1) El documento habla sobre exponentes y raíces. 2) Define conceptos como base, exponente, raíz enésima y propiedades de los exponentes y radicales. 3) Explica cómo racionalizar expresiones algebraicas que contienen radicales en el denominador.
El documento presenta información sobre relaciones en los números reales. Introduce conceptos como pares ordenados, producto cartesiano, dominio y rango de una relación. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. Además, define tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y de equivalencia. Finalmente, introduce la relación inversa.
Este documento introduce conceptos clave sobre exponentes y radicales. Explica que una expresión algebraica está formada por constantes, variables y operaciones. Define exponentes, raíces y radicales, y establece propiedades como las leyes de los exponentes. También cubre la racionalización de expresiones que involucran radicales en el denominador.
Sumas, restas y valor numérico de expresiones algebraicas, multiplicación y división de expresiones algebraicas , producto notable de expresiones algebraicas y factorización de expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo: (1) la definición de una expresión algebraica y sus componentes como variables, letras y operaciones; (2) las reglas para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas; y (3) conceptos como polinomios, factorización, y el cálculo del valor numérico de una expresión. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos y técnicas algebraicas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y funciones. Define el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. También introduce las nociones de relación, dominio, recorrido, composición de relaciones e inversa de una relación. Finalmente, explica las propiedades de una relación de equivalencia y la noción de clase de equivalencia.
El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, pertenencia y notaciones. Explica formas de determinar conjuntos como por extensión o por comprensión. También describe clases de conjuntos como finitos, infinitos y especiales como el conjunto vacío y unitario. Finalmente, presenta ejemplos de cuantificadores y proposiciones cuantificacionales sobre conjuntos.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan y notan los conjuntos. Explica los símbolos para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto. También describe los diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos, unitarios y de conjuntos. Finalmente, introduce las relaciones entre conjuntos como la inclusión y la igualdad.
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...Mareli Rodríguez Ovalle
Este documento describe el método de integración de fracciones parciales para el caso en que el denominador tiene factores de primer grado que se repiten. Explica que la descomposición en este caso contiene tantos términos como veces se repite el factor lineal en el denominador, y que cada término tiene como denominador una potencia del factor repetido. También incluye un ejemplo resuelto paso a paso para ilustrar el método.
El documento presenta información sobre relaciones en los números reales. Introduce conceptos como pares ordenados, producto cartesiano, dominio y rango de una relación. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. Además, define tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y de equivalencia. Finalmente, introduce la relación inversa.
Este documento introduce conceptos clave sobre exponentes y radicales. Explica que una expresión algebraica está formada por constantes, variables y operaciones. Define exponentes, raíces y radicales, y establece propiedades como las leyes de los exponentes. También cubre la racionalización de expresiones que involucran radicales en el denominador.
Sumas, restas y valor numérico de expresiones algebraicas, multiplicación y división de expresiones algebraicas , producto notable de expresiones algebraicas y factorización de expresiones algebraicas.
Este documento presenta información sobre expresiones algebraicas, incluyendo: (1) la definición de una expresión algebraica y sus componentes como variables, letras y operaciones; (2) las reglas para simplificar, sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas; y (3) conceptos como polinomios, factorización, y el cálculo del valor numérico de una expresión. El documento proporciona ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos y técnicas algebraicas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y funciones. Define el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. También introduce las nociones de relación, dominio, recorrido, composición de relaciones e inversa de una relación. Finalmente, explica las propiedades de una relación de equivalencia y la noción de clase de equivalencia.
El documento presenta los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, elementos, pertenencia y notaciones. Explica formas de determinar conjuntos como por extensión o por comprensión. También describe clases de conjuntos como finitos, infinitos y especiales como el conjunto vacío y unitario. Finalmente, presenta ejemplos de cuantificadores y proposiciones cuantificacionales sobre conjuntos.
Este documento describe los conceptos básicos de los conjuntos. Define lo que es un conjunto y cómo se representan y notan los conjuntos. Explica los símbolos para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto. También describe los diferentes tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos, unitarios y de conjuntos. Finalmente, introduce las relaciones entre conjuntos como la inclusión y la igualdad.
Fracciones Parciales/ Segundo Caso/ Denominador con factores de primer grado...Mareli Rodríguez Ovalle
Este documento describe el método de integración de fracciones parciales para el caso en que el denominador tiene factores de primer grado que se repiten. Explica que la descomposición en este caso contiene tantos términos como veces se repite el factor lineal en el denominador, y que cada término tiene como denominador una potencia del factor repetido. También incluye un ejemplo resuelto paso a paso para ilustrar el método.
Este documento presenta una introducción a la teoría básica de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos. Explica las nociones de pertenencia, subconjuntos e igualdad de conjuntos. También introduce los diagramas de Venn para representar gráficamente conjuntos y sus relaciones. Finalmente, define el conjunto universal como aquel que contiene a todos los conjuntos que se están considerando.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
Este documento presenta conceptos básicos sobre teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación de conjuntos, relación de pertenencia, número cardinal, determinación de conjuntos, clases de conjuntos (finitos e infinitos), relaciones entre conjuntos y subconjuntos. Resuelve varios problemas como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y sus elementos. Explica cómo representar conjuntos con letras mayúsculas y cómo describirlos por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia y complemento. Finalmente, explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y propiedades como conmutatividad e idempotencia.
El documento presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. Explica que las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, y describe proposiciones simples y compuestas. Luego introduce conceptos de conjuntos como elementos, pertenencia y determinación de conjuntos. Finalmente, cubre relaciones entre conjuntos como contenencia, igualdad e intersección.
El razonamiento es válido. La hipótesis H1 establece que la dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. La hipótesis H2 establece que si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil. Por lo tanto, si las medidas económicas no son viables (premisa de la conclusión), entonces la dolarización sería difícil, por lo que a muchas personas no les gustaría (conclusión).
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA DEL ESTADO LARA ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO-EDO-LARA
Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación
Participante:
Elisol Carreño C.I: 28.127.710
PNF: Deportes
Facilitador: Prof. Mary de Cols
Sección: 0301
Barquisimeto, 20 de Febrero del 2021
Expresiones algebraicas
Se conoce como expresiones algebraicas a la combinación de letras, signos y números en las operaciones matemáticas. Por lo general, las letras representan cantidades desconocidas y son llamadas variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas permiten las traducciones a las expresiones del lenguaje matemático del lenguaje habitual. Las expresiones algebraicas surgen de la obligación de traducir valores desconocidos a números que están representados por letras.
Suma: Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
Resta: Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro.
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación).
Multiplicación: Para multiplicar expresiones algebraicas con uno o más términos usar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, las reglas de los exponentes como también los productos notables.
El documento introduce conceptos básicos de álgebra como variables, constantes y expresiones algebraicas. Explica que una variable representa un elemento de un conjunto y que una constante es un número fijo. Define expresiones algebraicas como combinaciones de constantes y variables usando operaciones como adición y multiplicación. Luego se enfoca en polinomios, expresando que son una clase importante de expresiones algebraicas y definiendo términos como monomio, binomio, trinomio y grado de un polinomio. Finalmente, cubre operaciones básicas como suma, resta y
Este documento presenta los conceptos básicos de los conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos llamados elementos. Explica cómo representar conjuntos y determinarlos ya sea por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento presenta preguntas sobre conjuntos matemáticos. En la primera sección se piden los elementos de diferentes conjuntos. La segunda sección evalúa si ciertas afirmaciones sobre conjuntos son verdaderas o falsas. La tercera sección pregunta clasificar diferentes conjuntos como vacíos, unitarios, finitos u infinitos. El documento también incluye secciones sobre ejercicios resueltos y propuestos relacionados con conjuntos.
Este documento define funciones racionales como expresiones donde el numerador y denominador son polinomios y el denominador no es cero. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar, dividir y resolver ecuaciones racionales. También describe cómo graficar funciones racionales, identificando sus asíntotas y dominio.
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define los conceptos básicos como elementos, conjuntos y representaciones. Explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad e intersección. También cubre operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables
Trabajo de Expresiones Algebraicas
Incluye lo siguiente:
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación, cardinalidad, pertenencia, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y unitario, inclusión, igualdad, disyunción, operaciones como unión e intersección, y diferencia de conjuntos. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como determinación de conjuntos, subconjuntos, intersección y unión. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre conjuntos finitos e infinitos, diagramas de Venn y cardinalidad de conjuntos potencia.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales. Explica que una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumple para cualquier valor del ángulo. Luego enumera las siete identidades trigonométricas fundamentales y proporciona ejemplos para ilustrar cómo usarlas para calcular valores de funciones trigonométricas o expresarlas en términos de otras.
Este documento presenta una introducción a la teoría básica de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos. Explica las nociones de pertenencia, subconjuntos e igualdad de conjuntos. También introduce los diagramas de Venn para representar gráficamente conjuntos y sus relaciones. Finalmente, define el conjunto universal como aquel que contiene a todos los conjuntos que se están considerando.
El documento introduce conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, subconjunto, subconjunto propio, conjunto vacío y operaciones entre conjuntos como unión, intersección y complemento. Explica cómo construir conjuntos mediante extensión e intención y cómo representar relaciones entre conjuntos usando diagramas de Venn.
Este documento presenta conceptos básicos sobre teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación de conjuntos, relación de pertenencia, número cardinal, determinación de conjuntos, clases de conjuntos (finitos e infinitos), relaciones entre conjuntos y subconjuntos. Resuelve varios problemas como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe la teoría de conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos y sus elementos. Explica cómo representar conjuntos con letras mayúsculas y cómo describirlos por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia y complemento. Finalmente, explica operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y propiedades como conmutatividad e idempotencia.
El documento presenta conceptos básicos de lógica y conjuntos. Explica que las proposiciones son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, y describe proposiciones simples y compuestas. Luego introduce conceptos de conjuntos como elementos, pertenencia y determinación de conjuntos. Finalmente, cubre relaciones entre conjuntos como contenencia, igualdad e intersección.
El razonamiento es válido. La hipótesis H1 establece que la dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas. La hipótesis H2 establece que si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil. Por lo tanto, si las medidas económicas no son viables (premisa de la conclusión), entonces la dolarización sería difícil, por lo que a muchas personas no les gustaría (conclusión).
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITECNICA DEL ESTADO LARA ANDRES ELOY BLANCO
BARQUISIMETO-EDO-LARA
Expresiones Algebraicas, Factorización y Radicación
Participante:
Elisol Carreño C.I: 28.127.710
PNF: Deportes
Facilitador: Prof. Mary de Cols
Sección: 0301
Barquisimeto, 20 de Febrero del 2021
Expresiones algebraicas
Se conoce como expresiones algebraicas a la combinación de letras, signos y números en las operaciones matemáticas. Por lo general, las letras representan cantidades desconocidas y son llamadas variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas permiten las traducciones a las expresiones del lenguaje matemático del lenguaje habitual. Las expresiones algebraicas surgen de la obligación de traducir valores desconocidos a números que están representados por letras.
Suma: Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma.
Resta: Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro.
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la operación).
Multiplicación: Para multiplicar expresiones algebraicas con uno o más términos usar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, las reglas de los exponentes como también los productos notables.
El documento introduce conceptos básicos de álgebra como variables, constantes y expresiones algebraicas. Explica que una variable representa un elemento de un conjunto y que una constante es un número fijo. Define expresiones algebraicas como combinaciones de constantes y variables usando operaciones como adición y multiplicación. Luego se enfoca en polinomios, expresando que son una clase importante de expresiones algebraicas y definiendo términos como monomio, binomio, trinomio y grado de un polinomio. Finalmente, cubre operaciones básicas como suma, resta y
Este documento presenta los conceptos básicos de los conjuntos. Define un conjunto como una colección de objetos llamados elementos. Explica cómo representar conjuntos y determinarlos ya sea por extensión o comprensión. Luego describe las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad, diferencia y disyunción. Finalmente, introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento presenta preguntas sobre conjuntos matemáticos. En la primera sección se piden los elementos de diferentes conjuntos. La segunda sección evalúa si ciertas afirmaciones sobre conjuntos son verdaderas o falsas. La tercera sección pregunta clasificar diferentes conjuntos como vacíos, unitarios, finitos u infinitos. El documento también incluye secciones sobre ejercicios resueltos y propuestos relacionados con conjuntos.
Este documento define funciones racionales como expresiones donde el numerador y denominador son polinomios y el denominador no es cero. Explica cómo simplificar, sumar, restar, multiplicar, dividir y resolver ecuaciones racionales. También describe cómo graficar funciones racionales, identificando sus asíntotas y dominio.
Integración mediante fracciones parcialesAbraham Aj
Este documento explica el método de integración mediante fracciones parciales. Divide la función racional en una suma de fracciones simples haciendo coincidir los factores del numerador y denominador. Explica cuatro casos: 1) factores lineales distintos, 2) factores lineales iguales, 3) factores cuadráticos distintos, y 4) factores cuadráticos iguales. En cada caso asigna una forma fraccional y determina las constantes para descomponer la función original.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define los conceptos básicos como elementos, conjuntos y representaciones. Explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad e intersección. También cubre operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables
Trabajo de Expresiones Algebraicas
Incluye lo siguiente:
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjunto, notación, cardinalidad, pertenencia, determinación de conjuntos, diagramas de Venn, conjuntos especiales como el conjunto vacío y unitario, inclusión, igualdad, disyunción, operaciones como unión e intersección, y diferencia de conjuntos. Explica estos conceptos a través de ejemplos matemáticos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos matemáticos como determinación de conjuntos, subconjuntos, intersección y unión. Incluye ejemplos y problemas resueltos sobre conjuntos finitos e infinitos, diagramas de Venn y cardinalidad de conjuntos potencia.
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales. Explica que una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumple para cualquier valor del ángulo. Luego enumera las siete identidades trigonométricas fundamentales y proporciona ejemplos para ilustrar cómo usarlas para calcular valores de funciones trigonométricas o expresarlas en términos de otras.
Este documento presenta el módulo 18 sobre ángulos notables. Introduce el estudio de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60° utilizando propiedades de triángulos rectángulos. Luego deduce identidades trigonométricas básicas como sen2A + cos2A = 1 aplicando el teorema de Pitágoras. Finalmente, demuestra otras identidades como tan2A + cot2A = 1 y cotA · cscA = 1 para triángulos rectángulos.
Este documento introduce las funciones trigonométricas de suma, diferencia y ángulos dobles. Explica las fórmulas para estas funciones y proporciona ejemplos numéricos de su aplicación. Los objetivos son estudiar estas funciones trigonométricas y sus relaciones.
El documento habla sobre la resolución de triángulos oblicuos utilizando las leyes del seno y del coseno. La ley del seno establece que la razón entre los lados de un triángulo es igual a la razón entre los senos de los ángulos opuestos. La ley del coseno puede usarse para resolver triángulos cuando se conocen tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. El documento presenta varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas leyes para encontrar lados y ángulos desconocidos en tri
Este documento introduce los sistemas numéricos y las progresiones aritméticas y geométricas. Explica brevemente los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y cómo se relacionan entre sí. Luego define las progresiones aritméticas como sucesiones donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y las progresiones geométricas como sucesiones donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Introduce las funciones circulares de números reales y cómo se definen las seis funciones trigonométricas en términos de las coordenadas de un punto en un círculo. Incluye ejemplos que muestran cómo calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes puntos y ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Explica que la aritmética se originó de los primeros intentos del hombre primitivo por contar animales y objetos, y que aunque parece sencilla, incluye problemas difíciles que han resistido la resolución por siglos. Finalmente, introduce el primer capítulo de un curso de aritmética enfocado en razones, proporciones, reglas de
Este documento describe la representación de números complejos en el plano de Argand y la forma polar de números complejos. Introduce el plano de Argand, donde cada número complejo se corresponde a un punto, y explica cómo representar números complejos y sus conjugados. Luego, introduce la forma polar de números complejos, donde cada número complejo se representa por su módulo y argumento.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Explica que la aritmética se originó de los primeros intentos del hombre primitivo por contar animales y objetos, y que aunque parece sencilla, incluye conceptos difíciles de definir como el número. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como razones, proporciones, regla de tres y cálculo porcent
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento presenta la función exponencial y logarítmica. Explica que la función exponencial se usa para modelar el crecimiento exponencial en biología, economía y física. Define la función exponencial como f(t) = b^t donde b es la base y t es la variable. También cubre el decrecimiento exponencial y la vida media en desintegración radiactiva.
