CLASE 04 ECONOMÍA PARA INGENIEROS - 2015

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
IX CICLO – 2015 – I
CLASE Nº 04
Docente: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO
Email: mhamwil@gmail.com Blog: htpp:/inghamiltonwilson.blogspot.com
Email: mhamwil@peru.com Teléf.. (51) (056) - 225924
1

“Uno de los conceptos básicos de las técnicas de
análisis y evaluación de inversiones, es la noción de
que el dinero tiene un valor en el tiempo”
 Si S/. 100 se guarda en una caja y se almacena en la casa, los S/.100
originales pueden ser recuperados en cualquier fecha. Sin embargo, si los
mismos S/.100 se colocan en una “aventura económica” (nueva empresa,
cuenta bancaria, etc.) no solamente recuperará los S/.100 sino un
rendimiento adicional (interés).
 La cantidad total de interés varía con el tiempo durante el cual el dinero es
invertido y también sobre la tasa de interés ó rendimiento esperado.
 La tasa de interés es función del riesgo.
“Dejando al margen el efecto de la variación del nivel de precios
(inflación), $1 hoy vale más que $1 en el futuro”
UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
CURSO: ECONOMIA PARA INGENIEROS
DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO
2

“Un dólar recibido hoy puede invertirse inmediatamente para
ganar interés, pero un dólar futuro no puede generar interés
sino cuando recién se haya recibido”
“Un monto de dinero hoy, ganará una cantidad en el futuro
dependiendo de lo que se haya hecho con él, de la tasa de
interés y del tiempo involucrado”
 PRIMER FUNDAMENTO: de estas equivalencias, el uso del interés compuesto;
que el interés ganado por un capital original es adicionado y se convierte en parte
del capital al final de cierto periodo; es decir, en subsecuentes periodos de interés
se gana tanto sobre el capital original como sobre el interés ganado en periodos
anteriores, esta modalidad también se conoce como la capitalización de intereses.
 EL SEGUNDO FUNDAMENTO, debe entenderse, que se refiere a la equivalencia
de las relaciones matemáticas. Por ejemplo, $100 de hoy es equivalente a $110
de mañana, siempre que gane un ratio de interés del 10% en el periodo de un
año; y finalmente da varios flujos de dinero en diferentes épocas, éstos no pueden
sumarse ni restarse, sólo se suman o restan dinero de la misma época.
3

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACION
Interés es el pago que se hace al propietario del
capital por el uso del dinero.
Cuando una persona deposita dinero en el banco, de hecho le está
prestando ese dinero para que éste lo use, por tanto, el banco
debe pagar cierto interés al propietario del dinero.
En ingeniería económica al interés se le designa con la letra i.
El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.
Cuando un banco ofrece a sus ahorradores 20 % de interés anual
significa que el ahorrador deberá dejar su dinero depositado por mi
periodo de un año exacto para percibir el interés ofrecido.
4

EL INTERÉS Y EL PERIODO DE CAPITALIZACION
El periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés se
llama periodo de capitalización.
Si una persona le presta a otra S/. 1000 al 10 % de interés pero con la
condición de liquidar tanto los S/. 1000 como el interés de S/. 100 al
cabo de una semana, el periodo de capitalización del que presta es de
una semana.
Se llama periodo de capitalización porque a su término ya se tiene o
ya se formó más capital.
Así, quien prestó S/. 1000 al 10 % de interés semanal tendrá S/. 1100
en una semana.
De igual forma, si otra persona deposita S/. 1000 en un banco que
paga 20 % de interés anual, pasado el periodo de capitalización de un
año, su capital habrá aumentado de S/. 1000 a S/. 1200.
5

Caso 1. Una persona presta S/. 3,500 con la condición de que le
paguen S/. 4,025 al cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés anual
que cobra el prestamista?
SOLUCIÓN.
Para encontrar una fórmula que permita hacer este cálculo;
Determinamos el Interés cobrado;
(F- P) = 4025 – 3500 = 525
Se divide la cantidad de interés cobrado sobre la cantidad original, lo cual, si
se multiplica por 100, determinará el porcentaje de ganancia sobre la
cantidad original, o sea, la tasa de interés correspondiente a ese periodo.
( )1001100 



−=
−
=
P
F
x
p
PF
i ( ) %151001
3500
4025
=



−= xi
6

SOLUCION. Como se cobra interés simple, esto significa que cada año, se
acumularán intereses por S/. 525, aunque no se efectúe ningún pago al
propietario del dinero, por tanto, la suma pagada al final del año 4 será:
F = 3500 + 525 x 4 = 5600
Aunque se han desarrollado fórmulas para este tipo de cálculos, actualmente el
interés simple dejó de aplicarse en los negocios desde hace mucho tiempo, por lo
que la utilidad de dichas fórmulas es nula en la actualidad.
INTERÉS SIMPLE
Se llama interés simple al que, por el uso del dinero a través de varios
periodos de capitalización, no se cobra interés sobre el interés que se debe.
CASO 2.
El prestamista del Caso anterior cobra interés simple en sus operaciones.
Si presta S/. 3500 durante cuatro años al 15% de interés anual y acuerda que
tanto el capital como los intereses se pagarán en una sola suma al final de los
cuatro años, ¿a cuánto asciende este único pago?
7

SOLUCION.
El banco calculara el saldo del ahorrador al final del año cuarto:
1. Se deposita el dinero en el periodo cero, y al final del primer año los S/. 3500
habrán ganado 3500 x 0.15 = 525, siendo:
F1 = 3500 + 3500 (0.15) = 4025
2. El ahorrador inicia el año 2 con S/. 4025 y sobre esta cantidad vuelve a ganar
otro 15 %, por lo que al final de ese año habrá acumulado:
F2 = 4025 + 4025 (0.15) = 4628.75
Fórmulas de Interés Capitalizado
CASO 2.
Un propietario del dinero en vez de prestar su dinero al 15 % de interés simple anual
durante cuatro años, decide depositarlo, es decir, prestarlo a un banco, que paga un
interés del 15 % capitalizado anualmente, también por un periodo de cuatro años.
¿Cuánto tendrá acumulado al final del año cuarto?
8

......Continúa.
3. Bajo el mismo razonamiento, al final del año tres habrá acumulado:
F3 = 4628.75 + 4628.75 (0.15) = 5323.06
4. Y al final del cuarto año habrá acumulado:
F4 = 5323.06 + 5323.06 (0.15) = 6121.52
Obsérvese cómo sobre el interés ganado cada año se vuelve a ganar
más interés, de ahí el nombre de Interés Capitalizado, lo que significa
que a partir de un interés ganado se produce o se gana más capital.
El hecho más importante de este tipo de interés es que, de los datos del
Caso, aplicando interés simple, la suma acumulada al final del año cuarto
es de tan sólo S/. 5600, mientras que, aplicando al dinero el interés
capitalizado la suma al final de los cuatro años se eleva a S/. 6121.52, lo
cual representa una gran diferencia en ganancia.
9

......Por lo Tanto;.
Sean: Fn = la cantidad acumulada al final del periodo n
i = la tasa de interés
n = periodo de capitalización
P = la cantidad inicial depositada en el periodo cero
Si se deposita una cantidad P a una tasa de interés i durante un periodo de
capitalización n = 1, la cantidad F1 acumulada al final de ese periodo será:
F1 = P + Pi = P (1+i)1
Siguiendo exactamente el mismo razonamiento utilizado en el Caso para
calcular las Fn, la cantidad F2 acumulada al final del periodo de
capitalización 2 (n = 2) será:
F2 = P + Pi + (P + Pi)i
P + Pi es la cantidad acumulada al final del periodo 1 y por tanto es la inicial
del periodo 2.
10

Multiplicando y factorizando se obtiene:
F2=P+ Pi + Pi +Pi2 = P(1 +2i +i2) = P(1 + i)2
Del mismo modo, la cantidad F3 acumulada al final del periodo 3 después
de multiplicar y factorizar es:
F3 = P+ Pi + Pi + Pi2 + (P + 2Pi + Pi2) i =
= P + 2Pi + Pi2 + Pi + 2Pi2 + Pi3= P + 3Pi + 3Pi2 + Pi3 =
= P(1+3i+3i2+i3) = P(1 + i)3
Las fórmulas que el exponente de F1 es 1, de F2 es 2 y de F3 es 3, lo cual se
puede generalizar como:
Fn = P (1 + i)n
11

Aplicando la fórmula para calcular las Fn del ejemplo:
F1 = 3500 (1 + 0.15)1 = 4025.00
F2 = 3500 (1 + 0.15)2 = 4628.75
F3 = 3500 (1 + 0.15)3 = 5323.06
F4 = 3500 (1 + 0.15)4 = 6121.52
Estos resultados demuestran que se cuenta con una fórmula básica que
refleja exactamente la aplicación práctica del interés capitalizado.
Si en vez de transferir el valor del dinero del presente al futuro se desea
hacerlo a la inversa del futuro al presente, basta con despejar P de la
formula:
( )n
n
i
F
P
+
=
1
12

