Módulo matematicas (2)

1.MÓDULO DE MATEMÁTICAS
MÓDULODE
MATEMÁTICAS
2012

2. MÓDULO DE MATEMÁTICAS
MÓDULO DE MATEMÁTICAS
© Gobernación de Antioquia
© Secretaría de Educación
ISBN
Sergio Fajardo Valderrama
Gobernador de Antioquia
Felipe Andrés Gil Barrera
Secretario de Educación de Antioquia
Mónica Sandoval Arango
Directora de Gestión de la Calidad Educativa
Horacio Arango Marín
Asesor Secretaria de Educación de Antioquia
Sandra Milena Chica Gómez
Directora Olimpiadas del Conocimiento
Equipo académico
Universidad Eafit - Eafit Social
Director Eafit social
Mario Vargas Saenz
Rector Universidad Eafit
Juan Luis Mejía Arango
Autores
Pedro Vicente Esteban Duarte
Paula Andrea Rendón Mesa
Asesoría y revisión
Carlos Mario Jaramillo López
Alfonso Jaime López Monsalve
Corrección de estilo
Clara Inés Jaramillo Rivera
Diseño, diagramación
Clara Cecilia Rada Pérez
Coordinación
Comfenalco Antioquia
Todos los derechos reservados.
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra – incluido el diseño tipográfico y de portada -, sea cual fuere
el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito de la Gobernación de Antioquia y la Secretaría
de Educación.
Hecho el depósito legal.

EL MÓDULO, UN RECURSO PARA LA
FORMACIÓN DE DOCENTES Y ESTUDIANTES
En los últimos años, los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, se han visto
influenciados por los avances tecnológicos y por las diferentes corrientes de pensamiento. Al
examinar los puntos que exponen unos y otros, se observa que, todos, promueven el trabajo
matemático en contexto, en el que el docente es un agente movilizador del pensamiento de sus
estudiantes, para que estos comprendan que, la matemática, está integrada a las ciencias, y aún
más, que son una herramienta importante para el desarrollo personal y social.
Esta misma idea se propone desde los documentos rectores y los procesos evaluativos que
rigen la educación en nuestro país, orientada a hacer competente al ciudadano. En el caso
de las matemáticas, esta se encuentra asociada a “la capacidad de realizar tareas además de
comprender y argumentar por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para
resolverlas. Esto es, utilizar el saber matemático para resolver problemas, adaptarlo a situaciones
nuevas, establecer relaciones o aprender nuevos conceptos matemáticos"1
.
Para medir el nivel de competencia que adquieren los estudiantes, se evalúa desde tres
componentes, asociados a los pensamientos propuestos desde los estándares de la educación
matemática,quesereconocencomo:Componentenumérico-variacional,Componentemétrico-
geométrico, Componente aleatorio. Esta estructura responde a lo pensado para las Olimpiadas
del Conocimiento Departamentales.
Con el ánimo de fortalecer los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, las
Olimpiadas del Conocimiento Departamentales, cuentan con un módulo diseñado con la idea
de que sirva para fortalecer el trabajo escolar en el área de matemáticas. A continuación se
explica la estructura de esta herramienta.
1. Ministerio de Educación Nacional (1998). Matemáticas. Lineamientos curriculares. MEN. Bogotá

1. ESTRUCTURACIÓN DEL MÓDULO
El módulo está conformado por tres unidades de trabajo, correspondientes a los componentes
del proceso formativo y evaluativo, definido por los Lineamientos y Estándares de la Educación
de nuestro país y lo dispuesto, en términos evaluativos, por el ICFES. De acuerdo a lo anterior las
unidades de trabajo son:
UNIDAD 1: COMPONENTE NUMÉRICO-VARIACIONAL
UNIDAD 2: COMPONENTE MÉTRICO-GEOMÉTRICO
UNIDAD 3: COMPONENTE ALEATORIO
Cada unidad tiene unos momentos para enriquecer el trabajo de estudiantes y profesores en
temáticas asociadas a cada componente. Los momentos son:
Actividadesdeexploración:Buscanquelosestudiantes,desdesusconocimientosprevios,
se acerquen a la temática a profundizar y movilicen su pensamiento para solucionar
problemas y situaciones nuevas apoyándose en los conocimientos que se poseen.
El docente debe ser un agente dinamizador de este, motivando a los estudiantes a
encontrar situaciones, en las cuales, se puedan aplicar los conceptos adquiridos,
a plantear y resolver nuevos problemas a partir de los ejemplos propuestos y a
motivarlos a realizar nuevas indagaciones y exploraciones para encontrar aplicaciones
en su entorno.
Conceptualización: Este espacio está pensado para fortalecer conceptualmente
las temáticas abordadas. En él se dan las definiciones, fórmulas, procedimientos y
ejemplos. Este recurso pretende dar elementos conceptuales al docente para seguir
fortaleciendo el trabajo formativo del estudiante.
Actividades de ejercitación: Esta fase se fundamenta en el desarrollo de actividades
más específicas, con el fin de que, los estudiantes, comprendan las nociones de los
temas abordados, logren hacer procesos y se acerquen a la conceptualización.
Actividades evaluativas: Son actividades diseñadas para comprobar el nivel de
conceptualización y comprensión que han alcanzado los estudiantes en cada
componente. Propone unas preguntas de selección múltiple con única respuesta. La
intención de este momento del proceso no es sólo que se aplique la prueba como
instrumento evaluativo, sino que se enriquezca el proceso, a través de la socialización
con el ejercicio, permitiendo al estudiante afianzar sus aprendizajes desde sus aciertos
o desaciertos.
Finalmente, el módulo no pretende abarcar todos los conceptos que abordan los
componentes, si no que, busca más bien, convertirse en una guía para el diseño y el
fortalecimiento de actividades de trabajo dentro del aula de clase y fuera de ella.

UNIDAD1
NUMÉRICO-VARIACIONAL

El componente numérico-variacional indaga por la compresión de los números, de la numeración, el
significado del número, la estructura del sistema de numeración; el significado de las operaciones, la
comprensión de sus propiedades, de su efecto y de las relaciones entre ellas; el uso de los números y
las operaciones en la resolución de problemas diversos, el reconocimiento de regularidades y patrones,
la identificación de variables, la descripción de fenómenos de cambio y dependencia; conceptos y
procedimientos asociados a la variación directa, a la proporcionalidad, a la variación lineal en contextos
aritméticos y geométricos, a la variación inversa y al concepto de función (ICFES, 2010).
En la estructura del componente Numérico-Variacional, se presentan formas, a través de las cuales se
puede facilitar el aprendizaje y la comprensión a los estudiantes, desde la vinculación de situaciones
contextuales, en donde esté involucrado dicho fenómeno.
El siguiente mapa conceptual muestra un recorrido temático de este componente, de acuerdo con los
conceptos asociados a los grados 10° y 11° de la Educación Media. Se presentan relaciones entre distintos
conceptos, que sirven de guía para su estudio, posibilitando, al profesor y al estudiante, la visualización
de diferentes maneras de abordarlos, a partir de sus relaciones.De acuerdo con lo anterior, se proponen
una serie de actividades relacionadas con la variación lineal, las sucesiones y las funciones. Con ello,
se busca contribuir al fortalecimiento de las competencias matemáticas asociadas a lo numérico y a lo
variacional.

ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN
ACTIVIDAD 1: DETERMINEMOS MODELOS FUNCIONALES
La longitud del lado de cada uno de los cubos es x. Determina una expresión algebraica para el perímetro
de la base P(x), el área de la cara frontal A(x) y el volumen del cuerpo V(x).
Completa cada uno de los registros tabulares de acuerdo con la expresión encontrada y grafica los valores
en el plano cartesiano.
1. P(x)=
x 0 1 2 3 4 5 6
P(x)
2. A(x)=
x 0 1 2 3 4 5 6
A(x)
3. V(x)=
x 0 1 2 3 4 5 6
V(x)
4. De acuerdo con el contexto del ejercicio, el valor de x no puede tomar valores negativos. Justifica
esta afirmación.
ACTIVIDAD 2: CARACTERÍSTICAS DE LAS GRÁFICAS
De acuerdo con las gráficas obtenidas, en el ejercicio anterior, describe las diferencias que hay entre ellas
y asocia un nombre a cada una de ellas.
CONCEPTUALIZACIÓN: LAS FUNCIONES
Una función de un conjunto A en un conjunto B es una regla que le asigna, a todos los elementos x del
conjunto A, un único elemento y en el conjunto B.
La regla de asignación se representa, en general, por letras minúsculas, como f,g ,h, entre otras.
Al conjunto A se le denomina el conjunto de valores de x ϵ A para los cuales la función existe. El dominio
de la función y se representa por D
f
.
Al conjunto B se le denomina rango de la función y se representa por R
f
.

