Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.

1. Unidad IV“Sistemas de Ecuaciones Lineales”

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.- CONTENIDOS 1.- Ecuación de la Recta.- 2.- Ecuación Punto – Pendiente de la recta.- 3.- Pendiente de una recta.- 3.1. Rectas horizontales y verticales.- 3.2. Ecuación de la recta horizontal.- 3.3. Ecuación de la recta vertical.- 4.- Ecuaciones de una recta.- 4.1. Ecuación principal, general y canónica.- 5.- Sistemas de Ecuaciones lineales.- 6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.- 6.1. Método de Sustitución, De igualación y reducción.- 7.- Regla de CRAMER.- 8.- Sistemas y Soluciones.-

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.- 1.- Ecuación de la recta.- Definición: Se llama Ecuación de una recta a la ecuación asociada a una función afín. Todos los puntos que pertenecen a la recta asociada a dicha función satisfacen su ecuación , es decir, si se reemplazan en ella los valores de la abscisa y la ordenada de un punto que pertenece a ella , se obtiene la igualdad. O sea , Ejemplos:

4. En la figura n° 1 , se puede observar una Ecuación de la recta graficada en el plano cartesiano.-

5. “Por lo tanto , se dice que un punto satisface una ecuación si, al reemplazar en ella sus variables x e y por los valores de la abscisa y la ordenada del punto , se obtiene una igualdad.- En el ejemplo anterior, el punto P satisface la ecuación y = 2x-1 , mientras que los puntos Q y R no la satisfacen ”

6. “Por lo tanto, solo los puntos A y C pertenecen a la recta, o sea , satisfacen la Ecuación ” .-

7. 1.1. Propiedades de la Ecuación de la recta: ¿ Como se grafica en el plano cartesiano la Ecuación de una recta? Sea la Ecuación de la recta de la forma 1.1.1.- Características de la Ecuación de la recta: m : Pendiente de la recta.- n : Coeficiente de Posición.- “PENDIENTE DE LA RECTA ( m ) ” “La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación que tiene esta , respecto al eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas del reloj.- Se puede obtener la pendiente de una recta en el plano cartesiano teniendo presente solo dos puntos cualquiera de la recta, o sea” :

10. ¿ Cual es la pendiente de la recta de la figura n°1 ?

11. Conceptualmente, la pendiente se conoce como el resultado del cuociente entre la diferencia de cada par de puntos asociada a su Ordenada y a su Abscisas ( diferencia del valor de las abscisas), o sea:

12. 2.- Ecuación de la recta conocida su pendiente un punto de ella: La ecuación de una recta que pasa por el punto y cuya Pendiente es m es:

14. Observación: No es posible determinar la ecuación de una recta conociendo solo un punto de ella, ya que por un punto se pueden trazar infinitas rectas .-

15. Ejercicios : Página 241 del libro taller de Matemáticas.- 1.- NO 2.- SÍ 3.- SÍ 4.- SÍ 5.- NO 6.- NO

17. ACTIVIDAD.- 1.- Realiza los ejercicios de la página 74 y 75 del libro “Taller de Matemáticas ”.- Desde el ejercicio1 al 42.- _______________________________________________________ PUNTOS COLINEALES Tres o mas puntos se dicen Colineales si pertenecen a la misma recta .- Para verificar si tres o más puntos , y , son colineales , es decir pertenecen a la misma recta , basta verificar solamente que la pendiente de PQ , QR y RP sean iguales, es decir:

18. 3.- PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN DE RECTA:

21. 3.1.- Rectas Horizontales y Verticales.- Para determinar la ecuación de una recta horizontal o vertical , se considerarán las rectas de la figura n°1 : Donde el punto A es un punto dado fijo.- A ( 6,2)

22. 3.2.- Ecuación de la recta horizontal.-

24. 3.2.- Ecuación de la recta Vertical.- En general, la ecuación de una recta vertical se representa mediante la siguiente expresión:

28. “Y la pregunta es la siguiente, ¿ Estoy en condiciones de graficar una Ecuación de una Recta ? ” 1.- Construimos un plano cartesiano.- 2.- Tomamos un valor cualquiera para x, y lo reemplazamos en la ecuación de la recta a graficar.- Por lo tanto , ya tenemos un primer punto de la recta.- 3.- Tomamos un segundo valor punto para x, y lo reemplazamos en la ecuación de la recta a graficar.- Por lo tanto, tenemos un segundo punto de la recta , distinto del primero.- 4.- Ahora ubico los puntos en el plano cartesiano y trazo una línea recta por los puntos.- 5.- La grafica obtenida es la ecuación de la recta trazada en el plano cartesiano.- ¿ Como saber donde la ecuación de la recta corta al eje de la abscisas ?

29. ¿ Como graficar la Ecuación de la siguiente recta ?

30. Ejercicios : Página 243 del libro de Matemáticas.-

32. 4.- Ecuaciones de una recta.- 4.1. Ecuación Principal: La ecuación de la recta representada por la siguiente expresión recibe el nombre de “Ecuación Principal”, donde m representa el valor de la pendiente y nel coeficiente de posición ( corte en el eje de las ordenadas).- Ejemplos

34. 4.2. Ecuación General: La ecuación de la recta representada por la siguiente expresión Con A, B y C constantes y B distinto de cero , recibe el nombre de Ecuación General de la Recta .- Observación:

35. Ejemplos :

36. 4.3. Ecuación Canónica: Ejemplo:

38. Ejercicios.-

39. Preparando la P.S.U.-

40. En Resumen: Ejercicios

41. Ejercicios

42. ACTIVIDAD1.- Realizar los ejercicios de la página 75 y 76 del libro “Taller de Matemáticas ”.- Desde el ejercicio 43 al 68.-

43. Distancia entre un punto y una recta recta del plano

44. Desarrollo:

45. 5.- Sistemas de Ecuaciones lineales o Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: Definición: “Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.- Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que al reemplazarlas en las ecuaciones se satisface la igualdad”.- Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y , tiene las siguientes representaciones :

46. Ejemplos: Observación: Las soluciones del sistema de expresan como pares ordenados ( x , y )

47. Actividad con Nota Acumulativa.- 1.- Libro Taller de Matemáticas – Pág. 76 - 77 – Desde el ejercicio 85 – 105.-

48. Geométricamente ………..

49. 6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Sustitución Ejemplo:

50. Desarrollo:

51. Ejercicios:

53. Actividad con nota Acumulativa: 1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 78 – Desde el ejercicio 115 al 142.-

54. 6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Igualación Ejemplo:

55. Método de Igualación

56. Método de IgualaciónEjemplo:

57. Ejercicios:

59. Actividad con nota Acumulativa: 1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 79 – Desde el ejercicio 143 al 168.-

60. 6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Reducción Ejemplo:

61. Geométricamente…………..

63. Ejercicios:

65. Actividad con nota Acumulativa: 1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 80-81 – Desde el ejercicio 169 al 197.-

66. Método de Cramer Gabriel Cramer - (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra.- Dado el siguiente Sistema de Ecuación lineales , La regla de cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con igual número de ecuaciones y de incógnitas. Para calcular el determinante principal se utiliza la siguiente expresión:

67. Método de Cramer 1.- Calcular el determinante principal del sistema: 2.- Se calculan los determinantes de la incógnitas que se obtienen a a partir del determinante principal , remplazando los coeficientes de la incógnita correspondiente por los términos libres del sistema, es decir : 3.- Encontrar la solución del sistema mediante la siguiente expresión :

69. Soluciones y Gráficos