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TEORÍA DE REDES. CIRCUITOS LINEALES




Sentido convencional de la corriente:
Supondremos que la corriente eléctrica en los circuitos lineales que vamos
a estudiar está formada por un flujo de cargas positivas que se origina en el   Símbolo de
polo positivo de las fuentes y se mueven a través de los elementos              resistencia
conductores del circuito hasta alcanzar el polo negativo de las fuentes.




                                                                                              1
TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA TEORÍA DE REDES

Red: Sistema de conductores que forman un circuito cerrado.
Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula la misma corriente.
Nudo / nodo: punto de conexión de dos o más ramas.
Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red.
Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su interior


                                                                                Fuente de voltaje


                          Fuente de corriente




                                                                                    Resistencia




                                                                                           2
LEYES DE KIRCHHOFF
Ley de Kirchhoff de la corriente.
LKC: En cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero.

                    i1             Ley basada en la conservación de la carga (ecuación de continuidad):
    i5                             cuando el circuito funciona en régimen estacionario, la carga no se
                                   acumula en ningún punto del mismo.
                           i2      Para su aplicación damos un signo a las corrientes entrantes y el
    i4                             signo opuesto a las corrientes salientes.                    1
                                                                                                     RA
                                                        i1 i2 i3 i4 i5      0          V0
               i3                                                                                         2
                                                                                                     RB
                                                                                                RC
Definición de caída de tensión.                 Ley de Kirchhoff del voltaje.               4
                                                                                                          3
La caída de tensión V12 entre dos puntos de     LKV: La suma de las caídas de tensión a lo largo de
un circuito (potencial del punto 1 respecto
                                                cualquier trayectoria cerrada debe ser igual a cero en
al punto 2) se define como la energía (en
julios) disipada cuando una carga de +1 C
                                                cualquier instante.
circula entre el punto 1 y el punto 2.
                                                                  Vij   V12 V23 V34 ... 0
1               V12      V1 V2
                                               Ley basada en la conservación de la energía: la energía
         Ejemplo:                              disipada en las resistencias debe ser suministrada por
         Si V12 = +5V, la tensión V2           las fuentes para mantener constante el flujo de cargas.
2        es menor que V1          se
         disipan 5 J cuando + 1C         Si V12 = -5V, la tensión V2 es mayor que V1     la energía de +1 C
         circula desde 1 2               de carga se incrementa en 5 J cuando circula desde 1 2.
                                                                                                       3
                                         Esto implica que debe haber fuentes que suministren tal energía.
LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.)
                                                                                          V21 V2 V1         0
Reglas de aplicación
                                                                        V1 V2             V12     V1 V2     0
1. En una resistencia hay una caída de tensión positiva en
el sentido de la corriente cuyo valor es i·R (ley de Ohm).         a                                       1
2. En una batería (o fuente de c.c.) hay una caída de                                 Resto del                  i
tensión positiva (igual a su valor V0) en el sentido del                               circuito
terminal + al – con independencia del sentido de la                b                                       2
corriente.
                                                              Va   Vb       Vab       Va Vb       0
                                                                                                      -4.5 V
                                                                            Vba       Vb Va       0
Ejemplo: medidas con polímetros               +9 V
  ¿Lectura?                 ¿Lectura?                        Ejemplo2
    -9 V               Mismo potencial


                                                                        i
                                                                                  R
                  9V                                         9V                                           -9 V
                                   R     i

                                                                                  R



                       Mismo potencial
                                                                                                      4
FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Divisor de tensión
Formado por un conjunto de resistencias en serie (circula la misma corriente por todas ellas, la
resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias).
                                      Datos conocidos V0 RA RB RC                      aplicamos LKV para calcular i
                           1
                i
                      RA        VA                             Vij    V12 V23 V34 V41                 0
V0
                           2           Cálculo de caídas de tensión a través de las resistencias (ley de Ohm)

                      RB        VB     V12   VA    i RA               V23    VB       i RB                V23    VC   i RC
               RC
          4           3 3              Caída de tensión a través de fuente: V41                           V0
                                       LKV : i RA i RB               i RC V0      0                        V0            V0          Intensidad
               VC                                                                            i                                      calculada a
                                                                                                 RA        RB    RC      RS        partir de LKV
                               Resistencia en serie:    RS       RA     RB       RC
 Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia.
                                   RA                                             RB                                                 RC
     VA       i RA         VA         V0               VB      i RB         VB       V0                     VC    i RC        VC        V0
                                   RS                                             RS                                                 RS

 En general: para                 Forma alternativa de representar el circuito: cortado a tierra.
 la resistencia Rk
                                 V0           VA            VB               VC                  V0       VA VB VC
              Rk
     Vk          V0
              RS                        i    RA           RB            RC                        Símbolo de tierra. Representa el potencial
                                                                                                  más bajo, convencionalmente igual 5 cero.
                                                                                                                                    a
FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE
Divisor de corriente
Formado por un conjunto de resistencias en paralelo (todas las resistencias están sometidas a la
misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente por cada una de ellas).
Resistencia equivalente: el inverso de la resistencia de la asociación en paralelo es igual a la
suma de los inversos de las resistencias que lo forman.
                                                         Datos conocidos V0 RA RB RC
             i           iA          iB           iC
V0                                                                                    1         1      1      1
                                                       Resistencia paralelo                                             Obtenemos RP
                                                                                      RP        RA     RB     RC
                                                                                                                    V0       i A RA
                 RA           RB          RC            La d.d.p. entre los extremos de cada
                                                                                                                    V0       iB RB
                                                        resistencia paralelo es V0. Ley de Ohm:
             Circuito equivalente                                                                                   V0       iC RC

                                    LKV:         i RP V0    0      V0    i RP              igualamos
V0                i
                      RP                                                                                                                       RP
                 V0                                         RP                                        RP                              iC          i
         i                         i RP    i A RA      iA      i        i RP    iB RB           iB       i         i RP       iC RC
                 RP                                         RA                                        RB                                       RC

                                               Obsérvese que se verifica LKC                    i    i A iB iC
     Fórmula del divisor
     de corriente para la
        resistencia Rk                                                                                  iA         iB           iC
                                                                                 V0         i
                  RP                                        El mismo circuito                   RA           RB         RC
         ik          i                                       cortado a tierra
                  Rk
                                                                                                                                           6
FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE. EJEMPLO

Determinar la corriente y la 1                    1     1       5
                                                                             RP
                                                                                      6
                                                                                        1.2 k           LKV:        i RS 12     0
caída de tensión en cada una RP                   2     3       6                     5
                                                                                                                                      Esta es la
de las resistencias del circuito                                                                              12 V                   corriente en
siguiente.                     RP                           RS         2.8 1.2            4k            i                    3 mA   la resistencia
                                                                                                              4k
                                                                                                                                      de 2.8 k

       i         2.8 k         i2    i3                         i             2.8 k                                      i
                                                                                                              12 V                  RS    4k
     12 V                                               12 V                RP    1.2 k
                         2k     3k


 Las resistencias de 2 k y 3              Cálculo de caídas de tensión                          Dibujar el mismo circuito
 k     forman un divisor de                                                                     cortado a tierra
 corriente en el que la corriente                           1                     2
 entrante es i = 3 mA.
                                                   i                2.8 k
            i    i2 i3
                                                                                                 12 V       2.8 k
        i                                        12 V       RP        1.2 k
                i2        i3                                                          3                             2k         3k

            i   2k        3k                      2.8           2 .8
                                           V12        ·12            ·12    8.4 V
                                                  RS             4
      RP   1.2
i2       i     3 1.8 mA                     V23
                                                   RP
                                                      ·12
                                                                1 .2
                                                                     ·12    3 .6 V
       2    2                                      RS            4
      RP   1.2                                                                                                                      7
i3       i     3 1.2 mA                   Esta es la caída de tensión en
      3     3                             las resistencias de 2 k y 3 k
FUENTES DE TENSIÓN o VOLTAJE
Fuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuente
Se define como el trabajo que la fuente es capaz de realizar sobre la unidad de carga positiva
para transportarla del polo negativo hasta el positivo a través de su interior. En el S.I. se
expresa en J/C, es decir, en voltios.
Fuente ideal de tensión o voltaje (independiente)                            b                      a
Es aquella que mantiene siempre la misma diferencia de potencial
entre sus terminales, igual a la fuerza electromotriz de la fuente,          b                          a
independientemente de la corriente que circula por ella y de las
tensiones en otras partes del circuito.
Fuente real de tensión o voltaje
Excepto cuando se encuentra en circuito abierto, toda fuente real de         b              r           a
tensión sufre una pérdida de voltaje entre sus terminales debido a que
dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y por lo
tanto una parte de la energía que la fuente puede suministrar por                b                  a
unidad de carga se invierte en que la corriente circule a través de la
propia fuente. Una fuente real puede considerarse como una fuente                      R        i
ideal de tensión conectada en serie con una resistencia interna r.

LKV: i R        ir 0        i            Caída tensión     Vab      ir
                              R r
                                                                              Potencia
Una fuente de voltaje es de mayor calidad                                   suministrada        P           ·i
cuanto menor sea su resistencia interna r.                                 por una fuente
Fuente de tensión o voltaje dependiente
Aquella cuyo valor de tensión depende de las tensiones o corrientes de otras partes del circuito,
                                                                                               8
(No serán consideradas en este tema).
FUENTES DE CORRIENTE
Fuente ideal de corriente (independiente)
Es un elemento que suministra a la rama en la que se encuentra                                          i0
                                                                                   b                              a
conectado una corriente constante independientemente de la
diferencia de potencial entre sus terminales..
Fuente real de corriente
Una fuente real de corriente puede considerarse como la                                                  i0
combinación de una fuente ideal con una resistencia r en paralelo, de
modo que una fracción de la corriente suministrada por la fuente de                       b              r    a
corriente ideal no llega a salir al circuito exterior. La calidad de una
fuente de corriente es tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la
resistencia r.
                                                                                              Circuito exterior
                                                             2
Ejemplo                                              76·4 R
                                              RP                 3.8R
                        Equivalente: 4R             76 R 4 R
            i4 R
                                                                                           RP         3.8R
           i76 R                                                           i76 R              i0           i0         0.05 i0
                   2R               4R       i0        76R         4R                     76R         76R
 i0

                                                    i76 R                                     RP         3.8R
                             4R                                  i4 R              i4 R          i0           i0       0.95 i0
           r 76R                                                                              4R          4R



                                                                                                                  9
CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO

Circuito abierto: puede considerarse como             Cortocircuito: es una unión carente de resistencia.
una conexión con resistencia infinita. Por él         Por lo tanto entre sus terminales no hay caída de
no circula corriente.                                 tensión.



                                                        b                          a b                             a
                                                                 Vab   0                        Vab       0
       i 0                        i 0


APARATOS DE MEDIDA: VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS
Voltímetro: destinado a medir las caídas de             Amperímetro: destinado a medir la corriente que
tensión entre dos puntos de un circuito. Se             circula por una rama de un circuito. Se conecta en
conecta en paralelo y lo ideal es que el aparato se     serie y lo ideal es que el aparato se comporte como
comporte como un circuito abierto (es decir, su         un cortocircuito (es decir, su resistencia interna RA
resistencia interna RV sea muy grande), para que        sea lo menor posible), para que pueda medirse la
por él no circule ninguna corriente que pueda           corriente circulante sin alterarla (sin introducir una
alterar la medida de tensión entre los dos puntos       caída de tensión extra que afecte a su valor).
conectados a, b.
                 Voltímetro
                                                                                           Amperímetro
                                                                               i
     i 0          RV                                                   Rama
                                                                                    b                         a
                                                                                              RA      0
             b     Vab        a
                                                                                         Circuito
                 Circuito                                                                                     10
SUPERPOSICIÓN
En un circuito lineal donde existen diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades
circulantes y las caídas de tensión en los distintos elementos del circuito pueden calcularse por
adición de las contribuciones de cada una de las fuentes en el elemento considerado.
Para llevar a cabo el cálculo de la contribución una fuente en particular, se considerará que el resto de fuentes de
voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales, su resistencia interna es cero), y el resto de
fuentes de corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas ideales, su resistencia interna es infinita).
Ejemplo. Calcular la corriente que               La contribución a la corriente en cada rama               RP 2        200 // 1000
circula por la resistencia de 200 y              y a la caída de tensión en cada elemento del                      RP 2 167
la caída de tensión entre los                    circuito es la suma de las contribuciones de
terminales de la fuente de corriente.            los siguientes circuitos simples, constando                                  200
                                                                                                                    i20
                                                 cada uno de una sola fuente:                             100                          i2
                   a
                                                                                   200                                     1000
      100                        200                            100                                         8V
                   48 mA                        i200                                          i1
                             1000                                                                  +
                                                                 48 mA          1000
                                                                                                                              200
       8V
                   b                4V                                                                    100                          i3
                                                               RP1     100 // 200 // 1000
                                                                      RP1 62 .5                                    1000
                                                                                                                               4V
Cálculo i1: divisor de corriente          Cálculo i3: LKV
      RP1                                         4                                                         RP 3      100 // 1000
  i1       ·48 mA 15 mA                  i3               0.014 A 14 mA
      200                                     200 RP 3                                                              RP 3 91

Cálculo i2: LKV y luego divisor corriente              i200    i1 i2 i3 15 25 14 26 mA
             8                                     RP 2                  Caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente:
i20                     0.03 A   30 mA     i2           ·i20   25 mA     la misma que en la rama situada más a la derecha. 11
       100       RP 2                              200
                                                                             Vab    i200 ·200 4 0.026·200 4 9.2 V
TEOREMA DE THEVENIN

En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de
corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:
* Una fuente de voltaje VTh igual al voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b.
* Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.
                                                        a                                Importante: este teorema
                 a                                                                       implica que cuando una red
                                                    Rab                                  lineal es sustituida por su
                              Resto
    Red lineal
                             circuito
                                                                          Resto          equivalente Thèvenin, las
                                                                         circuito        corrientes y voltajes del
                 b                                VTh                                    resto del circuito no sufren
                                                                                         alteración.
                                                        b
 Resistencia equivalente Rab: para su cálculo se determina la resistencia equivalente desde los
 terminales a, b, después de sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de
 corriente por circuitos abiertos.
                                                                            a      a
  Ejemplo: determinar el equivalente Thévenin       a       200
 entre los terminales a, b del circuito                      100




                                                                                                                             Circuito
                                              a                                                         62.5
                     a
       100                              200
                                                             48 mA            1000                      VTh          9.2 V
                     48 mA                                           b
                                                                                                    b
                                 1000                       Rab    100 // 200 // 1000     62.5                 b
        8V                               4V                 VTh    i200 ·200 4 0.026·200 4 9.2 V
                     b                        b                                                                    ¿Interpretación?
                                                                                                                         12
                                                                   (véase resultado ejemplo anterior)
TEOREMA DE NORTON

En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de
corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por:
* Una fuente de corriente ideal igual a la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b.
* Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b.
                                              a                                                     Importante: este teorema
                 a                                                                                  implica que cuando una red
                                                    iCC                                             lineal es sustituida por su
    Red lineal                Resto                                       Resto                     equivalente Norton, las
                             circuito                                    circuito                   corrientes y voltajes del
                                                             Rab                                    resto del circuito no sufren
                 b
                                                                                                    alteración.
                                              b

 La corriente de cortocircuito es la corriente que circularía a través de una conexión de resistencia
 cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor está dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia
 equivalente Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de equivalente Thèvenin.
 Ejemplo: determinar el equivalente Norton           Thèvenin
 entre los terminales a, b del circuito                                                             VTh   9.2
                                                          a                                   iCC                 0.147 A 147 mA
                     a                                                     iCC                      Rab   62.5
       100                              200                                                                               a
                     48 mA
                                                  62.5
                                                                   Cortocircuito

                                 1000                                              Circuito
                                                                                                                               Rab
        8V                               4V       9.2 V                                                     iCC
                     b
                                                         b                                                                13
                                                                                                                          b
CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDAD

Conversión de fuente de corriente     Conversión de fuente de voltaje y
y resistencia en paralelo             resistencia en serie

                                              a
                    a
i0                                                  R             Resto
                            Resto
                                                                 circuito
                           circuito
                R
                                                      V0
                    b                         b

 Aplicando el teorema de                     Aplicando el teorema de Norton,
 Thévenin, para el resto del                 para el resto del circuito esto es
 circuito esto es equivalente a              equivalente a

     a
                                                         a
            R            Resto
                                        i0
                                                                    Resto
                        circuito                                   circuito
                                                     R
             V0
     b                                                   b

                                                                                  14
         Si se cumple V0       i0 R          Si se cumple i0      V0 / R
MÉTODO DE MALLAS

    Es un algoritmo basado en la LKV que, ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos:
    1. Se numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario o antihorario, y se asigna a
    cada malla del circuito a resolver una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual
    circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del circuito a resolver).
    2. Siendo n el número de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la
    diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y siendo los elementos fuera de la
    diagonal principal los opuestos de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas
    adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas mallas).
    Obsérvese que la matriz de resistencias así construida es simétrica porque las resistencias compartidas por la
    malla i y la malla j aparecen tanto en la columna j de la fila i como en la fila i de la columna j.
                                                                                                        Compartida mallas 2 y 3
1                                                    2        Malla 1        Malla 2
                                                                                         Compartida
                                          RD                                             mallas 1 y 2         Compartida
                                                                                                              mallas 1 y 3
      RA      iM 1             RC        iM 2            V2
                                                                        RA   RB    RC            RC                   RB
                 RB                      RE
                                                                R             RC          RC    RD      RE            RE
3                                                                             RB                 RE           RF     RG      RB
      V1
                        iM 3                    RF        Compartida                                 Compartida
                                                          mallas 2 y 1                               mallas 3 y 2
                                                                                Compartida
                                                                                mallas 3 y 1                          Malla 3

            RG                      V3                                                                                15
MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN)
3. Se construye un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por cada malla.
Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de los valores todas las fuentes que existan en
el contorno de dicha malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al recorrer la
malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra en ella por el polo negativo, y signo – cuando
se entra en ella por el polo positivo.
                                       4. Las corrientes de malla se calculan
                                       resolviendo la siguiente ecuación matricial:    R iM      V
             V    1

    V         V2                                        donde las incógnitas son las                                          iM 1
                                                        componentes del vector de las                                    iM   iM 2
              V3
                                                        corrientes de malla (iM), dado por                                    iM 3
             Para resolver el sistema calculamos los siguientes determinantes:
                                                                  RA    RB        RC              RC                RB
1                                                   2         R             RC          RC    RD        RE          RE         Solución:
                                                                            RB                    RE          RF   RG    RB
                                         RD
        RA    iM 1            RC        iM 2                            V1              RC                    RB
                                                        V2        1     V2       RC     RD    RE              RE               iM 1     1

                  RB                    RE                              V3              RE              RF    RG   RB                   R

                                                                       RA        RB    RC     V1              RB
                                                                                                                                            2
3                                                                 2              RC           V2              RE                iM 2
                                                                                 RB           V3        RF    RG   RB
     V1                                                                                                                                     R

                       iM 3                    RF                      RA        RB    RC              RC          V1
                                                                                                                                            3
                                                                  3              RC          RC        RD    RE    V2           iM 3
                                                                                 RB                    RE          V3                       R

                                                                                                                                       16
             RG                    V3
MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN)
  Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por aplicación directa de las leyes de Kirchhoff,
  que el algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las corrientes de malla.
  Pregunta 2. ¿Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de malla para resolver el circuito,
  en lugar de calcular la corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de Kirchhoff?.
  Ejemplo numérico. Resolver el circuito siguiente.                           Matriz de resistencias
  Calcular qué corriente circula por cada fuente y                                      1 4            4               0                       Vector                        5 20
  determinar la caída de tensión entre A y B.                             R               4       4 3 8                8                       f.e.m              V          16 5
                                                                                                                                                                           50 20
                                                                                         0             8         8 5 10
                                   A
                                                                                                                                    5         4    0         iM 1         25
1                                                                2                      Ecuación matricial                            4   15           8     iM 2         11
                  1k                            3k                                         del sistema
                                                                                                                                    0         8    23        iM 3         70
                           4k
                 iM 1                           iM 2                          Determinantes
                                                                                             5     4       0                               25          4     0
       20 V                                               16 V                                4   15        8      1037                    11      15          8      5797
                           5V                                                       R                                             1

                                                                                             0     8       23                             70           8     23
3                                                                                        5        25       0                              5        4         25
                                               8k
                                                                                2         4       11        8         765         3        4      15         11       2890
                                  iM 3                                                   0        70       23                             0        8        70
             10 k                                        5k
                                             50 V                        i20V           iM 1 iM 3              5.59 2.79                  8.38 mA             Sentido opuesto a iM1
                                                                 B
                                                                        i5V         i M 1 iM 2             5.59              0.74          4.85 mA               Sentido opuesto a iM1
         1         5797
iM 1                            5.59 mA   (Sentido de                  2890                                 i16V       iM 2           0.74 mA              Sentido real
         R        1037                    la corriente    iM 3   3
                                                                                        2.79 mA
                                            de malla             R     1037                                    i50V        iM 3   2.79 mA
             2       765                   opuesto al
iM 2                            0.74 mA       que                                                                                                                         17
             R     1037                   supusimos)             VAB   3 iM 2 16 5 iM 3                3        0.74        16 5· 2.79            27 .73 V
EJEMPLO
Una red lineal está formada por la fuente de corriente, fuentes de voltaje y resistencias que
aparecen en el siguiente diagrama de circuito. Utilizando la conversión entre fuentes de intensidad
y fuentes de voltaje para aplicar después el método de mallas, se pide:
(a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k .
¿Merece algún comentario el resultado?
(b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k .
(c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k , dejando invariable todos los
demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de
2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k ? ¿Qué
d.d.p. hay en la fuente de corriente?

                                        16 V
                                                   0.75 k


                                                                        3.3 k
                                          0.05 k
                                                    2.2 k              10 V
                               1.2 A


                                                     36 V




                                                                                            18
EJEMPLO. SOLUCIÓN.                      (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k       y la d.d.p. en la de 0.05 k .

(a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie
                  16 V                                                      Mallas:
                               0.75 k
                                                                            0.05 0.75 2.2              2.2       iM 1      60 16 36
                                                                                      2.2            2.2 3.3     iM 2             10
                                                               3.3 k
                      0.05 k
                                                                                3      2.2    iM 1      40                3        2.2
                                2.2 k                         10 V                                                                          11.66
                                                                            2.2       5.5     iM 2       10               2.2     5.5
    1.2 A
                                                                                                                         40       2.2
                                                                                      1                                                  198
                                                                          iM 1              16.98 mA                 1
                                                                                                                          10      5.5
                                 36 V
                                             Corrientes malla
                                                                                      2
                                                                                                                          3       40
                  16 V                                                    iM 2               4.97 mA                 2                      58
                               0.75 k                                                                                     2.2      10

                  A                                                         Resistencia 2.2 k : i2.2                 iM 1 i M 2    12 .01 mA
      0.05 k                                                    3.3 k
                                                                          VAB         16 iM 1·0.75           iM 1 iM 2 ·2.2 36           59.15 V
                      iM 1                          iM 2
                                 2.2 k                        10 V                  VAB      59.15
                                                                        i0.05                      1183 mA
       60 V       B                                                                 0.05     0.05
                                                                                                                                                 A
                                 36 V                                                                          0.05 k
1.2 A 50       60 V                                                                                                                0.05 k
                                                                                                                                                     i0.05
La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al ser su resistencia en
paralelo tan pequeña, casi toda la corriente (1183 mA) se desvía a través de                                                    1.2 A
ésta y no está disponible para el resto del circuito.                                                         60 V                       19
                                                                                                                                                 B
EJEMPLO. SOLUCIÓN.

(b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k .
           16 V                                    Resistencia entre C y D
                         0.75 k                                                             0.75 k

            A                       C                                          A                       C
                                                      3.3 k                                                    3.3 k
                0.05 k                                                             0.05 k
                                        i2 . 2
                          2.2 k                      10 V                                    2.2 k
 1.2 A
            B                       D                                          B                        D

                           36 V
                                  Cortocircuitamos las fuentes de voltaje y abrimos la fuente de corriente
                                              1      1       1      1          -1
Tres resistencias en paralelo                                             2k                  RCD    0 .5 k
                                             RCD    3.3     2 .2   0.80
Voltaje Thèvenin: es la d.d.p. medida por un voltímetro       i2.2 iM 1 iM 2 12 .01 mA
ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya calculamos
antes la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k , VCD i2.2 ·2.2 12 .01·2.2 26 .4 V
podemos determinar inmediatamente dicho voltaje.
                                                                                             C


                                                                               0.5 k



                                                                                   26.4 V                     20
                                                                                              D
EJEMPLO. SOLUCIÓN.
   (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k , dejando invariable todos los demás elementos
   del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus
   extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k ? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente?
                   16 V          0.75 k                                   Mallas:
                                                                         5.05 0.75 2.2              2.2      iM 1         6060 16 36
                                                              3.3 k                2.2            2.2 3.3    iM 2                 10
                        5.05 k
                                  2.2 k                       10 V        8         2.2    iM 1      6040                 8       2.2
                                                                                                                                           39.16
      1.2 A                                                               2.2      5.5     iM 2        10                 2.2     5.5

                                                                                                                     6040        2.2
                                                                                    1                                                    33198
                                   36 V                                  i 'M 1            848 mA             1
                                                                                                                      10        5.5
                                           Corrientes malla
                    16 V                                                             2
                                                                                                                      3         6040
                                 0.75 k                                  i 'M 2            337 mA             2                          13208
                                                                                                                      2.2        10
                    A                      C                              Resistencia 2.2 k : i'2.2 i'M 1 i 'M 2 510 mA
        5.05 k                                                 3.3 k
                                                                                          VCD      i2.2 ·2.2 510 ·2.2 1122 V
                        i 'M 1                       i 'M 2
                                   2.2 k                      10 V        V ' AB         16 0.75·iM 1 VCD            36 1779 V
                                            i2 . 2                                                                                                 848 mA
                                                                                                                                           A
         6060 V     B                       D
                                                                         VAB
                                   36 V                          i0.05             352 mA                   5.05 k                5.05 k
1.2 A 5050       6060 V                                                  5.05




                                                                                                                                                    1779 V
  La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es
  ahora mayor, la fracción de la corriente de la fuente que circula por ella es                                               1.2 A
  bastante menor que en el apartado a). En consecuencia, crece la corriente que                           6060 V                      352 mA
                                                                                                                                          21
  circula por las ramas del circuito, en particular por la de 2.2 k .
                                                                                                                                               B

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  • 1. TEORÍA DE REDES. CIRCUITOS LINEALES Sentido convencional de la corriente: Supondremos que la corriente eléctrica en los circuitos lineales que vamos a estudiar está formada por un flujo de cargas positivas que se origina en el Símbolo de polo positivo de las fuentes y se mueven a través de los elementos resistencia conductores del circuito hasta alcanzar el polo negativo de las fuentes. 1
  • 2. TERMINOLOGÍA BÁSICA DE LA TEORÍA DE REDES Red: Sistema de conductores que forman un circuito cerrado. Rama: grupo de componentes de un circuito por los que circula la misma corriente. Nudo / nodo: punto de conexión de dos o más ramas. Lazo: Cualquier trayectoria cerrada en una red. Malla: Lazo que no contiene otra trayectoria cerrada en su interior Fuente de voltaje Fuente de corriente Resistencia 2
  • 3. LEYES DE KIRCHHOFF Ley de Kirchhoff de la corriente. LKC: En cualquier instante, la suma de todas las corrientes que concurren en un nudo es igual a cero. i1 Ley basada en la conservación de la carga (ecuación de continuidad): i5 cuando el circuito funciona en régimen estacionario, la carga no se acumula en ningún punto del mismo. i2 Para su aplicación damos un signo a las corrientes entrantes y el i4 signo opuesto a las corrientes salientes. 1 RA i1 i2 i3 i4 i5 0 V0 i3 2 RB RC Definición de caída de tensión. Ley de Kirchhoff del voltaje. 4 3 La caída de tensión V12 entre dos puntos de LKV: La suma de las caídas de tensión a lo largo de un circuito (potencial del punto 1 respecto cualquier trayectoria cerrada debe ser igual a cero en al punto 2) se define como la energía (en julios) disipada cuando una carga de +1 C cualquier instante. circula entre el punto 1 y el punto 2. Vij V12 V23 V34 ... 0 1 V12 V1 V2 Ley basada en la conservación de la energía: la energía Ejemplo: disipada en las resistencias debe ser suministrada por Si V12 = +5V, la tensión V2 las fuentes para mantener constante el flujo de cargas. 2 es menor que V1 se disipan 5 J cuando + 1C Si V12 = -5V, la tensión V2 es mayor que V1 la energía de +1 C circula desde 1 2 de carga se incrementa en 5 J cuando circula desde 1 2. 3 Esto implica que debe haber fuentes que suministren tal energía.
  • 4. LEYES DE KIRCHHOFF (Cont.) V21 V2 V1 0 Reglas de aplicación V1 V2 V12 V1 V2 0 1. En una resistencia hay una caída de tensión positiva en el sentido de la corriente cuyo valor es i·R (ley de Ohm). a 1 2. En una batería (o fuente de c.c.) hay una caída de Resto del i tensión positiva (igual a su valor V0) en el sentido del circuito terminal + al – con independencia del sentido de la b 2 corriente. Va Vb Vab Va Vb 0 -4.5 V Vba Vb Va 0 Ejemplo: medidas con polímetros +9 V ¿Lectura? ¿Lectura? Ejemplo2 -9 V Mismo potencial i R 9V 9V -9 V R i R Mismo potencial 4
  • 5. FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Divisor de tensión Formado por un conjunto de resistencias en serie (circula la misma corriente por todas ellas, la resistencia equivalente es igual a la suma de las resistencias). Datos conocidos V0 RA RB RC aplicamos LKV para calcular i 1 i RA VA Vij V12 V23 V34 V41 0 V0 2 Cálculo de caídas de tensión a través de las resistencias (ley de Ohm) RB VB V12 VA i RA V23 VB i RB V23 VC i RC RC 4 3 3 Caída de tensión a través de fuente: V41 V0 LKV : i RA i RB i RC V0 0 V0 V0 Intensidad VC i calculada a RA RB RC RS partir de LKV Resistencia en serie: RS RA RB RC Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia. RA RB RC VA i RA VA V0 VB i RB VB V0 VC i RC VC V0 RS RS RS En general: para Forma alternativa de representar el circuito: cortado a tierra. la resistencia Rk V0 VA VB VC V0 VA VB VC Rk Vk V0 RS i RA RB RC Símbolo de tierra. Representa el potencial más bajo, convencionalmente igual 5 cero. a
  • 6. FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Divisor de corriente Formado por un conjunto de resistencias en paralelo (todas las resistencias están sometidas a la misma diferencia de potencial, y circula una corriente diferente por cada una de ellas). Resistencia equivalente: el inverso de la resistencia de la asociación en paralelo es igual a la suma de los inversos de las resistencias que lo forman. Datos conocidos V0 RA RB RC i iA iB iC V0 1 1 1 1 Resistencia paralelo Obtenemos RP RP RA RB RC V0 i A RA RA RB RC La d.d.p. entre los extremos de cada V0 iB RB resistencia paralelo es V0. Ley de Ohm: Circuito equivalente V0 iC RC LKV: i RP V0 0 V0 i RP igualamos V0 i RP RP V0 RP RP iC i i i RP i A RA iA i i RP iB RB iB i i RP iC RC RP RA RB RC Obsérvese que se verifica LKC i i A iB iC Fórmula del divisor de corriente para la resistencia Rk iA iB iC V0 i RP El mismo circuito RA RB RC ik i cortado a tierra Rk 6
  • 7. FÓRMULAS DE LOS DIVISORES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE. EJEMPLO Determinar la corriente y la 1 1 1 5 RP 6 1.2 k LKV: i RS 12 0 caída de tensión en cada una RP 2 3 6 5 Esta es la de las resistencias del circuito 12 V corriente en siguiente. RP RS 2.8 1.2 4k i 3 mA la resistencia 4k de 2.8 k i 2.8 k i2 i3 i 2.8 k i 12 V RS 4k 12 V 12 V RP 1.2 k 2k 3k Las resistencias de 2 k y 3 Cálculo de caídas de tensión Dibujar el mismo circuito k forman un divisor de cortado a tierra corriente en el que la corriente 1 2 entrante es i = 3 mA. i 2.8 k i i2 i3 12 V 2.8 k i 12 V RP 1.2 k i2 i3 3 2k 3k i 2k 3k 2.8 2 .8 V12 ·12 ·12 8.4 V RS 4 RP 1.2 i2 i 3 1.8 mA V23 RP ·12 1 .2 ·12 3 .6 V 2 2 RS 4 RP 1.2 7 i3 i 3 1.2 mA Esta es la caída de tensión en 3 3 las resistencias de 2 k y 3 k
  • 8. FUENTES DE TENSIÓN o VOLTAJE Fuerza electromotriz (f.e.m.) de una fuente Se define como el trabajo que la fuente es capaz de realizar sobre la unidad de carga positiva para transportarla del polo negativo hasta el positivo a través de su interior. En el S.I. se expresa en J/C, es decir, en voltios. Fuente ideal de tensión o voltaje (independiente) b a Es aquella que mantiene siempre la misma diferencia de potencial entre sus terminales, igual a la fuerza electromotriz de la fuente, b a independientemente de la corriente que circula por ella y de las tensiones en otras partes del circuito. Fuente real de tensión o voltaje Excepto cuando se encuentra en circuito abierto, toda fuente real de b r a tensión sufre una pérdida de voltaje entre sus terminales debido a que dentro de la misma existe resistencia al paso de la corriente y por lo tanto una parte de la energía que la fuente puede suministrar por b a unidad de carga se invierte en que la corriente circule a través de la propia fuente. Una fuente real puede considerarse como una fuente R i ideal de tensión conectada en serie con una resistencia interna r. LKV: i R ir 0 i Caída tensión Vab ir R r Potencia Una fuente de voltaje es de mayor calidad suministrada P ·i cuanto menor sea su resistencia interna r. por una fuente Fuente de tensión o voltaje dependiente Aquella cuyo valor de tensión depende de las tensiones o corrientes de otras partes del circuito, 8 (No serán consideradas en este tema).
  • 9. FUENTES DE CORRIENTE Fuente ideal de corriente (independiente) Es un elemento que suministra a la rama en la que se encuentra i0 b a conectado una corriente constante independientemente de la diferencia de potencial entre sus terminales.. Fuente real de corriente Una fuente real de corriente puede considerarse como la i0 combinación de una fuente ideal con una resistencia r en paralelo, de modo que una fracción de la corriente suministrada por la fuente de b r a corriente ideal no llega a salir al circuito exterior. La calidad de una fuente de corriente es tanto mayor cuanto mayor sea el valor de la resistencia r. Circuito exterior 2 Ejemplo 76·4 R RP 3.8R Equivalente: 4R 76 R 4 R i4 R RP 3.8R i76 R i76 R i0 i0 0.05 i0 2R 4R i0 76R 4R 76R 76R i0 i76 R RP 3.8R 4R i4 R i4 R i0 i0 0.95 i0 r 76R 4R 4R 9
  • 10. CIRCUITO ABIERTO Y CORTOCIRCUITO Circuito abierto: puede considerarse como Cortocircuito: es una unión carente de resistencia. una conexión con resistencia infinita. Por él Por lo tanto entre sus terminales no hay caída de no circula corriente. tensión. b a b a Vab 0 Vab 0 i 0 i 0 APARATOS DE MEDIDA: VOLTÍMETROS Y AMPERÍMETROS Voltímetro: destinado a medir las caídas de Amperímetro: destinado a medir la corriente que tensión entre dos puntos de un circuito. Se circula por una rama de un circuito. Se conecta en conecta en paralelo y lo ideal es que el aparato se serie y lo ideal es que el aparato se comporte como comporte como un circuito abierto (es decir, su un cortocircuito (es decir, su resistencia interna RA resistencia interna RV sea muy grande), para que sea lo menor posible), para que pueda medirse la por él no circule ninguna corriente que pueda corriente circulante sin alterarla (sin introducir una alterar la medida de tensión entre los dos puntos caída de tensión extra que afecte a su valor). conectados a, b. Voltímetro Amperímetro i i 0 RV Rama b a RA 0 b Vab a Circuito Circuito 10
  • 11. SUPERPOSICIÓN En un circuito lineal donde existen diversas fuentes de voltaje y/o de corriente, las intensidades circulantes y las caídas de tensión en los distintos elementos del circuito pueden calcularse por adición de las contribuciones de cada una de las fuentes en el elemento considerado. Para llevar a cabo el cálculo de la contribución una fuente en particular, se considerará que el resto de fuentes de voltaje se sustituyen por un cortocircuito (consideradas ideales, su resistencia interna es cero), y el resto de fuentes de corriente se sustituyen por un circuito abierto (consideradas ideales, su resistencia interna es infinita). Ejemplo. Calcular la corriente que La contribución a la corriente en cada rama RP 2 200 // 1000 circula por la resistencia de 200 y y a la caída de tensión en cada elemento del RP 2 167 la caída de tensión entre los circuito es la suma de las contribuciones de terminales de la fuente de corriente. los siguientes circuitos simples, constando 200 i20 cada uno de una sola fuente: 100 i2 a 200 1000 100 200 100 8V 48 mA i200 i1 1000 + 48 mA 1000 200 8V b 4V 100 i3 RP1 100 // 200 // 1000 RP1 62 .5 1000 4V Cálculo i1: divisor de corriente Cálculo i3: LKV RP1 4 RP 3 100 // 1000 i1 ·48 mA 15 mA i3 0.014 A 14 mA 200 200 RP 3 RP 3 91 Cálculo i2: LKV y luego divisor corriente i200 i1 i2 i3 15 25 14 26 mA 8 RP 2 Caída de tensión entre los terminales de la fuente de corriente: i20 0.03 A 30 mA i2 ·i20 25 mA la misma que en la rama situada más a la derecha. 11 100 RP 2 200 Vab i200 ·200 4 0.026·200 4 9.2 V
  • 12. TEOREMA DE THEVENIN En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por: * Una fuente de voltaje VTh igual al voltaje medido en circuito abierto entre los terminales a, b. * Una resistencia en serie con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b. a Importante: este teorema a implica que cuando una red Rab lineal es sustituida por su Resto Red lineal circuito Resto equivalente Thèvenin, las circuito corrientes y voltajes del b VTh resto del circuito no sufren alteración. b Resistencia equivalente Rab: para su cálculo se determina la resistencia equivalente desde los terminales a, b, después de sustituir las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. a a Ejemplo: determinar el equivalente Thévenin a 200 entre los terminales a, b del circuito 100 Circuito a 62.5 a 100 200 48 mA 1000 VTh 9.2 V 48 mA b b 1000 Rab 100 // 200 // 1000 62.5 b 8V 4V VTh i200 ·200 4 0.026·200 4 9.2 V b b ¿Interpretación? 12 (véase resultado ejemplo anterior)
  • 13. TEOREMA DE NORTON En cualquier circuito lineal, toda combinación de resistencias, fuentes de voltaje y fuentes de corriente (red lineal), vista desde un par de terminales a y b, puede sustituirse por: * Una fuente de corriente ideal igual a la corriente de cortocircuito iCC entre los terminales a, b. * Una resistencia en paralelo con la fuente anterior cuyo valor es la resistencia equivalente entre a y b. a Importante: este teorema a implica que cuando una red iCC lineal es sustituida por su Red lineal Resto Resto equivalente Norton, las circuito circuito corrientes y voltajes del Rab resto del circuito no sufren b alteración. b La corriente de cortocircuito es la corriente que circularía a través de una conexión de resistencia cero que conectase los terminales a y b, cuyo valor está dado por iCC = VTh/Rab. La resistencia equivalente Rab se calcula del mismo modo indicado en el apartado de equivalente Thèvenin. Ejemplo: determinar el equivalente Norton Thèvenin entre los terminales a, b del circuito VTh 9.2 a iCC 0.147 A 147 mA a iCC Rab 62.5 100 200 a 48 mA 62.5 Cortocircuito 1000 Circuito Rab 8V 4V 9.2 V iCC b b 13 b
  • 14. CONVERSIONES ENTRE FUENTES DE VOLTAJE E INTENSIDAD Conversión de fuente de corriente Conversión de fuente de voltaje y y resistencia en paralelo resistencia en serie a a i0 R Resto Resto circuito circuito R V0 b b Aplicando el teorema de Aplicando el teorema de Norton, Thévenin, para el resto del para el resto del circuito esto es circuito esto es equivalente a equivalente a a a R Resto i0 Resto circuito circuito R V0 b b 14 Si se cumple V0 i0 R Si se cumple i0 V0 / R
  • 15. MÉTODO DE MALLAS Es un algoritmo basado en la LKV que, ilustrado con un ejemplo, se aplica siguiendo estos pasos: 1. Se numeran las mallas, se elige arbitrariamente un sentido, horario o antihorario, y se asigna a cada malla del circuito a resolver una corriente ficticia, denominada corriente de malla, la cual circula en el sentido elegido (el mismo para todas las mallas del circuito a resolver). 2. Siendo n el número de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la diagonal principal la suma de resistencias de cada malla, y siendo los elementos fuera de la diagonal principal los opuestos de las sumas de las resistencias compartidas por dos mallas adyacentes (es decir, las situadas en la rama que limita ambas mallas). Obsérvese que la matriz de resistencias así construida es simétrica porque las resistencias compartidas por la malla i y la malla j aparecen tanto en la columna j de la fila i como en la fila i de la columna j. Compartida mallas 2 y 3 1 2 Malla 1 Malla 2 Compartida RD mallas 1 y 2 Compartida mallas 1 y 3 RA iM 1 RC iM 2 V2 RA RB RC RC RB RB RE R RC RC RD RE RE 3 RB RE RF RG RB V1 iM 3 RF Compartida Compartida mallas 2 y 1 mallas 3 y 2 Compartida mallas 3 y 1 Malla 3 RG V3 15
  • 16. MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) 3. Se construye un vector de fuerzas electromotrices que contiene un elemento por cada malla. Cada uno de estos elementos es la suma algebraica de los valores todas las fuentes que existan en el contorno de dicha malla, figurando la f.e.m. de cada fuente con signo + cuando al recorrer la malla en el sentido arbitrariamente elegido se entra en ella por el polo negativo, y signo – cuando se entra en ella por el polo positivo. 4. Las corrientes de malla se calculan resolviendo la siguiente ecuación matricial: R iM V V 1 V V2 donde las incógnitas son las iM 1 componentes del vector de las iM iM 2 V3 corrientes de malla (iM), dado por iM 3 Para resolver el sistema calculamos los siguientes determinantes: RA RB RC RC RB 1 2 R RC RC RD RE RE Solución: RB RE RF RG RB RD RA iM 1 RC iM 2 V1 RC RB V2 1 V2 RC RD RE RE iM 1 1 RB RE V3 RE RF RG RB R RA RB RC V1 RB 2 3 2 RC V2 RE iM 2 RB V3 RF RG RB V1 R iM 3 RF RA RB RC RC V1 3 3 RC RC RD RE V2 iM 3 RB RE V3 R 16 RG V3
  • 17. MÉTODO DE MALLAS (CONTINUACIÓN) Pregunta 1. Demostrar sobre el ejemplo anterior, por aplicación directa de las leyes de Kirchhoff, que el algoritmo indicado conduce al resultado correcto para las corrientes de malla. Pregunta 2. ¿Tiene alguna ventaja definir las ficticias corrientes de malla para resolver el circuito, en lugar de calcular la corriente en cada rama aplicando directamente las leyes de Kirchhoff?. Ejemplo numérico. Resolver el circuito siguiente. Matriz de resistencias Calcular qué corriente circula por cada fuente y 1 4 4 0 Vector 5 20 determinar la caída de tensión entre A y B. R 4 4 3 8 8 f.e.m V 16 5 50 20 0 8 8 5 10 A 5 4 0 iM 1 25 1 2 Ecuación matricial 4 15 8 iM 2 11 1k 3k del sistema 0 8 23 iM 3 70 4k iM 1 iM 2 Determinantes 5 4 0 25 4 0 20 V 16 V 4 15 8 1037 11 15 8 5797 5V R 1 0 8 23 70 8 23 3 5 25 0 5 4 25 8k 2 4 11 8 765 3 4 15 11 2890 iM 3 0 70 23 0 8 70 10 k 5k 50 V i20V iM 1 iM 3 5.59 2.79 8.38 mA Sentido opuesto a iM1 B i5V i M 1 iM 2 5.59 0.74 4.85 mA Sentido opuesto a iM1 1 5797 iM 1 5.59 mA (Sentido de 2890 i16V iM 2 0.74 mA Sentido real R 1037 la corriente iM 3 3 2.79 mA de malla R 1037 i50V iM 3 2.79 mA 2 765 opuesto al iM 2 0.74 mA que 17 R 1037 supusimos) VAB 3 iM 2 16 5 iM 3 3 0.74 16 5· 2.79 27 .73 V
  • 18. EJEMPLO Una red lineal está formada por la fuente de corriente, fuentes de voltaje y resistencias que aparecen en el siguiente diagrama de circuito. Utilizando la conversión entre fuentes de intensidad y fuentes de voltaje para aplicar después el método de mallas, se pide: (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k . ¿Merece algún comentario el resultado? (b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k . (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k , dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k ? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente? 16 V 0.75 k 3.3 k 0.05 k 2.2 k 10 V 1.2 A 36 V 18
  • 19. EJEMPLO. SOLUCIÓN. (a) Determinar la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. en la de 0.05 k . (a) Convertimos la fuente de corriente y su resistencia paralelo en fuente de voltaje / resistencia serie 16 V Mallas: 0.75 k 0.05 0.75 2.2 2.2 iM 1 60 16 36 2.2 2.2 3.3 iM 2 10 3.3 k 0.05 k 3 2.2 iM 1 40 3 2.2 2.2 k 10 V 11.66 2.2 5.5 iM 2 10 2.2 5.5 1.2 A 40 2.2 1 198 iM 1 16.98 mA 1 10 5.5 36 V Corrientes malla 2 3 40 16 V iM 2 4.97 mA 2 58 0.75 k 2.2 10 A Resistencia 2.2 k : i2.2 iM 1 i M 2 12 .01 mA 0.05 k 3.3 k VAB 16 iM 1·0.75 iM 1 iM 2 ·2.2 36 59.15 V iM 1 iM 2 2.2 k 10 V VAB 59.15 i0.05 1183 mA 60 V B 0.05 0.05 A 36 V 0.05 k 1.2 A 50 60 V 0.05 k i0.05 La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Pero al ser su resistencia en paralelo tan pequeña, casi toda la corriente (1183 mA) se desvía a través de 1.2 A ésta y no está disponible para el resto del circuito. 60 V 19 B
  • 20. EJEMPLO. SOLUCIÓN. (b) Calcular el equivalente Thévenin entre los terminales de la resistencia de 2.2 k . 16 V Resistencia entre C y D 0.75 k 0.75 k A C A C 3.3 k 3.3 k 0.05 k 0.05 k i2 . 2 2.2 k 10 V 2.2 k 1.2 A B D B D 36 V Cortocircuitamos las fuentes de voltaje y abrimos la fuente de corriente 1 1 1 1 -1 Tres resistencias en paralelo 2k RCD 0 .5 k RCD 3.3 2 .2 0.80 Voltaje Thèvenin: es la d.d.p. medida por un voltímetro i2.2 iM 1 iM 2 12 .01 mA ideal entre los terminales C y D. Puesto que ya calculamos antes la corriente circulante por la resistencia de 2.2 k , VCD i2.2 ·2.2 12 .01·2.2 26 .4 V podemos determinar inmediatamente dicho voltaje. C 0.5 k 26.4 V 20 D
  • 21. EJEMPLO. SOLUCIÓN. (c) Si sustituimos la resistencia de 0.05 k por otra de 5.05 k , dejando invariable todos los demás elementos del circuito, ¿cómo se vería afectada la corriente que circula por la resistencia de 2.2 k y la d.d.p. entre sus extremos? ¿Qué corriente circula por la resistencia de 5.05 k ? ¿Qué d.d.p. hay en la fuente de corriente? 16 V 0.75 k Mallas: 5.05 0.75 2.2 2.2 iM 1 6060 16 36 3.3 k 2.2 2.2 3.3 iM 2 10 5.05 k 2.2 k 10 V 8 2.2 iM 1 6040 8 2.2 39.16 1.2 A 2.2 5.5 iM 2 10 2.2 5.5 6040 2.2 1 33198 36 V i 'M 1 848 mA 1 10 5.5 Corrientes malla 16 V 2 3 6040 0.75 k i 'M 2 337 mA 2 13208 2.2 10 A C Resistencia 2.2 k : i'2.2 i'M 1 i 'M 2 510 mA 5.05 k 3.3 k VCD i2.2 ·2.2 510 ·2.2 1122 V i 'M 1 i 'M 2 2.2 k 10 V V ' AB 16 0.75·iM 1 VCD 36 1779 V i2 . 2 848 mA A 6060 V B D VAB 36 V i0.05 352 mA 5.05 k 5.05 k 1.2 A 5050 6060 V 5.05 1779 V La fuente de corriente proporciona 1200 mA. Como su resistencia en paralelo es ahora mayor, la fracción de la corriente de la fuente que circula por ella es 1.2 A bastante menor que en el apartado a). En consecuencia, crece la corriente que 6060 V 352 mA 21 circula por las ramas del circuito, en particular por la de 2.2 k . B