Este documento describe los conceptos fundamentales de la lógica proposicional, incluyendo la simbolización de proposiciones, el lenguaje formalizado, las variables y constantes lógicas, y las reglas para construir fórmulas bien formadas. Explica que la lógica se ocupa de razonamientos en lenguaje formalizado para maximizar su carácter operacional y evitar ambigüedades.

1. TEMA: EL LENGUAJE FORMALIZADO O
SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES
PROF. HÉCTOR VILLAJUAN MORY
LOGICA PROPOSICIONAL (LP)

2. DEFINICIÓN
La simbolización es un procedimiento
que consiste en aplicar el método del
análisis lógico a una determinada
proposición.
Analizarla lógicamente significa mostrar
de una manera totalmente explícita y
exhaustiva sus relaciones sintácticas
subyacentes y permitir, determinar, de
esa manera, todas sus interpretaciones
posibles.

3. LENGUAJE
FORMALIZADOLa lógica se ocupa de los razonamientos en lenguaje formalizado. Esto obedece a varias
razones.
La primera razón es que la lógica se interesa por los esquemas de argumento cuyos
componentes están tomados en un lenguaje formal. Lo que se necesita es maximizar el
carácter operacional de la lógica considerada como un cálculo, es decir, como un sistema
de relaciones establecidas en el uso mismo de símbolos de acuerdo con reglas explícitas
cuidadosamente formuladas. Recordemos la distinción lenguaje-metalenguaje.
La segunda razón es que los lenguajes naturales contienen ambigüedades. Sucede que
los lenguajes naturales (en los cuales priman los factores afectivos) han sido elaborados
con el fin de comunicar ideas (ya sea para vender o persuadir). Mientras los lenguaje
formales (en los que priman el carácter de objetividad) han sido creados sólo para
informar, es decir, para transmitir conocimiento. La lógica al ser un lenguaje científico
aspirará a los ideales de economía, precisión, claridad, univocidad, rigor e
impersonalidad propios de la ciencia.
Una tercera razón para emplear lenguajes formales en las investigaciones sobre la validez
de los argumentos es que en dichas investigaciones se deben expresar afirmaciones
generales acerca de todas las oraciones o al menos acerca de todas las oraciones que
tengan una forma particular. En este sentido se afirma que la lógica es universal porque
cuando ella habla de proposiciones o de relaciones, se refiere a todas las proposiciones o
relaciones pues la lógica no se interesa tanto por el contenido (semántica) como sí por la
forma (sintaxis).

4. VARIABLES Y
CONSTANTES
El lenguaje lógico se denomina formalizado
porque su propiedad más importante es la de
revelar la forma o estructura de las
proposiciones e inferencias.
El lenguaje formalizado de la lógica de
proposiciones consta de dos clases de signos:
variables proposicionales y constantes u
operadores (o conectores) lógicos.

5. VARIABLES PROPOSICIONALES Y
METAVARIABLES
Las variables proposicionales representan
cualquier proposición atómica.
Son letras minúsculas del alfabeto castellano ‘p’,
‘q’, ‘r’, ‘s’, etc.
Las metavariables representan cualquier fórmula
o proposición compuesta.
Son las letras mayúsculas del alfabeto castellano
‘A’, ‘B’, ‘C’, ‘D’, etc. Por ejemplo:
A=(pq) ↮ (r↔s)

6. CONSTANTES MONÁDICAS Y
DIÁDICASTambién llamados operadores lógicos. Ellos, además de enlazar
o conectar proposiciones, establecen determinadas operaciones
entre ellas. Son de dos clases: diádicos y monádicos.
Los operadores diádicos tienen un doble alcance: hacia la
izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y
son los siguientes: El conjuntivo (), el disyuntivo (inclusivo
() o exclusivo(↮)), el condicional (→), el bicondicional (↔).
El operador monádico único es la negación. Tiene un solo
alcance: hacia la derecha, por lo que afecta a una sola variable.
Representa el adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es ‘~’.

7. SIGNOS DE
AGRUPACIÓN
La puntuación en el lenguaje común es indispensable para precisar el
significado de las expresiones; sobre todo, para asegurar el sentido del
enunciado. Si no se usara debidamente los signos de puntuación se
incurriría en una ambigüedad insalvable. Por ejemplo:
Mientras dormían, los centinelas vigilaron el campamento
Mientras dormían los centinelas, vigilaron el campamento
En lógica importa mucho el uso de los signos de puntuación o
agrupación. Ellos son los siguientes: paréntesis (“(”, “)”), corchetes
(“[”, “]”), llaves (“{”, “}”) y barras (___).
Gracias a ellos se establece una jerarquía del alcance de los conectores
u operadores lógicos que permite anular toda posible ambigüedad. Por
ejemplo:
w↔[t{(p→q) ↮ (rs)}]
En la anterior fórmula el símbolo de mayor jerarquía será el bi-
condicional.

8. PASOS PARA LA SIMBOLIZACIÓ
La técnica de la formalización comprende los siguientes pasos:
1. Se explicita su forma lógica empleando las conjunciones
gramaticales y el adverbio ‘no’ en sustitución de expresiones
equivalentes. Podemos empezar determinando las proposiciones
simples, y los nexos y/o negaciones.
2. Se halla su fórmula reemplazando cada proposición atómica por
una variable proposicional, las conjunciones gramaticales por sus
operadores lógicos correspondientes y el adverbio ‘no’ por el operador
negativo.
3. Los signos de agrupación se usan para establecer jerarquía entre
los operadores de una fórmula lógica, pero solo cuando su omisión la
hace ambigua.
4. Se determina si la fórmula resultante es una fórmula bien formada
(fbf)

9. FÓRMULAS BIEN FORMADAS (FB
Una fórmula bien formada es una cadena de símbolos construida
según las reglas establecidas por la sintaxis lógica. Puede ser
atómica o molecular.
La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el
lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin
interesarse más que por las relaciones entre los símbolos.
Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la
construcción de fórmulas bien formadas.
Regla 1: Toda variable proposicional es una FBF
Regla 2: Si ‘p’ es una FBF, entonces ‘~p’ es también una FBF.
Regla 3: Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces ‘pq’, ‘pq’, ‘p↮q’, ‘p→q’ y
‘p↔q’ son FBF
Regla 4: Una cadena de símbolos es una FBF si y solo si se sigue
de la aplicación de R1, R2 y R3.

10. REGLAS
AUXILIARESRegla 5: Una fórmula lógica está bien formada si y sólo si existe una jerarquía
claramente establecida entre sus operadores; en caso contrario, la fórmula
carece de sentido.
Regla 6: Una FBF tiene nombre y éste depende de su operador de mayor
jerarquía
Regla 7: El operador de mayor jerarquía es aquél que está libre de los signos
de agrupación: ‘()’, ‘{}’ y ‘[]’.
Regla 8: Los signos de agrupación se usan sólo cuando su omisión hace
ambigua una fórmula, es decir, cuando una fórmula es susceptible de una
doble (o triple, o cuádruple, etc.) interpretación.
Regla 9: Los operadores diádicos tienen mayor jerarquía que el operador
monádico.
Regla 10: El operador negativo se escribe antes y no después de una fórmula.
Regla 11: El operador negativo no se escribe entre dos fórmulas, sino
inmediatamente a la izquierda de una variable proposicional o de un signo de
agrupación, es decir, así: ~p.
Regla 12: Si un operador negativo antecede a otro operador igualmente
negativo, entonces el de la izquierda tendrá mayor jerarquía. Por ejemplo, en
la siguiente fórmula el operador negativo más externo es el de mayor jerarquía
~{~[(~pq) r]}

11. PRINCIPALES NOTACIONES SIMBÓL
Existen diferentes notaciones simbólicas, pero
pueden reducirse a tres: la de Scholz, la de Peano-
Russell y la de Lukasiewicz.
Las tablas siguientes muestran las
correspondencias entre las principales notaciones
simbólicas:SISTEMAS Negación Conjunción Disyunción
Inclusiva
Disyunción
Exclusiva
Condicional Bicondicion
al
Jerarquía
Scholz ~p pq pq p↮q p→q p↔q ( ). [], etc.
Peano-
Russell
~p p. q pq p≢q pq p≡q . . , : : , etc.
Lukasiewic
z
Np Kpq Apq Jpq Cpq Epq Nada

