El documento habla sobre la resolución de triángulos oblicuos utilizando las leyes del seno y del coseno. La ley del seno establece que la razón entre los lados de un triángulo es igual a la razón entre los senos de los ángulos opuestos. La ley del coseno puede usarse para resolver triángulos cuando se conocen tres lados o dos lados y el ángulo entre ellos. El documento presenta varios ejemplos para ilustrar cómo aplicar estas leyes para encontrar lados y ángulos desconocidos en tri
Este documento presenta el módulo 18 sobre ángulos notables. Introduce el estudio de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60° utilizando propiedades de triángulos rectángulos. Luego deduce identidades trigonométricas básicas como sen2A + cos2A = 1 aplicando el teorema de Pitágoras. Finalmente, demuestra otras identidades como tan2A + cot2A = 1 y cotA · cscA = 1 para triángulos rectángulos.
El documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas relacionados con ecuaciones cuadráticas, geometría plana, trigonometría y triángulos rectángulos y oblicuángulos. Los ejercicios incluyen resolver ecuaciones cuadráticas, calcular medidas de ángulos, lados y áreas de figuras geométricas, y determinar valores de funciones trigonométricas. El documento forma parte de un producto integrador de aprendizaje para la asignatura de Matemáticas II.
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta 30 ejercicios de trigonometría agrupados en 4 secciones: cálculo de razones trigonométricas, demostración de igualdades trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y problemas. Los ejercicios abarcan temas como senos, cosenos, tangentes y aplicaciones del teorema del seno y coseno para resolver problemas geométricos.
Este documento presenta el módulo 18 sobre ángulos notables. Introduce el estudio de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60° utilizando propiedades de triángulos rectángulos. Luego deduce identidades trigonométricas básicas como sen2A + cos2A = 1 aplicando el teorema de Pitágoras. Finalmente, demuestra otras identidades como tan2A + cot2A = 1 y cotA · cscA = 1 para triángulos rectángulos.
El documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas relacionados con ecuaciones cuadráticas, geometría plana, trigonometría y triángulos rectángulos y oblicuángulos. Los ejercicios incluyen resolver ecuaciones cuadráticas, calcular medidas de ángulos, lados y áreas de figuras geométricas, y determinar valores de funciones trigonométricas. El documento forma parte de un producto integrador de aprendizaje para la asignatura de Matemáticas II.
Este documento contiene una relación de 43 ejercicios de trigonometría con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran cálculos de senos, cosenos, tangentes y ángulos para triángulos rectángulos, isósceles y equiláteros, así como también para figuras como trapecios, rombos y mapas a escala. Los problemas abarcan temas como hallar lados, ángulos, alturas y distancias usando las funciones trigonométricas y propiedades de los triángulos.
Este documento presenta 10 preguntas de trigonometría básica sobre triángulos rectángulos, tangentes, cosenos y senos. Las respuestas correctas son: 2) a, 3) b, 4) c, 5) c, 6) b, 7) c, 8) c, 9) b, 10) a.
Este documento presenta la resolución de un examen de trigonometría para 4o de ESO. El examen contiene 7 problemas que involucran hallar razones trigonométricas, aplicar teoremas trigonométricos como el seno, coseno y teorema del coseno para resolver triángulos. El documento muestra de manera detallada los pasos para resolver cada problema trigonométrico.
Este documento presenta 30 ejercicios de trigonometría agrupados en 4 secciones: cálculo de razones trigonométricas, demostración de igualdades trigonométricas, resolución de ecuaciones trigonométricas y problemas. Los ejercicios abarcan temas como senos, cosenos, tangentes y aplicaciones del teorema del seno y coseno para resolver problemas geométricos.
El documento presenta identidades trigonométricas para ángulos dobles. Explica que para ángulos como 32° y 90° que son ángulos dobles, se pueden usar identidades como seno del ángulo doble y coseno del ángulo doble. Luego proporciona fórmulas básicas para seno, coseno y tangente del ángulo doble y ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de semejanza y trigonometría. Introduce el teorema de Tales, los criterios de semejanza de triángulos, y el teorema de Pitágoras. Explica las definiciones de razones trigonométricas y sus relaciones fundamentales. Finalmente, muestra cómo resolver triángulos rectángulos utilizando estas nociones.
El documento presenta varios ejemplos de problemas de trigonometría que involucran el Teorema del Coseno y la Ley del Seno. Explica cómo derivar las fórmulas del Teorema del Coseno para calcular el lado desconocido de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También explica cómo usar la Ley del Seno para resolver triángulos cuando se conocen un ángulo y los lados opuestos a él. Finalmente, presenta un problema para calcular la altura y distancias de las
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores, incluyendo: (1) definición de vectores y sus elementos como magnitud, dirección y sentido; (2) operaciones con vectores como suma, resta, descomposición; (3) producto escalar y vectorial; y (4) ejemplos de aplicación de conceptos como vectores posición y desplazamiento. El documento provee una introducción concisa a los fundamentos de la algebra y geometría vectorial.
Este documento contiene 11 preguntas sobre las gráficas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente. Las preguntas cubren temas como los intervalos donde las funciones son crecientes o decrecientes, los períodos de las funciones, los rangos de las funciones y los valores donde las funciones no están definidas. El documento parece ser parte de una evaluación sobre las propiedades básicas de las funciones trigonométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como el módulo de un vector, ecuaciones de rectas, y producto escalar. Explica cómo calcular las coordenadas y módulo de vectores, y cómo obtener las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua y general de una recta. También cubre el cálculo del producto escalar para determinar si vectores son perpendiculares.
Este documento presenta los triángulos rectángulos notables de 45°-45° y 30°-60°, cuyas razones trigonométricas de ángulos agudos son conocidas. Luego, proporciona ejemplos de cálculos trigonométricos utilizando estas razones conocidas, así como gráficos y ejercicios de aplicación.
Este documento presenta tres problemas relacionados con polígonos. El primer problema involucra un polígono con 27 diagonales y concluye que es un eneágono. El segundo problema trata sobre un polígono con una suma de ángulos interiores de 1080° y determina que es un octógono. El tercer problema analiza un polígono regular con 1440° de ángulos interiores y un lado de 9 dm, identificándolo como un decágono regular con un perímetro de 90 dm y 35 diagonales.
Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de ejercicios relacionados con ellas. Explica las identidades reciprocas, pitagóricas, por división y auxiliares. También cubre propiedades como que las identidades siguen cumpliéndose al multiplicar los ángulos por un factor numérico, y tipos de ejercicios como demostraciones, simplificaciones, condicionales y eliminación del ángulo. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación de
Este documento presenta fórmulas de trigonometría plana y esférica. En trigonometría plana, define las funciones trigonométricas y presenta fórmulas para ángulos compuestos, sumas y diferencias. También incluye los teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos. En trigonometría esférica, define superficies de triángulos y polígonos esféricos, y presenta analogías y teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos esféric
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos como las seis razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y el teorema de los ángulos complementarios.
2. Se definen formalmente cada una de las seis razones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
3. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y el teorema del complemento para pasar de una razón a su co-razón.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas de ángulos triples y sus aplicaciones. Incluye fórmulas para seno cúbico, coseno cúbico y tangente cúbica en términos de seno, coseno y tangente de un ángulo. También presenta 27 problemas propuestos para aplicar estas identidades y fórmulas.
Este documento presenta la resolución de 8 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de alturas, lados y ángulos en triángulos rectángulos y no rectángulos mediante el uso de relaciones trigonométricas como el teorema del seno y coseno. Cada problema contiene un diagrama y los pasos para determinar las medidas desconocidas.
Este documento presenta información sobre las identidades trigonométricas de ángulos compuestos y múltiples. Incluye cuatro temas: 1) identidades trigonométricas básicas de ángulos compuestos, 2) identidades trigonométricas auxiliares de ángulos compuestos, 3) identidades trigonométricas del ángulo doble, y 4) identidades trigonométricas del ángulo triple. Cada tema presenta fórmulas, ejemplos y ejercicios para aplicar las identidades.
El documento presenta varios ejemplos de problemas de trigonometría que involucran el Teorema del Coseno y la Ley del Seno. Explica cómo derivar las fórmulas del Teorema del Coseno para calcular el lado desconocido de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También explica cómo usar la Ley del Seno para resolver triángulos cuando se conocen un ángulo y los lados opuestos a él. Finalmente, propone un problema para calcular la altura y distancias de las
1) El documento presenta propiedades de las razones trigonométricas como recíprocas, complementarias y aplicaciones.
2) Incluye 15 ejercicios de aplicación de estas propiedades para calcular valores desconocidos.
3) El objetivo es practicar el uso de las relaciones entre las funciones trigonométricas en problemas matemáticos.
1. El documento presenta fórmulas para resolver identidades trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos. Incluye ejemplos resueltos como sen75o y muestra cómo reducir expresiones trigonométricas complejas.
2. Se explican las fórmulas básicas para la suma y diferencia de variables, incluyendo sen(x+y), cos(x+y) y tg(x+y). Luego, siguen 10 ejercicios resueltos como práctica.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales. Explica que una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumple para cualquier valor del ángulo. Luego enumera las siete identidades trigonométricas fundamentales y proporciona ejemplos para ilustrar cómo usarlas para calcular valores de funciones trigonométricas o expresarlas en términos de otras.
El documento presenta identidades trigonométricas para ángulos dobles. Explica que para ángulos como 32° y 90° que son ángulos dobles, se pueden usar identidades como seno del ángulo doble y coseno del ángulo doble. Luego proporciona fórmulas básicas para seno, coseno y tangente del ángulo doble y ejercicios resueltos como ejemplos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de semejanza y trigonometría. Introduce el teorema de Tales, los criterios de semejanza de triángulos, y el teorema de Pitágoras. Explica las definiciones de razones trigonométricas y sus relaciones fundamentales. Finalmente, muestra cómo resolver triángulos rectángulos utilizando estas nociones.
El documento presenta varios ejemplos de problemas de trigonometría que involucran el Teorema del Coseno y la Ley del Seno. Explica cómo derivar las fórmulas del Teorema del Coseno para calcular el lado desconocido de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También explica cómo usar la Ley del Seno para resolver triángulos cuando se conocen un ángulo y los lados opuestos a él. Finalmente, presenta un problema para calcular la altura y distancias de las
1) El documento presenta definiciones y propiedades de ángulos en posición normal, ángulos cuadrantales y coterminales. 2) Incluye fórmulas para calcular las funciones trigonométricas de ángulos especiales como cuadrantales y negativos. 3) Contiene 24 ejercicios resueltos sobre aplicación de conceptos de ángulos especiales.
Este documento presenta una introducción teórica a la trigonometría, incluyendo definiciones de las funciones trigonométricas, valores para ángulos comunes, y teoremas para resolver triángulos. Luego, presenta ejercicios resueltos de cálculo de funciones trigonométricas, demostraciones de igualdades trigonométricas, y problemas. El documento está organizado en secciones de introducción teórica y ejercicios resueltos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica que las ecuaciones trigonométricas relacionan funciones trigonométricas con variables angulares, y que su solución es encontrar el valor principal del ángulo. También cubre las inecuaciones trigonométricas y métodos para resolver inecuaciones elementales. Finalmente, propone 20 problemas de ecuaciones e inecuaciones trigonométricas para practicar estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores, incluyendo: (1) definición de vectores y sus elementos como magnitud, dirección y sentido; (2) operaciones con vectores como suma, resta, descomposición; (3) producto escalar y vectorial; y (4) ejemplos de aplicación de conceptos como vectores posición y desplazamiento. El documento provee una introducción concisa a los fundamentos de la algebra y geometría vectorial.
Este documento contiene 11 preguntas sobre las gráficas de las funciones trigonométricas coseno, seno y tangente. Las preguntas cubren temas como los intervalos donde las funciones son crecientes o decrecientes, los períodos de las funciones, los rangos de las funciones y los valores donde las funciones no están definidas. El documento parece ser parte de una evaluación sobre las propiedades básicas de las funciones trigonométricas.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica como el módulo de un vector, ecuaciones de rectas, y producto escalar. Explica cómo calcular las coordenadas y módulo de vectores, y cómo obtener las ecuaciones vectorial, paramétrica, continua y general de una recta. También cubre el cálculo del producto escalar para determinar si vectores son perpendiculares.
Este documento presenta los triángulos rectángulos notables de 45°-45° y 30°-60°, cuyas razones trigonométricas de ángulos agudos son conocidas. Luego, proporciona ejemplos de cálculos trigonométricos utilizando estas razones conocidas, así como gráficos y ejercicios de aplicación.
Este documento presenta tres problemas relacionados con polígonos. El primer problema involucra un polígono con 27 diagonales y concluye que es un eneágono. El segundo problema trata sobre un polígono con una suma de ángulos interiores de 1080° y determina que es un octógono. El tercer problema analiza un polígono regular con 1440° de ángulos interiores y un lado de 9 dm, identificándolo como un decágono regular con un perímetro de 90 dm y 35 diagonales.
Este documento presenta una introducción a las identidades trigonométricas fundamentales y algunas propiedades y tipos de ejercicios relacionados con ellas. Explica las identidades reciprocas, pitagóricas, por división y auxiliares. También cubre propiedades como que las identidades siguen cumpliéndose al multiplicar los ángulos por un factor numérico, y tipos de ejercicios como demostraciones, simplificaciones, condicionales y eliminación del ángulo. Finalmente, propone algunos ejercicios de aplicación de
Este documento presenta fórmulas de trigonometría plana y esférica. En trigonometría plana, define las funciones trigonométricas y presenta fórmulas para ángulos compuestos, sumas y diferencias. También incluye los teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos. En trigonometría esférica, define superficies de triángulos y polígonos esféricos, y presenta analogías y teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos esféric
1. El documento presenta conceptos básicos de trigonometría en triángulos rectángulos como las seis razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y el teorema de los ángulos complementarios.
2. Se definen formalmente cada una de las seis razones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
3. Se explican las razones trigonométricas recíprocas y el teorema del complemento para pasar de una razón a su co-razón.
Este documento presenta varias identidades trigonométricas de ángulos triples y sus aplicaciones. Incluye fórmulas para seno cúbico, coseno cúbico y tangente cúbica en términos de seno, coseno y tangente de un ángulo. También presenta 27 problemas propuestos para aplicar estas identidades y fórmulas.
Este documento presenta la resolución de 8 problemas de trigonometría que involucran el cálculo de alturas, lados y ángulos en triángulos rectángulos y no rectángulos mediante el uso de relaciones trigonométricas como el teorema del seno y coseno. Cada problema contiene un diagrama y los pasos para determinar las medidas desconocidas.
Este documento presenta información sobre las identidades trigonométricas de ángulos compuestos y múltiples. Incluye cuatro temas: 1) identidades trigonométricas básicas de ángulos compuestos, 2) identidades trigonométricas auxiliares de ángulos compuestos, 3) identidades trigonométricas del ángulo doble, y 4) identidades trigonométricas del ángulo triple. Cada tema presenta fórmulas, ejemplos y ejercicios para aplicar las identidades.
El documento presenta varios ejemplos de problemas de trigonometría que involucran el Teorema del Coseno y la Ley del Seno. Explica cómo derivar las fórmulas del Teorema del Coseno para calcular el lado desconocido de un triángulo cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. También explica cómo usar la Ley del Seno para resolver triángulos cuando se conocen un ángulo y los lados opuestos a él. Finalmente, propone un problema para calcular la altura y distancias de las
1) El documento presenta propiedades de las razones trigonométricas como recíprocas, complementarias y aplicaciones.
2) Incluye 15 ejercicios de aplicación de estas propiedades para calcular valores desconocidos.
3) El objetivo es practicar el uso de las relaciones entre las funciones trigonométricas en problemas matemáticos.
1. El documento presenta fórmulas para resolver identidades trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos. Incluye ejemplos resueltos como sen75o y muestra cómo reducir expresiones trigonométricas complejas.
2. Se explican las fórmulas básicas para la suma y diferencia de variables, incluyendo sen(x+y), cos(x+y) y tg(x+y). Luego, siguen 10 ejercicios resueltos como práctica.
3. El objetivo es que los estudiantes aprendan
Este documento presenta varios teoremas relacionados con polinomios de grado superior. Explica que Évariste Galois demostró que no existe un método general para resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro. Luego resume los objetivos de estudiar métodos para encontrar o aproximar las raíces reales de polinomios, y presenta el contenido del módulo, incluyendo teoremas como el residuo, el factor, los ceros complejos y la regla de los signos de Descartes.
Este documento presenta las identidades trigonométricas fundamentales. Explica que una identidad trigonométrica es una relación de igualdad entre funciones trigonométricas que se cumple para cualquier valor del ángulo. Luego enumera las siete identidades trigonométricas fundamentales y proporciona ejemplos para ilustrar cómo usarlas para calcular valores de funciones trigonométricas o expresarlas en términos de otras.
Este documento introduce las funciones trigonométricas de suma, diferencia y ángulos dobles. Explica las fórmulas para estas funciones y proporciona ejemplos numéricos de su aplicación. Los objetivos son estudiar estas funciones trigonométricas y sus relaciones.
1) El documento habla sobre exponentes y raíces. 2) Define conceptos como base, exponente, raíz enésima y propiedades de los exponentes y radicales. 3) Explica cómo racionalizar expresiones algebraicas que contienen radicales en el denominador.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Introduce las funciones circulares de números reales y cómo se definen las seis funciones trigonométricas en términos de las coordenadas de un punto en un círculo. Incluye ejemplos que muestran cómo calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes puntos y ángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Explica que la aritmética se originó de los primeros intentos del hombre primitivo por contar animales y objetos, y que aunque parece sencilla, incluye problemas difíciles que han resistido la resolución por siglos. Finalmente, introduce el primer capítulo de un curso de aritmética enfocado en razones, proporciones, reglas de
Este documento introduce los sistemas numéricos y las progresiones aritméticas y geométricas. Explica brevemente los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales, y cómo se relacionan entre sí. Luego define las progresiones aritméticas como sucesiones donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y las progresiones geométricas como sucesiones donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por un factor constante.
Este documento describe la representación de números complejos en el plano de Argand y la forma polar de números complejos. Introduce el plano de Argand, donde cada número complejo se corresponde a un punto, y explica cómo representar números complejos y sus conjugados. Luego, introduce la forma polar de números complejos, donde cada número complejo se representa por su módulo y argumento.
Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.
El documento describe una sección sobre las raíces de una ecuación cuadrática. Explica cómo encontrar las raíces mediante la fórmula cuadrática y analiza las características de las soluciones según el discriminante. También relaciona la suma y el producto de las raíces con los coeficientes de la ecuación cuadrática.
Este documento presenta conceptos básicos de aritmética como razones, proporciones, sistemas numéricos, progresiones aritméticas y geométricas, y sumatoria y productoria. Explica que la aritmética se originó de los primeros intentos del hombre primitivo por contar animales y objetos, y que aunque parece sencilla, incluye conceptos difíciles de definir como el número. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como razones, proporciones, regla de tres y cálculo porcent
Este documento presenta la función exponencial y logarítmica. Explica que la función exponencial se usa para modelar el crecimiento exponencial en biología, economía y física. Define la función exponencial como f(t) = b^t donde b es la base y t es la variable. También cubre el decrecimiento exponencial y la vida media en desintegración radiactiva.
Este documento contiene 64 ejercicios de álgebra y trigonometría sobre porcentajes, progresiones aritméticas y geométricas, sumatorias y otros temas. Los ejercicios van desde calcular un 12% hasta deduciendo fórmulas matemáticas.
1) El documento presenta conceptos sobre ecuaciones trigonométricas. Explica que son afirmaciones de igualdad entre expresiones matemáticas que involucran funciones trigonométricas. 2) Describe métodos para resolver ecuaciones trigonométricas, incluyendo despeje directo y resolución de ecuaciones de la forma m sen x = n cos x. 3) Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación trigonométrica.
El documento define las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) mediante la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Explica que estas razones no dependen del tamaño del triángulo siempre que tenga el mismo ángulo. Además, presenta aplicaciones de las razones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos y oblicuángulos usando los teoremas del seno y coseno.
Este documento explica la ley de los senos y la ley de los cosenos, que se usan para resolver triángulos cuando se conocen diferentes combinaciones de ángulos y lados. Incluye definiciones, ejemplos y ejercicios resueltos de ambas leyes.
Este documento presenta conceptos clave sobre semejanza y trigonometría. Introduce la semejanza de triángulos y el teorema de Tales, y explica cómo calcular distancias usando la semejanza de triángulos. Luego define las funciones trigonométricas básicas y las relaciones fundamentales entre ellas. Finalmente, explica cómo resolver triángulos rectángulos usando dos datos.
Teorema del coseno o de los cosenos convertidoElmerCardoza1
El documento describe el teorema del coseno, que establece la relación entre los lados y ángulos de un triángulo. Explica que para aplicar el teorema se necesita conocer la longitud de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Luego presenta la demostración del teorema y resuelve tres problemas como ejemplos de su aplicación para hallar lados u ángulos desconocidos.
El documento describe el teorema del seno, que establece una relación de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos. Explica que si se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos, se puede resolver el triángulo. También muestra cómo se puede utilizar el teorema para calcular el área de un triángulo.
Este documento explica la ley de cosenos y la ley de senos, que son teoremas trigonométricos utilizados para resolver triángulos cuando no se conocen todos los ángulos y lados. La ley de cosenos relaciona el cuadrado de un lado de un triángulo con los cuadrados de los otros dos lados y el coseno del ángulo entre ellos. La ley de senos proporciona una relación entre los lados divididos por los senos de los ángulos opuestos. El documento incluye ejemplos de cómo aplic
Nivelacion y ejercicios resueltos de fisica ii y electricidad y electrotecniaJulio Barreto Garcia
Este documento describe los diferentes tipos de ángulos formados cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, incluyendo ángulos correspondientes, alternos internos y externos. También explica las propiedades fundamentales de estos ángulos y presenta demostraciones de teoremas geométricos relacionados con ángulos y triángulos, como la ley de los senos y la ley de los cosenos. Finalmente, introduce conceptos trigonométricos como seno, coseno y tangente aplicados a triángulos rectángulos.
Este documento describe cómo resolver triángulos oblicuángulos, que son triángulos sin ángulos rectos, utilizando la ley del seno y la ley del coseno. Explica que la ley del seno se usa cuando se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos, o dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. La ley del coseno se usa cuando se conocen los tres lados o dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. A continuación, proporciona ejemplos de cómo aplicar
Este documento presenta conceptos básicos de geometría plana y trigonometría que son útiles para resolver problemas. Define ángulos, figuras planas y polígonos como triángulos y cuadriláteros. Explica cómo resolver triángulos mediante el teorema de Pitágoras, las funciones trigonométricas y las leyes del seno y coseno. Muestra ejemplos resueltos de problemas que involucran ángulos, alturas y lados de triángulos.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría plana y trigonometría que son útiles para resolver problemas. Define ángulos, figuras planas y polígonos regulares e irregulares. Explica los tipos de triángulos y cómo resolver triángulos usando teoremas como el teorema de Pitágoras, la ley del seno y la ley del coseno. También cubre el cálculo del perímetro y área de triángulos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría y cálculo de áreas. El primer ejercicio calcula el área total de una región compuesta por figuras geométricas. El segundo ejercicio calcula el área de una región formada por dos trapecios idénticos. Los ejercicios restantes contienen preguntas sobre conceptos geométricos como ejes de simetría, ángulos y volúmenes.
Este documento contiene 24 actividades sobre semejanza de figuras geométricas como triángulos, cuadrados y polígonos. Las actividades cubren criterios de semejanza, cálculo de ángulos y lados homólogos, razones de semejanza, escalas en mapas y planos, y áreas y perímetros de figuras semejantes. Cada actividad viene acompañada de su solución. El documento provee ejercicios prácticos sobre el tema de semejanza para estudiantes de segundo año de la
Este documento describe las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Define las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante en términos de los lados del triángulo. También cubre identidades trigonométricas, valores comunes de las funciones y ángulos de elevación y depresión.
El documento presenta información sobre trigonometría y sus aplicaciones en la resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos. Explica conceptos como senos, cosenos, tangentes y sus usos en la construcción de edificios y puentes. También incluye ejemplos de problemas resueltos usando funciones trigonométricas.
Este documento presenta un resumen de trigonometría. Explica las razones trigonométricas y cómo se usan para resolver triángulos rectángulos. También describe cómo se aplica la trigonometría para resolver problemas en ingeniería y construcción. Finalmente, presenta ejemplos numéricos para mostrar cómo calcular lados y ángulos desconocidos usando funciones trigonométricas.
Este documento presenta una serie de problemas de geometría y trigonometría para ser resueltos. Incluye problemas que involucran figuras geométricas como triángulos, cuadrados y círculos, así como conceptos como ángulos, lados, bisectrices, perpendiculares y paralelas. El documento fue elaborado por M. en C. José Correa Bucio y contiene 38 problemas con instrucciones para ser resueltos.
Este documento explica los conceptos básicos de los triángulos oblicuángulos y cómo resolverlos utilizando las leyes de senos y cosenos. Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto en ninguno de sus ángulos. Para resolver este tipo de triángulos se utilizan la ley de senos o la ley de cosenos. La ley de senos establece que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. La ley de cosenos establece que el cuad
Este documento presenta conceptos básicos sobre las razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Explica las definiciones de razones trigonométricas, operadores trigonométricos y criterios preliminares. Luego, resuelve ejemplos numéricos para calcular las seis razones trigonométricas dados los lados del triángulo rectángulo. Finalmente, proporciona una hoja de aplicación y evaluación para que los estudiantes practiquen.
Este documento presenta las razones trigonométricas seno, coseno y tangente y cómo usarlas para resolver problemas en triángulos rectángulos. Explica que el seno es la razón entre el lado opuesto a un ángulo y la hipotenusa, el coseno es la razón entre el lado adyacente a un ángulo y la hipotenusa, y la tangente es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente a un ángulo. Además, muestra ejemplos de cómo usar estas razones trigonométricas para encontrar longitude
1. 211Álgebraytrigonometría
Introducción
En esta sección se usan las razones trigonométricas para resolver triángulos
oblicuángulos, esto es, triángulos que no tienen un ángulo interno que sea recto.
Para ello se estudia en primer lugar la ley de los senos y a continuación la ley de los
cosenos. La ley de los senos dice que en cualquier triángulo la razón de longitudes
de cualquier par de lados es igual a la razón de los senos de los ángulos opuestos
correspondientes.
Objetivos
1. Hallar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo.
2. Deducir la ley de los senos en un triángulo.
3. Deducir la ley del coseno en un triángulo.
Preguntas básicas
1. ¿En qué consiste resolver un triángulo?
2. ¿Cómo se enuncia la ley del seno para triángulos?
3. ¿Cómo se enuncia la ley del coseno para rectángulos?
Contenido
19.1 Significado de la resolución de triángulos
19.2 Resolución del triángulo rectángulo
19.3 Resolución de triángulos
Vea el módulo 19 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
19
Resolución de triángulos
Tales de Mileto
Taleseraunhombreesencialmente práctico:comerciante,
hábileningeniería,astrónomo,geómetra,estadista.Sele
incluyeportradiciónentrelosSietesabiosdeGrecia.Como
comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una
gran producción de aceitunas, monopolizó su proceso de
fabricación, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia.
Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo
dirigiendoobrashidráulicasysedicequedesvióelcursodel
río Halis mediante la construcción de diques.
Como astrónomo fue más célebre: predijo un eclipse total
de sol visible en Asia Menor y se cree que descubrió la
constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna
700vecesmenorqueelSol.Tambiénsecreequeconocióel
recorridodelSoldeuntrópicoaotro.Explicóloseclipsesde
sol y de luna y creía que el año tenía 365 días.
A Tales se le atribuyen cinco teoremas de la geometría
elemental:
1.Losángulosdelabasedeuntriánguloisóscelessoniguales.
2. Un círculo es bisectado por algún diámetro.
3. Los ángulos entre dos líneas rectas que se cortan son
iguales.
4.Dostriángulossoncongruentessi ellostienendosángulos
y un lado igual.
5.Todoánguloinscritoenunasemicircunferenciaesrecto.
2. 212
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
19.1 Significado de la resolución de triángulos
Resolver un triángulo equivale a encontrar todos los lados y ángulos desconoci-
dos del triángulo.
19.2 Resolución del triángulo rectángulo
Para la resolución del triángulo rectángulo se utilizarán las funciones trigonométricas
definidas antes.
Los ejemplos siguientes ilustran esta situación:
Ejemplo14
Resuelva el triángulo rectángulo si se conoce un ángulo y un lado como en el
triángulo siguiente (figura 19.1).
Figura 19.1
Solución
90º 32º10' 57º50',D
sen 32º10'
6.25
a
; 3.33a cm,
cos 32º10'
6.25
b
; 5.29b cm.
Hay que aclarar que en este capítulo se utilizará con frecuencia la calculadora
científica para hallar los valores de las funciones trigonométricas.
Ejemplo15
Resuelva el triángulo rectángulo si se conocen dos lados como en el triángulo
rectángulo siguiente (figura 19.2).
D
3. 213Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Escuche Historia de Tales de
Mileto en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría
Figura 19.2
Solución
2.62
tan ;
4.32
E 31.2º.E
90º 31.2º;D 58.8º.D
2.62
sen 31.2º ;
c
5.06c cm.
19.2.3 Resolución de triángulos
Las leyes del seno y del coseno que se enunciarán más adelante desempeñan un
papel fundamental en la solución de triángulos oblicuos, es decir, triángulos que no
son rectángulos. La ley de senos es relativamente fácil de demostrar si se usan las
propiedades del triángulo rectángulo definidas antes.
La ley de senos que se ilustra mediante la figura 19.3 se enuncia así:
c
2.62cm
4.32cm
D
E
c
Figura 19.3
b a
ED
J
4. 214
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
La ley dice que en cualquier triángulo de lados a, b, c y ángulos , ,D E J se cumple
que:
.
sen sen sen
a b c
D E J
Esta ley es útil cuando se conocen:
a. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de los lados.
b. Dos ángulos y el lado opuesto a uno de los ángulos.
Ejemplo16
Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.4).
Figura 19.4
Solución
28º 45º20' 180º; 106º40'.J J
sen sen 120 sen 28º
; ; 58.8.
sen 106º40'
a a
a c
D J
sen sen 120 sen 45º 20'
; ; 89.1.
sen 106º 40'
b b
b c
E J
Ejemplo17
Resuelva un triángulo con 26º, 10 cm y 18 cma bD (figura 19.5).
Solución
Si se trata de trazar un triángulo con esos valores, son posibles dos triángulos, a
saber:
c c’
120
Jb a
28º 45º20'
Figura 19.5
18
10
10
26º
E E
J
J
5. 215Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Figura 19.6. Caso en el que existen dos soluciones
Figura 19.7. Caso en el que no existe solución
Figura 19.8. Caso en que la solución es única
b a
D
Acá se verá que existen dos posibles valores para ,E usando una calculadora
científica, así:
sen sen 18sen 26º
; sen ; sen 0.7891.
10b a
E D
E E
De esta manera, 128º o 52º.E E
Por tanto, 26º o 102º.J J
Utilizando la ley de senos se tiene entonces que:
c = 10 cm o c = 22 cm.
