Este documento presenta una introducción a la lógica modal y sus diferentes tipos, incluyendo lógica temporal, lógica epistémica, lógica doxástica y lógica deóntica. Explica brevemente el origen histórico de la lógica modal y sus desarrollos más importantes. También resume los conceptos básicos de lógica temporal lineal, lógica temporal computacional y lógica CTL*, así como el uso de la lógica temporal en model checking para verificar propiedades de sistem

1. LÓGICA MODAL
Carlos Amores MFV 2013 - 2014
Carlos Rubio

2. Índice
Introducción a la lógica modal
Tipos de lógicas modales
● Lógica temporal y Model Checking
○ Lógica temporal lineal (LTL)
○ Lógica temporal computacional (CTL)
○ CTL*
● Lógica epistémica
○ Lógica KT45
● Lógica doxástica
● Lógica deóntica

3. Introducción a la Lógica Modal
La lógica modal surgió para tratar las nociones
de necesidad y posibilidad.
Nace con el objetivo de clarificar la relación
entre implicación material y relación de
consecuencia.

4. Lógica Modal
La lógica modal es tan antigua como el Organon (artículo que trata de
la lógica) de Aristóteles, tuvo su gran desarrollo durante la Edad Media.
Sin embargo la lógica modal contemporáneo surge a principios del
siglo XX. Los trabajos de Saul Kripke " 1963: Semantical Analysis of
Modal Logic, I: Normal Propositional Calculi; 1965: Semantical Analysis
of Modal Logic, II: Non-Normal Modal Propositional Calculi; 1965:
Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I" fueron decisivos para el
estudio de la lógica modal.

5. Lógica Modal
Kripke aporta la herramienta básica para el análisis semántico de la
lógica modal: la semántica de mundos posibles. La semántica de
mundos posibles es una herramienta para el análisis de una colección
importante de expresiones: modales, temporales, doxástica, epistémica,
deóntica, entre otras.
La Lógica Modal representa situaciones que son regidas por un esquema
de modalidad.

6. Lógica Modal
Se diferencian de las lógicas convencionales en el sentido que una
modalidad indica las condiciones en las que se hace cierta o falsa alguna
afirmación.
Define modalidades, representadas, por ejemplo, por las siguientes
palabras:
● Puede, podría, quizás, ha de, probablemente, a veces, posiblemente,
necesariamente, etc.

7. Lógica Modal
Tomemos las siguientes afirmaciones:
• “El PC va lento. Puede estar infectado con un
virus.”
• “De no haber sido por el filtro anti-spam, tu PC
podría haberse infectado con un virus.”

8. Lógica Modal
Ambas hablan de la posibilidad que el PC se
infecte con un virus. No obstante, en la primera,
se habla de algo que puede pasar en nuestro
mundo (posibilidad epistémica) y la segunda
habla de algo que podría ocurrir en un mundo
paralelo (sin afectar nuestro mundo, es una
posibilidad metafísica).

9. Lógica Modal
La lógica modal sólo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica
proposicional( ⊤, ⊥, p, ¬, ˄, ˅, →): el símbolo □ que representa la
expresión del lenguaje natural "Siempre" y el símbolo ◊ representa la
expresión "Es posible que o alguna vez". En la lógica modal clásica,
ambos símbolos son interdefinibles por medio del otro y de la negación:
◊p == ¬□¬p
□p == ¬◊¬p

10. Lógica Modal
PROPIEDADES DE LA LÓGICA MODAL
Nombre Fórmula Nombre de la propiedad
T □ ɸ → ɸ Reflexiva
B ɸ → □ ◊ ɸ Simétrica
D □ ɸ → ◊ ɸ
4 □ ɸ → □ □ ɸ Transitiva
5 ◊ ɸ → □ ◊ ɸ Euclídea
□ ɸ ↔ ◊ ɸ Funcional

11. Lógica Modal
Diferentes combinaciones de axiomas dan lugar a diferentes sistemas de
lógica modal. Como por ejemplos la lógica modal KT45(S5) o la KT4(S4).
Por ejemplo, el sistema S4, que incluye los axiomas T y B, es consistente
y completo respecto a las interpretaciones en que R es reflexiva y
transitiva.
Otros sistemas de lógica modal conocidos son la lógica deóntica, la lógica
temporal, la lógica epistémica y la lógica doxástica.