Este documento contiene 64 ejercicios de álgebra y trigonometría sobre porcentajes, progresiones aritméticas y geométricas, sumatorias y otros temas. Los ejercicios van desde calcular un 12% hasta deduciendo fórmulas matemáticas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre exponentes y radicales. Introduce las definiciones de potencia de un número, propiedades de la potenciación, y cómo calcular exponentes enteros y racionales. También explica las definiciones de raíz cuadrada, cúbica y enésima de un número, y las propiedades de los radicales como raíz de un producto o cociente. Finaliza con ejercicios de aplicación de estas nociones.
Este documento presenta información sobre el álgebra. Explica que el álgebra estudia la forma de resolver ecuaciones y utiliza símbolos o letras para representar números. También introduce conceptos básicos del álgebra como expresiones algebraicas, términos algebraicos, potenciación, radicación, ecuaciones exponenciales y trascendentes.
Este documento presenta información sobre el álgebra. Define el álgebra como la rama de las matemáticas que estudia la forma de resolver ecuaciones y utiliza símbolos para representar números. Explica conceptos básicos como expresiones algebraicas, términos algebraicos, potenciación y radicación. También incluye teoremas y propiedades relacionadas a estas operaciones algebraicas.
Este documento presenta los conceptos básicos de las ecuaciones cuadráticas, incluyendo su forma general ax2 + bx + c, y tres métodos para resolverlas: factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Luego, proporciona ejemplos para ilustrar cada método y ejercicios prácticos relacionados con ecuaciones cuadráticas y exponentes.
El documento presenta los objetivos y conceptos básicos sobre las raíces o radicales. Define la raíz enésima de un número y explica cómo calcular raíces cuadradas y cúbicas. Luego, cubre temas como simplificar expresiones con radicales, racionalizar denominadores, y sumar, restar y multiplicar expresiones con radicales siguiendo propiedades matemáticas específicas.
Este documento presenta conceptos sobre potencias y radicales. En la primera sección introduce radicales, incluyendo definiciones, equivalencias y operaciones. La segunda sección explica propiedades de raíces de productos, cocientes, potencias y raíces. La tercera sección trata sobre racionalización y simplificación de radicales. Finalmente, la cuarta sección cubre sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con radicales.
Guía de estudio MATEMÁTICA 3er año C y D. prof LUISA MENDOZAArusmeryMendoza
La siguiente guía, explica todo lo relacionado al objetivo #1 del área de MATEMÁTICA, RADICALES, para los estudiantes de 3er año C y D, con la prof LUISA MENDOZA.
Este documento presenta conceptos sobre potencias y radicales. En la primera sección introduce los radicales, incluyendo su definición, obtención de radicales equivalentes, y cálculo de raíces. La segunda sección describe propiedades de las raíces como la raíz de un producto o potencia. La tercera sección trata sobre simplificación de radicales y racionalización. Finalmente, la cuarta sección cubre operaciones básicas con radicales como suma, resta, multiplic
Este documento presenta información sobre potencias y radicales. En la primera sección se explican conceptos básicos de radicales como raíces equivalentes, introducir y extraer factores, y calcular raíces. La segunda sección describe propiedades de las raíces como la raíz de un producto o potencia. Las secciones siguientes tratan sobre simplificar expresiones con radicales y operaciones con ellos. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular y operar con potencias y radicales
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra, incluyendo términos algebraicos, expresiones algebraicas, grado de polinomios, valoración de expresiones, términos semejantes y operaciones algebraicas. Explica que un término algebraico es el producto de variables y constantes, y que el grado de un polinomio depende del mayor grado de sus términos. También describe cómo valorar expresiones al sustituir valores a las variables y realizar las operaciones, y cómo reducir términos semejantes sumando sus coeficient
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre expresiones algebraicas. Introduce los conceptos de monomio, polinomio, constante y variable. Explica que un polinomio es una expresión algebraica compuesta por términos algebraicas y que los polinomios de grado 1 y 2 representan ecuaciones de rectas y parábolas respectivamente. También repasa propiedades importantes de las operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división.
Este documento trata sobre potencias y radicales. Se divide en cuatro secciones: 1) radicales, donde se define qué es un radical y cómo expresarlo como potencia fraccionaria y viceversa, 2) propiedades, que explica propiedades como la raíz de un producto o una potencia, 3) simplificación, sobre racionalizar expresiones y simplificar radicales, y 4) operaciones con radicales sobre suma, resta, multiplicación y división. También incluye objetivos de aprendizaje y ejercicios resueltos.
El documento trata sobre la historia de las potencias. Los babilonios fueron los primeros en estudiar ecuaciones exponenciales usando tanteo e interpolación para calcular intereses compuestos. Más tarde, Herón de Alejandría dedujo la misma regla para aproximar raíces cuadradas que los babilonios habían usado dos mil años antes. El documento también explica los elementos básicos de las potencias como la base, el exponente y cómo calcular potencias de números positivos y negativos.
Este documento explica los conceptos básicos de los radicales, incluyendo definiciones, propiedades y operaciones. Describe qué es un radical, cómo se representa y clasifica entre racionales e irracionales. Explica cómo simplificar radicales mediante la extracción de factores comunes y la conversión a exponentes fraccionarios. También cubre cómo sumar, restar, multiplicar y dividir radicales del mismo índice.
Este documento explica los conceptos básicos de los radicales, incluyendo definiciones, propiedades y operaciones. Introduce radicales, índices y subradicales. Explica cómo simplificar radicales extrayendo factores comunes y reduciendo el índice. También cubre sumar, restar, multiplicar y dividir radicales del mismo índice.
Este documento presenta conceptos clave sobre polinomios, incluyendo su definición, grado, operaciones básicas como suma, resta y multiplicación, y factorización. También introduce productos notables y el concepto de polinomio primo. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta un resumen sobre radicales. Explica que los radicales pertenecen a los números irracionales. Define los radicales y sus propiedades, y describe cómo simplificar expresiones con radicales mediante la aplicación de propiedades. También cubre operaciones como la multiplicación, suma, resta y división de radicales, así como la resolución de ecuaciones con radicales.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
2. 57Álgebraytrigonometría
El número es una conquista del pensamiento humano.
2Potenciación y
radicación
Módulo5
Leyes de los exponentes y los
radicales
Racionalización
Ejercicios
Capítulo 2, módulo 5
Capítulo2
Presentación
En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar o
reducir determinadas expresiones algebraicas.
Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constan-
tes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, divi-
sión, potenciación y radicación.
Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exacta-
mente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válido
para constantes tomadas de un conjunto de referencia.
En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en los
números reales.
Contenido breve
4. 59Álgebraytrigonometría
Leyes de los exponentes y los radicales
Racionalización
Introducción
En este módulo se le dará significado a expresiones como ,
p
q
a donde a, p, q son
números, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permite
obtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,
100
10 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere
de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.
Objetivos
1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.
2. Establecer las propiedades de los exponentes.
3. Definir el concepto de raíz enésima.
4. Definir el concepto de racionalización.
Preguntas básicas
1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?
2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?
3.¿ Qué es base y qué es exponente?
4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?
Contenido
5.1 Exponentes
5.2 Propiedades de los exponentes
5.3 Raíz enésima
5.4 Exponentes racionales
5.5 Radicales
5.6 Racionalización
5.7 Factor racionalizador
Vea el módulo 5 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
5
Alejandría
Porelaño300a.C.laciudadgriegadeAlejandría,fundada
por Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto,
era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30
metrosdeancho,unmagníficopuertoyungigantescofaro
para anunciar a los marinos que allí se dirigían que se
acercabanasudestino.Elfarofueunadelassietemaravillas
delmundoantiguo.
Alejandríaeraunaciudadcosmopolitadondeconvivíanen
pazciudadanosdemuchasnacionalidades;eraellugarideal
para un centro internacional de investigación. Ese centro
eralabibliotecaymuseodeAlejandría.Elmuseo,unlugar
dedicado a las especialidades de las nueve musas, era el
centrodeinvestigacionespropiamentedicho.Labiblioteca
se guiaba por el ideal de reunir una colección de libros del
mundoconobrasgriegasytraduccionesalgriegodeobras
escritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo,
el Medio Oriente y la India.
5. 60
5.1 Exponentes
Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:
1. · · ... ,n
a a a a a n= veces.
2. 0
1a = , con 0,a ≠ 00
no está definido.
3.
1
,n
n
a
a
−
= con 0.a ≠
5.2 Propiedades de los exponentes
Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:
1. · .m n m n
a a a +
=
2. ( ) .
.
mn n m
a a=
3. , con 0.
m m
m
a a
b
b b
⎛ ⎞
= ≠⎜ ⎟
⎝ ⎠
4. ( )· · .
m m m
a b a b=
5.
, con 0.1
m n
m
n
n m
a
a
a
a
a
−
−
⎧
⎪
= ≠⎨
⎪
⎩
Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 0
0 . Si se tratara de
definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:
0 2 0 2 2
0 · 0 0 0 0 0 0.+
= = = × = O sea que como 2
0 0,= entonces 0
0 podría ser cual-
quier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.
Ejemplo1
24
= 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230
=1.
3
3
1
7 .
7
−
= ;
5 7 5 7
2
1
· .a a a
a
− −
= =
5
5
1
.a
a
−
= ; ( )
32
6
1
.a
a
−
=
( )
3 3 3
· · .a b a b= ;
7 7
7
.
a a
b b
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
5.3 Raíz enésima
La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2
= b. La raíz cúbica de un
número b es un número r tal que r3
= b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésima
de b si rn
= b.
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
Escuche La historia de
Alejandría en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
6. 61Álgebraytrigonometría
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
Ejemplo2
2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.
4− no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla
que 2
4.a = −
Si n N∈ y ,b R∈ se dice que 1/ n
b en una raíz enésima de b.