Cuando se estudien funciones circulares, en el capítulo 8, se verá en forma precisa
por qué existen dos valores de E que cumplen que sen 0.7891.E
En general, si se da un ángulo ,D su lado adyacente b y su lado opuesto a, enton-
ces se puede formar más de un triángulo, exactamente uno, o ninguno. Las situacio-
nes descritas anteriormente las ilustran las figuras 19.6, 19.7 y 19.8.
b
aa
D
b
a
D
6. 216
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
Esta situación la resume la tabla 19.1:
Tabla 19.1
Si en un triángulo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o bien
si se conocen los tres lados, la ley de los senos no es útil en la solución de un
triángulo oblicuo. Sin embargo, el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos
se puede generalizar en otra ley denominada ley de los cosenos y que se expresa así
(figura19.9):
Figura 19.9. Triángulo ilustrativo de la ley de cosenos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos ,
2 cos ,
2 cos .
a b c bc
b a c ac
c a b ab
D
E
J
La ley es útil cuando se conocen:
a. Tres lados.
b. Dos lados y el ángulo comprendidos entre ellos.
Ejemplo18
Resuelva el triángulo siguiente (figura 19.10).
D E
J
ab
c
sen
sen
sen
b a a b
a b a
a b
a b a
t
Caso Número de triángulos
2
0
1
1
14. 218
Como cos 30º =
12
b
, se tiene que b = 12 cos 30º, o sea b =
3
12
2
= 6 3.
Ejemplo21
Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la
escalera está a 1 m de la base del edificio, ¿cuál es el ángulo formado entre la escalera
y el edificio?
Solución
La figura 19.12 ayuda a ilustrar el problema.
Figura 19.12
Si T es el ángulo entre la escalera y el edificio, se tiene que sen
1
0.1.
10
T
Utilizando una calculadora se tiene que T | 5.73º.
Ejemplo22
Un satélite en órbita terrestre pasa directamente por encima de estaciones de obser-
vación situados en dos puntos A y B a 400 km de distancia. En un instante cuando
el satélite está entre estas dos estaciones, se observa que el ángulo de elevación es
de 60º en A y de 75º en B. ¿A qué distancia se encuentra el satélite del punto B?
Solución
La figura 19.13 ilustra la situación descrita.
Figura 19.13
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
15. 219Álgebraytrigonometría
Se tiene que J + 60º + 75º = 180º. Por tanto, 45º.J
Usando la ley de senos se tiene:
sen 45º sen 60º 400 sen 60º
, ,
400 45º
a
a
3
400
2 ;
2
2
x
a a | 489.9km.
Por tanto la distancia del satélite al punto B es de aproximadamente 489.9 km.
Ejemplo23
Resuelva el triángulo que se muestra en la figura 19.14:
Figura 19.14
Solución
Como J + 20º + 25º = 180º, se tiene que J = 135º.
También se tiene que
sen 20º sen 25º
.
80.4a
Por tanto,
80.4 sen20º
.
sen 25º
a
Usando calculadora, se tiene que sen 20º | 0.342, sen 25º = 0.422 y a | 65.1.
Similarmente, para calcular b se tiene que:
sen 135º sen 25º 80.4 sen 135
; .
80.4 sen 25º
b
b
Como sen 135º = 0.707, b | 134.5.
Ejemplo24
Dado un triángulo de lados a, b, c y ángulos opuestos a cada lado ,D E J respec-
Módulo19:Resolucióndetriángulos
16. 220
tivamente, y si a = 2, b = 10 y D = 30º, encuentre E .
Solución
Se debe cumplir que sen sen
a b
D E y por consiguiente
sen 10sen30º
sen .
2
b
a
D
E
Por tanto,
10 0.5
sen 2.5.
2
E
u
Puesto que 2.5 1, no existe ningún ángulo E tal que sen E = 2.5.
En consecuencia, tal triángulo no existe.
Ejemplo25
Dado el triángulo de la figura 19.15 encuentre el valor del lado c.
Figura 19.15
Solución
Usando la ley de cosenos, se tiene que:
c2
= (15)2
+ (20)2
2u 15u 20 cos 100º.
Usando una calculadora, se tiene que cos 100º = 0.17365; por tanto,
c2
=729.19,
c | 27.0037.
Ejemplo26
Dado el triángulo de la figura 19.16 encuentre los ángulos , .D E J
Capítulo7:Trigonometríadeltriángulorectángulo
17. 221Álgebraytrigonometría
Módulo19:Resolucióndetriángulos
Figura 19.16
Solución
Por la ley de los cosenos se tiene que:
52
= 82
+ 122
2 u 8 u 12 cos ,D
2 2 2
8 12 5
cos 0.953125.
2 8 12
D
u u
Usando una calculadora, se tiene que 18ºD | . Además
82
=52
+ 122
2 u 5 u 12 cos ,E
2 2 2
5 12 8
cos 0.875,
2 5 12
29º.
E
E
u u
|
Por último se tiene que:
122
= 82
+ 52
2 u 8 u 5 cos ,J
2 2 2
8 5 12
cos 0.6875,
2 8 5
J
u u
J | 133º.