12. Introducción a la lógica temporal
Breve historia:
● La lógica temporal es una extensión de la lógica modal, donde está
presente el tiempo. Se podría decir también que la lógica temporal
extiende a la lógica clásica permitiendo especificar en qué
momento del tiempo esta teniendo lugar un hecho o proposición.
● Inicialmente propuestas en los 50s para investigaciones filosóficas.
● Pnueli (1977) fue el primero en proponerlas para verificación. El
sistema se especificaba como un sistema de axiomas y se
probaban propiedades a partir de estos axiomas.

13. ● Clarke y Emerson (1981) automatizan este proceso diseñando
algoritmos de verificación eficientes para ciertas lógicas
temporales.
● Luego comenzó a estudiarse la complejidad de verificación de
estas lógicas (model-checking, parametrized complexity, etc).
Su estudio ha tenido importancia en gran parte de la informática hasta
nuestros días.
Esta lógica se utiliza para describir propiedades que debe cumplir un
sistema, para después comprobar que estas propiedades son
correctas(Model Checking).
Lógica temporal y Model Checking

14. Lógica temporal y Model Checking
Model checking (MC) es una técnica automática para la verificación
de sistemas finitos. En la actualidad una de las técnicas más populares
de verificación formal. La verificación utilizando model checking exige
la especificación del sistema y de las propiedades deseadas(expresan
con conectivas especiales).
En el model checking, tanto el sistema de software como las
propiedades deseadas del sistema (seguridad, alcanzabilidad, etc.) se
modelan utilizando lenguajes de especificación formal(Maude), es
decir, lenguajes basados en conceptos lógico-matemáticos.

15. Lógica temporal y Model Checking
Algunas de las propiedades típicas que suelen ser especificadas son:
● Alcanzabilidad: es posible alcanzar una situación.
● Seguridad: es seguro que una situación no sucederá.
● Vivacidad: si empieza debe terminar.
● Equidad: un número infinito de veces una situación se podrá dar,
se dará o no se dará nunca.
Las propiedades son especificadas normalmente a través de lógica
temporal.

16. El proceso MC consiste en la especificación de un modelo,
especificación de propiedades y verificación. Esto significa que dada
una propiedad deseada p y una estructura del modelo M con un estado
inicial s decide si p cumple M; o más precisamente, decide si M, s |= p.
El modelo M es normalmente expresado como un sistema de
transición, un grafo dirigido que conforma un árbol computacional (una
estructura Kripke). Cada nodo tiene asociado un conjunto de
proposiciones atómicas. Los nodos representan estados del sistema,
los arcos posibles transiciones.
Lógica temporal y Model Checking

17. MC está basado en el cálculo y representación de todos los estados
posibles alcanzables por el sistema. Una herramienta de model
checking responde ‘true’, si el modelo satisface las especificaciones
que establecen las propiedades o en caso contrario, genera un
contraejemplo.
De esta forma los comprobadores de modelos son usados como
debuggers para encontrar problemas, como así también para mostrar
la correctitud una vez que se ha finalizado el debugging.
Lógica temporal y Model Checking

18. Algunos sistemas lógicos basados en lógica temporal son: Lógica
computacional en árbol (Computational tree logic, CTL), lógica
temporal lineal (Linear-Time temporal logic, LTL) y Lógica temporal de
intervalos (Interval temporal logic, ITL).
LTL es una lógica temporal que nos permite referirnos al futuro, en la
que el tiempo se modela como una secuencia infinita de estados. A
esta secuencia de estados a veces se le llama ruta. LTL fue propuesto
por primera vez para la verificación formal de programas de
ordenador mediante Amir Pnueli en 1977.
Introducción lógica temporal lineal (LTL)

19. Unarias: ⊤, ⊥, ¬ɸ, p, (ɸ ˄ ɸ), (ɸ ˅ ɸ), (ɸ → ɸ), (ɸ ↔ ɸ) X ɸ, F ɸ, G ɸ
Binarias: (ɸ U ɸ ), ( ɸ R ɸ )
A X, F, G, U, W, R se les llama conectivas temporales.
● X : “NeXt state” (○),
● F : “Future state” (◊),
● G : “All future state”(Globally) (□)
● U : “Until”
● R : “Release”
Lógica temporal lineal (LTL)

20. Lógica temporal computacional (CTL)
CTL es la restricción de CTL* que satisface lo siguiente:
Cada fórmula de camino debe estar precedida por un cuantificador de
caminos A o E.
Esta lógica se estudia porque combina buenas propiedades de
expresividad y complejidad. Las fórmulas en CTL están dadas por la
siguiente gramática:

21. Lógica temporal computacional (CTL)
Algunos ejemplos:
● Me va a gustar el chocolate de ahora en adelante
AG.P
● Es posible que me guste el chocolate algún día
EF.P
● Siempre es posible que de pronto empiece a tener gusto por el
chocolate para el resto de mi vida
AF.EG.P

22. Lógica temporal computacional (CTL)
CTL es ampliamente utilizada en:
● Verificación: Tanto de sistemas hardware como sistemas
software.
● Inteligencia Artificial: En particular, en sistemas de planificación
de agentes, en los que cada agente planifica sus estrategias de
acción teniendo en cuenta las diferentes opciones futuras.
● Formalización de especificaciones y comportamientos de
sistemas

23. CTL*
CTL* es un superconjunto de CTL y LTL. Combina diferentes
cuantificadores con operadores temporales y combina expresividad de
LTL y CTL.
En 1981 EM Clarke y EA Emerson inventaron CTL y CTL para
comprobación de modelos. CTL* fue definido por EA Emerson y
Joseph Y. Halpern en 1986.
LTL y CTL se han desarrollado de manera independiente antes de
CTL*. Ambos han sido muy importantes en la comprobación de
modelos, mientras que CTL* aún no tiene importancia en la práctica.

24. CTL*
Los operadores son los mismos que en los CTL. Sin embargo, en CTL,
cada operador temporal(X, F, G, U) tiene que ser precedido
directamente por un cuantificador, mientras que en CTL* esto no es
necesario.
El cuantificador universal puede definirse en CTL* de la misma manera
que para el cálculo de predicados Aɸ == ¬E¬ɸ aunque esto no es
posible en CTL.

25. LTL, CTL y CTL*
Hay cosas que se pueden expresar en LTL pero no en CTL y viceversa
y por eso se crea CTL* que combina la expresividad de las dos.
● Fórmula en CTL * no es posible en LTL ni en CTL:
● Fórmula en LTL que no está en CTL:
● Fórmula de CTL que no está en LTL:

26. La lógica temporal tiene dos clases de operadores: operadores lógicos
y operadores modales. Los operadores lógicos son ¬, ˄, ˅, →
(Maude se escriben ¬, /, / , ->) y los operadores modales usan el
Linear-Time Temporal Logic (LTL) y Computation Tree Logic (CTL) son
□, ○, ◊, U, R (Maude se escriben [], <>, O, R, U).
Gracias a estos operadores, podemos realizar MC para diferentes
sistemas(Prácticas).
Lógica temporal y Model Checking

27. load model-checker.maude
mod PROPS is
pr LOCAL .
pr SATISFACTION .
subsort Espacio < State .
op estaEnLaCola : String -> Prop [ctor] .
op estaEnElLocal : String -> Prop [ctor] .
eq ([ A | C' persona(S, E, T, O) C | B | N | M ] L) |= estaEnLaCola(S) = true .
eq ([ A | C | (persona(S, E, T, O), B) | N | M ] L) |= estaEnElLocal(S) = true .
endm
Lógica temporal y Model Checking