Si n es par y b es positivo, entonces 1/n
b representa la raíz enésima real positiva de
b, y 1/ n
b− representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que
1/
( ) n
b− no representa un número real.
Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces 1/ n
b representa la raíz enésima real
de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 1/
0 0.n
=
Ejemplo3
¿Cómo podría definirse un símbolo como 2/ 3
7 ?
Solución
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,
se tiene que:
( )
22/ 3 1/ 3
7 7 .=
O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Lo
anterior motiva la siguiente definición:
5.4 Exponentes racionales
Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b no
puede ser negativo cuando n es par, entonces:
1. ( ) ( )
1/
1/
.
m
m n
n mn
b b b= =
2.
1
.
m
n
m
n
b
b
−
=
5.5 Radicales
Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n
es par, se define la raíz enésima de b como b1/n
y se denota como .n
b
7. 62
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
El símbolo se llama radical.
El símbolo n se llama índice.
El símbolo b se llama radicando.
De lo anterior se concluye que:
1. ( )
1
.
m
nm mn nb b b= =
2. ( )
1
.
mm
m
nn n
b b b
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:
1. .n n
x x=
2. · .nn nxy x y=
3. .
n
n
n
x x
y y
=
4. .
.m n m n
x x=
Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad
de expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se dice
que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma
radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:
1. El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al
índice del radical.
2. El exponente delradicandoyel índicedelradical no tienen otro factor común
aparte del 1.
3. No aparece ninguna fracción dentro del radical.
4. No aparece ningún radical en el denominador.
Ejemplo 4
Escriba en la forma radical más simple la expresión 3 5 2
12 .x y z
Solución
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 23 5 2 2 4 2 2 2 2
12 4 3 2 3 2 3 2 3 .x y z x y z xy xy z xy xy z xy xy z xy= = = =
5.6 Racionalización
Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominador
consiste en eliminar los radicales en un denominador.
8. 63Álgebraytrigonometría
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
Escuche Los grandes números en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan y
multiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con frac-
ciones de números reales, es decir:
· ·
,
a c a d b c
b d bd
+
+ = con b y d diferentes de cero.
·
· ,
·
a c a c
b d b d
= con b y d diferentes de cero.
·
,
·
a c a d
b d b c
÷ = con b y c diferentes de cero.
· · .
a c
a d b c
b d
= ⇔ =
·
,
·
k a a
k b b
= con k diferente de cero.
En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.
Ejemplo5
Racionalice la expresión
2
3
6
.
9
x
x
Solución
32 2 2
3 3 3 2
6 6 3
·
9 9 3
x x x
x x x
= (¿Por qué?).
( )
3 3 32 2 2 2 2 2
3 3 33
6 3 6 3 6 3
327 3
x x x x x x
xx x
= = =
3 2
2 3 .x x=
Ejemplo6
Simplifique 4 43 3 5 3
27 3 .a b a b
9. 64
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
Solución
( )( )
( )
( )
( )
4 43 3 5 3 3 3 5 34
4 8 6
42 24
4 42 24
1/ 442 2 2 2
2
27 3 27 3
81
3
3
3 3
3
a b a b a b a b
a b
a b b
a b b
a b b a b b
a
=
=
=
=
= =
= 1/ 2
2
·
3 .
b b
a b b=
5.7 Factor racionalizador
Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión con
radicales, si su producto es libre de radicales.
Ejemplo7
3 1− es factor racionalizador de 3 1+ porque( )( )3 1 3 1 2.− + =
a x b y+ es factor racionalizador de a x b y− (¿Por qué?).
Ejemplo8
3 3x y− es factor racionalizador de 3 2 23 33
x x y y+ + porque su producto es
.x y−
Ejemplo9
Racionalice la siguiente expresión: .
a b
a b
+
−
Solución
Notemos que a b+ es un factor racionalizador del denominador, pues
( )( ) .a b a b a b+ − = −
Multiplicando el numerador y el denominadorporel factor racionalizador se obtiene:
( )( ) 2
.
( )( )
a b a b a b a a b b
a ba b a b a b
+ + + + +
= =
−− − +
10. 65Álgebraytrigonometría
Ejemplo10
Simplifique y exprese con exponentes positivos
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
x y a b
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución
( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 21 1 1 2 2 2
3 3 32 2 2 4 4 4
1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1
3 2 3 2 2 3 22 2 6 6 3
1
3
1
6
111
2 432
2 2 2
.
ay bx y
a y x b x y y a b
x y a b
a b x y b x y
y
xb
−− − −
− − − +− − −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= =
=
Ejemplo11
Simplifique y exprese con exponentes positivos
31
2 1 4
1 3
.
n n
n
a a b
a ab
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Solución
31 31 34
84
1 3 11
8 82 2
1 1 1
4 4
2 1 2
1 3
.
n n
n
n
n
a a b a a a b
aa b a b
a ab a baa
+
+
⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ejemplo12
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( )
1
2 2
2
2
.
a
b
a b
b
a b
ab b
x y
x
y
+
−
−
+
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución
( ) 2
1 2 2
2 2
2
2
2 2
.
a
ab bb
a b
a b
a b
a b
b
ba b a b b b
a b b
a b
ab b
x y x y y x y y x x
yx yxx
y
+
+
−
+
+
−
− −
−
−
+
⎛ ⎞
= = = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
11. 66
Ejemplo13
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3
1
2 2 7 3 9
.
2 2 1 9 27
n n a a
a
n n a a
+
+
− + +
÷
− + +
Solución
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
3 3
1 1
3
2 2 7 3 9 2 2 7 9 27
2 2 1 9 27 2 2 1 3 9
2 2 1 7 9 1 3
2 2 1 1 3 1 3
7 2 1 9
7 3 21.
32 1
a
a
n n a a n n a a
a
n n a a n n a a
n a a
n a a
n
n
+ +
+ +
⎛ ⎞− + + − + +
÷ = ⋅⎜ ⎟
− + + − + +⎝ ⎠
⎛ ⎞− + +
⎜ ⎟= ⋅
⎜ ⎟− + +⎝ ⎠
+
= ⋅ = ⋅ =
+
Ejemplo14
Simplifique y exprese con exponentes positivos
( ) ( )
( )
2 2
2
2
.
1
x x x x
x x
x x
x x
a a a a
a a
a a
a a
− −
−
−
−
+ − −
⎛ ⎞−
+ −⎜ ⎟
+⎝ ⎠
Solución
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
22
2
22
2 2
2 2
1
4 2 2
.
2 1
x x x x x x x x
x x x xx x
x xx x
x x x x
x
x x x
x x
x x
a a a a a a a a
a a a aa a a aa a
a a a a
a
a a a
a a
a a
− − − −
− −−
−−
− −
−
−
−
+ − − + + − + −
=
+ + − + −⎛ ⎞− ++ −⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠
= = =
+ +
+
+
Ejemplo15
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2 2
2 2
2
.
a b a b a b
a b
a b a b a b
− + +
⋅ + ⋅ −
+ − −
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
12. 67Álgebraytrigonometría
Solución
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 22 2
2 2
2
.
a b a b a b a a b b a b a b
a b
a b a b a b a b a b a ba b
a a b b a b a b
a b a b
b b a b
a ba b
− + + − + +
⋅ + ⋅ − = + −
+ − + − − +−
− + + − −
=
− +
− −
= = −
−−
Ejemplo16
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3 2 5
2
3 3 5 7
2 18 50 32
.
5
a b a b a
a
ab ab b b
+ + −
Solución
3 2 5 2 2 2
2
3 3 5 7 2 3
2
2 2 2
2
2 18 50 32 2 3 2 5 2 4 2
5 5
2 3 2 2 4 2
2 3 2 2 4 2
2 2
.
a b a b a a a a b a a b a
a
ab ab b b b b b ab b b ab b
a a a a a a
b b b ab b b b b
a a a a
b ab
a ab
bb ab
+ + − = + + −
= + + −
+ + −
=
= =
Ejemplo17
Racionalice
2 2
2 2
1 1
.
1 1
x x
x x
+ − −
+ + −
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2 2
1 1x x+ − − .
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
13. 68
Entonces,
( )( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
4 4
2 2
1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1
1 1 2 (1 )(1 )
1 (1 )
2 2 1 1 1
.
2
x x x xx x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x
+ − − + − −+ − −
=
+ + − + + − + − −
+ + − − + −
=
+ − −
− − − −
= =
Ejemplo18
Racionalice
2
2
9 3
.
9 3
x
x
+ −
+ +
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
2
9 3x+ − .
Entonces,
( )( )
( )( )
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
9 3 9 39 3
9 3 9 3 9 3
9 9 6 9 6 9 18
.
9 9
x xx
x x x
x x x x
x x
+ − + −+ −
=
+ + + + + −
+ + − + − + +
= =
+ −
Ejemplo19
Racionalice
2 6
.
2 3 5+ −
Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 3) 5+ + se obtiene:
Capitulo2:Potenciaciónyradicación
14. 69Álgebraytrigonometría
( )
( )( ) ( )
2
2 6 2 3 52 6 4 3 6 2 2 30
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
4 3 6 2 2 30 4 3 6 2 2 30
2 3 2 6 5 2 6
4 18 6 12 2 180 12 2 12 3 12 5
2 3 5.
12 12
+ + + +
= =
+ − + − + + + −
+ + + +
= =
+ + −
+ + + +
= = = + +
Ejemplo20
Racionalice
3 2 23
1
.
x y+
Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de la
suma de cubos:
( )( )3 3 2 2
.a b a b a ab b+ = + − +
En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:
( )( )3 3 2 2
.a b a b a ab b− = − + +
Utilizando entonces como factor racionalizador:
( )3 34 2 2 43 3
,x x y y− +
se obtiene
( )
( )( )
3 34 2 2 43 3
3 2 2 3 3 32 2 4 2 2 43 3 3 3
3 4 2 2 43 3
2 2
1
.
x x y y
x y x y x x y y
x x y y
x y
− +
=
+ + − +
− +
=
+
Módulo5:Leyesdelosexponentesylosradicales-Racionalización
15. 70
1. Simplifique ( )
1
63 1 2 1 2 4
.ab c a b c
−− − − − −
RTA:
1
2
a .
2. Simplifique
1 1
1 1
3 2
.
2 3
− −
− −
+
−
3. Simplifique ( )2 21
2
1
.
n
n
n n
n n nx
x x x
x
−− +
⎡ ⎤
⎡ ⎤+ ÷ +⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
RTA: 1.
4. Simplifique
12 1 1
2 1 1
·
.
·
a a b
a a b
−− − −
− − −
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
5. Simplifique
1
9 27
.
3 9
nn n
n n
⎛ ⎞+
⎜ ⎟
+⎝ ⎠
RTA: 3.
6. Simplifique
( ) ( )
1 1
1 11
2 4
.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−
÷
7. Simplifique
1
2 2
3 2
3( )
.
a
n
a b
a b
a a ab
x
a
x
−
+
−
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟
⎜ ⎟⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
RTA: 3 ( )n a b
a +
.
8. Simplifique
1
2 1
.
2 1
mmx
mx
⎡ ⎤ −
⎢ ⎥
⎢ ⎥−
⎢ ⎥⎣ ⎦
9. Simplifique
1
4
13 2 2 2
5
2 3 2 2
.
a b b a
b a a b
− −− −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
RTA:
1 1
5 5
.a b
10. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3
m
m n+
11. Simplifique
( ) ( )
1 1
1 11
2 4
.
2 2
n n
n nn n
+ +
− +−
÷ RTA:
1
.
4
12. Racionalice la siguiente expresión: 3
1
.
0.008
13. Simplifique
4 1
2
3 6 3
.
7 3
n n
n
+ +
+
− ⋅
⋅
RTA: 1.
14. Racionalice la siguiente expresión:
2
.
3 2−
Capítulo 3: Potenciación y radicación
Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)
16. 71Álgebraytrigonometría
15. Simplifique ( )
1 4
322 4 3 36
2 4 .
163 8 81
x x x
x x
x x
+
−⋅
⋅ ⋅ +
⋅
RTA: 6 3
3
.
2 x+
16. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
2
1
3 · 2 4 · 2
.
2 2
n n
n n
−
−
−
−
17. Simplifique
( )( )
( )
( ) ( )
11
22 2
4 4
2 2
2 .
x xx x
x x x x x x x x
e eae ae
e e ae ae e e e e
−−
− − − −
⎡ ⎤⎡ ⎤ +− ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ÷
⎢ ⎥− +⎢ ⎥ + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
RTA: 2.
18. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
( )
( )
2 2 2
1
2
·
.
x y x y
x y
+ −
−
19. Simplifique
( ) ( )
( )
1 22 ( 1)
1 11
3 81 243
.
3 27
a aa a a a
a aa
− − −
+ +−
⋅ RTA: 9.
20. Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
4 1
2
3 6 · 3
.
7 · 3
n n
n
+ +
+
−
21. Simplifique
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 1
2 2 1
1 3 1 22
5 5 3 5
.
3225 5 3 3
n
n n n n
n n nn n
−
+
+ −
⎡ ⎤÷ ⎡ ⎤
⎢ ⎥÷ ⎢ ⎥
⎢ ⎥÷ ⎣ ⎦⎣ ⎦
RTA: 2.025.
22. Simplifique completamente
( ) ( )
( ) ( )
1 1
1 1
.
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −
+ + −
23. Simplifique y racionalice
( )
2 23
23
( )( )
.
b c b c
b c
− −
+
RTA:
( )
22 23
.
( )
b c
b c
−
+
24. Demuestre que .
1 1n n
n n
n
x x−
+ =
− −
25. Simplifique y racionalice
3 3
.
3 3
x y x y
x y x y
− +
+
+ −
RTA:
2 2
2 2
2 9
.
9
x x y
x y
−
−
26. Demuestre que 2 1 4 1
4 · 6 1
.
44 2
n
n
n n+ +
=
+
27. Racionalice
2
2 2
.
y
x x y+ −
RTA:
2 2
.x x y− −
28. Demuestre que
3
1
2 2 7
7.
2 2 1
n n
n n
+
+
− +
=
− +
17. 72
29. Racionalice
2 3
.
2
a b a b
a b a b
+ + −
+ − −
RTA:
( )2 2
7 8
.
3 5
a b a b
a b
+ + −
+
30. Racionalice
2 5 7
.
2 5 7
− −
+ +
31. Racionalice
2 2 3
.
1 2 3
+
+ +
RTA: 1 2 3.− +
32. Demuestre que
1 1
1.
1 1m n n m
x x− −
+ =
+ +
33. Racionalice
3 6
.
5 3 2 12 32 50
+
− − +
RTA: 3.
34. Simplifique completamente
3 8 5 18
.
2
+
35. Racionalice
2 3 5
.
2 3 5
− +
+ −
RTA:
6 15
.
3
+
36. Simplifique completamente
4 4
2 2
.
m n
m n
x x
x x
−
+
37. Racionalice 3
1
.
2 3−
RTA:
3 3
2(4 3 9)
.
5
+ +
38. Simplifique completamente
1 1
1 1
( ) ( )
.
( ) ( )
m n m n
m n m n
− −
− −
+ − −
+ + −
39. Racionalice 3 2 233
1
.
x xy y+ +
RTA:
3 3
.
x y
x y
−
−
40. Escriba en la forma más simple
1
1
.
4
9 · 3 · 3
.
3 · 3
n n
n
n
+
−
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
41. Racionalice 33 3
1
.
9 6 4+ +
RTA: 33
3 2.−
42. Demuestre que
11
2 2
. .
p q p q p p q p
p qp q p q
−−
⎡ ⎤⎡ ⎤+ − − + −
⎢ ⎥ =⎢ ⎥
+ + − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