1. El documento presenta una serie de problemas de geometría que involucran el cálculo de áreas de figuras planas como triángulos, cuadrados y trapecios. Se piden hallar áreas dadas diferentes datos como lados, alturas, relaciones entre lados, etc. 2. Los problemas aplican propiedades como el Teorema de Tales, fórmulas para hallar áreas de triángulos, cuadriláteros y otras figuras. 3. Las respuestas expresan el cálculo del área requerida usualmente en términos de

1. 1. ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, si sus lados iguales miden 20 y su ángulo desigual es igual a 30°? α α 15 15 30 75 75 20 20 √ 6 - √2 √ 6 - √2 √ 6 + √2 4k = 20 k = 5 5 5 5 Recordamos 15 75 4k √ 6 + √2 √ 6 - √2 A ∆ = b x h 2 = 10( √6 - √2) . 5( √6 + √2) 2 50 . 6 - 2 2 = 50.4 2 200 2 100 Rpta

2. 2. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 5 m. y la altura relativa a la hipotenusa 3 m. Calcular el área del triángulo. 5 3 4 X 4 Hallamos “X” por relaciones métricas A ∆ = b x h 2 4 + 9 . 3 4 2 25 4 . 3 2 75 4 2 1 75 8 Rpta = 9 3 ² = 4.x 9 = 4x 9 4 = x

3. 3. En un triángulo ABC se traza la bisectriz CF. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos ACF y CFB, si AC = 5 y BC = 7. B C A α α 5 7 2 2 F A ∆ ACF = 5 2 x 2 10 2 5 A ∆ CFB = 7 2 x 2 7 Relación entre las áreas A ∆ ACF A ∆ CFB 5 7 Rpta

4. 4. En la figura, hallar la relación entre las áreas de los triángulos ABC y ADE. A E D C B a a a a a √2 √ 3a 2a ∆ ABC = a . √3a (a √2) ² + a² = h² a².2 + a² = h² 2 a² + a² = h² √ 3 a² = √ h² √ 3 a = h 2 √ 3a ² 2 ∆ ADE = a ² 2 √ 3a ² 2 a ² 2 √ 3 Rpta

5. 5. El lado del cuadrado mostrado es igual a “L”. Si A y B son puntos medios, hallar el área sombreada. A B S S S S S S/2 S/2 L L /2 L /4 L 4 x L 2 x 1 2 2 L ² 8 Rpta

6. 6. Sea el triángulo ABC recto en B. Si la mediana BM es congruente con uno de los catetos y AC = 10, se pide hallar el área de dicho triángulo. A C B M 5 5 x 5 5 √3 x ² = 5.5 x² = 25 X = 5 5 Hallamos el cateto que falta: 100 = 25 + 2 75 = 2 5√3 = A ∆ ABC = 2 = 5 √3 x 5 2 25 √3 2 12.5 √3 Rpta B x h

7. 7. Calcular el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que la altura relativa a la hipotenusa mide 1 y que los catetos están en la relación de 1 a 3. 1 7k - 1 3k + 1 10 k k √ 10 √ 9 3k 3 √10 √ 9 3k ² + k² = h² 9k ² + k² = h² 10k² = h² 10k = h K = √10 √ 9 A ∆ = 3 √10 √ 9 √ 10 √ 9 2 3(10) 9 2 1 30 18 = 5 3 Rpta

8. 8. Dado un paralelogramo ABCD, se traza la diagonal AC y desde C se traza la perpendicular CH a la prolongación de AD. Si el área del triángulo ABC es 400 √3 y AD = DH, hallar el área del triángulo CDH. 400 √3 400 √3 A B C D H A ∆ ABC = b x h 400 √3 = b x h A ∆ CDH = b x h 400 √3 2 Rpta 2 2

9. 20. En un triángulo rectángulo ABC, se sabe que el radio de la circunferencia inscrita es 2 y el radio de la circunferencia circunscrita es 5. Hallar el área del triángulo. 2 2 5 5 A C B 6 8 A ∆ = 6 x 8 2 48 2 24 Rpta 4 4 4 2 5 3

10. 21. Dado el cuadrado ABCD de lado 6 m, se traza exteriormente a él, el triángulo equilátero BCE. Hallar el área del triángulo ABE. A B C D 6 6 6 6 3 3 E A ∆ ABE = B x h 2 3 . 6 2 = 18 2 = 9 m ² Rpta

11. 22. En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios de AB y BC respectivamente. Sobre AC se toma un punto P y se traza el triángulo MNP. Si el área de ABC es 20 cm ², calcular el área del triángulo MNP. C B A P M N 5 2 4 10 A ∆ ABC = B x h 2 b x h 2 20 = 40 = b x h 10 4 2 A ∆ MNP B x h 2 5 . 2 2 5 cm ² Rpta = 20 cm ²

12. 23. Se tiene un triángulo ABC cuya área es 27 cm ². Se traza MN // BC. Hallar el área del triángulo AMN, si 3 MN = BC. A B C N M x 3x 27 cm ² 3 3 9 6 A ∆ ABC = B x h 2 27 = B x h 2 54 = B x h 9 6 2 4 A ∆ AMN = B x h 2 3 . 2 2 3 m ² Rpta

13. 24. En la figura, ABCD es un cuadrilátero cuya área es 120 cm ² . El triángulo ABD tiene un área de 25 cm². ¿Cúal es el área del triángulo BMD, sabiendo que M es punto medio de la diagonal AC? A B C D M 10 7 5 25 cm ² B x h = 25 2 B x h = 50 10 5 A ∆ BMD = 10 x 7 2 70 2 35 cm ² Rpta

14. 25. La base de un triángulo isósceles ABC mide 15 m. y una de las alturas iguales 12 m. Calcular el área del triángulo. B C 15 base 10 12 altura A A ∆ = B x h 2 15 x 2 2 = 150 2 75 m ² Rpta

15. 26. Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el que: AC = BC = 25 y AB = 40. Se traza DE // AB, de modo que el área del triángulo EDC sea igual al área del trapecio ABED. Se pide hallar la distancia de C a DE. 37 37 53 S S A C B 20 20 40 x 20 √2 D E 25 25 Propiedad: S 2S = x ² 40 ² 800 = x ² 20 √2 = x 40 . 15 2 2 S = 150 = S 15 A ∆ = 20 √2 . X 2 = 150 X = 15 √2 √ 2 . √2 15 √2 2 = 7,5 √2 Rpta A ∆ ABC = b x h 2

16. 27. Hallar, sobre la diagonal AC de un cuadrado ABCD de lado 3 m, la distancia AP en la que se ubica un punto P, que al unirlo con los vértices A, B y D divide al cuadrado en tres partes equivalentes. A D B C S S S 3 3 3 3 P √ 2 3 √2 AP 3 √2 - √2 2 √2 m. Rpta =

17. 28. Se da un triángulo ABC en donde las medianas AD y BE se cortan en F. Si el área del cuadrilátero FDCE es 8 m ², hallar el área del triángulo ABC. A B C E D 4 4 F 8m ² 8 4 4 2 A = B x h 2 8 = 4 . 2 8 = 8 4 2 2 6 A ∆ ABC = 8 . 6 2 24 Rpta 2

18. 37. Se tiene el cuadrado ABCD de 4 m de lado. Se construye exteriormente los triángulos equiláteros AEB y BFC. Calcular el área del triángulo EBF. E B A C D F 4 6 4/3 6 x 4 3 2 24 3 2 1 24 6 4 Rpta A ∆ EBF =

19. 38. En un rectángulo ABCD, AB = 9 y AD = 6. La bisectriz interior de  corta a BD en F y a CD en E. Hallar el área del triángulo DEF. D A B C 45° 45° 9 8 E 1 F 4 2 h 1.8 6 A ∆ DEF = 8 x 1.8 2 14.4 2 7.2 = Rpta

20. 39. Si el lado del cuadrado ABCD es “a”, hallar el área sombreada, sabiendo que M y N son puntos medios. A N B C D M a/2 a/2 S S a a √2 12 a √2 a √2 Hallamos la base: a √2 12 + a √2 12 2a √2 12 A ∆ = a √2 x 2a √2 12 2 2a ² . 2 12 2 1 4a ² 24 a ² 6 Rpta 12

21. 142. En una circunferencia de radio igual a 8 m, se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB. Hallar el área del círculo tangente a AB y CD. 8 A B C D 2 √3 8 A = π R ² = π (2√ 3) ² = π 4.3 12 π m ² Rpta

22. 151. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”, AD es un semicírculo y AC un cuarto de círculo. Hallar el área sombreada. A B C D 45° a/2 a/2 S = π a ². 45° 360 = π R ² 4 . 90 360 - a ² 4 1 2 . S c = π a ² 8 - π a ² 16 - a ² 8 S = π a ² 16 - a ² 8 S = a ² 16 π 2 - 2 S = a ² 16 π - 2 a Rpta