28. mod TEST is
pr PROPS .
pr MODEL-CHECKER .
pr LTL-SIMPLIFIER .
*** p1 : “Carlos”, 20, VIP, 0
*** p2 : “Victoria”, 17, noVIP, 0
op initial : -> Espacio .
eq initial = [ (p1, p2) | cola-vacia | manager | 5 | 6 ] 4 .
endm
Maude> red modelCheck(initial, [] (estaEnLaCola("Carlos") -> <> estaEnElLocal("Carlos"))) .
result Bool: true
Maude> red modelCheck(initial, [] (estaEnLaCola("Victoria") -> <> estaEnElLocal("Victoria"))) .
CONTRAEJEMPLO!!!
Lógica temporal y Model Checking

29. CONCLUSIONES
A medida que el model checking ha crecido en popularidad, se ha
incrementado la importancia de la lógica temporal dentro de la
Informática.
La lógica temporal sirve para expresar propiedades de sistemas
software o hardware y así evitar errores.
Por ejemplo, en sistemas de software críticos como sistemas de
control de vuelo de aviones o sistemas de control de ascensores, los
errores de software deben ser evitados.
Lógica temporal y Model Checking

30. La lógica epistémica es un campo de la lógica modal que se ocupa
del razonamiento sobre el conocimiento. Mientras que la epistemología
posee una larga tradición filosófica que se origina en la Grecia Antigua,
la lógica epistémica es un desarrollo mucho más reciente con
aplicaciones en numerosos campos, tales como filosofía, ciencia
computacional teórica, inteligencia artificial, economía y lingüística.
Como otras lógicas, esta también tiene sus orígenes de las fuentes de
Aristóteles.
Introducción a la lógica epistémica

31. La Edad Media a juicio de los historiadores, el periodo más activo de la
lógica epistémica, que se desarrolla sobre todo en universidades del
norte de Italia donde destacan figuras como Paolo de Venecia, su
discípulo Paolo da Pergola o Gaetano de Thiene.
Pero en la Edad Moderna se produce un descrédito de la misma, hace
que se abandone temas de gran interés y habrá que esperar hasta el
siglo XX para volver a tratar a la lógica epistémica de nuevo.
Lógica epistémica

32. Durante la década de 1950 se publicaron numerosos trabajos acerca
del tema, pero es reciente trabajo del finlandés Georg Heinrik Von
Wright, titulado An Essay in Modal Logic publicado en 1951 el que
es reconocido como el documento fundacional de la lógica epistémica.
No fue sino hasta 1962 en que Hintikka, escribe Knowledge and
Belief, el primer trabajo extenso en que sugiere utilizar modalidades
para capturar la semántica del conocimiento en vez de utilizar las
premisas aléticas con que típicamente se desarrolla la lógica modal y
desde entonces se han realizado numerosas investigaciones y
avances.
Lógica epistémica

33. El operador modal básico de la lógica epistémica, normalmente escrito
con el símbolo K , se puede interpretar como significando "se sabe
que". Si está representando el conocimiento de uno o más actores se
representa con el subíndice i, ( K i
) .
De tal manera si ponemos Ka
ɸ significa “El agente a sabe ɸ ” , o si
pongo ¬ Ka
¬ ɸ significa “El agente a no sabe que no ɸ ”
Lógica epistémica

34. Ejemplos de proposiciones epistémicas
j ==Juan
Q == Cervantes escribió el Quijote
H == Shakespeare escribió Hamlet
Proposiciones epistémicas
❖ K j
Q: ‘Juan sabe que Cervantes escribió El Quijote’
❖ ¬ K j
H: ‘Juan no sabe que Shakespeare escribió Hamlet’
K j
(Q / H)
Lógica epistémica

35. Algunas propiedades del conocimiento son:
● El axioma de distribución: más conocido como K. En términos
epistémicos, establece que si un agente sabe φ y sabe que φ => Ψ
, entonces el agente debe saber Ψ.
● La regla de generalización del conocimiento: si φ es válido,
entonces lo es K i
φ . Quiere decir que si φ es verdadero en todo
mundo que un agente considere mundo posible, entonces el
agente i debe conocer φ en todos los mundos posibles.
Lógica epistémica

36. ● El axioma de la verdad o el conocimiento(T): Si un agente
conoce hechos, estos deben ser verdaderos. Principal
característica que diferencia al conocimiento de la creencia.
● El axioma de la introspección positiva(4): Los agentes saben
que es lo que conocen.
● El axioma de la introspección negativa(5): Los agentes saben
que es lo que no saben.
Lógica epistémica

37. Se pueden derivar diferentes lógicas tomando distintos subconjuntos
de los anteriores axiomas. La lógica KT45 (S5) resulta de combinar K,
T, 4, 5 y la Regla de Generalización del Conocimiento. Por estos las
anteriores propiedades se les sabe llamar propiedades S5.
En esta lógica vamos a usar la conectiva modal de la epistémica.
A = {1,2,3,….n} K i
p == “El agente i sabe p”
Ejemplo: K 1
p ˄ K 1
¬ K 2
K 1
p
El agente 1 sabe p, pero el agente 2 no sabe lo que él sabe.
Introducción a la lógica KT45

38. Una fórmula ɸ de la lógica KT45 se define por la siguiente gramática:
ɸ == ⊤ | ⊥ | ¬ɸ | p | (ɸ ˄ ɸ) | (ɸ ˅ ɸ) | (ɸ → ɸ) | (ɸ ↔ ɸ) | K i
ɸ | EG
ɸ | CG
ɸ |
DG
ɸ
● La conectiva modal EG
p, donde G es un subconjunto de A, EG
p
quiere decir “Todos miembros de G saben p ”
Si G = {1,2,3,...,n}
EG
p equivale a K 1
p ˄ K 2
p ˄ … ˄ K n
p
La lógica KT45

39. ● La conectiva modal CG
ɸ quiere decir que “ ɸ es un conocimiento en
posesión de todo agente de G”
CG
p equivale a K 1
ɸ ˅ K 2
ɸ ˅ … ˅ K n
ɸ
● La conectiva modal DG
ɸ quiere decir que “El conocimiento ɸ está
distribuido entre el grupo G ”
Ψ ˄ ɸ ; K 1
Ψ ˄ K 2
ɸ == D{ 1, 2 }
( Ψ ˄ ɸ )
La lógica KT45

40. EJEMPLOS DE LOS 3 SABIOS Y LOS 5 SOMBREROS (2 BLANCOS Y 3 NEGROS)
p i
: “Sabio i tiene el sombrero negro”
¬ p i
: “Sabio i tiene el sombrero blanco”
T = {C( p1
˅ p2
˅ p 3
),
C( p1
→ K 2
p1
), C( ¬ p1
→ K 2
¬ p1
),
C( p1
→ K 3
p1
), C( ¬ p1
→ K 3
¬ p1
),
C( p2
→ K 1
p2
), C( ¬ p2
→ K 1
¬ p2
),
C( p2
→ K 3
p2
), C( ¬ p2
→ K 3
¬ p2
),
C( p3
→ K 1
p3
), C( ¬ p3
→ K 1
¬ p3
),
C( p3
→ K 2
p3
), C( ¬ p3
→ K 2
¬ p3
) }.
La lógica KT45

41. EJEMPLOS DE LOS 3 SABIOS Y LOS 5 SOMBREROS (2 BLANCOS Y 3 NEGROS)
C( ¬ K 1
p1
˄ ¬ K 1
¬ p1
)
T, C( ¬ K 1
p1
˄ ¬ K 1
¬ p1
),
C( ¬ K 2
p2
˄ ¬ K 2
¬ p2
) ├ K 3
p3
La lógica KT45

42. Lógica epistémica y lógica KT45
CONCLUSIONES
Este tipo de lógica se utiliza para chequear sistemas de agentes
inteligentes utilizados en aplicación como bibliotecas digitales o
mercados virtuales.

