Este documento explica las derivadas, que son la razón de la variación de una función según se modifique su variable independiente. Las derivadas tienen varias aplicaciones como estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos, y concavidad. También se aplican en física para calcular velocidad y aceleración. El documento incluye ejemplos y teoremas sobre derivadas como el teorema del valor medio y el teorema de Rolle.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total.
En esta presentación se trabaja desde la idea intuitiva del límite, hasta el cálculo de las indeterminaciones y sus aplicaciones directas en cuanto al calculo de asíntotas y el estudio de la continuidad de funciones y especialmente de los tipos de discontinuidad
sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total.
Sus aplicaciones son difíciles de contar porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
El cálculo diferencial, se puede aplicar en la economía, la administración, la física, etc. Los principales elementos que se utilizan el esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculos en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar
La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto. Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra. La misma, se aplica en casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por tanto, la derivada de una función para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha función y para el valor concreto de la variable
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre”
San Cristóbal – Estado – Táchira
Autor:
María José Duque Santander
C.I. 29810765
DERIVADAS
2. INTRODUCCION
La matemática es aquella ciencia la cual estudia las
propiedades, estructuras abstractas y relaciones entre entidades
abstractas . Al pasar de los años las matemáticas se han dado a
relucir en básicamente todo lo que corresponde a la vida
cotidiana, desde operaciones sencillas, hasta operaciones con
mucho más complejas ; entre ellas se encuentran aquellas
denominadas DERIVADAS las cuales se presentan a
continuación
3. Desde el punto de vista del cálculo diferencial y el
matemático La derivada de una función es aquella
razón de la variación del valor inicial de una
función, según se modifique el valor de su
variable independientemente.
¿QUÉ ES UNA DERIVADA?
5. Sea f una función continua definida en un dominio A, se
define la función derivada de f en el punto a del
conjunto A y se denota por f´(a), al valor del siguiente
límite:
Función Derivada
6. Si llamamos h= x-a, también se puede escribir la
definición de la siguiente forma
7. Derivada de un punto
La derivada de una función f(x) en un
punto x = a es el valor del límite, si existe,
del cociente incremental cuando el
incremento de la variable tiende a cero.
11. Como los límites laterales (derivada por
la izquierda y derivada por la derecha no
son iguales, la función f(x) no es
derivable en x = 3 y la gráfica de f(x) no
tiene tangente en el punto (3, 0) .
12. Derivada a Trozo
En estas no coinciden en los picos ni en los
puntos angulosos de las funciones. Por tanto
en esos puntos no existe la derivada.
15. La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones
además de darnos la pendiente de la tangente a una curva
en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas
de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc.
16. Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y
derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al
menos un número c∈(a,b) tal que:
TEOREMA DEL
VALOR MEDIO
17. TEOREMA DE
ROLLE
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado
[a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si
f(a) = f(b), existe al menos un número c∈(a,b) entre
a y b tal que:
F’(c)= 0
18. TEOREMA DE CAUCHY
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y
derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se
anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y
g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos,
un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:
“
19. Las diferenciales o derivadas tienen distintas
aplicaciones en la vida cotidianada así como las distintas
operaciones matemáticas
APLICACIÓN FÍSICA DE LAS
DERIVADAS
20. Se obtiene aquel límite de la velocidad media cuando tiene a cero, la derivada
del espacio con respecto al tiempo, esto expresa la Velocidad Instantánea.
Se logra obtener La velocidad media, es decir, el cociente entre el espacio
recorrido y el tiempo transcurrido.
Asimismo se obtiene la aceleración instantánea, la cual se conoce como la
derivada de la velocidad con respecto al tiempo. La aceleración es la segunda
derivada del espacio con respecto al tiempo.
MEDIANTE LA APLICACIÓN DE
LAS DERIVADAS
21. CONCLUSIÓN
Para concluir existen variedades de aplicaciones de derivadas,
las funciones cada una cuenta con derivadas, al aplicarlas se
obtienen velocidades, pendientes, tangentes y la curva de un
punto, así como los puntos máximos y mínimos de una
función derivada.
