La notación sigma representa sumas de muchos sumandos o infinitos sumandos. La expresión se lee "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n". Las propiedades de las sumatorias incluyen que la suma del producto de una constante por una variable es igual a k veces la sumatoria de la variable. La integral definida representa el área limitada entre la gráfica de una función f(x), el eje x, y las rectas x=a y x=b.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DECANATO DE INGENIERIA
CATEDRA MATEMATICA II
Cabudare, Abril 2013

2. NOTACIÓN SIGMA
Es el operando matemático que nos permite representar sumas de
muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos está expresado con la
letra griega sigma (sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S
de "suma" )
La expresión se lee: "sumatoria de
Xi, donde i toma los valores de 1 a n".
La operación sumatoria se expresa con la
letra griegra sigma mayúscula Σ.
i es el valor inical llamado límite inferior.
n es el valor final llamado líimite superior.
Si la sumatoria abarca la totalidad de los
valores, su expresión se puede simplificar:

3. Propiedades de las sumatorias
La suma del producto de una constante por una
variable, es igual a k veces la sumatoria de la variable.
La sumatoria hasta N de una constante, es igual
a N veces la constante.
La sumatoria de una suma es igual a la suma
de las sumatorias de cada término.
La sumatoria de un producto no es igual al producto de las sumatorias de
cada término.
La sumatoria de los cuadrados de los valores de una variable no es igual a
la sumatoria de la variable elevado al cuadrado.

4. INTEGRAL DEFINIDA
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral
definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x),
el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se
representa por
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la
variable de la función que se integra.

5. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
Si los límites que integración coinciden, la integral
definida vale cero.
Si c es un punto interior del
intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas
a los intervalos [a, c] y [c, b].
La integral definida de una suma de funciones es igual a
la suma de integrales·
La integral del producto de una constante por
una función es igual a la constante por la integral
de la función.

6. TEOREMA DE VALOR MEDIO
Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un
intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este
intervalo tal que
f(c)(b − a) =
Demostración:
Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser
cualquier punto.
Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en
el intervalo. Dado que m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a, b] por el teorema de conservación de
desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b − a)
M(b − a) entonces m
M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su
máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor
en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c) =

7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de
que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.
Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada
de su integral es igual a ella misma. Una consecuencia directa de este
teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo
teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una
función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Regla de Barrow dice que la integral definida de una función
continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre
los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos
de dicho intervalo

8. Demostración
.
Sea
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:
.
Por lo tanto,
tal que
.
y de eso se sigue que
Observamos que ; por lo tanto,
.
Y en particular si tenemos que:
Ejemplos
Como se puede integrar inmediatamente.

9. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO
DE VARIABLE
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la
derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con
una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable
Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos
términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la
integral:

10. Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
Se vuelve a la variable inical:

11. MUCHAS GRACIAS
Elaborado por:
Luis Daniel Perozo
C.I.:21725986
SAIA B