Este documento explica el concepto de derivadas direccionales en campos escalares dependientes de dos o tres coordenadas. Indica que mientras que en una dimensión la derivada representa la pendiente de la tangente, en más dimensiones no hay una única pendiente, por lo que se define la derivada direccional según una dirección específica. Explica que las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales según los ejes de coordenadas. Finalmente, da un ejemplo sencillo de cálculo de derivada direccional.

1. AUTORA: JACKLY SOTO
CI 25.703.332
5TO SEMESTRE DE ARQUITECTURA
Matemáticas III
DERIVADAS DIRECCIONALES
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la
gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función que
representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera,
¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes,
dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que
en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia.
La cosa es aún más complicada para campos escalares, dependientes de las tres
coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de
una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada,
pero nada más.
 Derivada en una dimensión:
En una dimensión el concepto de derivada es relativamente sencillo: es el límite del
cociente entre el incremento de una función y el incremento de su variable
Gráficamente, antes de tomar el límite, el cociente representa la pendiente
de una recta secante a la gráfica de la función, siendo uno de los puntos de corte aquél en que
queremos calcular la derivada y el otro que vamos acercando progresivamente hacia el primer
punto. Cuando tomamos el límite, ambos puntos coinciden y la secante se convierte en la
tangente.

2. Podemos interpretar la expresión de dos formas.
 Derivada como cociente:
La definición como límite de un cociente permite leer la expresión como un
cociente en sí mismo, entre:
 La cantidad , conocida como el diferencial de la función . Este diferencial se
interpreta como un incremento infinitamente pequeño de la función entre dos puntos
vecinos.
 La cantidad dx, conocida como el diferencial de , que representa la diferencia entre
dos posiciones infinitamente próximas.
De esta interpretación como cociente se obtiene de forma inmediata que, por ejemplo, las
dimensiones de la derivada son las de divididas por las de (verbigracia, que, si el
espacio se mide en metros y el tiempo en segundos, la velocidad -que es la derivada del
espacio respecto al tiempo- se mide en metros/segundo).
La interpretación de la derivada como cociente no se extiende a las derivadas de orden
superior. La segunda derivada
no se puede entender como el cociente de entre , a menos que definamos de una
forma muy precisa qué significa . En cualquier caso, no es un cociente ordinario y, sobre
todo,
 Derivada como operador:
Existe otra forma de leer la expresión de
la derivada de una función. Si la escribimos como
podemos leerlos como algo que se "multiplica"
por . Ese algo no es un número ni una función
sino un operador.

3. Podemos imaginar un operador como una máquina con una entrada y una salida. Por
la entrada se introduce la función y por la salida se obtiene su derivada.
Los operadores se pueden componer, de forma que al resultado de la aplicación de un
operador se le puede aplicar otro o él mismo. Así, la segunda derivada equivale a la aplicación
reiterada del operador derivada
Por la forma de
actuar, la aplicación
de un operador tiene
elementos en
común con la
multiplicación
ordinaria, pero no es una multiplicación. El operador en sí mismo no es nada, solo su
resultado es una magnitud física.
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y
la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una
dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En
un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura
de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la
interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
 Derivadas parciales:
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales.
Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por
. La aplicación del límite nos da

4. pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse en la
dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos constantes,
esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando
a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las
derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
Ejemplo:
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección