Este documento define y explica el concepto de derivada direccional. Define la derivada direccional de un campo escalar en un punto como el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida cuando la distancia tiende a cero. Explica cómo calcular la derivada direccional de una función multivariable y resume algunas propiedades importantes como las reglas de suma, factor constante, producto y cadena. Finalmente, discute cómo se generaliza el concepto a campos vectoriales.

1. DERIVADAS DIRECCIONALES
Nombre: Emily Dugarte
CI: 26.016.803
Matemática III
Sección “B”
Prof. Domingo Méndez
Arquitectura Semestre III
República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Escuela de Arquitectura
Extensión San Cristóbal
San Cristóbal, 08 de Julio de 2017

2. Derivada Direccional
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una dirección marcada por
el vector unitario , de la siguiente manera:
•Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada por
•Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
•La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la distancia recorrida,
cuando la distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su límite nos
da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede
representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la
misma.

3. ¿Cómo calcular una Derivada Direccional?
Digamos que tienes una función multivariable f(x, y, z) que toma tres variables de entrada, x, y y z, y quieres
calcular su derivada direccional a lo largo del siguiente vector.
Resulta que la respuesta es:
Esto debería tener sentido porque un pequeño desplazamiento a lo largo del vector v⃗​​, se puede dividir
en dos pequeños movimientos en dirección de x, en tres en la dirección de y y uno hacia atrás, por -1, en la
dirección de z.

4. Definición General
La derivada direccional de una función real de n variables:
en la dirección del vector:
es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente :

5. Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector v⃗​​ después de la
normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces:
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un vector
de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación empleada en otras ramas de
la matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de
incremento de por unidad de distancia.

6. Propiedades de la Derivada Direccional
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las derivadas direccionales. Estas
incluyen, para cualquier pareja de funciones f y g definidas en la vecindad de un punto p , donde son
diferenciables:
Regla de Suma:
Regla del factor constante:
Donde c es cualquier constante.
Regla del producto (o fórmula de Leibniz):
Regla de la cadena si g es diferenciable en el punto p y h es diferenciales en p(g), entonces:

7. Campos Vectoriales
El concepto de la derivada direccional no se puede generalizar en funciones d en del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con funciones de una
variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia de derivadas
direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente que una función sea
diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano: