El documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con geometría plana. Incluye cálculos para hallar lados de triángulos dados algunos datos, calcular perímetros de figuras geométricas como cuadriláteros y triángulos, y determinar distancias relacionadas con puntos notables de figuras como el ortocentro.

1. nivel Intermedio

2. 31. Dado un triángulo isósceles ABC ( AB = BC) se traza la altura AH que mide 12. Si AC mide 15, hallar AB. A B C 15 x x x - 9 a 12 15 ² = 12 ² + a ² 225 = 144 + xa ² 81 = a ² 9 = a x² = 12² + (x -9) ² x² = 144 + x² + 81 – 18x 18x = 225 x = 12.5

3. 32. ABCD es un cuadrado de lado a. EFGH es un cuadrado de lado c. Hallar c/a. D C A B E F G H a a a a 45° 45° 45° a √2 c c c c a √2 a √2 3 3 C A : a √2 3 a 1 a √2 3a √ 2 3 Rpta

4. 33. En un triángulo equilátero ABC, M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente. La distancia del ortocentro al segmento MN es 2 m. Hallar el perímetro triángulo. A B C a 2a 60° 60° 60° a a a a 2a M N 2 30 a/2 2 √3 = a 4 √3 = a 6(4 √3 ) 24 √3 2 Rpta

5. 34. En el triángulo ABC, A = C = 30° y AC = 10. Calcular la distancia del ortocentro al vértice B. ^ ^ A B C 30° 30° 120° 60° 60° x a √3 a √3 10 a √3 + a √3 = 10 √ 3(a+a) = 10 √ 3 (2ª) = 10 √ 3(a) = 5 a √3 = 5 a = 5 3 2( 5 ) √ 3 3 = 10 √ 3 3 Distancia del ortocentro al vértice B

6. 35. En la figura, AB = 20 y CD = 10. Hallar el radio de la semicircunferencia. A B C D 10 x x 10 10 5 √2 5 √2 20 + 10 = 30 2 2 15 Valor de la mediana 10 5 5 √2 + 5 √2 √ 2 (5+5) 10 √2 Hallamos la mediana:

7. 37. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediatriz MN del lado AC ( M en AC y N en BC). Si BN = 3 y NC = 5. Hallar MN. x 5 5 N A B C M √ 20 √ 20 5 ² = x ² + ( √20) ² 25 = x ² + 20 5 = x ² √ 5 = x 3

8. 38. Calcular el perímetro del cuadrilátero ABCD mostrado en la figura. A D B C 20m 40m 20 √3 10 √3 20m 10 √3 10 Perímetro : 70 + 30 √3 Rpta 60 60 30

9. 39. Dos circunferencias tiene radios de 5 m y 17 m respectivamente. Si una tangente común externa mide 16 m., ¿Cuál es la distancia entre los centros de las circunferencias? 5 X 5 5 12 16 5 5 5 5 ( 4 ) = 20 m Rpta

10. 42. Los lados de un triángulo miden 5, 12 y 14. ¿En cuánto debe incrementarse cada lado para obtener un triángulo rectángulo? X + 5 12 + x 14 + x Probamos reemplazando a x por el número 3 : 17 ² = 15 ² + 8 ² 289 = 225 + 64 289 = 289 Cumple para que el triángulo sea rectángulo, por lo que: 3 Rpta