matematica3

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Derivada direccional
Autor: Ramirez Codezzo Julio Cesar
Carrera: Ingeniería en Mantenimiento Mecanico
CI: V-26.407.113
https://es.slideshare.net/JuLiOCoDezz/mate3-77485990

2. Introducción
Cuando se define la derivada en una dimensión su
interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en
un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la
función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación
a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por
ejemplo una función h(x,y), que representa la altura de los puntos
de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué
significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas
pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los
puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en
cualquier dirección intermedia.

3. Definición:
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un
punto según una dirección marcada por el vector unitario , de la
siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la
dirección marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial
y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente
entre el incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la
distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la
“pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente
de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo
bidimensional, que se puede representar mediante una elevación,
como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es
aplicable, pero la idea algebraica es la misma.

4. Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la
dirección marcada por es
Desarrollando el producto queda
Ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da
el unitario en su dirección