Modulo de primero_i_bimestre_2018

Este material educativo es para uso exclusivo de los alumnos del Programa de Educación a Distancia del
Liceo Naval “Almirante Guise”
2
2018
“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas
simples complicadas, sino hacer las cosas complicadas
simples”
S. Gudder.

3
PRIMER BIMESTRE
1º año 2018
NÚMEROS ENTEROS ……………………………………….pág. 4
 Operaciones con números enteros
 Adición. Sustracción.
 Multiplicación. División.
 Potenciación.Radicación.
 Propiedades.Operaciones Combinadas.
 Problemas.
NÚMEROS RACIONALES ……………………………………pág.16
 Fracciones. Fracciones equivalentes. Comparación.
 Operaciones con fracciones.
 Problemas con fracciones.
 Números Decimales. Fracción Generatriz de un número
 decimal.
 Operaciones con números decimales.
 Problemas con números decimales.
DIVISIBILIDAD
 Criterios de Divisibilidad.
 Números primos y compuestos.
 Primos entre sí (P.E.S.I.)
 Mínimo Común Múltiplo (M.C.M). Problemas.

4
Lo representamos por Z.
Este conjunto emplea el concepto de números positivos y negativos.
El conjunto de números enteros está definido así:
Z = . . . – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, . . . 
REPRESENTACIÓN DE LOS ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA
A partir del cero, empleando una unidad de medida, ubicamos puntos
hacia la derecha y hacia la izquierda, haciendo corresponder a cada
uno los números enteros positivos y los números enteros
negativos.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Si tenemos dos números enteros será mayor el que se encuentre a la
derecha del otro número en la recta numérica.
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 . . . .. . . .
ENTERO NEGATIVO ENTERO POSITIVO
–  + 
0 1 2 3 4 5
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3
- 3 - 2 - 1 0
5 es mayor que 1.
2 es mayor que – 4
– 1 es mayor que – 3.
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

5
 Cuando los números son positivos se representan de
izquierda a derecha.
Ejemplo: + 4 + 8 = 12
4
►
|◄ ►
–3 -2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
‫׀‬
8
 Cuando los números son negativos se representa de
derecha a izquierda
Ejemplo: - 4 - 8 = - 12
- 4
◄
◄ ►
. . –13 - 12 -11 - 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- 8
◄ -
◄ ‫׀‬
Regla de signos en la adición de números eneros del mismo signo:
Cuando se realiza la operación con dos números del mismo signo, se suman sus valores
absolutos (los números los tomamos como positivos) y al resultado se le antepone el signo
común (si fuese positivo no es necesario)
Ejemplo:
2 + 8 = 10
- 4 - 10 = - 14
1
2
-
1
2
SUMA Y RESTA DE DOS NÚMEROS ENTEROS

6
Regla de signos en la adición de números eneros de distinto signo:
Cuando se realiza la operación con dos números de distinto signo, se halla la diferencia
de sus valores absolutos (los números los tomamos como positivos) y al resultado se le
antepone el signo del que tenga el mayor valor absoluto.
Ejemplo:
* 7 - 4 = 3
* - 8 + 3 = - 5
* 6 - 10 = - 4
NOTA:
 El signo + que precede a un paréntesis (o cualquier signo de agrupación) no
varía el signo del número que está dentro de él.
 El signo - que precede a un paréntesis (o cualquier signo de agrupación) cambia
el signo del número que está dentro de él.
Ejemplos:
* 8 – (- 5) = 8 + 5 = 13
* 9 – (11) = 9 – 11 = - 2
* 8 + (- 5) = 8 – 5 = 3
* 9 + (8) = 9 + 8 = 17
Ley de signos:
 Si dos números enteros tienen el mismo signo, su producto tendrá
signo positivo.
Regla:
(+ 4)  (+ 3) = + 12 (+ ) . (+ ) = +
(– 5)  (– 2) = + 10 (– ) . (– ) = +
 Si dos números enteros tienen el distinto signo, su producto
tendrá signo negativo.
Regla:
(– 8) (+ 7) = – 56 (–) . (+) = 
(+ 5) (– 6) = – 30 (+) . (–) = –
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS (Z)

7
MULTIPLICACIÓN DE DOS O MÁS FACTORES
De la ley de los signos se desprende lo siguiente:
 Si todos los factores tienen signos positivos, el producto es
positivo.
Ejemplo:
1) (+ 2) (+ 3) (+ 5) = + 30
2) (+ 7) (+ 1) (+ 2) (+ 5) = + 70
 Si algunos de los factores son de signo negativo, tendremos en
cuenta la cantidad de estos factores:
a) Si el número de factores es PAR, el producto total es de signo
POSITIVO.
Ejemplo:
1) (– 2) (– 4) (– 6) (– 1) = + 48
2) (+ 5) (– 1) (+ 4) (– 2) = + 40
b) Si el número de factores es IMPAR, el producto total es de
signo NEGATIVO.
Ejemplo:
1) (– 2) (– 3) (– 6) = – 36
2) (+ 5) (+ 3) (– 1) (+ 2) = – 30
Regla de los Signos:
 Al dividir números enteros del mismo signo, el cociente es de signo POSITIVO.
(+ ) : (+) = (+)
(– ) : (–) = (+)
 Al dividir números enteros de distintos signos, el cociente es de signo
NEGATIVO.
(+) : (–) = (–)
(–) : (+) = (–)
División Exacta:
D d D: Dividendo
q d : divisor
q : cociente
División Inexacta:
D = d  c + r ó D d
r q
20 = 5  4 + 2 22 5
2 4
POTENCIACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

8
Potenciación: Es un caso particular de la multiplicación, el caso es que los factores son
iguales.
an
= a  a  a  a  . . . a
n veces a
Donde: a es la base
n es el exponente
P es la potencia
El exponente natural n indica la cantidad de veces que se repite
la base a como factor.
Ejemplos:
(1) (4)2 = (4) (4) = 16
(2) (4)3 = (4) (4) (4) = 64
(3) (-4)2 = (-4) (-4) = 16
(4) (-4)3 = (-4) (-4) (-4) =  64
Signos de potenciación de números enteros
1. Si la base es positiva, la potencia es siempre un número
positivo.
Ejemplo (1) 32 = (3) (3) = 9
Ejemplo (2) 25 = (2) (2) (2) (2) (2) = 32
2. Si la base es negativa, la potencia es un número positivo si el
exponente es par y negativo si el exponente es impar.
Ejemplo: (1) (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = +16
Ejemplo (2) (-3)3 = (-3) (-3) (-3) =  27
Nota: Todas las potencia de 1 son iguales a 1.
Ejemplo: (-1)28 = + 1
(-1)53 = 1
an
= P

9
PROPIEDADES DE LA POTENCIA
I. Multiplicación de potencias de bases iguales. Para multiplicar
potencias de bases iguales se escribe la misma base y se
suman los exponentes.
am
. an
= am+n
Ejemplo: 2  22
 23
= 21+2+3
= 26
= 64
am
. ap
. aq
= am+p+q
; bx+y
= bx
. by
II. División de Potencia de igual base: Para dividir potencias de
bases iguales, escribimos la misma base y restamos los
exponentes.
m
m-n
n
a
a
a

Ejemplo 1)
4
4-3 1
3
2
2 2 2
2
  
2)
5
5-3 2
3
(-3)
(-3) ( 3) 9
(-3)
   
n
n -p
p
a
a
a
 y
x
y-x
b
b
b 
EXPONENTE CERO: “Toda base entera distinta de cero elevada al
exponente cero da como resultado 1”
m
m m
m
a
a
a


1 = a0
si a  0
Ejemplos:
(1) 250 = 1 (3) (-1248)0 = 1
(2) (-38)0 = 1 (4) 00 = no definido ( )
a0
= 1

10
III. EXPONENTE NEGATIVO
n-o
n
0
a
a
a

n-
n a
a
1
 ó n
n
a
1
a 
si a  0
Ejemplos:
(1) 3
3
4
1
4 
(2)
10
1
10 1

(3) 7
7
x
1

x
Qué pasa si tenemos: 1-
2
1
? basta subir la base y poner 21
.
Así:
n
n-
a
a
1
 Si a  0
Ejemplo: 2
2-
3
3
1

IV. POTENCIA DE UN PRODUCTO
n   y a, b  
Ejemplo:
(1) (2 . 3)2
= 22
. 32
(2) (3ab)2
= 32
a2
b2
(a . b . c)n
= an
. bn
. cn
También ap
. bp
. cp
. dp
= (a, b, c , d)p
(a  b)n
= an
 bn

11
V. POTENCIA DE UN COCIENTE
n
n
b
a
b
a






n
Ejemplo:
27
8
333
222
3
2
3
2
3
33









También
xx
x
a a
bb
 
  
 
VI. POTENCIA DE POTENCIA
m.nmn
a)a(  q.p.nqpn
a))a( 
Ejemplos:
1)
62.323
2a)2( 
2)    244.3.2
432
333 
3)
x.33
2)2( x
3)    1=335 04.0.2
402

Ejercicios resueltos sobre potenciación
I. Aplicando las propiedades de las potenciación hallar el resultado
de:
1) 22
 42
= (2  4)2
= 82
= 64
2) (6  3)2
= 62
 32
= 36  9 = 324
3)
8
27
64
278
4
32
4
32
3
333









 
4)   
32
3 36
= 729 ó también (9)3
= 729

12
5) 


27
38
85
85
5 8 – 7
 8 3 – 2
= 5  8 = 40
II. Simplificar:



675
8487
a563
a563
3 7 – 5
 6 8 – 7
 5 4 – 1
 a 8 – 6
= 32
 6  53
 a2
= 9  6  125  a2
= 6 750 a2
III. Reducir: P =
223
5
1
4
1
2
1



















Aplicando la propiedad:
n-n
a
b
b
a












3
2
1







=
3
1
2






= 23
2
4
1







=
2
1
4






= 42
2
5
1







=
2
1
5






= 52
P = 23
+ 42
+ 52
P = 8 + 16 + 25
P = 49
IV:

13
Es una operación inversa de la potenciación.
Dada una expresión como rn
= a; la POTENCIACIÓN nos permite hallar
a dados r y n; la RADICACIÓN nos permite halar r dados a y n.
Así:
nn
a r r a  
donde: r es la RAÍZ; r  
a es el RADICANDO; a  
n es el ÍNDICE; n  , n  2
es el operador RADICAL
Ejemplo: 3
8 – 2 porque (–2)3
= – 8
SIGNOS DE RADICACIÓN
 r
impar
 a  ra
impar
  ra
par

Ejemplo:
3
64 4  5
32 - 2  16 4 
Observación: Es decir Par
a no está definida en Z.
Así: 25 ; no existe un número entero que, elevado al cuadrado, dé como resultado –
25.
RAIZ DE UNA MULTIPLICACIÓN
nnn baba 
a) 3
648 =
3 3
8 64 2 4 8   
b) 36 16 4 36 16 4 6 4 2 48        
RAÍZ DE UNA DIVISIÓN
RADICACIÓN DE NUMEROS ENTEROS

14
n nn a b a b  
Ejemplos:
a)
3
3 3
3
64 64 4
64 27
27 327
   
b) 2
2
4
4
16
4
16

RAÍZ DE UNA POTENCIA
mnn m
aa  Ejemplo: 
533 5
88 25
= 32
Ejercicios Resueltos
1) Halla M si:
Solución:
2) Halla A si:

15
Los signos de agrupación como su nombre lo dicen sirven para
agrupar operaciones y/o cantidades; y se utilizan para separar unas
operaciones de otras, y nos dicen cual debemos resolver primero,
es decir se utilizan para ordenar los cálculos y fijar prioridades.
Los signos de agrupación se usan para cambiar el orden de las
operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben
realizarse primero.
Son:
( ) paréntesis
[ ] corchetes
{ } llaves
| | Barras
Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la
operación; un ejemplo es, las operaciones que están entre
paréntesis son las que se realizaran primero, posteriormente las
que se encuentran entre corchetes y por último las que se
encuentran entre llaves, siempre que se encuentren en ese
orden desde adentro hacia afuera en la expresión.
En los ejercicios donde se plantean las seis operaciones básicas, el
orden en la ejecución de la resolución es el siguiente:
1° Se calcula las potencias y las raíces
2° Se calcula los productos y los cocientes
3° Se halla las sumas y las diferencias
Ejemplo
Solución
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

16
Definición: Una fracción es una división indicada de dos números
enteros.
Es decir: , donde b  0
Además a y b son los TÉRMINOS de la fracción y reciben el nombre de
numerador y denominador.
4  numerador
5  denominador
El denominador representa: la cantidad de partes en que dividimos a
la unidad
El numerador representa: la cantidad de partes que se a tomado de la
unidad.
Ejemplo:
El denominador 6 representa a la cantidad de partes en que dividimos
a la unidad.
El numerador 5 representa la cantidad de partes que se ha tomado
de la unidad.
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
MEDIANTE FRACCIONES
La fracción representa 3 de las 5 partes iguales en las que
dividimos la unidad.
CLASIFICACIÓN
I. Fracción Propia: es aquella cuyo denominador es mayor que su
numerador.
II. Fracción igual a 1:
III. Fracción Impropia: es aquella cuyo numerador es mayor que el
denominador.
b
a
6
5
5
3
5
3
5
3
4
4
5
7
FRACCIONES
NÚMEROS RACIONALES

17
Ejercicios:
Ubicar cada una de las siguientes fracciones en el conjunto al cual
pertenecen.
, , , , , , , , , , , ,
Fracciones Propias: A = 
Fracciones Iguales: B = 
Fracciones Impropias: C = 
IV. Fracciones Homogéneas: dos o más fracciones son
homogéneas, cuando tienen igual denominador.
Ejemplo: , ,
V. Fracciones Heterogéneas: dos o más fracciones que tienen
diferente denominador.
Ejemplo: , ,
EQUIVALENCIA DE FRACCIONES
Dos fracciones y son equivalentes si se cumple que ad
= bc
Ejemplos:
1) =
2) =  3 . 12 = 9 . 4
3) Fracciones equivalentes
= =
2
1
8
7
12
12
2
3
24
25
8
6
3
4
2
2
23
21
5
9
13
11
11
9
5
12
5
1
5
3
5
4
4
3
5
2
7
6
b
a
d
c
7
2
35
10
9
3
12
4
4
3
8
6
12
9
Porque: 2 x 35 = 7 x 10
70 = 70
36 = 36
d
c
b
a
  a . d = c . b

18
PROPIEDADES
1. Si dos fracciones tienen el mismo denominador es mayor el que
tiene mayor numerador.
Ejemplo: , , ,
El mayor de todos es
2. Si dos fracciones tienen igual numerador es mayor el que tiene
menor denominador
Ejemplo: , , ,
El número mayor es
3. Si los dos términos de una fracción se multiplican o dividen por un
mismo número la fracción resulta ser equivalente a la primera.
Ejemplo: (1) =
= 
Ejemplo: (2) =
= 
COMPARACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
 Si comparamos dos fracciones de signos distintos, es
MAYOR la fracción POSITIVA.
Ejemplo:
1) es mayor que ó 
2) es menor que ó 
4
3
4
5
4
7
4
2
4
7
8
3
4
3
7
3
10
3
4
3
9
7
39
37


9
7
27
21
12
8
212
28


12
8
6
4
7
3
2
1 3
7
1
2

5
8
4
7 8
5
 7
4
7 x 27 = 9 x 21
189 = 189
8 x 6 = 12 x 4
48 = 48

19
 Si comparamos dos fracciones del mismo signo se
presentan 2 casos:
1) Si los denominadores son iguales comparamos sólo los
numeradores, el numerador MAYOR indicará la fracción MAYOR.
Ejemplo:
a)  b) 
2) Si los DENOMINADORES SON DIFERENTES transformamos
las fracciones a DENOMINADOR COMÚN y luego procedemos
como en el caso anterior.
Método del Aspa:
Ejemplo:
¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? ;
* El denominador común de ambas fracciones está dado por el
producto de los denominadores dados.
* Los numeradores respectivos se obtienen multiplicando en
forma cruzada el numerador por el denominador de la otra
fracción:
40 =   = 27
Al transformarlos a denominador común, el mayor numerador
es es 40.
Luego: 
6
5
3
5
2
5
 10
5

9
8
5
3
5959 
9
8
5
3
45
27
45
40
9
8
5
3

20
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción significa transformarla en otra equivalente y, a
la vez, irreducible.
Ejemplo 1: simplificar la fracción
48
30
Solución (1) Dividimos ambos términos por 2:
24
15
3:48
2:30

(2) Dividimos ambos términos por 3:
8
5
3:24
3:15

Luego: La fracción equivalente e irreducible de
48
30
es
8
5
Ejemplo 2: Simplificar
2 3
48
30
=
24
15
=
8
5
2 3
NÚMEROS MIXTOS
Tienen su origen en las fracciones impropias:
Ejemplo:
5
7
Equivale a
5
2
1
I. Conversión de fracción impropia a número mixto.
Ejemplo: transforma
3
13
a un número mixto.
(1) dividimos el numerador con el denominador
13 3
Residuo  1 4  cociente
La parte entera es el cociente de la división.
La parte fraccionaria: el numerador esta dado por el residuo de la
división, el denominador es el mismo de la fracción inicial.
Luego:
3
13
= 4
3
1

21
II. Conversión de número mixto a fracción impropia.
Para efectuar esta transformación, multiplicamos el denominador
de la parte fraccionaria por la parte entera y a este producto le
sumamos el numerador obteniendo el numerador de la fracción.
El denominador es el mismo.
Ejemplo:
3
11
3
233
3
2
3 


OPERACIONES CON FRACCIONES
Suma y Resta
1. Suma y Resta de fracciones con igual denominador.
Se suman y restan los numeradores y se escribe el mismo
denominador.
Ejemplo: 


8
351
8
3
8
5
8
1
8
3
2. Suma y Resta de fracciones con diferente denominador.
Cuando tienen diferente denominador, hallamos el mínimo
común múltiplo.
Ejemplo:
Efectuar: 
3
2
2
1
18
7
6
5
 Hallar el mcm
6 18 3 2
3 9 1 3
1 3 3
mcm = 2 x 3 x 3 = 18
 calculamos el numerador:
(18 : 6) x 5 = 15
(18 :18) x 7 = 7
(18 : 2) x 1 = 9
(18 : 3) x 2 = 12
Luego: 


18
129715
3
2
2
1
18
7
6
5
18
5

22
Multiplicación de fracciones.
En la multiplicación de dos o más fracciones, el resultado es otra
fracción cuyo numerador es igual al producto de los numeradores y el
denominador es igual al producto de los denominadores.
Es decir:
fdb
eca
f
e
d
c
b
a



Para representar esta operación pueden emplearse un punto, un aspa
o cualquier signo de agrupación
Ejemplos:
(1) Efectuar: 



326
175
3
1
2
7
6
5
36
35
Nota: También se puede simplificar de modo más directo en la misma
multiplicación de fracción a fracción.
Ejemplo (1) 
6
4
2
8
1
3
4
20
5
1
1
4
3
2
Ejemplo (2)  237
9
18
2
6
3
21
42
POTENCIACIÓN DE FRACCIÓNES
La potenciación de una fracción es el resultado de multiplicar por si mismo
tantas veces una fracción como indica el exponente, por lo que para elevar
una fracción, a una potencia se elevará cada uno de sus términos a dicha
potencia.
P
b
a
b
a
b
a
b
a
 ................ ó P
b
a
n






n veces a/b
n : exponente natural
b
a
: base racional o fracción
P : Potencia
Así:
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4






ó
4
3
2






(4 veces 2/3)
Ejemplos:

23
a) 





2
22
5
2
5
2
25
4
b) 






 
3
33
5
)2(
5
2
125
8
c) 






 
2
22
3
)2(
3
2
9
4
d) 






 
4
44
2
)3(
2
3
16
81
Las operaciones con potencias de números racionales se realizan de
manera análoga a como se realizan como en los números enteros. Por
todo ello es muy importante recordar la regla de los signos de
multiplicación de números enteros.
Multiplicación de Potencias de Fracciones
Para multiplicar potencias de fracciones de igual base, se suman los
exponentes y se conserva la misma base.
Ejemplo:
96363
5
4
5
4
5
4
5
4

























División de Potencia de Fracciones
Para dividir potencias de fracciones de igual base, se restan los
exponentes y se conservan la misma base.
Ejemplo 1:
23535
3
2
3
2
3
2
:
3
2

























Ejemplo 2:
34747
5
4
5
4
5
4
:
5
4

























Potencia de potencia de una Fracción
Potencia de potencia de una fracción es otra potencia de ese mismo
número con exponente igual al producto de los exponentes.
Ejemplo:
62323
3
2
3
2
3
2





























24
Potencia de una Fracción con Exponente Entero Negativo
Pues bien la potencia de una fracción con exponente entero negativo,
es igual a otra fracción con el mismo exponente positivo, cuya
ordenación está invertida.
Ejemplo 1:
4
1
64
16
8
4
8
4
4
8
2
222













