1) La notación sigma indica la suma de una serie de términos algebraicos dentro de un intervalo especificado por los índices inferior y superior. 2) El área bajo una curva puede aproximarse dividiéndola en rectángulos y sumando sus áreas, tomando el límite se obtiene la integral definida. 3) Existen teoremas como el valor medio y el fundamental del cálculo que relacionan la derivada, integral y antiderivada.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
Facultad de Ingeniería
Escuela de Mantenimiento Mecánico
Notación Sigma
Participante:
Moisés Giménez
C.I. 23.486.792
Matemática II

2. Integral definida
¿Qué es notación sigma?
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un
tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
Esta se representa por medio de la letra griega sigma (
En sus partes, parte o índice inferior (puede comenzar en cualquier entero) y la
parte o índice superior (superior siempre será mayor o igual que el inferior) se
especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará.
Suma Superior e Inferior:
Área bajo la Curva:Si se quiere calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1,
donde F(x) ≥ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x",
podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de
cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

3. Como se muestra a continuación:
En la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno
de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por
lo tanto esta es una aproximación.
Integral Definida:
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que:
k =1, 2, 3, 4, 5,...,...n
y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por
donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.

4. Propiedades:

5. Teorema del Valor Medio para Integrales:
Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor
dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho
valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.
Teorema Fundamental del Cálculo
Básicamente, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la
Integral son inversos, el uno del otro.
Primer teorema fundamental del cálculo:

6. Segundo teorema fundamental del cálculo:
Sustitución y cambio de Variable
En ocasiones se presenta una integral que nose resuelva directamente aplicando
los teoremas de la integración. Es decir, existen expresiones (funciones) que se
deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión
integrando, para poder encontrar su antiderivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión
que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante
aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Resolver:

3 z
a) dz
z
dz dz
Sea u  3  z entonces du  de donde 2du  y sustituyendo en la integral
2 z z
propuesta nos queda:

u4 u4
u 3 2 du  2 C   C y regresando el cambio nos queda:
4 2
3 z 4  C
2