Este documento introduce las funciones trigonométricas de suma, diferencia y ángulos dobles. Explica las fórmulas para estas funciones y proporciona ejemplos numéricos de su aplicación. Los objetivos son estudiar estas funciones trigonométricas y sus relaciones.

1. 255Álgebraytrigonometría
Introducción
En trigonometría aparecen continuamente expresiones como sen( )D E o
cos (2 )D donde D y E son ángulos y es importante conocer el valor de estas
funciones, en términos de funciones de ángulos simples; además, al estudiar estas
funciones se estarán desarrollando funciones trigonométricas de cualquier ángulo,
como se verá más adelante.
Objetivos
1. Estudiar funciones trigonométricas de suma y diferencia de ángulos.
2. Estudiar funciones trigonométricas de ángulos dobles.
3. Estudiar funciones trigonométricas de ángulo mitad.
Preguntas básicas
1. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de suma de ángulos?
2. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de diferencia de ángulos?
3. ¿Cuáles son las funciones trigonométricas de ángulo doble?
Contenido
23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos
23.2 Funciones de ángulos dobles
Vea el módulo 23 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
23
Fórmulas de adición y de ángulo doble
Demócrito de Abderea (460-370 a. C.)
Demócrito es más conocido por su teoría atómica pero
también fue un excelente geómetra. Muy poco se conoce
de su vida, pero se sabe que Leucipo fue su profesor.
Pertenece a la línea doctrinaria de pensadores que nació
con Tales de Mileto. Esta escuela, así como la pitagórica y
laeleática,querepresentanlomásgrandedelpensamiento
anterior, le atribuye gran importancia a lo matemático.
Losatomistaspensabandistintoaloseleatas,puesmientras
éstosnoaceptabanelmovimientocomorealidad,sinocomo
fenómeno, Leucipo y Demócrito parten de que el
movimiento existe en sí.Demócrito pone como realidades
primordiales a los átomos y al vacío, o como dirían los
eleatas,alseryalnoser(recordemosqueetimológicamente
la palabra átomo, en griego, significa indivisible, lo que
actualmente sabemos que no es así).
SenotaenDemócritounesfuerzoporsustituirlanociónde
cualidad por la de cantidad.
Se sabe que Demócrito escribió varios tratados de
geometríaydeastronomía,perodesgraciadamentetodos
se perdieron. Se cree que escribió sobre teoría de los
números y encontró la fórmula B*h/3 que expresa el
volumen de una pirámide. Asimismo demostró que esta
fórmula se puede aplicar para calcular el volumen de un
cono.
Se le atribuyen también los siguientes dos teoremas:
1.«El volumen deun cono es igual aunterciodelvolumen
de un cilindro de igual base y altura»
2.«Elvolumen de una pirámide es unterciodelvolumen
del prisma de igual base y altura»

2. 256
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo
23.1 Funciones de diferencia y suma de ángulos
Considérese un círculo de radio a y dos ángulos D y ,E como en las figuras 23.1
y23.2.
Figura 23.1. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos Figura 23.2. Gráfica ilustrativa para suma de ángulos
En la figura 23.1, las coordenadas de P son ( cos , sen )a aD D y las de Q son
( cos , sen ).a aE E
La longitud de la cuerda PQ es la distancia entre los puntos P y Q. Por tanto, al
efectuar operaciones se tiene que:
2 2cos cos 2sen sen (1)PQ a aD E D E
En la figura 23.2, el ángulo E D se ha trasladado a su posición estándar. La
longitud de la cuerda PQ no cambia; las coordenadas de Q, en esta figura, son
@cos ( ), sen ( ) ,a aE D E D mientras que las coordenadas de P son ( , 0).a
En esta figura, la longitud de la cuerda PQ viene dada por:
@
2 2 2
cos ( ) sen ( )PQ a a aE D E D
2 2cos ( ). (2)a E D
Igualando las expresiones (1) y (2) y elevando al cuadrado se tiene que:
x
y
Q P
D
E
x
y
Q
PE D
Escuche Demócrito de Abderea
en su multimedia de Àlgebra y
trigonometría

3. 257Álgebraytrigonometría
Módulo23:Fórmulasdeadiciónydeángulodoble
2 2cos cos 2sen sen 2 2cos ( ).D E D E E D
Por tanto
cos ( ) cos cos sen senE D D E D E
La anterior expresión es básica para evaluar funciones de suma de ángulos, ya que
de ella se desprenden las siguientes relaciones:
Si 0E , cos( ) cos0ºcos sen0ºsen .D D D
O sea que:
cos ( ) cosD D
Si ,
2
S
E cos ( ) cos cos sen sen .
2 2 2
S S S
D D D
O sea que:
cos ( ) sen
2
S
D D
De las dos anteriores relaciones se desprenden dos hechos, a saber:
1. El coseno de cualquier ángulo negativo es igual al coseno del correspon-
diente ángulo positivo.
2. El seno de un ángulo D es igual al coseno del complemento.
Si en la relación cos sen
2
S
D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
se hace ,
2
S
D E se tiene que:
cos sen .
2 2 2
S S S
E E
ª º§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸« »
© ¹ © ¹¬ ¼
O sea que:
cos sen
2
S
E E
§ ·
¨ ¸
© ¹
De una manera similar se pueden deducir las relaciones siguientes:
tan cot
2
S
D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/

4. 258
cot tan
2
S
D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
sen ( ) senD D
En consecuencia, el seno de cualquier ángulo negativo es igual a menos el seno
del correspondiente ángulo positivo.
Para demostrar las relaciones siguientes, hay que utilizar las relaciones demostra-
das con anterioridad.
sen ( ) sen cos sen cosE D E D D E
tan tan
tan( )
1 tan tan
E D
E D
E D

5. sen sen cos sen cosD E D E E D

6. cos cos cos sen senD E D E D E
tan tan
tan( )
1 tan tan
E D
E D
E D
En los ejemplos siguientes se desarrollarán aplicaciones de las relaciones desarro-
lladas antes.
Ejemplo22
Calcule el cos ( 750º).
Solución
cos( 750º) cos 750º
cos (720º 30º)
cos 720ºcos30º sen 720º sen 30º
cos 30º
3
.
2
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo

7. 259Álgebraytrigonometría
Módulo23:Fórmulasdeadiciónydeángulodoble
Ejemplo23
Calcule el sen( 118º).
Solución
sen ( 118º) sen 118º
sen (90º 28º)
sen 90º cos 28º cos 90º sen 28º
cos28º.
Usando una calculadora científica, se obtiene que cos28º 0.88295.
Ejemplo24
Si
2
sen
5
D y D está en el segundo cuadrante, y si tan 1E y E está en el
segundo cuadrante, calcule sen ( ).D E
Solución
Se sabe que sen ( ) sen cos sen cos .D E D E E D
Como 2
sen ,
5
D
2 2
cos 1 sen .D D
Por tanto,
21
cos
5
D r . Y puesto que D está en el segundo cuadrante,
21
cos .
5
D
De otra parte, como tan 1,E se tiene que
2
sen
2
E y
2
cos .
2
E Susti-
tuyendo, se tiene que:

9. 2 2 2 21
sen
5 2 2 5
2
2 21 .
10
D E
§ · § · § ·§ ·
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ © ¹ © ¹
23.2 Funciones de ángulos dobles
En muchas aplicaciones, especialmente en cálculo, se presentan funciones
trigonométricas de ángulos dobles en términos de un ángulo simple dado.
Si se toman como punto de partida las relaciones

10. sen sen cos sen cos ,D E D E E D cos( ) cos cos sen sen ,D E D E D E
y en ellas se hace D E , se tendrá que:

11. 260
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo
sen 2 2sen cosD D D
2 2
cos2 cos senD D D
De esta última relación se desprenden las siguientes fórmulas:
2 1 cos2
sen
2
D
D
2 1 cos 2
cos
2
D
D
Además, si en la fórmula
tan tan
tan( )
1 tan tan
D E
D E
D E
se hace ,D E se obtiene
2
2 tan
tan 2 .
1 tan
D
D
D
De las anteriores relaciones se pueden obtener las fórmulas para cot 2 ,D
sec2 , csc2 .D D
Ejemplo25
Halle las funciones trigonométricas de 2D si
1
sen
2
D y D está en el primer
cuadrante.
Solución
Si 2 21 3
sen , cos 1 sen , cos .
2 2
D D D D
3
sen 2 2 sen cos ,
2
D D D
2 2 1
cos2 cos sen ,
2
D D D
tan 2 3,D sec 2 2,D
3
cot 2 ,
3
D
2 3
csc2 .
3
D
Ejemplo26
Calcule las funciones trigonométricas de 75º utilizando las funciones trigonométricas
de 45º y 30º.

12. 261Álgebraytrigonometría
Módulo23:Fórmulasdeadiciónydeángulodoble
Solución
Aplicando las fórmulas para la suma de ángulos se obtiene:
sen75º sen(45º 30º) sen 45ºcos30º sen30ºcos 45º
2 3 1 2 2( 3 1)
.
2 2 2 2 4
cos75º cos(45º 30º) cos45ºcos30º sen30ºsen 45º
2 3 1 2 2( 3 1)
.
2 2 2 2 4
tan 45º tan30º
tan 75º tan (45º 30º)
1 tan 45º tan30º
1
1
3 13 .
1 3 11
3
Ejemplo27
Calcule las funciones trigonométricas de 15º utilizando las funciones
trigonométricas de 45º y 30º.
Solución
Aplicando las fórmulas para la diferencia de ángulos se obtiene:
sen ( 15º) sen (30º 45º) sen 30ºcos45º sen 45ºcos30º
1 2 2 3 2(1 3)
.
2 2 2 2 4
cos( 15º) cos(30º 45º) cos45ºcos30º sen30ºsen 45º
2 3 1 2 2( 3 1)
.
2 2 2 2 4
tan30º tan 45º
tan ( 15º) tan(30º 45º)
1 tan30º tan 45º
1
1
1 33
.
1 3 11
3

13. 262
Ejemplo28
Calcule sen 150º utilizando las funciones trigonométricas de 30º y 60º.
Solución
Aplicando las fórmulas de la suma de ángulos y del ángulo doble se obtiene:
2 2
sen150º sen(120º 30º) sen120ºcos30º sen30ºcos120º
sen(2 60º)cos30º sen30ºcos(2 60º)
2sen60ºcos60ºcos30º sen30º(cos 60º sen 60º)
3 1 3 1 1 3 1
2 .
2 2 2 2 4 4 2
˜ ˜
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 2
cos150º cos(120º 30º) cos120ºcos30º sen30ºsen120º
cos(2 60º)cos30º sen30ºsen(2 60º)
(cos 60º sen 60º)cos30º sen30º(2sen60ºcos60º)
1 3 3 1 3 1 3
2 .
4 4 2 2 2 2 2
˜ ˜
§ ·
¨ ¸
© ¹
2
2
tan120º tan 30º tan (2 60º) tan 30º
tan150º tan (120º 30º)
1 tan120º tan30º 1 tan (2 60º)tan 30º
2 3 12 tan 60º
tan30º
1 3 31 tan 60º
2 tan 60º 2 3 11 tan30º 1
1 tan 60º 1 3 3
1
3
13 .
2 3
˜
˜
Ejemplo29
Si
3 5
cos , sen
5 13
D E y los ángulos ,D E están en el primer cuadrante, calcule
cos( ).D E
Solución
Como ambos ángulos están en el primer cuadrante, se tiene:
2 2
.
9 4 25 12
sen 1 cos 1 ; cos 1 sen 1
25 5 169 13
D D E E
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo

14. 263Álgebraytrigonometría
Módulo23:Fórmulasdeadiciónydeángulodoble
Por la fórmula de la suma de ángulos:
3 12 4 5 56
cos( ) cos cos sen sen
5 13 5 13 65
D E D E D E ˜ ˜ .
Ejemplo30
Si
1
cos , cot 2
3
D E y D está en el primer cuadrante, calcule tan( ).D E
Solución
Como D en el primer cuadrante, entonces
1 2 2 sen2sen 1 cos 1 ; tan 2 2.
9 3 cos
D
D D D
D
Además,
1 1
tan .
cot 2
E
E
Por la fórmula de la suma de ángulos:
1
2 2
tan tan 4 2 12tan ( )
11 tan tan 2 2 21 2 2
2
D E
D E
D E ˜
˜
Ejemplo31
Exprese cos (3x) en términos de cos x.
Solución
2 2 2
2 2
3
cos (3 ) cos( 2 ) cos cos2 sen sen 2
cos (cos sen ) 2sen cos
cos (2cos 1) 2(1 cos )cos
4cos 3cos .
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
Ejemplo32
Exprese sen (4x) en términos de sen x y cos x.
Solución
2 2
2 3
sen 4 sen 2(2 ) 2sen 2 cos2 2(2sen cos )(cos sen )
4cos sen (1 2sen ) cos (4sen 8sen ).
x x x x x x x x
x x x x x x

15. 264
Ejemplo33
Exprese cot (2x) en términos de cot (x).
Solución
Utilizando las fórmulas del ángulo doble para la tangente, tenemos:
2 22
1
1
1 1 tan cot 1cot
cot (2 ) .
1tan (2 ) 2 tan 2cot
2
cot
x xx
x
x x x
x
Ejemplo34
Calcule los valores de sen , cos
2 2
x x§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
y tan
2
x§ ·
¨ ¸
© ¹
si
4
sen
5
x y x es un ángulo
del primer cuadrante.
Solución
Utilizando las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble se obtiene:
2 2
.
1 cos2 1 cos2
sen ; cos
2 2
D D
D D
Y reemplazando
2
x
D obtenemos:
2 2
2 2
.
1 cos 1 cos
sen ; cos
2 2 2 2
x x x x § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
Como x es un ángulo del primer cuadrante,
2
x
es también un ángulo del primer
cuadrante; por tanto:
2 2
.
1 cos 1 cos
sen ; cos
2 2 2 2
x x x x § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
Reemplazando en las expresiones anteriores
2 2 9
cos 1 sen
25
x x obtenemos:
9 9
1 1
4 34 425 25sen ; cos ; tan .
2 2 2 2 25 2 5 2 34
x x x
§ · § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹ © ¹
Capítulo8:Trigonometríadelcírculo