12. TRANSFORMACIÓN SCHOLZ-PR
La técnica de transformación comprende los siguientes casos:
1. Reemplazar las constantes correspondientes.
2. Conservar las jerarquías de los operadores. Para ello se usan puntos (de dos en dos)
al lado de los operadores, eliminando así los paréntesis, corchetes y llaves.
Ejemplo:
1. Simbolice en Scholz y páselo a PR
“ Si luchamos y nos esforzamos, entonces ganaremos el partido del sábado. Por lo tanto,
nos llevaremos la copa de los campeones”.
1er paso.
luchamos=p
nos esforzamos=q
ganamos el partido del sábado=r
nos llevaremos la copa de los campeones=s
2do paso. Pasémoslo todo al sistema PR
Si … , entonces, … = →
y = 
… . Por lo tanto, …= →
3er paso. [(pq)→r]→s
4to paso.[(p.q)r]s
5to paso. [(p.q)..r]::s

13. EJERCICIOS
Simbolice: (Nivel I)
• Rabat es la capital de Kenya o de Sudán
• Juan es economista y consultor, o matemático e investigador
• Si Pedro va a la oficina de Juan será atendido, si y solo si tiene una cita
previa.
• A pesar de no haber tenido ninguna cita previa, Roberto fue atendido
• Aun cuando Pérez vaya a la oficina de Arguedas cuando éste no se
encuentre ocupado, no será atendido si no tiene una cita previa.
• Los amigos de mis amigos son mis amigos; y los desconocidos, no.
• Oscar es amigo de David y David es amigo de Paul, pero Paul es un
personaje imaginario.
• Las universidades de Cuzco, Lima y Arequipa protestaron contra el
régimen
• Ojos que no ven, corazón que no siente
• Cuando fui a la iglesia me pareció que la imagen del Señor me miraba
• Le pedí a Dios que me devolviera mi golondrina y así lo hizo.

14. Simbolice: (Nivel II)
• Cuando la ambición por el poder o la riqueza domina al hombre, no
hay pudor ni barreras legales ni morales inviolables.
(pq)→(~r~s~t)
• Ya se pinte, ya se engalane, el mono mono será, ya que el hábito no
hace al monje.
p→[(q→s)(s→r)]
• Si todos mis esfuerzos no han sido inútiles, y lo he logrado, lo sabré
dentro de un momento, si a Dios le place.
p →[(~q→r)→s]
• Lo haré, pero más tarde.
~pq
• El juez castiga el crimen sin corregir al delincuente.
p~q

15. Simbolice: (Nivel III)
• Aunque nieva, voy.
(p→q)  (~p→q)
• El guardián no se rinde, vence o muere.
~p→(qr)
• Si eres paciente y justo y tiendes a realizar cualquier cosa que te
propones, aunque sea tarde Dios llega.
[pq(r→s)] → [(tu)(~tu)]
• Aunque no quiera, José tomará jarabe si quiere sanar.
p→[(q~q)→r]
• Él esta siempre ahí, aunque le dice “no”, porque está obsesionado.
p→[(q→r)(s→r)]

16. BIBLIOGRAFÍA
• GARCÍA ZÁRATE, Óscar. (2007) Lógica. Lima: UNMSM.
• CHÁVEZ N., A. (2000) Introducción a la Lógica. Lima:
Noriega.
• LLANOS, M. (2003) Lógica Jurídica. Lima: Logos.
• AMBROSE, A. & M. LAZEROWITZ. (1968) Fundamentos de
Lógica simbólica. México: UNAM
• PISCOYA, Luis. (1997) Lógica. Lima: UNMSM.
• GAMUT, L. T. F. (2006) Introducción a la Lógica. Buenos
Aires: Eudeba.
• CAMACHO, Luis. (2003) Lógica Simbólica Básica. México:
Limusa.