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INTEGRAL DEFINIDA
ALUMNA: Luizei Arias Marrón
CÉDULA DE IDENTIDAD. 23.918.262
DEFINICIÓN:
 La integral definida es un concepto utilizado para
determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y
rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno
de sus puntos x, se define una función f (x) que es
mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida
de la función entre los puntos a y b al área de la porción
del plano que está limitada por la función, el eje
horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x =
a y x = b.
 La integral definida de la función entre los extremos
del intervalo [a, b] se denota como:
El caso más sencillo, la integral de una función real f de una
variable real x sobre el intervalo [a, b].
El signo ∫, una "S" alargada, representa la
integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de
la integración y definen el dominio de integración; f es el
integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el
intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones
dependiendo de la teoría que se emplee.
Geométricamente la función integral, F(x), representa
el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de
abscisas y las rectas t = a y t = x.
PROPIEDADES:
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
 Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto,
[a, a], es igual a cero.
 Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral
es positiva; si la función es menor que cero, su integral
es negativa.
 La integral de una suma de funciones es igual a la suma
de sus integrales tomadas por separado.
 La integral del producto de una constante por una
función es igual a la constante por la integral de la
función (es decir, se puede «sacar» la constante de la
integral).
 Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se
cumple que (integración a trozos):
 Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican
dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se
verifica que:
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de
signo
La Regla de Barrow
Dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo
cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una
función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
Ejemplos:
Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow
Teorema Fundamental del Cálculo Integral
Suma Superior e Inferior:
Supongamos el caso general que tienes en la gráfica de
arriba. Una función f(x) continua y no negativa. Se te pide
que calcules el área entre las rectas x=a y x=b y la gráfica de
f(x). En primer lugar definimos el ancho de cada intervalo
(que además va a ser la base de cada uno de los
rectángulos). A este ancho lo denominamos ∆x=(b-a)/n
siendo n el número de rectángulos que utilicemos para
aproximar el área bajo la curva.
Los puntos terminales de la derecha de cada intervalo
vendrá definido por a +∆x i Los puntos terminales de la
izquierda de cada intervalo vendrá definido por a +∆x (i-
1)para i=1,2,3,...,n. Lo que no sabemos es si el valor de la
función será mayor en el punto terminal derecho del i-
ésimo intervalo o en el punto terminal izquierdo de este i-
ésimo intervalo (puesto que depende de si la función es
creciente o decreciente en ese i-ésimo intervalo). Pero al
ser la función continua, el Teorema de los valores extremos
asegura que existe un máximo y un mínimo de f(x) en cada
subintervalo.
Teorema del Valor Medio Para Integrales:
El teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo
[a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al
menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva
en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
Es decir:
Ejemplo:
Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el
intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar
el teorema de la media.
La solución positiva no es válida porque no pertenece al
intervalo.
¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente
función en el intervalo [0, 1]?
Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de
la media.
Teorema Fundamental del Cálculo:
Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de
una función, son operaciones inversas. Esto significa que toda función
continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella
misma. Este teorema es central en la rama de las
matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
Una consecuencia directa de este teorema es la Regla de Barrow,
denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y
que permite calcular la integral de una función utilizando la integral
indefinida de la función al ser integrada.
Primer Teorema Fundamental del Cálculo:
Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre
Por Si f es continua en [a,b]
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de regla
de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, es una
propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el
valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la
función.
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x)
cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
Sustitución y Cambio de Variable:
El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en
la derivada de la función compuesta.
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a
integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga
una integral más sencilla.
Pasos para integrar por Cambio de Variable:
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos
términos:
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
3º Se vuelve a la variable inicial:
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Integral definida. Luizei Arias

  • 1. INTEGRAL DEFINIDA ALUMNA: Luizei Arias Marrón CÉDULA DE IDENTIDAD. 23.918.262
  • 2. DEFINICIÓN:  La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.  La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
  • 3. El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b]. El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
  • 4. PROPIEDADES: La integral definida cumple las siguientes propiedades:  Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.  Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.  La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.  La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
  • 5.  Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):  Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que: • Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo
  • 6. La Regla de Barrow Dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo. Ejemplos: Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow Teorema Fundamental del Cálculo Integral
  • 7.
  • 8. Suma Superior e Inferior: Supongamos el caso general que tienes en la gráfica de arriba. Una función f(x) continua y no negativa. Se te pide que calcules el área entre las rectas x=a y x=b y la gráfica de f(x). En primer lugar definimos el ancho de cada intervalo (que además va a ser la base de cada uno de los rectángulos). A este ancho lo denominamos ∆x=(b-a)/n siendo n el número de rectángulos que utilicemos para aproximar el área bajo la curva.
  • 9. Los puntos terminales de la derecha de cada intervalo vendrá definido por a +∆x i Los puntos terminales de la izquierda de cada intervalo vendrá definido por a +∆x (i- 1)para i=1,2,3,...,n. Lo que no sabemos es si el valor de la función será mayor en el punto terminal derecho del i- ésimo intervalo o en el punto terminal izquierdo de este i- ésimo intervalo (puesto que depende de si la función es creciente o decreciente en ese i-ésimo intervalo). Pero al ser la función continua, el Teorema de los valores extremos asegura que existe un máximo y un mínimo de f(x) en cada subintervalo.
  • 10. Teorema del Valor Medio Para Integrales: El teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir: Ejemplo: Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.
  • 11. La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
  • 12. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]? Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.
  • 13. Teorema Fundamental del Cálculo: Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función, son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo. Una consecuencia directa de este teorema es la Regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
  • 14. Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre Por Si f es continua en [a,b] Segundo Teorema Fundamental del Cálculo El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
  • 15. Sustitución y Cambio de Variable: El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta. Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
  • 16. Pasos para integrar por Cambio de Variable: 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
  • 17. 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos: 3º Se vuelve a la variable inicial: