La derivada direccional representa la tasa de cambio de una función multivariable en una dirección dada por un vector. Se define como el límite del cociente entre el incremento de la función y la distancia recorrida cuando esta tiende a cero. Las derivadas parciales son casos particulares de derivadas direccionales según las direcciones de los ejes coordenados.

1. DERIVADA DIRECCIONAL

2. DERIVADA DIRECCIONAL
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una
dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Este
concepto generaliza las derivadas parciales, puesto que estas son derivadas
direccionales según la dirección de los respectivos ejes coordenados.
DEFINICIÓN DERIVADA DIRECCIONAL DE UN CAMPO ESCALAR
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según
una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada
por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el
incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a
cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en
una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha
dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una
elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero
la idea algebraica es la misma.
DERIVADAS PARCIALES
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas
parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la
dirección marcada por . La aplicación del límite nos da

3. pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse
en la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras
dos constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando
a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las
derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
DEFINICIÓN DERIVADA DIRECCIONAL (Dirección).
Una dirección en ℝ n es cualquier vector de norma 1.
Nota: Si u → es una dirección en el plano ℝ 2 (n=2) entonces se puede
expresar como u → =(cos⁡ϕ,senϕ ) siendo ϕ el ángulo que forma el vector con
el eje positivo de las X.
Vamos a considerar ahora la variación de
una función cuando nos movemos desde
un punto a lo largo de una dirección.
Si la función es de dos variables, la noción
de derivada direccional se puede interpretar
geométricamente como la pendiente de la
recta tangente a la curva intersección de la
superficie con el plano vertical que contiene
a la dirección dada.

4. DEFINICIÓN (DERIVADA DIRECCIONAL EN UN PUNTO):
Sea f una función definida en un entorno del punto P o y u → una dirección. Se
define la derivada direccional de f en el punto P o como el valor del siguiente límite
en el caso de que exista:
lim⁡ t→0 f (P o +t u →) −f (P o ) t
Notación: La derivada direccional se denota por D u f
(P o )= f u ' ( P o )= f φ ' ( P o ) siendo u → =(cos⁡φ,senφ ) .
OBSERVACIONES:
La existencia de esta derivada direccional significa que la función de una
variable h(t )=f( P o +t u → ) es derivable en t=0: D u f( P o )=h'( 0 ) .
En el caso de una función de dos variables tenemos:
La derivada direccional en la dirección u → = (1,0) es la derivada parcial respecto
a x
La derivada direccional en la dirección u → = (0,1) es la derivada parcial respecto
a y.