Este documento introduce conceptos básicos sobre circunferencias y parábolas. Explica que una circunferencia es un conjunto de puntos equidistantes de un centro, y proporciona ecuaciones para describir circunferencias. También define la parábola como un conjunto de puntos equidistantes de una recta directriz y un foco, y ofrece ecuaciones vectoriales y de otros tipos para describir parábolas. Incluye varios ejemplos resueltos de cómo encontrar ecuaciones de circunferencias y parábolas dadas ciert

1. I N T R O D U C C I Ó N A L
A N Á L I S I S
M A T E M Á T I C O
C I R C U N F E R E N C I A Y PA R Á B O L A
DOCENTE: MS. TEODORO LUIS ACEVEDO TENORIO

2. CIRCUNFERENCIA EN LA VIDA COTIDIANA

3. LA CIRCUNFERENCIA
Definición. Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro. Tal distancia se llama radio de la circunferencia.
P(𝑥, 𝑦)
𝑃0(ℎ, 𝑘)
𝑟
𝑋
𝑌
𝓒
Sea 𝑃0=(ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia 𝓒 y 𝑟 >
0 el radio. Entonces 𝓒 es el conjunto de puntos
𝑃(𝑥, 𝑦) tal que:
𝑑 𝑃, 𝑃0 = 𝑃 − 𝑃0 = (𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2= 𝑟
Equivalentemente a:
𝓒: 𝑥 − ℎ 2 + (𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2, r > 0.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE
CENTRO (ℎ, 𝑘) y RADIO 𝑟 > 0

4. ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE LA CIRCUNFERENCIA
De la ecuación ordinaria de la circunferencia 𝓒: 𝑥 − ℎ 2 + (𝑦 − 𝑘)2= 𝑟2, r > 0 , de centro
(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟 > 0 y con ayuda de la figura adjunta tenemos:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦 − 𝑘
𝑟
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥 − ℎ
𝑟
⇒ 𝓒:
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + ℎ
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑘
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋
Ecuación paramétrica de la circunferencia

5. Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente al eje X, cuyo centro
está sobre la recta ℒ: 𝑥 = 2𝑦.
Solución
𝓒: (𝑥 − 20)2
+(𝑦 − 10)2
= 100
𝓒: (𝑥 + 20)2+(𝑦 + 10)2= 100
⇒
Caso 1
𝐶 ℎ, 10 ∈ 𝑥 = 2𝑦 ⇒ 𝐶 20,10 , 𝑟 = 10
Caso 2
𝐶 ℎ, −10 ∈ 𝑥 = 2𝑦 𝐶 −20, −10 , 𝑟 = 10

6. Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(−4, −1) y que
es tangente a la recta ℒ: 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0
Solución
∘
⇒ 𝑑 𝐶, ℒ =
𝑃0𝐶 ⋅ 𝑛
𝑛
=
(−4, −7) ⋅ (3,2)
9 + 4
=
−26
13
=
26
13
= 𝑟
ℒ: 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0 ⇒ 𝑛 = (3,2)
Si 𝑥 = 0, 𝑦 = 6 ⇒ 𝑃0 = (0, 6)
𝓒: (𝑥 + 4)2
+(𝑦 + 1)2
=
26
13
2
ℒ
𝑃0(0,6)
𝐶(−4, −1)
𝑟
𝓒: (𝑥 + 4)2
+(𝑦 + 1)2
= 52

7. Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴(7, −5) y es
tangente a la recta ℒ: 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 en el punto 𝐵(3, −1).
Solución
ℒ ⊥ ℒ𝐵𝐶 ⇒ 𝐵𝐶 ⊥ 𝑎 = 1,1 vector dirección de ℒ
𝓒: (𝑥 − 5)2+(𝑦 + 3)2= 8
ℒ
𝑌
𝑋
𝐶 ℎ, 𝑘
A 7, , −5
°
⇒ ℎ − 3, 𝑘 + 1 ⋅ 1,1 = 0
ℎ + 𝑘 − 2 = 0 (1)
𝐶𝐴 = 𝐶𝐵 ⇒ (ℎ − 3)2+(𝑘 + 1)2= (ℎ − 7)2+(𝑘 + 5)2
ℎ − 𝑘 − 8 = 0 (2)
de (1) y (2) h= 5, 𝑘 = −3
𝑟 = 𝐶𝐴 = (5 − 3)2+(−3 + 1)2= 8

8. Ejemplo 4: Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta ℒ: 3𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, en
el punto 0, −1 y que contenga al punto −2, −9 .
Solución
ℒ ⊥ ℒ1 en 𝐴
𝓒: (𝑥 −
51
13
)2+(𝑦 +
81
13
)2=
7225
169
𝐶 ℎ, 𝑘 𝜖ℒ1 que pasa por 𝐴 𝑦 𝑚1 = −
4
3
𝑟 = 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵
⇒
⇒ ℎ2 + (−
4
3
ℎ − 1 + 1)2 = (ℎ + 2)2+(−
4
3
ℎ − 1 + 9)2
𝐴 0, −1 ∈ 𝒞, 𝐴 es punto de tangencia
𝐵 −2, −9 ∈ 𝒞
y
𝑌 ℒ, 𝑚 =
3
4
𝑋
𝐶
A
−2
−9
B ℒ1, 𝑚1 = −
4
3
ℒ1: 𝑦 + 1 = −
4
3
(𝑥 − 0) 𝑦 = −
4
3
𝑥 − 1
⇒ 𝐶 = ℎ, −
4
3
ℎ − 1
ℎ =
51
13
, 𝐶 =
51
13
, −
81
13
𝑦 𝑟 =
7225
169

9. EJEMPLO 5: Hallar la ecuación paramétrica de la circunferencia que tiene por ecuación rectangular
𝑥2
+ 𝑦2
+ 4𝑥 − 2𝑦 = 11.
Solución
La ecuación 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 − 2𝑦 = 11 se puede escribir como:
(𝑥 + 2)2
+(𝑦 − 1)2
= 16
De donde obtenemos la ecuación paramétrica de la circunferencia
𝒞:
𝑥 = −2 + 4𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

10. PARÁBOLA EN LA VIDA COTIDIANA

11. LA PARÁBOLA
DEFINICIÓN. Una parábola 𝒫 es el conjunto de puntos del plano que equidistan de una
recta fija L (directriz) y de un punto fijo F (foco) fuera de la recta.
Así, 𝒫 = {𝑃 ∈ ℝ2 / distancia de 𝑃 a 𝐿 = distancia de 𝑃 a 𝐹}.
NOMENCLATURA
a) F: foco
b) L: directriz
c) V: vértice
d) L´R: lado recto
e) D´F: distancia de la directriz al foco
Propiedades
a) 𝑃𝐹 = 𝑃𝐷 (definición)
b) 𝑝 = 𝐷′𝑉 = 𝑉𝐹
c) 2𝑝 = 𝐷′𝐹
d) Lado recto: 𝐿𝑅 = 4𝑝
e) Excentricidad: 𝑒 =
𝑉𝐹
𝑉𝐷′
= 1
f) Eje de simetría: Eje X 𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑[𝑃, 𝐿]

12. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA PARÁBOLA
La ecuación de la parábola 𝒫 de vértice en
el punto 𝑉(ℎ, 𝑘) de ℝ2
y base ortogonal
ortonormal ℬ = {𝑢, 𝑢⊥
} se define como:
𝓟: 𝑷 = 𝑽 + 𝒙′ 𝒖 + 𝒚′ 𝒖⊥ , tal que 𝒚′𝟐 = 𝟒𝒑𝒙′
Donde:
𝑥′ = (𝑃 − 𝑉) ⋅ 𝑢
𝑦′ = (𝑃 − 𝑉) ⋅ 𝑢⊥

13. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA PARÁBOLA
Demostración
Demostraremos la relación 𝑦′2 = 4𝑝𝑥
𝑃 = 𝑉 + 𝑥′ 𝑢 + 𝑦′ 𝑢⊥
𝑂𝐹 = 𝑂𝑉 + 𝑉𝐹 entonces 𝐹 = 𝑉 + 𝑝𝑢
Por definición de parábola se tiene: 𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝐿)
Es decir 𝑃 − 𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝐿)
𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
− 𝑝𝑢 = 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑢𝐷𝑃
𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥ − 𝑝𝑢 =
𝐷𝑃 ⋅ 𝑢 𝑢
𝑢 2
𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
− 𝑝𝑢 =
(𝐷𝑃). 𝑢 𝑢
𝑢 2
𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥ − 𝑝𝑢 = 𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥ + 𝑝𝑢 ⋅ 𝑢
𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
− 𝑝𝑢 = 𝑥′
+ 𝑝
𝑥′
− 𝑝 𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
= 𝑥′
+ 𝑝
(𝑥′ − 𝑝)2+𝑦′2 = 𝑥′ + 𝑝
𝑦′2
= 4𝑝𝑥′

14. Ejemplo 1 : Hallar la ecuación vectorial de la parábola de vértice 𝑉(4,2), 𝑝 = −2 y
𝑢 =
1
2
,
1
2
Solución
𝑉
𝑋
𝑌 𝑌′
𝑋′
𝐹
Como 𝑢 =
1
2
,
1
2
⇒ 𝑢⊥
−
1
2
,
1
2
y 𝑝 = −2
La ecuación de la parábola es:
𝒫: 𝑥, 𝑦 = 4,2 + 𝑥′
1
2
,
1
2
+ 𝑦′ −
1
2
,
1
2
tal que 𝑦′2 = −8𝑥′

15. Ejemplo 2: El foco de una parábola es F = 7,5 y el vértice 𝑉 3,2 . Hallar la ecuación
vectorial de la parábola y la ecuación de la recta directriz.
Solución
La ecuación de la directriz es:
𝒫: 𝑥, 𝑦 = 3,2 + 𝑥′
4
5
,
3
5
+ 𝑦′ −
3
5
,
4
5
tal que 𝑦′2
= 20𝑥′
𝑋
𝑌
𝑌′
𝑋′
𝐹
𝑄
ℒ
7
5
3
2
𝒫: 𝑃 = 𝑉 + 𝑥′𝑢 + 𝑦′𝑢⊥
tal que 𝑦′2
= 4𝑝𝑥′
𝑝 = 𝑉𝐹 = (7 − 3)2+(5 − 2)2= 5
𝑢 =
𝑉𝐹
𝑉𝐹
=
7,5 − (3,2)
7,5 − (3,2)
=
(4,3)
(4,3)
=
4
5
,
3
5
⇒ 𝑢⊥ = −
3
5
,
4
5
ℒ: 𝑃 = 𝑄 + 𝑡𝑎
𝑎 = −3,4 y Q = V − 5𝑢 = (−1, −1)
ℒ: 𝑃 = −1, −1 + 𝑡 −3,4 , t ∈ ℝ

16. Ejemplo 3: El vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo es el extremo L del lado recto LR de
la parábola 𝑦2
= 8𝑥 . El segundo vértice del triángulo es el vértice de la parábola. ¿Cuál es el tercer
vértice del triángulo y cuánto vale la hipotenusa, si se sabe que ésta se encuentra sobre el eje X?
Solución
• Sea 𝑇 = (𝑡, 0) el tercer vértice.
• 4𝑝 = 8 ⇒ 𝑝 = 2, entonces 𝐿 = (2, −4)
• Pendiente del lado 𝑽𝑳 es
−4−0
2−0
= −2
• 𝐿𝑇 ⊥ 𝑉𝐿 ⇒
0+4
𝑡−2
=
1
2
⇒ 𝑡 = 10
• ∴ 𝑇 = 10,0 y 𝑉𝑇 = 10

17. Ejemplo 4: El agua que fluye de un grifo horizontal que está a 25 m del piso describe una curva
parabólica con vértice en el grifo. Si a 21 m del piso, el flujo del agua se ha alejado 10 m de la recta
vertical que pasa por el grifo. ¿A qué distancia de esta recta vertical tocará el agua al suelo?
Solución
• Sea V= (0,25) el tercer vértice de la parábola
• La ecuación de la parábola es:
𝒫: (𝑥 − 0)2 = 4𝑝(𝑦 − 25)
• 𝑃(10,21) ∈ 𝒫 entonces 102
= 4𝑝(21 − 25)
𝑝 = −
25
4
• Para hallar la distancia 𝑑 reemplazamos (𝑑, 0) en la
ecuación de la parábola 𝒫
• 𝑑2
= −25 0 − 25 ⇒ 𝑑 = ±25
• ∴La distancia es 25 metros.

18. Ejemplo 5: Un puente colgante de 120 m de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres
de igual altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto mas bajo de cada cable
está a 15 m de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.
Solución