Ejemplo 2:
22
2
3
3
2













=
4
9
2
3
2
2

Ejemplo 3:
33
5
3
3
5













=
125
27
5
3
3
3

Ejemplo de Problemas con fracciones:
Mezclas
En una mezcla homogénea no se percibe los componentes (sal en agua,
azúcar en agua, etc.). Es importante determinar la fracción que
representa cada componente.
Ejemplo:
En 300 cm3 de agua se disuelven 30 g de azúcar. si se toma 120 cm3,
¿cuánto de azúcar se está tomando? La fracción de azúcar en los 300
cm3 de agua, en los 120 cm3 que se toman y en los 180 cm3 que queda,
es la misma. ¿Qué fracción es 30 (azúcar) de 300 (agua)?
10
1
300
30

Con esta fracción:
La cantidad de azúcar que se tomó:
gde 12120
10
1

La cantidad de azúcar que quedó:
gde 18180
10
1

Si son mezclas de la misma calidad, la fracción de cada componente es
constante

25
Fracción ordinaria
Es la fracción que tiene su denominador diferente a una potencia de 10
Ejemplo:
Fracción decimal
Es la fracción que tiene como denominador a una potencia de 10
Ejemplo:
Numero decimal
Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se
obtiene al dividir el numerador por el denominador.
Ejemplos:
1) 2) 3)
El número decimal consta de las siguientes partes:
12 , 358
PARTE DECIMAL
COMA DECIMAL
PARTE ENTERA
Tabla valor de posición de las cifras de un número decimal
Ejemplo: 42863, 19457
PARTE ENTERA PARTE DECIMAL
5° 4° 3° 2° 1° 1° 2° 3° 4° 5°
4 2 8 6 3 , 1 9 4 5 7
3
2
;
5
2
;
7
3
1000
7
;
100
1
;
10
3
5,0
2
1
 ...666,0
3
2
 ...4666,0
15
7

CIENMILÉSIMOS
DIEZMILÉSIMOS
MILÉSIMOS
CENTÉSIMOS
DÉCIMOS
COMADECIMAL
UNIDADES
DECENAS
CENTENAS
UNIDADESDEMILLAR
DECENADEMILLAR
NUMERO DECIMAL

26
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS DECIMALES
1. Un número decimal no altera su valor si le añaden o suprimen ceros a su derecha.
Ejemplo:
1) 4,8 = 4,80 2) 635,530000 = 635,53
2. Si a un número decimal le corremos la coma decimal a la derecha uno ó mas
lugares, el número decimal queda multiplicado por la unidad seguida de tantos
ceros como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplo: 3,587
3 , 5 8 7 100 = 358,7
Como la coma corrió dos lugares hacia la derecha, el número inicial quedó
multiplicado por la unidad seguida de dos ceros.
3. Si a un número decimal, le corremos la coma decimal a la izquierda uno o mas
lugares, el número decimal queda dividido por la unidad seguida de tantos ceros
como lugares se corrió la coma decimal.
Ejemplo: 6789,42
6 7 8 9 , 4 2
6 7 8 9 , 4 2 1 0 0 0 = 6 , 7 8 9 4 2
Como la coma corrió tres lugares hacia la izquierda, el número inicial quedó
dividido por la unidad seguida de tres ceros.
COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
 Si dos números decimales son de signo diferente será menor el de signo negativo.
Ejemplo: - 2634 < 1,345
 Si dos números decimales son de igual signo, se procede de la siguiente forma:
se iguala el número de decimales con ceros para luego eliminar la coma decimal
y comparar como si fuesen números enteros.
Ejemplos:
(1) Comparar: 4,75 con 4,076
 Para que los números dados tengan igual número de cifras decimales le
agregamos al primer número un cero a la derecha:
4,750 4,076



27
 Eliminamos la coma decimal en ambos números:
4750 4076
 Comparamos y observamos que 4750 es mayor que 4076, entonces:
4,75 > 4,076
(2) Comparar: 7,156 con 7,15
 Igualamos el número de decimales en ambos números agregando un cero a
la derecha al segundo número:
7,156 ; 7,150
 Eliminamos la coma decimal en ambos números:
7156 ; 7150
 Comparamos y observamos que 7156 es mayor que 7150, entonces:
7,156 > 7,15
(3) Comparar: 62,315 con 62,315000
 Podemos suprimir los tres ceros de la derecha del segundo número
dado.(propiedad (1) de números decimales)
62,315 62,315
 Luego: 62,315 = 62,315
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
Número Decimal
Número Decimal Exacto
Ejemplo: 1,25; 0,50; 2,75
Número Decimal Inexacto
Decimal Periódico Mixto
Ejemplo:
4,165
Decimal Periódico Puro
Ejemplo:
2,54
0,33...

28
Número decimal Exacto. Tiene un número limitado cifras decimales.
Ejemplo:
Número decimal Inexacto Tiene un número ilimitado cifras decimales.
 Decimal periódico puro la parte decimal tiene una o un grupo de
cifras llamado periodo.
Ejemplo:
 Decimal periódico mixto el periodo empieza después de una cifra o
grupo de cifras después de la coma decimal, esta cifra o grupo de cifras
se llama parte no periódica.
Ejemplos:
(1) 0 , 4 2 2 2 . . . parte no periódica: 4
parte periódica: 2
(2) 0,73415415415 . . . parte no periódica: 73
parte periódica: 415
Para saber si una fracción representa un decimal periódico puro ó
periódico mixto, primero se simplifica hasta tener una fracción
irreductible.
75,0
4
3

6.0

18,0....1818,0
11
2

641,0.....41666,0
12
5 

35,0.......5333,0
15
8 


29
Un número A es divisible por otro número B, cuando A contiene a B
exactamente un número entero de veces.
En la división de A por B, el cociente debe ser:
 Exacto
 Numero entero
 Residuo cero
Ejemplo: 28 es divisible por 7 porque 28  7 = 4 Número
entero
y el residuo resulta ser cero.
MÚLTIPLO DE UN NÚMERO
Un número A es múltiplo de otro B si A contiene a B un número
exacto y entero de veces.
Ejemplo:
20 es múltiplo de 4 (lo contiene 5 veces por que 20  4 = 5)
35 es múltiplo de 5 (lo contiene 7 veces)
48 =
0
12 Se lee: 48 es múltiplo de 12
Observación
 Todo número tiene infinitos múltiplos.
DIVISOR DE UN NUMERO:
Un número B es divisor de otro A si B está contenido en A un número
exacto y entero de veces.
Ejemplo:
4 es divisor de 20 (está contenido 5 veces)
Observación
 Todo número tiene una cantidad finita de divisores.
 L os divisores también son llamados factores.
 El numero uno es divisor o factor de todos los números.
DIVISIBILIDAD

30
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
DIVISIBILIDAD POR 2
Para que un número sea divisible por 2 su última cifra debe ser cero o
un múltiplo de 2
Ejemplo: 16; 648; 650; 17004
DIVISIBILIDAD POR 4
Para que un número sea divisible por 4 sus 2 últimas cifras deben ser
ceros o formar un múltiplo de 4.
Ejemplo: 1200; 128; 416; 100.
DIVISIBILIDAD POR 5
Para que un número sea divisible por 5 su última cifra debe ser 0 ó
múltiplo 5.
Ejemplo: 40, 125, 110, 1145, 8970, son divisibles por 5.
DIVISIBILIDAD POR 25
Para que un número sea divisible por 25 sus dos últimas cifras deben ser ceros o formar
un múltiplo de 25. es decir, el número debe terminar en 00, 25, 50 ó 75
Ejemplo: 700, 425, 1150, 9075 son divisibles por 25
DIVISIBILIDAD POR 3
Para que un número sea divisible por 3 la suma de sus cifras
debe ser un múltiplo de 3.
Ejemplo: 1
126 Sumando las cifras: 1 + 2 + 6 = 9 es múltiplo de 3
Luego 126 es divisible por 3
Ejemplo: 2
178407
Sumando cifras:
1 + 7 + 8 + 4 + 0 + 7 = 27 es múltiplo de 3
Luego 178407 es divisible por 3.

31
DIVISIBILIDAD POR 9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras da un número
múltiplo de 9.
Ejemplo: 1
57 231
Sumando cifras:
5 + 7 + 2 + 3 + 1 = 18 que es múltiplo de 9
Luego: 57231 es divisible por 9
Ejemplo: 2
Sumando cifras:
4 + 0 + 7 + 7 = 18 es múltiplo de 9
Luego: 4077 es divisible por 9.
NÚMERO COMPUESTO: Es aquel número que tiene más de 2
divisores.
Ejemplo: 4; 6; 9; 10; 12; 14; etc.
NÚMERO PRIMO: Es aquel número que sólo tiene 2 divisores (el
mismo y la unidad).
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 19; 23; etc.
NÚMERO PRIMOS ENTRE SI (PESI): Son dos o más números que
tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo: (1)
Número Divisores
14 1; 2; 7; 14
25 1; 5; 25
18 1; 2; 3; 6; 9; 18
Según el ejemplo:
14 y 25 son números primos entre si (único divisor común la unidad) PESI
25 y 18 son números primos entre si (único divisor común la unidad) PESI
14 y 18 no son primos entre si porque tienen 2 divisores comunes: 1 y 2
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

32
Definición: Es la representación del número como el producto de las
potencias de sus factores primos.
Ejemplo: Descomponer 540 en sus factores primos.
540 2
270 2
135 3
45 3
15 3
5 5
1
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) y
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)
El máximo común divisor de dos o más números naturales
es el mayor divisor común de los números dados.
Procedimiento para hallar el MCD
Por el método de las DIVISIONES SUCESIVAS.
1. Se dividen los números entre los factores primos comunes.
2. Se multiplican dichos factores primos.
Ejemplo:
Hallar el MCD de 45 y 60
45 60 3
15 20 5
3 4
y a no tienen factores en común 15 es el mayor número que puede
(son primos entre sí) dividir a 45 y 60
Ejemplo:
Hallar el MCD de 24, 36 y 5 4
24 36 54 2
12 18 27 3
4 6 9
Son primos entre sí 6 es el mayor número que puede
dividir a 24, 36 y 54.
540 = 22. 33. 5
MCD = 3 x 5 = 15
MCD = 2 x 3 = 6
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

33
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Calcular el MCD de los números: A = 4 5 3 6
2 3 5 2 3 7y B    
Solución:
MCD = 23  35
MCD = 8  243 = 1944
2. En una librería se tiene 300 lapiceros, 180 reglas y 240 borradores.
Si el librero necesita empaquetar en bolsas que contengan la misma
cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que
estarían listas para venderse y cuál es el número que representa a
la suma de lapiceros, reglas y borradores en cada bolsa?
Solución:
 Hallamos el MCD de 300, 180 y 240 para calcular el número de bolsas
300 180 240 2
150 90 120 2
75 45 60 3 MCD = 2235 = 60
25 15 20 5
5 3 4
 Suma de lapiceros, reglas y borradores en cada bolsa será:
300
5
60
180
3
60
240
4
60



5 + 3 + 4 = 12
Respuesta: Estarán 60 bolsas listas y en cada bolsa la suma de
lapiceros, reglas y borradores es 12
El mínimo común múltiplo
De dos o más números naturales es el menor múltiplo común de los
números dados.
Procedimiento para hallar el mcm
Por el método de las DIVISIONES SUCESIVAS.
a. Se dividen los números entre los factores primos comunes hasta
que todos los números queden reducidos a 1.
b. Se multiplican todos los factores comunes y no comunes.
Ejemplo: Hallar el mcm de 6 y 8

34
6 8 2
3 4 2
3 2 2
3 1 3
1
PROBLEMAS RESUELTOS mcm
1. Cuál es el menor número que dividido por 30, 84, y 64 resulte
siempre 7 por residuo.
Solución:
Sea N el número pedido:
N = m.c.m (30; 84; 64) + 7
30 84 64 2
15 42 32 2
15 21 16 2
15 21 8 2
15 21 4 2 mcm. = 26. 3. 5. 7 = 6720
15 21 2 2
15 21 1 3
5 7 1 5
1 7 1 7
1 1 1
N = 6720 + 7 = 6727
2. Calcular el menor número de tres cifras que al dividirlo por 4; 6 y
10 dé siempre residuo cero.
Solución:
 m.c.m 4, 6 y 10
4 6 10 2
2 3 5 2
1 3 5 3 m.c.m (4; 6; 10 ) = 60
1 1 5 5
1 1 1
 El menor número de tres cifras será:
N = 60  2 = 120
mcm = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

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