Matematicas financieras 5-1_egp-27.02.2012

Curso
Matemáticas Financieras
Unidad de Aprendizaje 5

Carlos Mario Morales C © 2012

Contenido
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Criterios de evaluación de proyectos
(VPN y TIR)
 Concepto de Valor presente Neto –VPN-
 Tasa de interés de oportunidad TIO
 Utilización del VPN


Introducción

Para decidir sobre la ejecución de un proyecto
es necesario evaluarlo financieramente para
verificar si es o no aconsejable realizarlo.

Para realizar la evaluación se utilizan criterios
como:

 VPN (Valor Presente Neto)
 TIR (Tasa Interna de Retorno)
 B/C (Relación Beneficio Costo)
 Entre otros…

Valor Presente Neto

Permite comparar en valores de hoy los
ingresos y egresos futuros del proyecto, lo
cual facilita la decisión desde el punto
de vista financiero. Para esta
comparación se utiliza el flujo de Caja
del proyecto


Valor Presente Neto

Periodo …
Flujo de Caja …


Costo de Capital

Se denomina “Costo del Capital” (en
ingles: Weighted Average Cost of
Capital) a la tasa de descuento que se
debe utilizar para actualizar los flujos de
fondos de un proyecto


Costo de Capital

Si el proyecto es cien por ciento financiado con créditos, el
costo de capital corresponde a la tasa de interés que hay que
pagar por dicho préstamo; por su parte, si la financiación
proviene de un inversionista, el costo de capital corresponde a
la rentabilidad que el accionista le exigirá al proyecto por
renunciar a un uso alternativo de esos recursos -costo de
oportunidad- en proyectos con niveles de riesgos similares.

Cuando se trata de una financiación mixta, a través de créditos
e inversionistas el costo de capital será un promedio ponderado
del costo del crédito y el costo de oportunidad del inversionista
de acuerdo a la participación porcentual de cada uno de ellos


Costo de Capital

Financiación: Costo de capital = «Costo
Proyecto 100% por
créditos de los créditos»

Financiación: Costo de capital = «Costo
Proyecto 100% por
Inversionistas de oportunidad (TIO)»

Costo de capital =
Financiación «promedio ponderado
Proyecto Mixta del costo del crédito y el
costo de oportunidad»

Costo de Capital


Costo de Capital

Costo de la deuda ponderado
Credito Valor Costo deuda Partcipación Costo Ponderado

C1 120.000.000 22% 58% 13%

C2 57.000.000 18% 28% 5%
C3 30.000.000 16% 14% 2%
207.000.000 20%

Ejemplo TIO

Ejemplo:
Supongamos que para un proyecto se necesita
realizar una inversión inicial de $80.000 y de otra de
$45.000 al final del primer mes; en los meses 2 y 3 los
ingresos son iguales a los egresos; a partir del mes 4
se producirán ingresos netos así: mes 4: 30.000, mes 5:
50.000 y mes 6: 60.000.
Determinar si el proyecto es atractivo para dos
inversionistas con TIOS del 3% y 2% respectivamente.


Solución ejemplo TIO
50.000 60.000
30.000

0 1 2 3 4 5 6

45.000
80.000

VPN(3%) = -80.000-45.000(1+0,03)-1+30.000(1+0,03)-4 +50.000(1+0,03)-5 + 60.000(1+0,03)-6
VPN (3%) = -3.655

El proyecto NO es bueno para el inversionista del ejemplo 1; porque de
realizarlo tendría una perdida de 3655 (se esta ganando el 3% menos 3.655
en pesos de hoy.


Solución ejemplo TIO
50.000 60.000
30.000

0 1 2 3 4 5 6

45.000
80.000
VPN(2%) = -80.000-45.000(1+0,02)-1+30.000(1+0,02)-4 +50.000(1+0,02)-5 + 60.000(1+0,02)-6
VPN (2%) = 2.162,54

El proyecto SI es bueno para el inversionista del ejemplo 2; porque de
realizarlo tendría una ganancia de 2.162,54 (se esta ganando el 3% mas
2.162,54 en pesos de hoy.


Utilización del Valor Presente Neto (VPN)

Se puede utilizar para orientar la toma de
decisión en:

 Proyectos Individuales
 Alternativas de Inversión


Utilización del VPN – Proyectos Individuales

El Inversionista A tiene una tasa de descuento de 20%
El Inversionista B tiene una tasa de descuento de 40%
Inversionista A
VPN(20%) = -100+ 65(1+0,2)-1 +75(1+0,2)-2
VPN(20%) = 6,25
El proyecto puede ser aceptado por A
Inversionista B
VPN(40%) = -100+ 65(1+0,4)-1 +75(1+0,4)-2
VPN(40%) = -15,31
El proyecto no puede ser aceptado por B



Ejemplo
Se desea adquirir una maquina cuyo costo es de
$700.000, tendrá una vida útil de 6 años y un valor
de salvamento de $600.000. Se estima que
producirá ingresos anuales crecientes en un 20%,
partiendo de $250.000 en el primer año. De otra
parte los costos de operación y mantenimiento se
estiman en $100.000 y se supone que cada año
crecerán unos $30.000. Evaluar el proyecto con
una tasa de descuento de a) del 30% y b) del 20%.


Solución ejemplo 518,4 622,08

360 432 600
250 300

0 1 2 3 4 5 6
100 130 160
190
700 220
250
a) Con el 30% (en miles)
VPN(30%) = -700+ 250((1,2)6(1,3)6 -1)/(0,2-0,3)+ 600(1.3)-6 –
{(100/0,3)(1-(1,3)-6)+(30/0,3)((1-(1,3)-6)/0,3)-(6(1,3)-6)}
VPN(30%) = -26.500
El Proyecto no debe ser aceptado


Solución ejemplo 518,4 622,08

360 432 600
250 300

0 1 2 3 4 5 6
100 130 160
190
700 220
250
b) Con el 20% (en miles)
VPN(20%) = -700+ 250(6)/(1,2)+ 600(1.3)-6 – {(100/0,2)(1-(1,2)-6)
+(30/0,2)((1-(1,2)-6)/0,2)-(6(1,2)-6)}
VPN(30%) = 220.970
El Proyecto puede ser aceptado

Utilización del VPN – Alternativas Excluyentes

Puede ocurrir que simultáneamente se
presentan varios proyectos; pero la ejecución
de uno de ellos excluye la posibilidad de
ejecución de cualquiera de los otros; en este
caso se debe evaluar cada alternativa por
separado pero siempre usando el mismo
horizonte de planeación para poderlos
comparar


Ejemplo
Una fabrica produce actualmente en forma manual 1.000
unidades de un determinado articulo, para ello utiliza artesanos a
los cuales les paga $8´400.000 al año y es costumbre que se les
aumente el sueldo el 20% anualmente. El precio de venta de cada
articulo es de $9.000 y se estima que este precio podrá ser
aumentado cada año 21%. Se ha presentado la oportunidad de
adquirir una maquina a un costo de 10 millones con vida útil de 5
años, un valor de salvamento de 2 millones la cual requiere de dos
técnicos para su operación, el sueldo anual de cada técnico es de
$600.000 con aumento anual del 20%.
¿Cuál de las dos alternativas es mejor suponiendo que la tasa de
descuento es del 30%?


Solución ejemplo 19,29

13,18 15,94
10,89
9
0 1 2 3 4 5
8,4
10,08 12,10
14,52
17,42

Alternativa 1- No hacer nada
VPN(30%) = 9{(1,21)5(1,3)-5-1}/(0,21-0,3)– 8,4{(1,2)5(1,3)-5-1}/(0,2-0,3)
VPN (30%)= $2´437.836



Solución ejemplo 3 19,29 + 2

13,18 15,94
10,89
9
0 1 2 3 4 5
1,2
1,44 1,73
10,0 2,07
2,49

Alternativa 2- Comprar la maquina
VPN(30%) = 9{(1,21)5(1,3)-5-1}/(0,21-0,3) + 2(1,3)-5 – 10 -1,2{(1,2)5(1,3)-5-1}/(0,2-0,3)

VPN (30%)= $16´723.756
Decisión: Comprar la maquina



Cuando el número de periodos de cada
alternativa no coincide; es decir, que
cada alternativa tiene diferente horizonte
de evaluación, entonces es necesario
tomar el horizonte de planeación que sea
igual al mínimo común múltiplo de la vida
útil de cada una de las alternativas



Ejemplo 4
El jefe de producción de una fabrica debe decidir entre el
motor A y el motor B, con una tasa de descuento del 36%.
Determinar la mejor alternativa, si las características de
cada uno son:

Concepto Motor A Motor B
Costo (C) $800.000 $600.000
Vida útil (K) 3 2
Valor Salvamento (S) $200.000 $150.000
Costo Operación (CAO) $25.000 $30.000



Solución Ejemplo
Mínimo común múltiplo de vida útil de las dos alternativas es 6
años; así que debemos escoger este número como horizonte de
planeación
Alternativa A: Para esta alternativa, tendríamos que adquirir otra
maquina de las mismas características al final de los tres años

200 200

0 1 2 3 4 5 6

VPN(36%) = -1´065.338
25 25
800
800



Solución Ejemplo 4
Alternativa B: Para esta alternativa, tendríamos que adquirir otra
maquina de las mismas características al final de segundo y tercer
año
150 150 150

0 1 2 3 4 5 6

30 30 30 VPN(36%) = -1´021.293
600
600 600

Se escoge la alternativa B ya que es la más económica en valor presente


Utilización del VPN – Alternativas Vita Útil Infinita

Cuando las alternativas tienen Vida útil muy grande
(casos: universidades, organizaciones de caridad, obras
civiles de infraestructura: hidroeléctricas, puentes,
construcciones de más de 40 años, entre otros) pueden
considerarse de vida útil infinita y sin valor de salvamento.
Para su evaluación se utiliza el método de costo
Capitalizado que se representa por C.C; el cual consiste
en hallar el VPN de anualidades infinitas o gradientes
infinitos. El método se utiliza también para hallar el punto
de equilibrio de dos alternativas



Ejemplo
Para la construcción de un puente se plantean dos proyectos: Un
puente colgante con costo de $850 millones, el cual implicara
mantenimiento anual por $3 millones, el cual se estima aumentara
cada año en $2 millones; adicionalmente cada 5 años se deber
cambiar los cables a un costo de $100, que no se prevé cambie.
La segunda alternativa es un puente en concreto cuyo costo es de
$900 millones, cada 5 años será necesario hacer reparaciones por
$25 millones, el costo anual de mantenimiento se estima en un
valor fijo de $5 millones.
Si la tasa de descuento del proyecto es del 25% determinar la
mejor alternativa



Solución: Se determina el VPN de cada alternativa
La situación del puente colgante es:

0 1 2 5 10
…… …. ….. ∞
11 21
3 5
100 100
VPN (25%) = - 942,7
850

Cambio de cables es una anualidad infinita: 100 millones cada
cinco años; el mantenimiento por su parte es un gradiente infinito
cuya primera cuota es 3 y gradiente aritmético de 2 millones


Solución:
La situación del puente en concreto es:

0 1 2 3 4 5 6
….. ∞
5 5 5 5 5 5

25 25 VPN (25%) = - 946,23
900

Ambos mantenimientos el de 5 y 25 corresponden a
anualidades infinitas, la primera de ellas anual y la segunda
quinquenal
Se debe decidir por la construcción del puente colgante

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