Matematicas financiera 2-1_egp-27.02.2012

Curso
Matemáticas Financieras
Unidad de Aprendizaje 2

Carlos Mario Morales C © R1-2012

Contenido
MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Interés Compuesto
 Concepto de interés compuesto
 Tasa efectiva de interés
 Tasa Nominal
 Equivalencia de tasas de interés
 Ecuaciones de valor


Interés Compuesto

Concepto
En general las operaciones financieras se
realizan utilizando interés compuesto
En el interés compuesto cada vez que se
liquidan los intereses, éstos se acumulan
al capital para formar un nuevo capital
(monto), sobre el cual se vuelven a
liquidar los intereses.

Interés Compuesto

ilustración
Se invierte un capital de $1000 al 10%
trimestral, durante un año.
1000
100 100 100 100

10% 10% 10% 10%
Trimestres
1 2 3 4

Interés Simple
$1000


Interés Compuesto

1464,1
Al final del primer trimestre
1331 se liquidan los primeros
intereses (1000x0,1 = 100) y
1210 se acumulan al capital
para obtener el primer
1100 monto 1.100; al final del 2do
periodo se liquidan los
1000 segundos intereses sobre el
Trimestres
monto anterior (1100x0,1 =
110 y el acumulado será
1 2 3 4 1210; y así sucesivamente
hasta 1464,10

$1000
Interés Compuesto


Interés Compuesto

Periodo Capital Inicial Interés Capital Final

1
2

3

…. ….. ….. …….
n


Interés Compuesto


Interés Compuesto

Tasa Efectiva
La tasa del periodo (n), la denominamos tasa
efectiva y se representa por i.
Si “n” son trimestres entonces X% Efectivo trimestral (ET)
Si “n” son meses entonces X% Efectivo Mensual (EM)
Si “n” son semestres entonces X% Efectivo semestral (ES)
Si “n” es anual se puede omitir el calificativo, es
decir: X% Efectivo (E o EA)

Interés Compuesto

Tasa Nominal
La tasa del año la denominaremos tasa nominal
y se representa por la letra j; ya que en el año
pueden haber varias liquidaciones, es necesario
indicar el periodo de la liquidacion .
Denominación:
Si i=10% ET (Efectiva trimestral) ya que el año
tiene 4 trimestres entonces se puede nombrar la
Tasa Nominal como: j= 40%N-t

Interés Compuesto

Relación entre Tasa Efectiva y Nominal
La tasa Nominal es igual a la efectiva
multiplicada por el número de periodos (m) que
hay en un año.


Interés Compuesto

Ejemplo 1

Dado el 3% EM, entonces m=12 y J= 36%N-m

Dado el 5% EB (Bimestral), entonces m=6 y J= 30%N-b

Dado el 28% N-s, entonces m=2 y i= 28/2 = 14% ES


Interés Compuesto

Ejemplo 2
Se invierten $200 millones en un deposito a termino fijo (CDAT) a
6 meses en un banco que paga el 28,8% N-m. Determine el
monto de la entrega al vencimiento

Vf

$ 200 millones


Interés Compuesto

Ejemplo 3
¿Cuál debe ser el deposito que se haga hoy en una cuenta de
ahorros que paga el 8% ET, para retira una suma de $2´000.000 al
cabo de 18 meses?


Interés Compuesto

Ejemplo 4
¿A que tasa Efectiva Mensual se triplica un capital en 2 años y
medio?

1 2 … 29 30


Interés Compuesto

Ejemplo 5
¿En cuanto tiempo se duplica un capital al 24% NMV?

j = 24 N-m

1 2 … n-1 n


Interés Compuesto

Equivalencia de Tasas
Tasas equivalentes son aquellas que teniendo
diferente efectividad producen el mismo monto
al final del año.


Interés Compuesto

Equivalencia entre tasas

i i
2 3

j j
4
1

Interés Compuesto

Ejemplo 6
Dado el 5% EB, calcular una tasa efectiva trimestral equivalente


Interés Compuesto

Ejemplo 7
Dado el 36%N-m; hallar una Tasa Nominal Semestral equivalente

La tasa del 36% N-m la convertimos en
efectiva: i = j/m = 36/12 = 3% EM.
(1+0,03)12 = (1+i2)2
(1+0,03)12 = (1+i2)2
i2= 19,4% ES
J = ix2 = 0,388 = 38,8 N-s

Interés Compuesto

Relación entre tasa anticipada y tasa vencida
(Nominal)


Interés Compuesto

Equivalencia entre tasas

ja ia ia ja

5 6 7 8
i i
2 3

j 1 4 j

Interés Compuesto

Ejemplo 8
Dado el 36%N-m; hallar: la Tasa Efectiva Anual

Partimos de j = 36% NM
Convertimos j a i, i = j/m = 36/12 = 3% EM
(1+0,03)12 = (1+i2)1
i2= 42,57% EA


Interés Compuesto

Ejemplo 9
Dado el 36%N-m; hallar: Una Tasa Efectiva Bimestral

Partimos de j = 36% N-m
Hallamos i EB; (1+0,03)12 = (1+i2)6 =
6,09%EB


Interés Compuesto

Ejemplo 10
Dado el 36%N-m; hallar: Una Tasa Nominal Semestral

Hallamos i ES; (1+0,03)12 = (1+i2)2 = 19,40%
Convertimos i en j; j = ix2 =19,4x2 =
38,81%N-s

Interés Compuesto

Ejemplo 11
Dado el 36%N-m; hallar: Una Tasa Nominal Semestre Anticipado

Hallamos i ES; (1+0,03)12 = (1+i2)2 = 19,40%
Convertimos i en ia; ia = i/(1+i) = 16,26% ESa
Convertimos ia en ja = iax2 = 32,5%N-sa

Interés Compuesto

Ecuaciones de Valor
Permite igualar valores ubicados en una sola
fecha denominada fecha focal (ff).
Fecha Focal: fecha en la cual debe hacerse la
igualdad entre ingresos y egresos.
Principio Fundamental: establece que la
sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la
sumatoria de los egresos ubicados ambos en la
fecha focal

Interés Compuesto

Ecuaciones de Valor

∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)

∑ Deudas = ∑ Pagos (en ff)


Interés Compuesto

Ejemplo 12
Una persona se comprometió a pagar $250.000 en tres meses,
$300.000 en ocho meses y $130.000 en 15 meses. Ante la
dificultad de cumplir con las obligaciones tal como están
pactadas solicita una nueva forma de pago así: $60.000 hoy;
$500.000 en doce meses y el saldo en 18 meses. Si el rendimiento
normal de la moneda es del 3% EM, determinar el valor del saldo

250.000 300.000 130.000
Situación Inicial
12 18
Situación propuesta
3 8 15
60.000 500.000 X
Fecha Focal

Interés Compuesto

Ejemplo 12 – Solución Análisis
1) Deuda mes 3 – trasladada al mes 8; será
250.000(1+0,03)5
250.000 300.000 130.000 2) Deuda mes 8 – No requiere conversión
3) Deuda mes 15 – trasladada al mes 8; será
12 18 130.000(1+0,03)-7
4) Pago mes 0 – trasladado al mes 8; será:
3 8 15 60.000(1+0,03)8
60.000 500.000 X 5) Pago mes 12 – trasladado al mes 8; será:
500.000(1+0,03)-4
6) Pago mes 18- trasladado al mes 8; será:
X(1+0,03)-10
Ecuación de Valor
250.000(1+0,03)5 +300.000+ 130.000(1+0,03)-7=60.000(1+0,03)8+ 500.000(1+0,03)-4+ X(1+0,03)-10
X = 235.549,16


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