Este documento introduce el concepto de derivada direccional para campos escalares que dependen de más de una coordenada. Explica que para estos campos no tiene sentido hablar de una única pendiente, sino que depende de la dirección. Define la derivada direccional como el incremento en la función dividido por el desplazamiento en una dirección dada, representada por un vector unitario. Proporciona una fórmula para calcularla y un ejemplo sencillo.

1. Derivada
direccional
Elaborado por:
Nicolás Suescum C.I. – 26.205.995
Sección: S1

2. Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica
es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de
la tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una
función que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos
situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la
montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos
hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que
estamos, o en cualquier dirección intermedia.
La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las
tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué
significa una pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe
hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de
una dirección determinada, pero nada más.

3. Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según
una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
• Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada
por
•Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final

5. pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse en
la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos
constantes, esto es

7. Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección