El documento explica la división de polinomios y el teorema del factor y residuo. La división de polinomios p(x) entre q(x) produce un cociente h(x) y un residuo r(x). Si q(x) es de la forma x-a, el grado de r(x) es igual a cero. Además, los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros son factores del coeficiente constante dividido entre factores del coeficiente principal.

3. TEOREMA DEL FACTOR Y DEL RESIDUO
Es necesario recordar que siempre que se realiza una división se tienen los siguientes
elementos:
a/b=c + d/b,b≠0 de donde:
a, es el dividendo
b, es el divisor
c, es el cociente
d, es el residuo
si lo anterior se lleva a funciones polinominales, se tiene:
p(x)/q(x)=h(x)+r(x)/q(x), de donde
Con:
P(x), es el dividendo
Q(x), es el divisor
H(x), es el cociente
R(x), es el residuo
Observa que si q(x) es de la forma (x-a), debido a la naturaleza de la división se tiene que el
grado de r(x) es igual a cero (recuerda que el principio de la división indica que el resto debe ser
de menor grado que el divisor).

4. El método al que hago referencia para dividir es la llamada división sintética, y se aplica cuando
el divisor es de la forma x-a. Observa las consideraciones para ejecutarla:
1) Debes tomar en cuenta que el dividendo es un polinomio de la forma p(x)=AnXⁿ+Ax-1Xⁿ-
1+…+A1X+A0, el cual debe representarse a través de todos sus coeficientes, independientemente
del valor que les corresponda; es decir, si algún coeficiente es igual a cero, dicho valor deberá
estar presente en la representación del polinomio.
2) El divisor x-a se representa por el simétrico del coeficiente constante, es decir, a; esto con la
finalidad de poder estarlo a los coeficientes del divisor.
Analiza la siguiente división sintética:
x^3+4x^2-5x+1 entre x-2
Para comenzar, el polinomio y el divisor se colocan en la siguiente forma:
1 4 -5 1 coeficientes del polinomio
2 2 12 14 coeficientes del cociente
1 6 7 15
El algoritmo consiste en “bajar” el primer coeficiente y a continuación multiplicar el coeficiente del
divisor (en este caso el 2) por el valor que aparece bajo la línea, el producto se coloca bajo del
siguiente coeficiente y se realiza la suma o resta (según corresponda a los signos); el proceso
continúa hasta terminar con el último de los coeficientes.
A partir del algoritmo se tiene que el cociente es x^2+6x+7, cuyos coeficientes se toman de los
resultados de las operaciones.
En las operaciones se tiene que el último resultado es el residuo o resto, de donde podemos con
que x=2 no es un cero o raíz del polinomio en cuestión. Este hecho puede emplearse para
determinar si un valor es raíz de un polinomio.

5. Por el teorema del factor se tiene que los ceros racionales del polinomio son
.2, 5 y -3. Observa que estos valores son factores del coeficiente constante -
30, de hecho (-2) (5) (-3)= -30. Esta idea es la que se generaliza en el llamado
teorema de los ceros racionales de un polinomio:
Si el polinomio p(x):AnXⁿ+An-1Xⁿ-1+…+A1X+A0 tiene coeficientes
enteros, entonces los ceros racionales o raíces del polinomio son de la forma
p/q, donde:
P es un factor del coeficiente constante A0
Q es un factor del coeficiente principal An.