Este documento presenta información sobre series de Fourier y conceptos relacionados como trigonometría, derivadas, integrales, sucesiones y series. Explica la definición de función periódica y serie trigonométrica de Fourier. Incluye ejemplos de funciones periódicas y ejercicios propuestos para encontrar las series de Fourier de diferentes funciones mediante el uso de la forma general, simetría y forma compleja. El documento será utilizado para una tarea extracurricular que debe entregarse en diferentes fechas.

1. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
MATEMÁTICAS IV
SERIES DE FOURIER
Trigonometría
DERIVADAS
𝐷𝑥(𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑥)) = 𝑎𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥)
𝐷𝑥(𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑥)) = −𝑎𝑆𝑒𝑛(𝑎𝑥)
INTEGRALES
∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 = −
𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑥)
𝑎
+ 𝐶
Conceptos Básicos Individual – extra aula
Propósito: Conocer acerca de la vida de Fourier y de Laplace
Criterio de evaluación: Se evaluará el trabajo realizado a mano y de manera original.
SE ENTREGA EL 31 DE ENERO 2022
Conceptos Básicos Individual – extra aula
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2. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
∫ 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑥)𝑑𝑥 =
𝑆𝑒𝑛(𝑎𝑥)
𝑎
+ 𝐶
∫ 𝑒𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
𝑒𝑎𝑥
𝑎
+ 𝐶
∫ 𝑒𝑎𝑡
𝑆𝑒𝑛 (𝑏𝑡)𝑑𝑡 =
𝑒𝑎𝑡[𝑎𝑆𝑒𝑛 (𝑏𝑡) − 𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑏𝑡)]
𝑎2 + 𝑏2
+ 𝐶
∫ 𝑒𝑎𝑡
𝐶𝑜𝑠 (𝑏𝑡)𝑑𝑡 =
𝑒𝑎𝑡[𝑎𝐶𝑜𝑠 (𝑏𝑡) + 𝑏𝑆𝑒𝑛(𝑏𝑡)]
𝑎2 + 𝑏2
+ 𝐶
Identidades
𝑆𝑒𝑛(−𝐴) = −𝑆𝑒𝑛(𝐴)
𝐶𝑜𝑠(−𝐴) = 𝐶𝑜𝑠(𝐴)
SUCESIONES Y SERIES
Sucesión: Conjunto ordenado de términos formulados bajo cierta regla o
ley. Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas:
- Finitas si el número de elementos es finito
- Infinitas si la sucesión un número infinito de elementos
Ejemplos:
(2𝑛)𝑛=1
5
= 2, 4, 6, 8, 10
(2𝑛 − 1)𝑛=1
∞
= 1, 3, 5, 7, 9 …
(
1
𝑛
)
𝑛=1
∞
= 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
…

3. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
Serie: Suma indicada de los términos de una sucesión. Puede ser finita o
infinita.
Ejemplos:
∑ 2𝑛
5
𝑛=1
= 2, 4, 6, 8, 10
∑(2𝑛 − 1)
∞
𝑛=1
= 1, 3, 5, 7, 9 …
∑ (
1
𝑛
)
∞
𝑛=1
= 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
…
Divergente y Convergente
Divergentes: Son las Sucesiones o Series que no tienen límite finito.
Convergentes: Son las Sucesiones o Series que tienen límite finito.
2.1 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PERIÓDICA.
Una función f (t) se dice que es periódica con periodo T, si 𝑓 (𝑡 + 𝑇) = 𝑓(𝑡),
𝑇 > 0 es el mínimo número que cumple con lo anterior. En general si f(t) es
una función periódica con periodo T se cumple que:
𝑓 (𝑡 ± 𝑛𝑇) = 𝑓(𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3 …
Ejemplos de Funciones periódicas

4. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021

5. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
FUNCIONES ORTOGONALES
Un conjunto de funciones 𝑓1(𝑡) + 𝑓2(𝑡) + ⋯ + 𝑓𝑘(𝑡) es ortogonal en el
intervalo (a, b) si para 2 funciones cualesquiera, del conjunto se cumple que:
∫ 𝑓𝑖(𝑡)𝑓
𝑗(𝑡)𝑑𝑡 = {
0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗
𝑟 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
𝑏
𝑎
-En particular, el conjunto de funciones:
{
1, 𝐶𝑜𝑠(𝑤0𝑡), 𝐶𝑜𝑠(2𝑤0𝑡), … 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝑤0𝑡)
𝑆𝑒𝑛(𝑤0𝑡), 𝑆𝑒𝑛(2𝑤0𝑡), … 𝑆𝑒𝑛(𝑛𝑤0𝑡)
𝑛 es un entero positivo. Es un conjunto de funciones ortogonales en el
intervalo (−
𝑇
2
,
𝑇
2
)esto es, cumplen con la definición anterior.

6. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
*Demostraciones: ver ejemplos en el Problemario de Matemáticas IV.
DEFINICIÓN DE SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Sea 𝑓 (𝑡) una función periódica con periodo T, la cual se puede representar
por la serie trigonométrica:
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎0 + ∑[𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0𝑡) + 𝑏𝑛 sen(𝑛𝜔0𝑡)]
∞
𝑛=1
Coeficientes de la Serie de Fourier
𝑎0
2
= Valor promedio de la Serie
𝑎𝑛 = Componente Cosenoidal de la Serie de Fourier
𝑏𝑛 = Componente Senoidal de la Serie de Fourier
𝑓(𝑡) = Función que se está analizando
𝑇 = Periodo
𝑤0 = Frecuencia Angular ; 𝑤0 =
2𝜋
𝑇
𝑡 = tiempo
Para calcular los Coeficientes:

7. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
𝑎0 =
2
𝑇
∫ f(t) 𝑑𝑡
𝑇
2
⁄
−𝑇
2
⁄
𝑎𝑛 =
2
𝑇
∫ f(t)cos(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2
⁄
−𝑇
2
⁄
𝑏𝑛 =
2
𝑇
∫ f(t)sen(𝑛𝜔0𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2
⁄
−𝑇
2
⁄
RESOLVER MÍNIMO 5 PROBLEMAS
De las siguientes funciones:
- Graficar las siguientes funciones y analizar la gráfica.
- Encontrar los 3 coeficientes de la serie.
- Encontrar la Serie Trigonométrica de Fourier por medio de la Forma General.
- Desarrollar la serie.
- Graficar la serie en un software como comprobación.
P1 Forma General Individual – extra aula
Propósito: Encontrar la Serie Trigonométrica de Fourier mediante la Forma General
Criterio de evaluación: Se evaluará el trabajo que contenga las soluciones correctas.
SE ENTREGA EL 21 DE FEBRERO DE 2022

8. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
1.
2. 𝑓(𝑡) = {
0, −𝜋 < 𝑡 < 0
𝑡2
, 0 < 𝑡 < 𝜋
𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
3. . 𝑓(𝑡) = {
0, 0 < 𝑡 < 2
1, 2 < 𝑡 < 4
0, 4 < 𝑡 < 6
𝑓(𝑡 + 6) = 𝑓(𝑡)
4.
5. 𝑓(𝑡) = {
1, −𝜋 < 𝑡 < 0
0, 0 < 𝑡 < 𝜋
𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
6. 𝑓(𝑡) = 𝑡, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
7. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡
, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)

9. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
NOTA:
8.
9. 𝑓(𝑡) = {
−𝜋, −1 < 𝑡 < 0
𝜋, 0 < 𝑡 < 1
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
0.
∗ 𝑓(𝑡) = (𝑡2
+ 𝑡) , − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
∗ 𝑓(𝑡) = 𝑡3
, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
∗ 𝑓(𝑡) = {
𝑡2
, −1 < 𝑡 < 0
𝑡3
, 0 < 𝑡 < 1
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
∗ 𝑓(𝑡) = {
0, −𝜋 < 𝑡 < 0
𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 < 𝑡 < 𝜋
𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
*Grado de dificultad mayor
2
e
e
)
x
(
Senh
x
x −
−
=

10. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
P2 SIMETRÍA Individual – extra aula
Propósito: Utilizar la simetría de la función periódica para simplificar el cálculo de los
coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier.
Criterio de evaluación: Se evaluará la gráfica, simetría y expresión de la serie correspondiente
a la función periódica.
SE ENTREGA EL 2 DE MARZO DE 2022
RESOLVER MÍNIMO 5 PROBLEMAS
Instrucciones. Para las siguientes funciones periódicas determine el tipo de
simetría y encontrar la serie trigonométrica.
1. − 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡), 0 < 𝑡 < 1, 𝑇 = 1
2. −
3. − 𝑓(𝑡) =
4. − 𝑓(𝑡) = 𝑡3
, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
5. 𝑓(𝑡) = 𝑡, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
t, −2 < 𝑡 < −1, 𝑇 = 4
t + 2, −1 < 𝑡 < 0,
-t + 2, 0 < 𝑡 < 1,
-t, 1 < 𝑡 < 2,

11. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
6. 𝑓(𝑡) = {
−𝜋, −1 < 𝑡 < 0
𝜋, 0 < 𝑡 < 1
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
7. − 𝑓(𝑡) = −𝑡2
, − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
8. − 𝑓(𝑡) = −𝑡2
+ 1 , − 1 < 𝑡 < 1 𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
9. 𝑓(𝑡) = {
−𝑡 + 1, 0 < 𝑡 < 1
𝑡 − 1, 1 < 𝑡 < 2
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
P3 FORMA COMPLEJA individual – extra aula
Propósito: Obtener la forma compleja de la serie de Fourier de una función periódica y
convertirla a la forma trigonométrica.
Criterio de evaluación: Se evaluará la expresión de la serie en la forma compleja y
trigonométrica.
SE ENTREGA EL 9 DE MARZO DE 2022
Instrucciones. Para las siguientes funciones, encuentre la serie compleja de
Fourier y después expresar su resultado en la forma trigonométrica.
RESOLVER 5 PROBLEMAS
1. − 𝑓(𝑡) =
2. − 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 0 < 𝑡 ≤
𝜋
2
, 𝑇 =
𝜋
2
3. − 𝑓(𝑡) = 𝑡, 0 < 𝑡 ≤ 2, 𝑇 = 2
-1, −1 < 𝑡 ≤ 0, 𝑇 = 3
1, 0 < 𝑡 ≤ 2,

12. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
4. − 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑡
− 𝜋 < 𝑡 < 𝜋, 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
5. − 𝑓(𝑡) =
RESOLVER MÍNIMO 3 PROBLEMAS
1.- . 𝑓(𝑡) = {
−𝜋, −1 < 𝑡 < 0
𝜋, 0 < 𝑡 < 1
𝑓(𝑡 + 2) = 𝑓(𝑡)
2. 𝑓(𝑡) = {
0, −𝜋 < 𝑡 < 0
𝑡2
, 0 < 𝑡 < 𝜋
𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
3. . 𝑓(𝑡) = {
0, 0 < 𝑡 < 2
1, 2 < 𝑡 < 4
0, 4 < 𝑡 < 6
𝑓(𝑡 + 6) = 𝑓(𝑡)
4. 𝑓(𝑡) = {
1, −𝜋 < 𝑡 < 0
0, 0 < 𝑡 < 𝜋
𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
Transformada de Laplace
P5 Transformada de Laplace
Propiedad de Linealidad
Individual – ASÍNCRONO
P4 IMPULSOS individual – extra aula
Propósito: Obtener la serie trigonométrica de Fourier mediante la derivada.
Criterio de evaluación: Se evaluará la expresión de la serie trigonométrica.
SE ENTREGA EL 14 DE MARZO DE 2022
0, − 𝜋 < 𝑡 < 0, 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡)
𝑒2𝑡
, 0 < 𝑡 < 𝜋,

13. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
Propósito: Transformar las diferentes funciones aplicando las diferentes propiedades de la
Transformada de Laplace.
Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta de los
ejercicios
SE ENTREGA EL 4 DE ABRIL DE 2022
SE REALIZAN LOS 17 PROBLEMAS
1) 𝓛{5 + 2𝑒4𝑡
+ 3𝑒−2𝑡
+ 2𝑡2
+ 3𝑐𝑜𝑠(5𝑡)}
2) 𝓛{(𝑠𝑒𝑛(3𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(3𝑡))
2
}
3) 𝓛{10𝑠𝑒𝑛(6𝑡) + 3𝑐𝑜𝑠ℎ(5𝑡) − 4𝑠𝑒𝑛ℎ(5𝑡)}
7𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5
4) 𝓛{𝑓(𝑡)} 𝑓(𝑡) =
10, 𝑡 > 5
Primera Propiedad de
Traslación
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛{𝑒2𝑡
(𝑠𝑒𝑛(4𝑡) + cosh (2𝑡) + 3𝑡2
)}
2) 𝓛{𝑒7𝑡
𝑠𝑒𝑛ℎ(4𝑡) + 𝑒−𝑡
cosh (5𝑡) + 5𝑡3
𝑒4𝑡
)}
Segunda Propiedad de
Traslación
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛{(3𝑡 − 4) ∪ (𝑡 − 1)}
Transformada de la integral Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛{∫ 𝑒−𝑡
𝑠𝑒𝑛(3𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
)}
2) 𝓛{∫ 𝑡5
𝑒4𝑡
𝑑𝑡
𝑡
0
)}

14. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
Transformada de la derivada Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛{𝑦𝑋𝐼
(𝑡)}
2) 𝓛{𝑦´´´(𝑡) + 3𝑦´´(𝑡) − 2𝑦´(𝑡) + 1𝑦(𝑡)}
3) 𝓛{8𝑔´´´(𝑡) − 7𝑔´´(𝑡) + 9𝑔(𝑡)}
4) 𝓛{11𝑦´´´(𝑡) + 3𝑦´´(𝑡) − 7𝑦´(𝑡)}; 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = −3, 𝑦´´(0) = 0
Multiplicación por 𝒕𝒏
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛{4t𝑒−2𝑡
sent}
2) 𝓛{3𝑡3
𝑒2𝑡
}
3) 𝓛{t𝑒−2𝑡
cosh(t)}
4) 𝓛{∫ 𝑡2
𝑒−𝑡
𝑑𝑡
𝑡
0
}
Transformada Inversa de Laplace
P6 Transformada Inversa de
Laplace
Propiedad de Linealidad
Individual – ASÍNCRONO
Propósito: Anti transformar las diferentes funciones aplicando las diferentes propiedades de
la Transformada inversa de Laplace.
Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta de los
ejercicios
SE ENTREGA EL 4 DE MAYO DE 2022
SE REALIZAN LOS 25 PROBLEMAS
1) 𝓛−𝟏
{
3
𝑠+4
+
8𝑠
𝑠2+16
+
1
𝑠5
+
3𝑠−12
𝑠2+8
}
2) 𝓛−𝟏
{
3𝑠−8
4𝑠2
+25
}

15. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
3) 𝓛−𝟏
{
3𝑠−8
𝑠2+4
−
4𝑠−24
𝑠2−16
}
Primera propiedad de
traslación
Individual – ASÍNCRONO
1. 𝓛−𝟏
{
𝑠+2
𝑠2+8𝑠+1
}
2. 𝓛−𝟏
{
3𝑠−12
𝑠2+6𝑠+9
}
3. 𝓛−𝟏
{
2𝑠+4
𝑠2+𝑠−2
}
4. 𝓛−𝟏
{
𝑠
(𝑠−2)5
}
Segunda propiedad de
traslación
Individual – ASÍNCRONO
1. 𝓛−𝟏
{
𝑒−𝜋𝑠
𝑠
𝑠2+4
}
Transformada inversa de la
división por “s”
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠3(𝑠+1)
}
2) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠(𝑠2+16)
}
3) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠2(𝑠2+1)
}
4) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠2(𝑠−2)
}
Transformada inversa de la
derivada
Individual – ASÍNCRONO

16. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
1. 𝓛−𝟏
{
2𝑠+2
(𝑠2+2𝑠+2)2
}
Transformada inversa por
Fracciones Parciales
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠3(𝑠+1)
}
2) 𝓛−𝟏
{
1
(𝑠+3)(𝑠−1)
}
3) 𝓛−𝟏
{
1
(𝑠+1)(𝑠2+1)
}
4) 𝓛−𝟏
{
4𝑠3
−2𝑠2
−2
(𝑠+1)2
(𝑠2+1)
2}
Transformada inversa del
producto o Teorema de
Convolución
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠3(𝑠+1)
}
2) 𝓛−𝟏
{
1
(𝑠+3)(𝑠−1)
}
3) 𝓛−𝟏
{
1
(𝑠+1)(𝑠2+1)
}
4) 𝓛−𝟏
{
1
𝑠2(𝑠+1)2}
Transformada inversa
Usar cualquier método
Individual – ASÍNCRONO
1) 𝓛−𝟏
{
3𝑠−14
𝑠2−4𝑠+8
}

17. Dr. Ricardo J. Villarreal E2021
2) 𝓛−𝟏
{
3𝑠+2
4𝑠2
+12𝑠+9
}
3) 𝓛−𝟏
{
𝑠2
−3
(𝑠+2)(𝑠−3)(𝑠2+2𝑠+5)
}
4) 𝓛−𝟏
{
𝑠
(𝑠2−2𝑠+2)(𝑠2+2𝑠+2)
}
P7 Aplicación a las Ecuaciones
Diferenciales
Individual – opcional -
ASÍNCRONO
Propósito: Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales por medio de la Transformada de
Laplace.
Criterio de evaluación: Se evaluará el reporte que contenga la solución correcta de los
ejercicios
SE ENTREGA EL 20 DE MAYO DE 2022
REALIZAR LOS 6 EJERCICIOS
Descripción de la actividad:
Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales por medio de la Transformada de Laplace.
1) 𝑦′′(𝑡) + 4𝑦(𝑡) = 9𝑡, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 7
2) 𝑦′′(𝑡) − 3𝑦′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 4𝑡 + 12𝑒−𝑡
, 𝑦(0) = 6, 𝑦′(0) = −1
3) 𝑦′′(𝑡) − 4𝑦′(𝑡) + 5𝑦(𝑡) = 125𝑡2
, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 0
4) 𝑦′′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 8 cos 𝑡 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −1
5) 𝑦′′′(𝑡) − 𝑦(𝑡) = 𝑒𝑡
, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0, 𝑦′′(0) = 0
6) 𝑦𝐼𝑉(𝑡) + 2𝑦′′(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦(0) = 𝑦′(0) = 𝑦′′(0) = 𝑦′′′(0) = 0