( )
28370
12.01
50000
5
=
+
=P
CASO 3.
Una persona espera recibir una herencia dentro de cinco años por un total de S/.
50000. Si la tasa de interés es de 12 % anual capitalizado cada año, ¿A cuánto
equivalen los S/. 50000 al día de hoy?
SOLUCION.
Datos son Fn = 50,000 o F = 50,000, i = 12 %, n = 5.
Utilizando la fórmula:
P = ?
2 4 5
F = S/. 50,000
1 3
0
13

SOLUCION.
Sea A el pago anual uniforme; P = S/. 100,000 o el valor presente que tiene la
casa; n = 10 pagos; i= 10 %.
SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN
CON EL PRESENTE (P)
CASO 4.
Una persona compró una casa por S/. 100,000 y decidió pagarla en 10 anualidades
iguales, haciendo el primer pago un año después de adquirida la casa. Si la inmobiliaria
cobra un interés del 10 % capitalizando anualmente, ¿a cuánto ascienden los pagos
iguales anuales que deberán hacerse, de forma que con el último pago se liquide
totalmente la deuda?
Existen multitud de ocasiones en la vida cotidiana en que la forma de pago común es la
aportación de una serie de cantidades iguales durante ciertos periodos.
Cuando se desea comprar a crédito de autos, casas o muebles, la forma usual de pago
son 12, 24, 36 o más mensualidades iguales se tiene que usar las mismas fórmulas
básicas.
14

El diagrama de flujo de efectivo para el vendedor es la gráfica:
P = 100,000
0
A A A A A A A A A A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula.
Pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al presente, con la
particularidad de que todas son iguales y desconocidas.
La ecuación que iguala los S/. 100,000 en el presente a las diez A en cada
uno de los diez años futuros es:
P1 = P2 = P3 = ............. = P10 = A
15

Resolviendo:
Factorizando y despejando:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= 7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1.011.011.011.011.011.011.01
000,100
PPPPPPP
( ) ( ) ( )10
10
9
9
8
8
1.011.011.01 +
+
+
+
+
+
PPP
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 





+
+
+
++
+
+
+
+
+
= 109321
1.01
1
1.01
1
........
1.01
1
1.01
1
1.01
1
000,100 A
de donde A = 16,274.54.
Hay que observar dos cosas importantes en este problema, se designa
como A al Pago Anual Uniforme que se efectúa.
16

A será sinónimo de pago uniforme sin importar la frecuencia con que éste
se efectúe.
Para simplificar la solución de problemas de este tipo se ha desarrollado
una fórmula.
Para obtener la fórmula que simplifique la obtención del resultado del
problema, se parte de la siguiente generalización:
a) El valor presente es conocido.
b) Se desconoce el valor de n pagos iguales llamados A.
c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en el
periodo n.
d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los n periodos.
La fórmula es:
( )
( ) 





−+
+
=
11
1
n
n
i
ii
PA
17

SOLUCION.
Los datos son: P = 100,000; n = 10; i = 10 %. Sustituyendo en la fórmula se
tiene:
CASO 5.
Resuélvase el Caso 4, pero ahora empleando la fórmula;.
( )
( )
54.274,16
11.01
1.011.0
000,100 10
10
=





−+
+
=A
Vemos que el Caso 4 se planteó de que el primer pago se hiciera en el año 1 y el
último en el periodo n (Año 10).
Si cualquiera de estas condiciones no se cumple, el uso de la fórmula se invalida,
como podría suceder al empezar a pagar en el año 2, aunque se hicieran 10 pagos;
o bien, si se hicieran 10 pagos y se suspendiera un año el pago para liquidar
totalmente la deuda en el año 11.
Por lo demás, se puede demostrar que haciendo 10 pagos de S/. 16,274.54 en
forma continua durante 10 periodos consecutivos, con el último pago se liquida
totalmente la deuda de 100,000 si la tasa de interés es de 10 %.
18

DEMOSTRACIÓN:
En el periodo cero se deben S/.100000; al final del año 1 se deberán;
100,000 x 1.1 = 110,000
Pero en ese mismo momento se hace el primer pago, por lo que la deuda al
final del año 1 será:
110,000 – 16274.54 = 93,725.46
Al final del año 2, dado que se cobra un interés de 10 % se deberán;
93,725.46 x 1.1 = 10,3098
y se efectúa en ese momento el segundo pago, y así sucesivamente.
Para observar los movimientos de efectivo durante los 10 años, se puede
construir la tabla siguiente:
19

TABLA DE DEMOSTRACIÓN DE PAGO DE DEUDA:
AMORTIZACION DE PAGOS UNIFORMES
AÑO Interés Deuda + Interés Pago a fin de Año Deuda despues del pago
0 100000
1 10 000 110 000 16 274.54 93725.46
2 9372.54 103 098 16 274.54 86823.46
3 8682.34 95 505.80 16 274.54 79231.26
4 7923.12 87154.39 16 274.54 70879.85
5 7087.98 77967.83 16 274.54 61693.30
6 6169.33 67862.62 16 274.54 54588.08
7 5180.80 56746.89 16 274.54 40472.35
8 4047.23 44519.59 16 274.54 28245.04
9 2824.50 31069.55 16 274.54 14795.01
10 1479.50 16274.51 16 274.54 -.003
20

DE LA TABLA:
De la tabla es evidente que con el último pago hecho en el año 10 se liquida
totalmente la deuda.
Una serie uniforme de pagos y el valor presente de una cantidad se pueden
relacionar inversamente con respecto al ejemplo mostrado, es decir, en un
problema cualquiera se pueden conocer los pagos uniformes y desconocer el
presente.
Se puede utilizar la misma formula si se desea simplificar el cálculo; De este
modo, si se despeja P de la fórmula se obtiene:
( )
( ) 





+
−+
= n
n
ii
i
AP
1
11
21

CASO 6.
Una ama de casa compra a crédito una lavadora y acuerda pagarla en 12
pagos iguales mensuales de S/. 95.00 comenzando dentro de un mes.
Si el proveedor cobra un interés del 2 % mensual en sus ventas a crédito,
¿cuál es el valor de contado de la lavadora?
SOLUCION.
Los datos del problema son : A = 95.00; i = 2 %, n = 12.
El diagrama de flujo es el de la gráfica;
P = ?
2 4 5
95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95 95
1 3
0
6 7 8 9 10 11 12
22

Si se desea emplear la fórmula básica considere a cada A como un futuro, Fn y
habrá que trasladar cada uno a su valor equivalente en el periodo cero.
En este ejemplo se puede observar que la A no necesariamente es un pago
anual y que los periodos de capitalización ni tampoco se cuantifican por
necesidad en años;
Observación; los datos del problema están dados en meses, pero ello no invalida
la aplicación de las fórmulas dadas. El interés también se da mensualmente,
semanalmente en conclusión es por periodos.
( ) ( ) ( ) ( )121121
02.01
95
02.01
95
..........
02.01
95
02.01
95
+
+
+
++
+
+
+
=P
( ) ( ) ( ) ( ) 





+
+
+
++
+
+
+
= 121121
02.01
95
02.01
95
..........
02.01
95
02.01
95
95P
( )
( )
65.1004
02.0102.0
102.01
95 12
12
=





+
−+
=P
Si se desea acortar el cálculo, utilizamos la fórmula:
23

SOLUCION.
Los datos del problema son: A = 800; i = 12 %; n = 9. El diagrama de flujo del
problema es el de la gráfica siguiente;
SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU RELACIÓN
CON EL FUTURO (F)
CASO 7.
Si una persona ahorra S/. 800 cada año en un banco que paga el 12 % de
interés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar el
noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?
En la vida cotidiana existen problemas en que se relaciona el futuro con una
serie de pagos iguales, por tanto, es necesario contar con fórmulas que
ayuden a la solución de estos problemas.
24

Si se desea utilizar la fórmula básica considérese que cada pago de S/. 800 es un
presente P que debe trasladarse a su valor equivalente en el futuro, cada uno a
diferente número de periodos.
El cálculo es:
F =
?
3 5 6
800 800 800 800 800 800 800 800 800
2 41 7 8 9
GRAFICA DEL DIAGRAMA DE FLUJO.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++++=
45678
12.0180012.0180012.0180012.0180012.01800F
( ) ( ) ( ) ( )0123
12.0180012.0180012.0180012.01800 ++++++++
( ) 8.11820776.14800 ==F
( )n
iPF += 1
25

F = ?
0 1 2 3 n - 1 n
A A A A A
Es importante señalar que el primer pago de S/. 800 en el periodo 1 se
traslada al futuro ocho periodos; el último pago en el año nueve se eleva a la
potencia cero puesto que ya está en el año futuro que se desea, es decir, el
año nueve, por lo que ya no gana interés.
Para simplificar este cálculo se ha desarrollado la siguiente fórmula:
El diagrama generalizado de la fórmula es la gráfica siguiente:
( )





 −+
=
i
i
AF
n
11
26

La aplicación de la fórmula tiene las siguientes restricciones:
1. El pago de la primera A siempre se efectúa en el periodo uno y no en el
periodo cero.
2. El último pago se verifica en el periodo n, es decir, en el momento en el
que se calcula la F, por tanto, la última A ya no gana interés.
3. Los pagos de A son continuos, del periodo 1 al periodo n.
Cualquier variación de estas condiciones en el problema hace que se
invalide la aplicación de la fórmula.
Formula deducida si se conoce el valor de F; el valor de A será:
( ) 





−+
=
11
n
i
i
FA
27

CASO 7B.
Resuélvase el caso 7 en la aplicación de la fórmula.
SOLUCION.
Como el ejemplo 7 está planteado de tal forma que no viola las restricciones
para el empleo de la fórmula, se aplica directamente.
Los datos son: A=800; i=12%; n=9.
( ) 80.11820
12.0
112.01
800
9
=




 −+
=F
Una serie de pagos uniformes también puede relacionarse en forma inversa
con respecto al futuro, es decir, se conoce el futuro pero se desconoce el
monto de los pagos uniformes.
28

CASO 8.
Una persona desea contar con S/. 13,000 dentro de ocho años. Su intención
para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezando
el próximo fin de año, en un banco que paga el 7 % de interés capitalizado
anualmente.
¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer los años 1 al 8
para juntar los S/. 13,000?
SOLUCION.
Datos del problema: F8 = 13,000; n = 8; i = 7 %.
F = 13,000
2 4 5
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
1 30 6 7 8
A1 = A2 = A3 ………………...……= A7 = A8
29

Nuevamente existen dos formas de resolver el problema.
Si se emplea la fórmula básica, considerando cada A en el futuro del año 8, a
diferentes lapsos, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=
4
4
5
3
6
2
7
1 07.0107.0107.0107.01000,13 AAAA
( ) ( ) ( ) ( )0
8
1
7
2
6
3
5 07.0107.0107.0107.01 ++++++++ AAAA
Factorizando y despejando; 08.267,1=A
O bien, si se desea utilizar el cálculo simplificado de la fórmula dado que el
problema no viola ninguna de las restricciones de la fórmula, se tiene:
( )
08.267,1
107.01
07.0
000,13 8
=





−+
=A
30

DEMOSTRACIÓN:
Para demostrar que, efectivamente, depositando 8 cantidades iguales de S/.
1,267.08 al final del octavo periodo se han reunido S/. 13,000, se procede
como sigue:
Se depositan los primeros S/. 1,267.08 al final del año 1, es decir, al principiar
el periodo 2;
Al finalizar el año 2 ese depósito habrá ganado 7 % de interés, con lo que se
habrá acumulado 1,267.08 x 1.07 = 1,355.775.
En ese momento se hace otro depósito de S/. 1,267.08, con lo cual se
tendrán 1,355.775 + 1,267.08 = 2,622.85, y así sucesivamente.
Esto se puede representar en el diagrama .
31

PERIODO
Monto
Amortizado
Cuota Acumulado
Interés
7%
Monto
acumulado
1 0.00 1267.08 1267.08 88.6956 1355.7756
2 1355.7756 1267.08 2622.8556 183.5998 2806.4555
3 2806.4555 1267.08 4073.5355 285.1475 4358.6830
4 4358.6830 1267.08 5625.7630 393.8034 6019.5664
5 6019.5663 1267.08 7286.6464 510.0652 7796.7116
6 7796.7116 1267.08 9063.7976 634.4654 9698.2570
7 9698.2570 1267.08 10965.3371 767.5736 11732.9106
8 11732.9106 1267.08 12999.9906
DEMOSTRACIÓN:
32

!Seguimos trabajando
hasta la Próxima Clase!
DOCENTE: MAG. ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO 33

CLASE 04 ECONOMÍA PARA INGENIEROS - 2015

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