trabajo realizado para el conocimiento de la definición respecto a la derivada direccional

1. REPUBLICA BOLIBARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITECNICOSANTIAGO MARIÑO
Derivada direccional
V Semestre: Arquitectura
Asignatura: matemática III
Alumnos: Mariciel Ramírez Chacón
Cedula: 26.493.683

2. Introducción
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es sencilla: la
derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la
función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de
dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función que representa la
altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué
significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo
de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que
estamos, o en cualquier dirección intermedia.
La cosa es aún más complicada para campos escalares, dependientes de las tres
coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una
forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada,
pero nada más.

3. Derivada direccional
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de
una función multivariable, en la dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio
de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la dirección de los respectivos
ejes coordenados.
Definición general
La derivada direccional de una función real de n variable:
En la dirección del vector:
Es la función definida por el límite:
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de su gradiente
Donde”. “denota el producto escalar o producto punto entre vectores. En cualquier punto ,
la derivada direccional de f representa intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al
tiempo cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por en dicho punto.
Definición
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final

4.  La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento
de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una
dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección.
En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la
altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres
dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la
misma.
Derivadas parciales
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales.
Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por .
La aplicación del límite nos da
Pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse en la
dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos constantes,
esto es
Esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando
a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas
direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada por es

5. Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección