Este documento trata sobre curvas definidas por ecuaciones paramétricas en R2 y R3, y la parametrización de curvas descritas por la intersección de dos superficies. Explica conceptos como curvas paramétricas, ecuaciones paramétricas, y la interpretación geométrica de curvas en el espacio. Incluye ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos y su aplicación en problemas de ciencias e ingeniería.

1. CURVAS DEFINIDAS
POR ECUACIONES
PARAMÉTRICAS EN R2
Y R3.
PARAMETRIZACIÓN DE
CURVAS DESCRITAS
POR LA
INTERSECCIÓN DE
DOS SUPERFICIES.
Semana 13 Sesión 1
Cálculo Avanzado para
Ingeniería

2. TEMA:
Curvas definidas por ecuaciones paramétricas en ℝ2 y
ℝ3 . Parametrización de curvas descritas por la
intersección de dos superficies.

3. CONTENID
O GENERAL
Definición de curva paramétrica.
Ecuaciones paramétricas.
Parametrización de curvas.
Interpretación
Aplicaciones

4. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de
aprendizaje el estudiante
conoce, interpreta la orientación
de las curvas y parametriza
curvas en el plano y el espacio,
para modelar problemas de las
Ciencias Básicas.

5. UTILIDAD
• Nos ayudará a calcular el área de
una superficie lateral.
• Nos ayudará en el cálculo del
trabajo realizado por un campo
vectorial para trasladar una
partícula.

6. DEFINICIÓN DE CURVA
PARAMETRIZADA
Se dice que una curva 𝐶 ⊂ ℝ𝑛 es una curva parametrizada, si
existe una función vectorial 𝑟:[𝑎; 𝑏]→ ℝ𝑛 tal que 𝑟[𝑎; 𝑏]= 𝐶

7. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Sea: 𝑓 𝑡 = (𝑓1 𝑡 ; 𝑓2 𝑡 ; 𝑓3 𝑡 ; … ; 𝑓𝑛 𝑡 ) la regla de correspondencia de
función vectorial 𝑓. Si escribimos la curva C como:
Se dice que la curva 𝐶 es una curva parametrizada en el espacio ℝ𝑛.
Las ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva 𝐶.
𝐶 =
𝑥1 = 𝑓1(𝑡)
𝑥2 = 𝑓2(𝑡)
⋮
𝑥𝑛 = 𝑓𝑛(𝑡)

8. INTERPRETACIÓ
N GEOMÉTRICA
DE UNA CURVA
EN EL ESPACIO

9. PRACTIQUEMOS

10. EJERCICIO EXPLICATIVO 1:
Calcule una función vectorial que represente a las siguiente
curva:
9𝑥2 + 4𝑦2 = 36
Solución:
𝒙𝟐
𝟒
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏
𝑪: 𝒇 𝒕 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒕 , 𝒃 𝐬𝐞𝐧 𝒕 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 , 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝒕 , 𝒕 ∈ 𝟎, 𝟐𝝅
𝑪: 𝟎, 𝟐𝝅 → ℝ𝟐
𝒕 → (𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕, 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝒕)
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒄𝒊ó𝒏:
𝟐𝒄𝒐𝒔𝒕 𝟐
𝟒
+
𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟐
𝟗
= 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 = 𝟏
(𝑬𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆)

11. EJERCICIO EXPLICATIVO 2
Sea 𝐶 la curva que se obtiene
intersectando el paraboloide 𝑆1: 𝑧 = 6 −
𝑥 − 𝑥2 − 2𝑦2 y el plano 𝑆2: 𝑥 = 1.
a. Grafique la curva 𝐶.
b. Determine una parametrización de
la curva 𝐶.
Solución:
𝒂) 𝒙 = 𝟏 →
ó 𝒚𝟐
= −
𝟏
𝟐
(𝒛 − 𝟒)
𝑽é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 𝟏, 𝟎, 𝟒 𝑭𝒐𝒄𝒐 𝟏, 𝟎, 𝟒 −
𝟏
𝟖
𝒛 = 𝟔 − 𝟏 − 𝟏 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝟒 − 𝟐𝒚𝟐
ó 𝒚𝟐 =
𝟏
𝟐
(𝟒 − 𝒛)
𝒃) 𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏 → 𝒛 = 𝟒 − 𝒚𝟐
𝑯𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝒚 = 𝒕, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝑪: 𝒇 𝒕 = 𝟏; 𝒕; 𝟒 − 𝒕𝟐 , 𝒕 ∈ ℝ
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ , 𝒇: ℝ → ℝ𝟑

13. EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Un avión se mueve sobre el lado derecho y hacia arriba de la curva 𝑥 =
𝑦2 + 9, partiendo de (3,0) en el instante 𝑡 = 9, si la distancia de cualquier
punto de la curva al origen es proporcional a 𝑡, halle una función vectorial
que describa el movimiento del avión.
Solución:
𝑳𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒔𝒆𝒓í𝒂: 𝑪 𝒕 = 𝒙 𝒕 , 𝒚 𝒕
𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊ó𝒏: 𝒙𝟐 𝐭 = 𝒚𝟐 𝒕 + 𝟗
𝑳𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂: 𝒅 = 𝒌𝒕
𝒙𝟐 𝒕 + 𝒚𝟐(𝒕) = 𝒌𝒕
𝒙𝟐
𝒕 + 𝒚𝟐
𝒕 = 𝒌𝟐
𝒕𝟐
, 𝒚𝟐
𝒕 + 𝟗 + 𝒚𝟐
𝒕 = 𝒌𝟐
𝒕𝟐
,
𝟐𝒚𝟐
𝒕 = 𝒌𝟐
𝒕𝟐
− 𝟗
𝒕 = 𝟗 𝒌 = 𝟏/𝟑
𝑨𝒔í: 𝒚 𝒕 =
𝒕𝟐
𝟏𝟖
−
𝟗
𝟐
⇒ 𝒙 𝒕 =
𝒕𝟐
𝟏𝟖
+
𝟗
𝟐
𝑪𝒖𝒓𝒗𝒂: 𝑪 𝒕 =
𝒕𝟐
𝟏𝟖
+
𝟗
𝟐
;
𝒕𝟐
𝟏𝟖
−
𝟗
𝟐
, 𝐭 ∈ [𝟗; +∞ >
⇒
𝟐 𝟎 = 𝒌𝟐
(𝟗)𝟐
−𝟗
⇒

20. ¿ACEPTAS EL
RETO?

21. EJERCICIO RETO
Dada la función real 𝑓: 0; 2 → ℝ, cuya gráfica se muestra en la
figura adjunta, y la curva 𝐶, de ecuaciones paramétricas
a. Calcule la ecuación cartesiana de la curva 𝐶 y grafique la curva
en el plano 𝑋𝑌.
b. Describa en forma geométrica la orientación de la curva 𝐶.
Solución:
𝐶:
𝑥 = 2 ln(𝑓 𝑡 )
𝑦 = ln(𝑓 𝑡 )
; 0 ≤ 𝑡 ≤ 2

22. BIBLIOGRAFÍA
1.Calculus – Larson Edwards
2. Calculus - James Stewart
3. Calculus_12th Edition – George B. Tomas, Jr
4. Cálculo III – Máximo Mitacc Meza

23. “El genio se hace con 1% de talento y un
99% de trabajo.”
Albert Einstein