43. Introducción a la lógica doxástica
La lógica doxástica (del griego antiguo δόξα, doxa, "creencia") es una
lógica modal que se ocupa del razonamiento acerca de las creencias.
Esta lógica utiliza la expresión Bc
p que quiere decir “El razonador ‘c’
cree que ‘p’ es verdadero” y el conjunto Bc
se refiere al conjunto de
creencia de ‘c’.
Existe un paralelismo completo entre los razonadores que creen en
proposiciones y los sistemas matemáticos que demuestran
proposiciones. Utilizando la lógica doxástica, se puede expresar el
equivalente epistémico del teorema de la incompletitud de Gödel, como
también el teorema de Löb.

44. TIPOS DE RAZONADORES
● Razonador preciso: Un razonador c es preciso si no cree en
ninguna proposición falsa (axioma modal T).
● Razonador impreciso: Un razonador c es impreciso si existe al
menos una proposición en la que cree y que no es verdadera
Lógica doxástica

45. ● Razonador presumido: Un razonador c es presumido, si cree que
no es impreciso. Un razonador presumido necesariamente incurre
en una imprecisión.
● Razonador consistente: Un razonador c es consistente si no cree
en una proposición y su negación (axioma modal D).
Lógica doxástica

46. Lógica doxástica
● Razonador normal: Un razonador c es normal si siempre que cree
p, cree también que cree p.
● Razonador peculiar: Un razonador c es peculiar si existe alguna
proposición p en la que cree, pero también cree que no cree p. Se
dice que un razonador peculiar es necesariamente impreciso pero
no necesariamente inconsistente.

47. Introducción a la lógica deóntica
“Deóntico” se deriva del griego δέον "debido" + λόγος "tratado", así
pues la Lógica Deóntica (LD) trata acerca de las normas.
El nombre de “lógica deóntica” fue considerada a partir del ensayo de
Georg Heinrik Von Wright, “Deontic Logic” publicado en 1951.
Von Wright propuso que los conceptos deónticos de obligación,
permisividad, prohibición e indiferencia correspondía a los operadores
modales de necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia.

48. Los operadores deónticos y algunas de sus interpretaciones más
comunes son las siguientes:
● El operador O qué puede significar “Es obligatorio que..”, “Es
indispensable que ...”, “Es necesario que ...”, etc.
○ Por ejemplo:
El acto de “pagar impuestos”, representamos con el símbolo q,
para nosotros es obligatorio y seria :
Oq
A partir del operador de obligación y de la negación lógica (¬) , es
posible definir los operadores de permisión y de prohibición.
Lógica deóntica

49. ● El operador P qué puede significar “Está permitido que ..”, “Es
válido que ...”, “Es correcto que ...”, “Es posible que ...”, etc.
○ Por ejemplo:
El acto “poder silbar” -> q
Pq ¬Pq
● El operador Ph que puede significar “Está prohibido que ...”, “El
ilícito que ...”, “Es incorrecto que ...”, etc.
○ Por ejemplo:
El acto de “conducir borracho” -> q
Phq
Lógica deóntica

50. Lógica deóntica
Se puede hacer una tabla de equivalencia entre los operadores
mencionados antes:
Oq == Ph¬q == ¬P¬q
O¬q == Phq == ¬Pq
¬O¬q == ¬Phq == Pq
¬Oq == ¬Ph¬q == P¬q
● El operador F puede significar “Da lo mismo que ...”, “Es facultativo
que ...”, etc.

51. El campo de aplicación de la LD lo constituyen sobre todo discursos
discursos argumentativos de tipo moral, ético y jurídico.
También se puede usar la LD en el campo de la informática.
● Programacion legal o normativa: leyes o normas aplicables para
todos programadores.
● En sistemas de alta disponibilidad: aplicar unas normas
obligatoria que deben cumplir estos sistemas como la
especificación de un número determinado de excepciones en un
periodo de tiempo finito.
● Comportamiento deseado por los usuarios en un sistema.
Lógica deóntica

52. CONCLUSIONES
El uso de la lógica deóntica sirve para unir dos áreas que se creían
separadas cómo son las leyes y la informática, formalizando unas
normas jurídicas y estableciendo reglas para la creación programas
que sirvan de apoyo para la aplicación de las leyes.
Lógica deóntica

53. Preguntas