn es el número de distintos puntos en
un patrón de puntos, consistente en el contorno de pentágonos
regulares cuyos lados contienen de 1 a n puntos, superpuestos, de
forma que tienen en común el vértice. Por ejemplo, el tercero de ellos
está formado de contornos compuestos por 1,5 y 10 puntos
respectivamente, pero el 1, 3 puntos del de 5, coinciden con 3 del de
10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono, y 2

4. dentro de él...
Definición
Cada número pentagonal pn está definido por la siguiente fórmula:
Para n ≥ 1, n ∈ N, los primeros números pentagonales son:
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782,
852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380,
2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725 ...( (sucesión A000326 en OEIS) )
El n-ésimo número pentagonal es la tercera parte del (3n-1)-ésimo número triangular.
Los números pentagonales son importantes en la teoría de particiones de Euler, como está expresado en
su teorema del número pentagonal.
Generalizaciones
Los números pentagonales generalizados son obtenidos de la fórmula descrita arriba, pero ahora n toma
valores en la secuencia 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4..., produciendo:
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22...
Los números pentagonales no deben confundirse con los números pentagonales centrados.
Tests para números pentagonales
Uno puede comprobar si un número x es un número pentagonal haciendo la siguiente operación:
Si n resulta un número entero, entonces x es el n-ésimo número pentagonal. Si n no es un número entero,
entonces x no es pentagonal.
¿Cuál es el término pentagonal de posición 7?