Derivada Direccional

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Escuela de Arquitectura – Extensión San Cristóbal
DERIVADA DIRECCIONAL
Autora: Katherine Sánchez
C.I 20.716.353
SEMESTREIII
San Cristóbal julio 2017

2. Derivada Direccional
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente
a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una
función que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos
situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay
no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia
los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección
intermedia.
Definición
Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto según una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:
 Consideramos el desplazamiento pequeño desde en la dirección marcada
por
 Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
 La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento
de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.

3. La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en
una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha
dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una
elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado
geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la
idea algebraica es la misma.
Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al vector
después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferenciable, entonces
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un
vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de por unidad de
distancia.int a, b, c; a + b=c.
Derivadas parciales
Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas
parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección
marcada por . La aplicación del límite nos da

4. pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse
en la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos
constantes, esto es
esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando
a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las
derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
Ejemplo:
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
La derivada direccional de este campo en un punto según la dirección marcada
por es
Desarrollando el producto queda
ya que es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su
dirección.

5. Referencia
J, R. (2012). Vector Gradiente y Derivada Direccional. Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=Vnbi1S7x6Qg
R, R. (2013). Conceptos de Gradiente y de Derivada Direccional. Recuperado de:
http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf
W, M. (2014). Derivada Direccional. Recuperado de:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/SUPERIOR/derivada-
direccional/node1.html