Las formas más comunes para representar una función son:
a. Verbalmente: Se expresa la regla de asignación en forma verbal.
b. Tabularmente: Se realiza un arreglo bidimensional de algunas de las parejas que pertenecen a
la función.
c. Regla de asignación: Se da la regla o fórmula que permite calcular cualquier pareja de puntos
que pertenecen a la función. La fórmula se expresa como y=f(x), las parejas (x,y)ϵf.
d. Mediante una gráfica cartesiana, en la cual los elementos del dominio, están en el eje X y los del
rango en el eje Y. La gráfica de la función es el conjunto de puntos en el plano que cumplen la
regla de asignación.
Ejemplo
Expresa verbalmente, tabularmente, gráficamente y mediante una regla de asignación la función raíz
cuadrada.
a. Verbalmente: Si x es un número real positivo, la raíz cuadrada de x es un número y, tal que x=y2
.
b. Tabularmente: Se presentan algunos valores que puede tomar la variable independiente x.
x 0 1 2 3 4 4.1 9 16
y 0 1 √2 √3 2 √4.1 3 4
c. Regla de asignación: y=f(x)=√x, para x≥0.
d. Gráficamente: Se representan en el plano cartesiano un conjunto de puntos que pertenezcan a la
ecuación. En la gráfica se observa que el punto (4,2) pertenece a la función, es decir (4,2)ϵf o
(4,2)ϵ√x. Cuando se tiene la gráfica, el D
f
se lee en el eje X. Para ello se observa el conjunto de
valores x que forman parte de la gráfica. En esta, se observa que Df
= [0,∞). El Rf
, se lee en el eje
vertical, en la gráfica se tiene que Rf
=[0,∞).

Cuando el dominio o el rango de una función f es el conjunto de los números reales (ℝ) o un subconjunto
de él, se dice que la función es de variable real. En la ecuación y=f(x), a x se le denomina variable
independiente o argumento y, a y variable dependiente de la función. En lo que sigue, si no se dice lo
contrario, las funciones definidas son de variable real.
Para encontrar el dominio de una función f, en los casos en que haya denominadores, no se tienen en
cuenta los valores de x en los que el denominador es 0 (cero) y en las raíces donde el índice es par, como
por ejemplo donde el argumento debe ser positivo.
La función ( ) =
1
4 2 presenta una indeterminación cuando el denominador se hace cero en x=-2 y
en x=2, por lo que el dominio de la función es Df
=(-∞,-2)∪(-2,2)∪(2,∞)=ℝ-{-2,2}, una gráfica
de la función se observa en el siguiente figura.
La función f(x)=√(x2
-1), es una raíz par, por lo tanto para encontrar su dominio se debe tener en cuenta
que el argumento debe ser positivo, para ello se soluciona la inecuación x2
-1≥0. De donde se obtiene
que x≤-1 o x≥1, por lo tanto, el dominio de la función es Df
=(-∞,-1]∪[1,∞) o en forma alternativa
Df
= ℝ -(-1,1). Una gráfica de la función se observa en la siguiente figura.

ACTIVIDADES DE EJERCITACIÓN
ACTIVIDAD 1
Para las siguientes expresiones verbales, realiza una tabla con 10 valores, tomando valores negativos (en
los casos en que sea posible) y positivos. Escribe la regla de asignación respectiva y representa los puntos
en el plano cartesiano. Encuentra el dominio y el rango.
a. A todo número real x se le asigna su cuadrado.
b. A todo número real x se le asigna su cubo.
c. A todo número real x se le asigna su raíz cúbica.
d. A todo número real x, excepto 0 (cero) se le asigna el inverso multiplicativo.
ACTIVIDAD 2
Para cada una de las siguientes funciones, encuentra el dominio y realiza su respectiva gráfica. Si es
posible, utiliza un Asistente Matemático.
a. f(x)=√(1-x2
)
b. g(x)=
c. h(x)=2x
d. p(x)=(x-1)-1
ACTIVIDAD 3
Las siguientes gráficas representan funciones. Escribe el dominio de cada una de ellas.

ACTIVIDAD 1: EL PAGO DE LOS SERVICIOS PÚBLICOS
El pago de los servicios públicos está registrado en el recibo que llega mensualmente a nuestra casa.
Investiga cuál es el costo por metro cúbico (m3
) de agua utilizado en tu vivienda.
a. Realiza un registro tabular y gráfico del consumo de agua en tu casa.
b. Observa si el costo por m3
es constante o si, de acuerdo con el consumo en tu casa, existe una tarifa
diferencial.
ACTIVIDAD 2: COMPORTAMIENTO DEL PRECIO DEL DÓLAR
El dólar se considera un patrón de pago a nivel mundial. Por esto, todos los mercados están atentos a la
variación de su precio, en relación con la moneda local. Consulta en internet, televisión, prensa o radio
la tasa de cambio del dólar, con respecto al peso colombiano, durante 10 días. Completa el siguiente
registro tabular.
Fecha
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio
en pesos
a. Con los datos obtenidos, realiza un registro gráfico de la variación diaria del dólar. En el eje
horizontal escribe los días y en el vertical el precio del dólar en pesos.
b. Señala el (o los) día(s) en los que el precio fue mayor y en el (los) día(s) que el precio fue menor.
c. Encuentra la variación diaria del precio.
CONCEPTUALIZACIÓN: FUNCIÓN LINEAL
Por la importancia que tiene en la modelación de algunas situaciones reales, la función lineal o línea recta,
requiere un estudio con más detenimiento. La línea recta que pasa por los puntos Q(x0
,y0
) y P(x,y)
tiene pendiente = =
0
0
. Observa la siguiente gráfica en la que se muestra la forma como se
calcula la pendiente de una línea recta a partir de dos puntos dados sobre ella.

Algunas de las características e interpretaciones de la pendiente de una línea recta son las siguientes:
a. Es una razón de cambio constante. Es decir, no para dos puntos dados cualquiera de la recta la
pendiente es la misma.
b. Sim>0, y esdirectamenteproporcionalax.Esdecir,amedidaquex avanzaaladerechay aumenta.
c. Si m<0, y es inversamente proporcional a x. Es decir, a medida que x avanza a la derecha y
disminuye.
d. Si m=0, a medida que avanza x a la derecha, y permanece constante. En este caso, la recta es
paralela al eje X.
e. Si m=∞, se dice que la pendiente es indeterminada (el denominador es 0 (cero)), x es constante, y
puede tomar cualquier valor. En este caso, la recta es perpendicular al eje X.
f. En muchas situaciones, en las razones de cambio constante estudiadas, interesa que en el eje
horizontal el cambio sea 1 (uno). Por ejemplo: ventas por mes, kilómetros por hora, entre otros.
En estos casos el cálculo de la pendiente toma la forma =
0
0
= =
1
y verbalmente se
expresa como: La pendiente de una línea recta es el cambio en y (∆y), cuando x varía una
unidad (∆x=1).
A partir de la fórmula para calcular la pendiente de una línea recta, se deducen las siguientes ecuaciones:
a. La forma punto pendiente de la línea recta es y-y0
=m(x-x0
). Pasa por el punto (x0
, y0
) y tiene
pendiente m. A modo de ejemplo, dada la recta L, que pasa por el punto (1,3) y tiene pendiente
m= 2, al sustituir estos valores en la ecuación punto pendiente se obtiene y-3=2(x-1), entonces
y=6x+1
b. Al despejar a y de la ecuación punto pendiente y-y0
=m(x-x0
) se obtiene y=mx+b, en donde
b=-mx0
+y0
. En este caso, b es la altura a la que la recta corta el eje Y, el punto de corte está dado
por (0,b). En la gráfica de la figura anterior, se tiene que y=2x+1. El punto de corte con el eje
Y es (0,1).
c. A la forma y=mx+b de la línea recta, se le suele llamar la forma canónica.

De dos rectas L1 y L2, con pendientes m1 y m2, se puede afirmar que:
a. Son paralelas entre sí, si sus pendientes son iguales. Es decir m1=m2.
b. Son perpendiculares entre sí, si la multiplicación de sus pendientes es -1. Es decir, m1.m2=-1.
Para las rectas L1:y=3x-1, L2:y=3x+1 y L3:y =
1
3
x 1, se tiene que L1 y L2 son paralelas, pues
m1=m2=3. L1 y L3, son perpendiculares entre sí, pues m1*m2= -1. Las gráficas de estas tres rectas
se representan en la siguiente figura.
ACTIVIDAD 1
Observa la siguiente gráfica, en la que se muestran las rectas L1,L2,L3 y L4. Realiza los siguientes
ejercicios:

a. Para L1,L2,L3, marca puntos en cada una de las rectas y encuentra el valor de la pendiente en cada
caso. Ten en cuenta que el eje X es el horizontal.
b. Para L1,L2,L3, describe la proporcionalidad que tienen x e y de acuerdo con el signo de la
pendiente obtenida en cada caso.
ACTIVIDAD 2
Realiza las siguientes actividades.
a. Para las rectas L1,L2,L3 de la gráfica anterior, toma un punto sobre ellas. En cada caso y encuentra
la ecuación canónica de las tres rectas.
b. Para los puntos (2,1) y (-3,-1), encuentra la ecuación canónica de la recta que pasa por ellos, el
punto de corte con el eje Y y determina el tipo de proporcionalidad entre x e y. Grafica la recta en
el plano cartesiano.
ACTIVIDAD 3
Las siguientes situaciones reales muestran los datos en un registro tabular. Completa la tabla, realiza la
gráfica e indica si la situación puede representarse mediante una línea recta.
a. Número de pasos que da una persona a medida que transcurre el tiempo.
x Tiempo (s) 5 10 25
y Número de pasos (un) 20 40 60 240
b. Precio en pesos de cierta cantidad de libros
x Cantidad de libros (un) 2 4 6 10
y Precio ($) 12000 24000
ACTIVIDAD 4
Una fábrica de arepas produce 150 unidades a un costo total de $ 7500 y 200 unidades a un costo total de
$ 10000. Suponiendo que la función de costo es lineal, encuentra:
a. La función que modela el costo C(x) de la fabricación de arepas, donde x es el número de arepas
producidas.
b. El costo de producir una arepa. Describe la relación que tiene este valor con la pendiente de la
línea recta.
c. El costo de producir 300 arepas.
d. Determina los costos fijos involucrados en la fabricación de arepas.

ACTIVIDAD 1. RECONOCIENDO LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Observa el video en el enlace http://www.youtube.com/watch?v=fA6ZMym_N5Y y escribe un breve
resumen sobre las aplicaciones propuestas para la función cuadrática.
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ACTIVIDAD 2. LA FUNCIÓN CUADRÁTICA EN LA VIDA REAL
En una cancha de baloncesto, se lanza un balón al aro. Describe la trayectoria que realiza la pelota.
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CONCEPTUALIZACIÓN: LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
La función cuadrática representa una parábola y se escribe como y=f(x)=ax2
+bx+c, con a≠0. La
parábola puede situarse en el plano de acuerdo con lo siguiente:

a. Si a>0, la gráfica de la parábola se abre hacia arriba.
b. Si a<0, la gráfica de la parábola se abre hacia abajo.
c. Si la parábola se escribe de la forma x=f(y)=ay2
+by+c, la gráfica se abre a la izquierda o derecha,
dependiendo del signo de a y en este caso, la parábola no representa una función de x, pues para
cada valor de x, existen dos valores de y, por lo que no cumple la definición de función.

En una parábola es importante encontrar los puntos de corte con los ejes coordenados y la coordenada
del vértice. Existen las siguientes posibilidades:
a. Para el caso en el que la parábola es una función, el vértice se encuentra en .
El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola.
b. Para encontrar los puntos de corte en el eje X, se resuelve la ecuación y=f(x)=0, (procedimiento
válido para encontrar los puntos de corte con el eje horizontal de cualquier función).
c. Para encontrar el punto de corte con el eje Y se hace x=0.
d. Si la función se escribe en la forma y=f(x)=(x-h)2
+k, el vértice se encuentra en el puntoV(h,k).
Ejemplo
En el caso de la parábola y=f(x)=x2
-x-6, los puntos de corte, con los ejes coordenados y el vértice, se
encuentran de la siguiente forma:
a. Cortes en X, y=f(x)=x2
-x-6=0, al solucionar la ecuación se obtiene que x= -2 y x=3, por lo tanto,
los puntos de corte son: (-2,0) y (3,0).
b. Corte con Y, y=f(0)=02
-0-6=-6, luego el corte es (0,-6).
c. El vértice. A partir de la ecuación dada, se tiene que a=1, b=-1, por lo tanto el vértice se encuentra
en el punto
.
La gráfica de la función y los puntos encontrados se observan en la siguiente figura.

ACTIVIDAD 1
Para cada una de las siguientes parábolas, encuentra los cortes con los ejes coordenados (si es posible) y
el vértice. Grafica la función en el plano cartesiano y marca los puntos encontrados.
a. y=f(x)=x2
+2
b. y=f(x)=-(x+1)2
+3
ACTIVIDAD 2
Haciendo uso de las propiedades de la función cuadrática, plantea una función que modele la situación y
resuelva la ecuación cuadrática resultante.
En la plaza de un pueblo hay un jardín rectangular. Tiene 80 metros de largo y 60 metros de ancho. Las
autoridades van a instalar una escultura y para ello requieren remodelarlo. Han decidido remover parte
del jardín, dejando una acera de igual ancho por los lados. El área del nuevo jardín es la mitad de la del
jardín original. Encuentra la longitud del ancho que le recortaron al jardín.
ACTIVIDAD 3
Para cada una de las funciones cuadráticas que aparecen en las siguientes gráficas, escribe el vértice, los
cortes con el eje X, y el corte con el eje Y. En los casos en que no sea exacto, escribe valores aproximados.

ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
ACTIVIDAD 1: TRASLADEMOS LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Partiendo de la siguiente gráfica, realiza en cada caso, las traslaciones indicadas en el plano cartesiano y
determina el nuevo vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados.
a. Traslada la gráfica dos (2) unidades hacia arriba.
b. Traslada la gráfica tres (3) unidades a la izquierda y dos hacia arriba.
De acuerdo con lo anterior:
a. Determina cómo la traslación de la gráfica afecta la expresión funcional.
b. Si la gráfica se mueve verticalmente u horizontalmente, determina los elementos de la ecuación
que cambian.
c. Describe los cambios en la gráfica de la ecuación, cuándo y se reemplanza por –y.
CONCEPTUALIZACIÓN. TRASLACIÓN Y REFLEXIÓN DE FUNCIONES
En muchas situaciones se requiere trasladar o transformar una función en el plano cartesiano. Para ello
se parte de la gráfica de una función conocida. Si y=f(x) y k>0, una constante positiva, aplicando las
siguientes reglas, se pueden obtener otras gráficas a partir de la de f.
a. Traslación vertical: La función f(x)+k, está k unidades arriba de la gráfica de f. La función f(x)-k,
está k unidades abajo de la gráfica de f. Nota que la constante se le suma o resta a toda la expresión
de la función.
b. Traslación horizontal: La función f(x+k), está k unidades a la izquierda de la gráfica de f. La
función f(x-k), está k unidades a la derecha de la gráfica de f. Nota que la constante se le suma o
resta únicamente a la variable de la función.
c. Reflexión con respecto al eje X. La función –f(x) es una reflexión sobre el eje X de la gráfica de f.
Nota que se multiplica toda la función por menos.
d. Reflexión con respecto al eje Y. La función f(-x), es una reflexión sobre el eje Y. Nota que se le
cambia el signo a la variable de la función.

Dada la función f(x)=√x y k=1, se tienen las siguientes transformaciones.

ACTIVIDAD 1
A partir de las gráficas de f(x)=x2
y g(x)=sen(x) dadas a continuación, grafica y encuentra el dominio
de las siguientes funciones.
a. f(x)+2, g(x)+π
b. f(x)-3, g(x) - π/2
c. f(x+1), g(x+π)

ACTIVIDAD 1: PATRONES DE FORMACIÓN
Los patrones en matemática están definidos de diferentes maneras: por las formas, por números, tipos de
figuras, símbolos, letras, entre otras. Dados los siguientes conjuntos de elementos, observa y responde las
preguntas que aparecen al final.
1. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14...
2. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, ...
3.

a. Encuentra y describe la característica que se repite en cada uno de los grupos.
b. En cada grupo, determina el elemento que ocupa la tercera (3), décima (10) y n-ésima (n) posición.
c. Determina,siesposible,unpatróngeneraldeformaciónquepermitaencontrarcualquierelemento
del conjunto.
ACTIVIDAD 2: LOS PATRONES EN LA NATURALEZA
Observa una piña, una flor, las ramas de un árbol. Describe las regularidades que percibes en este
tipo de objetos.
CONCEPTUALIZACIÓN. LAS SUCESIONES
Una sucesión es una función que asocia números naturales con números reales, de tal forma que a
cada natural le corresponde f(n)=an Para designar una sucesión se usa la expresión S={an} de este
modo {an}={a1,a2,a3,…,an,…} el término an que ocupa el enésimo lugar de la sucesión, es llamado
término general o n-ésimo.
Si el término general está escrito con una expresión algebraica (fórmula) se puede hallar el número de
términos que se quiera de la sucesión. Si sustituimos n por cualquier valor natural obtenemos el término
n-ésimo correspondiente, de la sucesión.
Las sucesiones pueden clasificarse de tres maneras:
1. Sucesiones decrecientes: Son aquellas que cuando n aumenta, el valor del término o elementos de la
sucesión disminuyen. Ejemplo:

2. Sucesiones crecientes: Se define como aquella que al aumentar el valor de x o n, los elementos de la
sucesión también aumentan. Ejemplo:
3. Sucesión alterna: Es una sucesión que no es creciente ni decreciente, ya que sus elementos aparecen
alternamente positivos y negativos. Ejemplo:
ACTIVIDAD 1
Escribir los cinco primeros términos de cada sucesión.
a. S={an}={n+1}
b. P={an}={n3
-1}
c. R={an}={(-1)n-1
(n+3)2
}
d. T={an}={n+n2
}
ACTIVIDAD: 2
En las siguientes sucesiones, encuentra los términos que ocupan los lugares: 2, 5, 7, 10.
a.
b.
c.
ACTIVIDAD 3
Para las siguientes sucesiones, determine el término genérico.
a.
b. M={8,13,18,23,28,…}
c.
d.
e. Q={5,5,5,5,…}

ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN
ACTIVIDAD 1: SUMANDO SECUENCIAS DE NÚMEROS
En muchas situaciones se requiere sumar un conjunto grande de números que cumplen con una
propiedad. Observa los siguientes conjuntos de números, determina la propiedad que cumplen y explora
formas para sumar todos los elementos.
a. S={1,2,3,…,100}
b. P={1/2,1,3/2,2,…,100}
c. P={2,4,8,16,…,1024}
d. Juan le prestó a Pedro 10000 a un interés mensual simple del 2% con la condición de que le
devuelva el dinero y el interés al cabo de 5 años. Encuentra los cinco primeros términos de la
sucesión del interés. Determine el monto que Pedro le debe entregar a Juan al cabo de ese tiempo.
CONCEPTUALIZACIÓN: CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES
Una sucesión aritmética es una secuencia de números, en la que, dos términos seguidos tienen una
diferencia común. Se parte de un primer término conocido y de una diferencia dada.
El primer término se denota por a1 y la diferencia por d. De esta forma a 2=a1+d y el término n-ésimo,
se puede calcular mediante la expresión an=a1+(n-1)d. La suma de los n primeros términos de la
sucesión se encuentra mediante la fórmula .
Ejemplo
El teatro de un colegio tiene 20 asientos en la primera fila y 30 filas en total. Cada fila sucesiva tiene un
asiento adicional. Encuentra el número de asientos de dicho teatro.
a1=20, número de asientos en la primera fila.
n=30, número de filas.
d=1, diferencia de asientos entre dos filas sucesivas.
an=a1+(n-1)d=20+29(1)=49, que es el número de asientos en la última fila.
Luego =1035, que es el número de asientos disponibles en el teatro.
Una sucesión geométrica es una secuencia de números, en la que dos términos seguidos tienen una
razón o cociente común. Se parte de un primer término conocido y de una razón dada.
El primer término se denota por a1 y la razón por r. De esta forma a2 = a1 r y el término n-ésimo, se
puede calcular mediante la expresión . La suma de los n primeros términos de la sucesión
se encuentra mediante la fórmula . Ten en cuenta que la razón no puede ser 1 ni 0 (cero).

1. Te encuentras en una entrevista de trabajo. El empleador te hace las siguientes ofertas de salario.
Oferta 1. Pago de $20.000.000 iniciales con aumentos garantizados del 6% anual durante
5 años.
Oferta 2. Pago de $22.000.000 iniciales con aumentos garantizados del 3% anual durante
5 años.
Si tu objetivo es conseguir la mayor cantidad de dinero al cabo de los cinco años, la mejor oferta
salarial es.
2. Juan ha sido contratado en una empresa. Tiene un salario inicial de $ 2.000.000, cada mes le
aumentan el 0.5%. Determina
a. El salario de Juan en el sexto mes.
b. El total de dinero ganado en el primer año.
ACTIVIDADES EVALUATIVAS
La siguiente prueba consta de 12 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tiene
cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso selecciona la respuesta
correcta.
1. El modelo que representa la ecuación de la línea recta, en la siguiente gráfica es
a. y=-x+2
b. y+x=2
c. y-x=2
d. y=x-2

2. Un googol es 10 a la potencia 100. Si un googol es (x5
)10,
entonces el valor de x es
a. 100
b. ±100
c. ±20
d. 20
3. Considere las posiciones de los números a lo largo de la recta numérica. Un posible valor para x es
a.

b.

c.

d.

4. En la ecuación 1615+1615+ 1615+1615 = 4x. El valor de x es
a. 18
b. 31
c. 40
d. 45
5. La suma de es igual a
a. 45
b. 55
c. 60 +
d. 30 +

6. Se tiene la siguiente progresión aritmética decreciente con números de dos dígitos: A6,AB,A4,B3.
Los valores de los dígitos A y B son respectivamente:
a. 3 y 7
b. 4 y 8
c. 5 y 5
d. 6 y 9
7. En la siguiente figura, el área de la figura sombreada es
a.
b.
c.
d.

8. Para que el polinomio x2
-bx+2b, tenga soluciones reales, b debe pertenecer a
a. R-(0,8)
b. R-[0,8]
c. R-[0,8)
d. R-(0,8]
Responde las preguntas 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información.
• A continuación se presenta la gráfica que muestra la relación entre el consumo mensual en metros
cúbicos y la tarifa de pago mensual del servicio de agua.
9. Si x representa el consumo mensual, en metros cúbicos, de agua en una familia, la expresión que
representa el costo mensual para consumos menores de 20 metros cúbicos es
a. 6600x
b. 25000x+903
c. 920x+6600
d. 6600x+25000
10. Siunusuariopagó$40.000pesosporelconsumomensual,elnúmerodemetroscúbicosqueconsumió
en dicho mes está entre
a. 0 y 10 m3
b. 10 y 20 m3
c. 20 y 30 m3
d. 30 y 40 m3

11. El profesor de Educación Física forma sus estudiantes de la siguiente manera: en la primera fila
coloca un estudiante y a las filas restantes les agrega cada vez dos estudiantes. Si con todos los alumnos
forma 10 filas, el número total de estudiantes en la clase es
a. 20
b. 50
c. 60
d. 100
12. Se deja caer una pelota desde una altura de 20 metros. Cada vez que la pelota golpea contra el piso,
rebota 0.7 de la altura anterior. La altura que la pelota alcanza en el cuarto rebote es
a 4.8 m
b. 7.3 m
c. 10 m
d. 12 m

UNIDAD2
COMPONENTE
MÉTRICO-GEOMÉTRICO

Comprender el entorno desde su estructura geométrica, permite a las personas, que conviven en
una comunidad o región, mejorar sus condiciones de vida. Para realizar diferentes construcciones,
se debe llegar a acuerdos sobre las formas y las unidades de medida a utilizar. Desde diferentes
contextos, el componente métrico-geométrico, busca que el estudiante comprenda las relaciones
que existen entre los objetos de un espacio físico con lo geométrico, reconociendo conceptos y
propiedades que los fundamentan y estableciendo patrones y formas de medición.
El siguiente mapa conceptual establece una estructura temática del componente métrico-geométrico
para los grados 10° y 11°. Además, se propone, una ruta metodológica para el abordaje conceptual
en el aula de clase, de tal forma que se convierta en un proceso formativo, para la comprensión del
componente y mejorar el desempeño de los participantes en las Olimpiadas del Conocimiento.

ACTIVIDAD 1: RECONOCIENDO LÍNEAS
Esta actividad tiene como propósito reconocer la línea recta y la posición relativa entre ellas, además
las cónicas como líneas curvas. Observa la siguiente fotografía de una estación del Metro de Medellín e
identifica las líneas y curvas que conforman la imagen.
Figura 1. Metro de Medellín1
.
De acuerdo con la visualización realizada, desarrolla las siguientes actividades:
a. Clasifica las líneas que encontraste.
b. Describe el tipo de líneas que forman los rieles del Metro.
c. Losparalesdelabaranda,respectoalpiso,conformanuntipodelíneas.Determinaunaclasificación
para dichas líneas.
d. De acuerdo con su forma, clasifica las líneas o curvas que se observan en la estructura del techo de
la estación del Metro.
ACTIVIDAD 2: FORMAS EN CONTEXTOS
Con el ánimo de reconocer las formas en contexto, observa tu colegio e identifica formas geométricas.
Describe en qué lugar se encuentran y realiza una clasificación de acuerdo con sus características.
CONCEPTUALIZACIÓN: LA LÍNEA RECTA
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad.
Algunos ejemplos son: los puntos del plano que están en la misma dirección, los puntos del plano que
están a la misma distancia de un punto fijo, la línea recta que divide un segmento en dos partes iguales
y la recta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.
1. Imagen tomada de http://www.google.com.co/imgres?hl=es&sa=X&biw=1024&bih=475&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=0oAiwTRA0
kcXRM:&imgrefurl=http://noticiasrevistanuevomilenio.blogs Julio 7 de 2012

Una línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, que están en la misma dirección. Para su
estudio, la dirección se toma como el ángulo, medido positivamente, que forma la recta al cortar el eje
X. De esta forma, se presentan cuatro situaciones posibles para ubicar una recta en el plano cartesiano.
a. Para un ángulo entre 0°<θ<90°, la dirección es positiva.
b. Para un ángulo entre 90°<θ<180°, la dirección es negativa.
c. Para el ángulo θ=90°, la dirección es infinita o indeterminada.
d. Para el ángulo θ=0°, la recta es paralela al eje X.
Si dos rectas en el plano cartesiano tienen el mismo ángulo con el eje X, son paralelas. Si forman entre sí,
un ángulo θ=90°, son perpendiculares. En cualquier otro caso, se dice que se cortan.
La siguiente figura, muestra una línea recta que pasa por los puntos Q(x0
,y0
) y P(x,y), con el punto R
se construye el triángulo rectángulo QRP. Los catetos del ∆QRP son ∆x=x-x0
y ∆y=y-y0
, de donde
se tiene que . A este valor m se le llama la pendiente de la línea recta.
Para hallar el ángulo formado por la recta que pasa por el punto Q y el punto P con el eje X, se utiliza la
expresión Arctan(m)=θ.
Ejemplo
La línea recta que pasa por los puntos Q(-1,-1) y P(3,3), tiene pendiente m=1, por lo tanto, el ángulo
que hace con el eje X es Arctan(1)=45°=π/4 rad.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y PUNTO MEDIO
En el plano, puede determinarse la distancia entre dos puntos cualquiera C(h,k) y P(x,y), mediante la
fórmula . Aquí, se tiene que x-h es la distancia horizontal de la proyección del
punto P sobre la horizontal, y-k es la distancia vertical de la proyección del punto C sobre la vertical,
como se muestra en la siguiente figura.
El punto medio entre los puntos C(h,k) y P(x,y) que están en el plano es ,
como se observa en la siguiente figura.
ACTIVIDAD 1
Para expresar el ángulo, se debe tener cuidado con el comando modo (MODE) que tiene la calculadora.
Recuerda que, en general, las calculadoras, en las opciones de medidas de los ángulos, éstos están
expresados en grados sexagesimales, centesimales o radianes. Escribe las unidades, en las cuales está
medido el ángulo, es importante.
En la siguiente figura, encuentra la pendiente y el ángulo que forma cada recta con el eje x. Expresa cada
ángulo en grados sexagesimales, centesimales y radianes.
a. Recta que pasa por los puntos A y B.
b. Recta que pasa por los puntos C y D.

ACTIVIDAD 2
Ubica dos puntos A y B en el plano y traza una recta que los contenga. Marca puntos externos y traza
rectas que cumplan las siguientes condiciones:
a. Paralelas a la recta que pasa por A y B.
b. Perpendiculares a la recta que pasa por A y B.
c. Que formen ángulos de θ=30°, θ=45°, θ=60°, θ=120° y θ=135° con el eje X. Para cada una de
estas rectas observa, describe su dirección y encuentra su pendiente.
ACTIVIDAD 3
En la siguiente gráfica se encuentran marcados algunos puntos. Selecciona dos puntos dados cualquiera
y encuentra la distancia entre ellos y el punto medio.
a. Entre A y B.
b. Entre A y C.
c. Entre el origen y E.
d. Entre el origen y D.
ACTIVIDAD 4
Grafica cada una de la rectas, de acuerdo con las condiciones dadas.
a. (0, 3), m=
b. (-2, 4) m=4
c. (-1, 2) m=-1

ACTIVIDAD 1: INFORMACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Apoyado en cualquier tipo de recursos, consulta que es la trigonometría y cuáles son sus aplicaciones.
En la siguiente imagen, trata de describir, de qué manera, se aplica esta rama de las matemáticas.
Tomado de http://www.trotamillas.es/tag/puentes/. Julio 12 de 2012.
CONCEPTUALIZACIÓN: LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
Dado el siguiente triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo θ del
vértice C. Cada lado se designa con un nombre diferente.

• La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo
rectángulo.
• El cateto opuesto (co) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.
• El cateto adyacente (ca) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.
Lasumadelosángulosinternosdeuntriángulocualquiera,esigualaπradianes(o180°). Enconsecuencia,
en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos se encuentra entre 0 y 90° o radianes.
Las definiciones que se dan a continuación, son válidas, estrictamente, para triángulos rectángulos y se
basan en la figura anteriormente dada.
• El seno de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la
hipotenusa:
• El coseno de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto adyacente y la longitud
de la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo es la relación o cociente entre la longitud del cateto opuesto y la del cateto
adyacente:
En trigonometría, existen dos teoremas fundamentales, que relacionan ángulos y lados de cualquier
triángulo en el plano, son ellos el teorema del seno y el teorema del coseno.
El Teorema del seno está asociado con las relaciones proporcionales, que pueden establecerse entre las
longitudes de los lados y los senos de los ángulos opuestos a cada lado. Este teorema establece que,
para un triángulo ABC, donde a,b y c son las medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y θ,
respectivamente, se cumple que:

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo ABC con los otros dos y el coseno del ángulo
comprendido entre ellos. Dado un triángulo ABC, donde los ángulos internos son α,β,θ y los lados
opuestos a estos ángulos a,b,c, se tiene que:
c2
=a 2
+b2
-2abcos(θ)
Note que, si θ= , cos(θ)=0, en este caso el triángulo ABC es rectángulo.
ACTIVIDAD 1
Resuelve cada uno de los siguientes triángulos, es decir, determina el valor de sus tres lados y sus tres
ángulos; además calcula el valor de la función seno, coseno y tangente con respecto al ángulo θ.
ACTIVIDAD 2
Realiza un diagrama de las siguientes situaciones y resuélvelas haciendo uso de las funciones
trigonométricas.
a. Un trabajador recuesta su escalera de 4 m de longitud contra un poste de energía. Si el pie de la
escalera está a 1.20 m del pie del poste, halla el ángulo de elevación de la escalera.
b. Un avión pasa por Guatapé y un pasajero que está observando por la ventana se maravilla de
la piedra de El Peñol. El ángulo de depresión con el que observa es de 48° y la distancia, que en ese
momento existe, entre el avión y la base de la piedra es de 2500 m. Encuentra la altura a la
que está el avión.
c. Un edificio proyecta una sombra de 40 m de largo. Si el ángulo que se forma desde la punta de la
sombra hasta el punto más alto del edificio es de 69°, halla la altura del edificio.
d. Una escalera eléctrica, entre el primer y el segundo piso, de un centro comercial tiene 50 m de largo
y forma un ángulo de 30° con el primer piso. Encuentre la distancia vertical entre los dos pisos.

ACTIVIDAD 3
Amplía la información sobre el teorema del seno y del coseno y completa el siguiente cuadro. Socialízalo
con tu profesor y compañeros.
TEOREMA QUÉ PROPONE CUÁNDO SE APLICA
SENO
COSENO

ACTIVIDAD 4
Haciendo uso comprensivo de la información anterior, soluciona las siguientes situaciones.
a. En un trapecio isósceles la base menor mide 20 cm y uno de los lados 30 cm. Si uno de los ángulos,
respecto a la base mayor mide 79°, determina la magnitud de la diagonal.
b. Un accidente ocurre cerca de una vía principal de tu casa y la de Camilo. Los dos se dirigen al lugar
del accidente. En la siguiente gráfica se ilustra la dirección (ángulo) con la que se deben desplazar.
Suponiendo que los dos caminen a la misma velocidad, encuentra quién llega primero al lugar
del accidente.
ACTIVIDAD 1: RECONOCIMIENTO DE LAS CÓNICAS
Con plastilina o barro del que se utiliza para hacer arreglos florales, construye varios conos. Realiza las
siguientes actividades.
a. Un corte perpendicular a la base del cono, desde su vértice.
b. Un corte que atraviese el eje de simetría del cono en un ángulo que no sea recto, pero con la
condición de que no termine en la base del cono.
c. Un corte que atraviese el eje de simetría pero que termine en la base del cono.
d. Une dos conos por el vértice y haz un corte paralelo al eje de simetría.
e. Observa y describe las siluetas de los cortes realizados.

ACTIVIDAD 2: HISTORIA DE LAS CÓNICAS
Buscaendiversasfuenteslasdefinicionesdelascónicasycómosedescubrieron.Realizaunbreveresumen.
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____________________________________________________________________________________
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________________________________________________
CONCEPTUALIZACIÓN: LAS CÓNICAS
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan (están a la misma
distancia) de un punto fijo llamado centro. La distancia entre el centro C(h,k) y cualquier punto P(x,y)
que esté sobre la circunferencia se llama radio y se representa por r.
Las siguientes son algunas características de las circunferencias:
a. La ecuación cartesiana de la circunferencia es (x-h)2
+(y-k)2
=r2
b. La longitud está dada por L=2πr.
c. El área está dada por A=πr2
d. Un sector circular es el área limitada por dos radios.
e. Área del sector circular es S en donde ∝ es el ángulo comprendido entre los
dos radios y medido en grados sexagesimales
f. La longitud del arco del sector circular es .

LA ELIPSE
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a
otros dos puntos fijos llamados focos es constante, es decir, d1+d2=c
a. La ecuación cartesiana de la elipse que tiene centro en C(h,k) y semiejes a y b está dada por

1.
b. La distancia del centro C a cada uno de los focos F1 y F2 es c=√(a2-b2
).
c. Si a>b el eje mayor es paralelo al eje X y tiene longitud 2a. En caso contrario el eje mayor es
paralelo al eje Y y tiene longitud 2b.
d. Si a>b, las coordenadas de los focos son F1(h-c,k), F2(h+c,k), las de los extremos del eje mayor
(h-a,k), (h+a,k) y las del eje menor (h,k-b), (h,k+b).
e. El área de la región que encierra la elipse es A=πab.
f. La longitud o perímetro de la elipse no es fácil de calcular. Una fórmula que da un valor aproximado

.
LA HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que, el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias, a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una
constante positiva, es decir, .
En la siguiente gráfica se representa una hipérbola. Los focos son F1 y F2. P es un punto cualquiera sobre
la hipérbola. Se tiene que d1 es la distancia de P a F1 y d2 es la distancia de P a F2. El valor absoluto
|d1|-|d2|=k, donde k es una constante.

En el plano cartesiano, la hipérbola tiene las siguientes características:
a. La ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene centro en C(0,0) y sus ramas se abren sobre el eje
X está dada por .
b. La ecuación cartesiana de la hipérbola que tiene centro en C(0,0) y sus ramas se abren sobre el eje
Y está dada por .
c. Si la hipérbola se abre sobre el eje X, la distancia c del centro a los focos está dada por .
Los vértices se encuentran en los puntos V1(-a,0) y V2(a,0). Los focos se encuentran en F1(-c,0)
y F2(c,0).
d. Si la hipérbola se abre sobre el eje Y, la distancia c del centro a los focos está dada por .
Los vértices se encuentran en los puntos V1(0,-a) y V2(0,a). Los focos se encuentran en F1(0,-c)
y F2(0,c).
e. La hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan en el centro. Las ecuaciones de dichas rectas son
e .
En la hipérbola , a=1, b=1, por lo tanto se abre sobre el eje Y, .
El centro C( h,k)=(0,0), V1(0,-1) y V2(0,1). Los focos se encuentran en F1(0,-√2) y F2(0,√2),
las ecuaciones de las asíntotas son y=-x y y=x. Una ilustración de la hipérbola y sus partes se puede
apreciar en la siguiente gráfica.

LA PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta dada, llamada
directriz, y de un punto fijo denominado foco. En la siguiente figura se ilustran las partes descritas en la
definición. La recta vertical es la directriz.
A partir de ello, se tienen las siguientes características:
a. La ecuación cartesiana o canónica de la parábola con vértice en V(h,k) y distancia al foco y a la
directriz p, está dada por(x-h)2
=4p(y-k) o (y-k)2
=4p(x-h).
b. El eje de simetría es una recta que pasa por el vértice y el foco. Divide la parábola en dos regiones
iguales.
c. El lado recto de una parábola es el segmento que pasa por el foco, es paralelo a la directriz y tiene
como extremos los cortes con la parábola. La longitud del lado recto es LR=4p.

De acuerdo con la forma como se abre la parábola en el plano, se tienen las siguientes posibilidades para
la ecuación cartesiana:
Ecuación Se abre Foco Directriz Eje de simetría
(x-h)2
=4p(y-k) Arriba (h,k+p) y=k-p x=h
(x-h)2
=-4p(y-k) Abajo (h,k-p) y=k+p x=h
(y-k)2
=4p(x-h) Derecha (h+p,k) x=h-p y=k
(y-k)2
=-4p(x-h) Izquierda (h-p,k) x=h+p y=k
Laparábola (x-2)2
=4(y+2), tiene vértice V(h,k)=V(2,-2), la distancia foco es p=1. Se abre hacia arriba.
El foco F(h,k+p)=F(2,-1), la directriz tiene por ecuación y=k-p=-3, el eje de simetría es x=h=2. La
longitud del lado recto LR=4. La gráfica y todos sus elementos se observan en la siguiente imagen.
ACTIVIDAD 1: SOBRE LA CIRCUNFERENCIA
1. Reescriba la fórmula para calcular el área del sector circular y la longitud del arco del sector circular
para el caso en que, el ángulo ∝, esté medido en radianes.
2. Determina la ecuación de las circunferencias de acuerdo a las siguientes gráficas.
3. En una circunferencia, una cuerda mide 8 cm y está a una distancia de 3 cm del centro. Calcula el
área del círculo.

ACTIVIDAD 2: SOBRE LA ELIPSE
1. Escriba las coordenadas para los focos y los extremos de los ejes cuando el eje mayor es paralelo al eje Y.
2. Encuentra las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes, el área y un valor aproximado del
perímetro de cada una de las siguientes elipses. Dibújalas en un plano cartesiano.
a.
b.
c.
3. Determina la ecuación de una elipse centrada en el origen, sabiendo que la distancia de un vértice a un
foco es 4 cm y la distancia al otro foco es 20 cm.
ACTIVIDAD 3: SOBRE LA HIPÉRBOLA
1. Halla la ecuación de la hipérbola, según el caso, que cumple las condiciones dadas. Grafica cada curva
con sus elementos.
a. Tiene centro en (0,0), la longitud del eje mayor es 10 cm en X y la longitud del eje menor es 6 cm
en el eje Y.
b. Focos en (6, ± 1) y longitud del eje mayor es 16.
2. Dadas las siguientes ecuaciones, determina los focos, los vértices y el centro de la curva y grafícala.
a.
b.

c.
ACTIVIDAD 4: SOBRE LA PARÁBOLA
1. Determina el vértice, la distancia al foco, las ecuaciones de la directriz y del eje de simetría de cada
una de las siguientes parábolas. En cada caso, grafícalas en el plano cartesiano, marcando cada uno
de sus componentes.
a. (x-2)2
=8(y-1)
b. (x+2)2
=-8(y+1)

2. Completa la tabla de tal modo que determine los elementos de cada parábola, es decir, el eje focal,
vértice, foco y directriz de la parábola. Grafica en cada caso.
Coordenada del
vértice Coordenada del foco Longitud del lado
recto Directriz Ecuación
General
(0,0) y = - 2
(1,3) (1,6)
y 2
= - 12x
3. Determina la ecuación de las parábolas que cumplen las condiciones dadas. En cada caso, grafícalas en
el plano cartesiano.
a. F(2,1), p=2 y se abre a la izquierda.
b. Directriz x=2, eje de simetría y=3, distancia al foco p=3 y se abre a la derecha.
ACTIVIDADES EVALUATIVAS.
La siguiente prueba consta de 10 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tienen
cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso se debe seleccionar la
respuesta correcta.
1. En la figura los círculos son todos congruentes y tangentes entre sí, con un radio de 1m. La altura h es
a. 2+√2 m
b. 2+√3 m
c. 2+2√3 m
d. 5 1⁄2 m

2. El cuadrado ABCD tiene lado 3 cm. E y F son puntos medios de AB y BC respectivamente. El área
del cuadrilátero EBFD es
a. 2,25 cm2
b. 3 cm2
c. 4 cm2
d. 4,5 cm2
Con los siguientes datos, resuelve los ejercicios 3 y 4.
Dado un triángulo equilátero de lado 1m y otro triángulo equilátero de lado 2m.
3. La razón entre las áreas de dichos triángulos es
a.

b.

c. d.
4. La razón entre las alturas de dichos triángulos es
a.

b.

c. d.
Con la siguiente información resuelve los ejercicios 5, 6 y 7.
En las siguientes figuras, el diámetro de las circunferencias es equivalente al lado del cuadrado de la figura
2, e igual a 1cm.

5. Las dos figuras que tienen el área sombreada igual son
a. 1 y 4
b. 2 y 3
c. 3 y 4
d. 1 y 3
6. La figura cuya área sombreada es mayor a la de las otras es
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
7. De las figuras, la de mayor área no sombreada es
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
8. De acuerdo con la siguiente gráfica, la pendiente de la línea recta es
a.
b.
c. m=-1
d. m=1

9. Los puntos P,Q,R y S están alineados. S entre P y R y R entre S y Q. Si , y
, entonces el valor de es
a. 20
b. 24
c. 25
d. 26
10. En la siguiente figura, el círculo está inscrito en la elipse. Si el área del círculo=πr2
cm2
y el área de
la elipse =abπ cm2
, puede afirmarse que el área de la región sombreada es igual a
a. 4π cm2
b. 8π cm2
c. 2π cm2
d. π cm2

UNIDAD3
COMPONENTE ALEATORIO

Elactualmomento,dedesarrollohistóricodelahumanidad,sehadenominado“laeradelainformación
y la comunicación”. Estos dos elementos trascienden fronteras y dejan su huella en diversas culturas y
países. Las personas se interesan por asuntos políticos, tanto en su espacio cotidiano, como por el de
otros lugares. En distintas partes, las preferencias de los consumidores por un determinado producto, la
aceptación de los votantes por los candidatos a la presidencia de un país, el rendimiento académico de
los estudiantes de dos grupos de una misma materia, entre otros muchos aspectos, se han convertido
en objeto de estudio, para determinar su impacto informativo en lo social.
Para estudiar los anteriores temas, los especialistas requieren definir una población objetivo, determinar
claramente lo que se quiere observar, tomar muestras, tabular la información obtenida, analizarla, sacar
conclusiones y hacer proyecciones para toda la población de donde provienen los datos. Todos estos
procesos forman parte de la estadística, que cada día toma mayor fuerza en el procesamiento y análisis
de grandes volúmenes de datos.

La estadística estudia los resultados de experimentos aleatorios, es decir, de aquellos experimentos que
están asociados con el azar y que, por lo tanto, no es posible conocer su resultado antes de que el hecho
ocurra. Por ejemplo, no podemos saber de antemano el último dígito de la placa del próximo coche que
pase frente a nosotros. El componente aleatorio, estudia fenómenos de esta clase y pone de manifiesto
las competencias interpretativas y argumentativas que los sujetos poseen sobre diversos sucesos que
están presentes en su entorno o afectan de una forma u otra su modo de vida.
A continuación se presenta un mapa conceptual, en el que se exponen las temáticas del componente
aleatorio para los grados 10° y 11°.

ACTIVIDAD 1
De acuerdo con las diversas situaciones que has visto o vivido en tu entorno:
a. Describe varias circunstancias en las que se hable o aplique la estadística.
b. Explica las formas como la tabulación y el procesamiento de datos influye en nuestra vida.
c. Busca en medios impresos o audiovisuales información estadística y describe la forma como ésta
se presenta al público.
ACTIVIDAD 2: LA ESTADÍSTICA EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN
A través de los medios de comunicación como la televisión, la prensa, la radio, entre otros, se realizan
encuestas sobre diversos temas.
En la última que escuchaste o participaste, describe el tipo de preguntas, el tipo de información que se
ofrecía en las opciones de respuesta y el objetivo de la encuesta.
ACTIVIDAD 3: LOS DATOS Y SU ANÁLISIS
Pídele a cuatro compañeros que cada uno escriba una frase. Cuenta el número de cada una de las vocales
en cada una de las frases y completa la siguiente tabla.
Frase a e i o u Total
Frase 1
Frase 2
Frase 3
Frase 4
Total
El total por filas indica el número de vocales en cada frase. El total por columnas indica el número de veces
que aparece una vocal en todas las cuatro frases.
De acuerdo con la información recopilada en la tabla, responde:
a. La vocal que más se repite en todas las frases es
b. La frase que más vocales tiene es
c. La suma de todas las vocales de las frases uno y dos es
d. La suma de la vocal“a”y la vocal“e”en todas las frases es
e. A partir de los resultados obtenidos, realiza una conjetura sobre la vocal que más y la que menos
se repite en las frases del idioma español.

CONCEPTUALIZACIÓN. LA ESTADÍSTICA Y SUS CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Al realizar un estudio estadístico es necesario tener en cuenta la población objeto de análisis, la(s)
característica(s)ovariable(s)deinterés,laformaderecolectaryorganizarlainformación,elprocesamiento,
los resultados y la utilización de éstos en la toma de decisiones. Las siguientes definiciones, precisan
algunos de los conceptos básicos, a tener en cuenta, al realizar un estudio estadístico.
Estadística:
Es el arte y la ciencia que se ocupa de recolectar, analizar, presentar e interpretar datos.
Datos:
Son los hechos y cifras que se recolectan, analizan y resumen, para su presentación e interpretación.
Población:
Es el conjunto de los elementos que tienen una característica común y sobre los cuales se hace una
observación o estudio.
Muestra:
Es un subconjunto representativo de la población.
Conjunto de datos:
Todos los elementos recolectados en el estudio de interés.
Muestreo:
Procedimiento mediante el cual se toma la muestra.
Censo:
Un estudio para recolectar los datos de interés de toda una población.
Variable:
Característica que se quiere estudiar de un elemento de la población.
Dato cualitativo:
Etiquetas o nombres utilizados para identificar cada elemento. Por ejemplo, sexo de una persona, color
de los ojos, la calificación “excelente” en una prueba de matemáticas, entre otros.
Dato cuantitativo:
Valores numéricos que indican cuánto o cuántos de algo. El peso de una persona, los metros cúbicos
(m3) del consumo mensual de agua en una familia, la altura de un libro en una biblioteca, entre otros.
Variable cualitativa:
Una variable con datos cualitativos.
Variable cuantitativa:
Una variable con datos cuantitativos.
Ejemplo
Funcionarios del Departamento de Tránsito de un Municipio de Antioquia, le encargan a Juan y a Luis
recolectar información sobre el color y el número de personas que viajan en los vehículos que entran al
pueblo en un día de mercado. Es importante tener presente que, todos los carros que ingresan al pueblo,
están pintados de un solo color.
De acuerdo con esta situación puede definirse:
Población: Vehículos que entran al pueblo.
Muestra: Vehículos que entran al pueblo en el día de mercado.

Variables de interés en el estudio:
Cualitativa: El color de los vehículos que entran al pueblo.
Cuantitativa: El número de personas que viajan en cada vehículo que entra al pueblo.
El experimento es aleatorio, ya que Juan y Luis, no saben con anterioridad el color y el número de personas
que viajan en cada uno de los vehículos, que ingresan al pueblo. Las variables definidas son aleatorias,
puesto que recogen información de un experimento de este tipo.
Al finalizar el día de mercado, Juan y Luis presentan las siguientes tablas a manera de informe:
Color del vehículo Cantidad
Rojo 4
Verde 2
Azul 1
Amarillo 3
Total 10
Tabla 1.
LainformaciónpresentadaenlaTabla1,recibeelnombrededistribucióndefrecuenciastabladefrecuencias.
Frecuencia (frecuencia simple). Es el número de veces que se repite un resultado particular de una
variable. Se denota por fi.
Por ejemplo, la frecuencia de ingreso al pueblo de carros rojos es 4.
Vehículo Cantidad de personas
V1 5
V2 6
V3 4
V4 1
V5 9
V6 8
V7 7
V8 4
V9 6
V10 10
Total 60
Tabla 2.
La Tabla 2 muestra los registros realizados por Juan y Luis, en relación con la cantidad de personas que
ingresan al pueblo en cada uno de los vehículos.
El estudio de grandes cantidades de datos, o de pocos datos pero con valores muy dispersos, se realiza
a través del agrupamiento en clases. Una clase, es un conjunto de datos que tienen una característica
común. En general, en los datos cualitativos, las clases están determinadas por cada una de las cualidades
observadas. En los cuantitativos, se construyen intervalos disjuntos (que no tienen elementos en común)
para formar las clases.

Paralavariable“númerodepersonasqueviajan porvehículoqueentraalpueblo”,unaposibleagrupación
por clases, se obtiene al definir intervalos para el número de personas que transportan los vehículos,
como se muestra en la distribución de frecuencias que se presenta en la Tabla 3.
Clase Frecuencia
Entre 1 y menos de 5 personas 3
Entre 5 y menos de 8 personas 4
Ocho o más personas 3
Total de vehículos 10
Tabla 3.
Es importante tener presente que:
a. En general, para un conjunto de datos, existen diferentes maneras de definir clases.
b. Cuando se trata de agrupar en clases, la recomendación es que, el número de estas, esté entre 5 y
15 clases.
c. Esta manera de agrupar la información puede ser utilizada por el Departamento de Tránsito del
Municipio para tomar diferentes decisiones.
Frecuencia relativa de una clase.
Se obtiene dividiendo la frecuencia de la clase entre el total de todas las observaciones realizadas. Se
denota por fr.
Frecuencia relativa acumulada.
Se obtiene dividiendo cada una de las frecuencias acumuladas entre el total de observaciones realizadas.
Se denota por Fr.
Frecuencia acumulada.
Es la suma de las frecuencias simples de todos los valores inferiores (anteriores) o iguales al valor
considerado. Se denota con F.
Las Tablas 4 y 5 muestran las distribuciones de frecuencia definidas anteriormente, tanto para el color del
vehículo como para la cantidad de personas que viajan en ellos.
Color del vehículo f fr F Fr
Rojo 4 0.4 4 0.4
Verde 2 0.2 6 0.6
Azul 1 0.1 7 0.7
Amarillo 3 0.3 10 1
Total 10 1
Tabla 4.
Clase f fr F Fr
Menos de 5 personas 3 0.3 3 0.3
Entre 5 y menos de 8 personas 4 0.4 7 0.7
Ocho o más personas 3 0.3 10 1
Total de vehículos 10 1
Tabla 5.

Cuando se presenta información clasificada en tablas de frecuencias, esta se puede representar
gráficamente en histogramas de frecuencias, polígonos, y tortas, entre otras posibilidades.
Las siguientes son algunas de las formas gráficas de presentar la información de las Tablas 4 y 5.
La gráfica de la izquierda corresponde a un histograma de frecuencias para cada una de las variables
estudiadas. El de la derecha es un diagrama circular (torta).
Para variables cuantitativas se pueden determinar y calcular diferentes parámetros que apoyan la
interpretación de los datos. Estos parámetros reciben el nombre de medidas de tendencia central y de
dispersión. A continuación se presentan algunas de ellas.
Si son los n resultados posibles de las observaciones de una variable aleatoria
cuantitativa, entonces:
El rango es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor.
La moda es el dato que más se repite.

Para calcular la mediana se requiere organizar los datos de menor a mayor. Si el tamaño de la muestra es
impar, la mediana es el dato central. Si es par, se promedian los dos datos centrales.
La media, es el promedio de los resultados. Se calcula empleando la siguiente fórmula
Los cuartiles, son valores de la variable, que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Cada
una de estas partes contiene el 25% del total de los datos. Los cuartiles son tres y se representan por
Q1
,Q2
y Q3
.
Los percentiles, dividen en 100 partes la distribución de los datos. Aportan información acerca de la
dispersión de los datos en un intervalo. Se reconoce que:
Q1
=percentil 25=P25
Q2
=percentil 50=P50
Q3
=percentil 75=P75
La varianza es una forma de medir la dispersión de los datos con respecto a la media. Su fórmula es:
La desviación estándar es una unidad que se utiliza para saber cuánto se separan los datos de la media.
La forma de calcularlo es:
Para la variable aleatoria “número de personas que viajan en cada vehículo que ingresa al Pueblo”, los
datos se muestran en la Tabla 2.
El número más grande de personas que viajan en un vehículo es 10 y el menor es 1. Por lo tanto el
rango es 9.
La moda es 4 o 6, en este caso se dice que la muestra es bimodal.

Elpromedioesdefinidocomo =5.5, queindica
que en promedio, en cada vehículo que entra al pueblo, viajan 5.5 personas. Al interpretar los datos, hay
que tener mucho cuidado, pues el resultado obtenido no tiene ningún sentido con relación a la variable
que se está estudiando ya que, es una variable cuantitativa discreta. Una interpretación más acertada es
decir que, en promedio, viajan alrededor de 5 personas en cada vehículo que ingresa al pueblo.
La mediana, se consigue al organizar los datos de menor a mayor se tiene 1, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Como
el tamaño de la muestra es 10, los dos datos que están en el centro son 6, y 6 el promedio de los dos es 6.
La varianza para esta variable es igual a
La desviación estándar se calcula empleando la expresión
Esta medida estadística
no tiene unidades.
El dato x=9 (vehículos que ingresan al pueblo con 9 personas), la distancia a la media ( ) es mayor
a una desviación estándar. Note que el único dato que está a más de dos desviaciones estándar de la
media es x=1.
ACTIVIDAD 1
El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:
3, 4, 3, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 2, 0, 3, 2, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 4, 3
Realiza una tabla de frecuencia como la anterior y responde:
a. Define la variable de interés es
b. La cantidad de alumnos que estudian dos horas diarias es
c. La cantidad de alumnos que estudian tres horas o menos es
d. La cantidad de alumnos que estudian cuatro horas o más es
e. Define intervalos de clases y elabora una tabla de frecuencias, donde registres la frecuencia simple,
acumulada y relativa.
f. Realiza un diagrama circular que permita visualizar la información sobre el número de horas diarias
de estudio.

ACTIVIDAD 2
Se mide la estatura, en metros, de varios estudiantes de una institución del departamento de
Antioquia.
Los datos obtenidos son los siguientes:
1.15; 1.48; 1.57; 1.71; 1.92; 1.39; 1.40; 1.64; 1.77; 1.49; 1.53; 1.16; 1.60; 1.81; 1.98; 1.20;
1.42; 1.45; 1.20; 1.98; 1.21; 1.59; 1.86; 1.52; 1.48; 1.37; 1.16; 1.73; 1.62; 1.01
a. Define la población objeto de estudio.
b. Define la variable aleatoria.
c. Calcula la media, la moda, la mediana, el rango, la varianza y la desviación estándar e interprétela
con relación a los datos obtenidos.
d. Halla todos los datos que se encuentran a una desviación estándar de la media.
e. La distancia a la media de tu estatura es
f. El número de desviaciones estándar de tu estatura a la media es
ACTIVIDAD 3
En una institución escolar, de un municipio de Antioquia, se seleccionaron 30 estudiantes al azar y se
registró su desempeño académico.
ACEPTABLE ACEPTABLE SOBRESALIENTE EXCELENTE EXCELENTE
ACEPTABLE ACEPTABLE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE
SOBRESALIENTE INSUFICIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE
EXCELENTE EXCELENTE INSUFICIENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE
EXCELENTE EXCELENTE EXCELENTE SOBRESALIENTE SOBRESALIENTE
SOBRESALIENTE REGULAR EXCELENTE INSUFICIENTE ACEPTABLE
a. Determina la población objeto de estudio.
b. Define la variable aleatoria a estudiar.
c. Elabora una tabla de frecuencias.
d. Representa la muestra en una gráfica donde se aprecien los porcentajes.
e. Indica en porcentajes, la opinión dada por los estudiantes

ACTIVIDAD 4
La siguiente gráfica muestra los resultados de un estudio estadístico sobre las mayores motivaciones
profesionales de los estudiantes de grado 11°.
De acuerdo con esta responde:
a. De qué trata el estudio estadístico
b. La cantidad de personas entrevistadas es
c. El tipo de variable estudiada es
d. Observando los datos de la gráfica, defina las clases y la frecuencia para cada uno de ellos.
e. Realiza una tabla de frecuencia en donde se muestren las clases, la frecuencia simple, la frecuencia
relativa, la frecuencia acumulada y la frecuencia relativa acumulada.
ACTIVIDAD 5
Se les preguntó a 200 estudiantes sobre su materia preferida. El gráfico representa los resultados
obtenidos.
a. De acuerdo con el diagrama circular indica la cantidad de estudiantes que prefieren cada materia.
b. Realiza un histograma de frecuencia donde se presenten las clases, la frecuencia relativa y la
frecuencia acumulada relativa.

ACTIVIDAD 1: FORMANDO NÚMEROS
Con los dígitos 1, 2, y 3, construye números de tres cifras:
a. Teniendo en cuenta que se pueden repetir dígitos.
b. Teniendo en cuenta que no se pueden repetir dígitos.
Repite el ejercicio anterior pero, construyendo números de dos cifras.
Determina si es posible obtener una fórmula matemática para calcular, de manera más rápida, la cantidad
de números.
ACTIVIDAD 2: ORDENANDO ELEMENTOS
Conforma grupos de 5 compañeros. Cada estudiante pondrá un cuaderno de diferente asignatura sobre
su puesto. Un estudiante del grupo ordena los cuadernos como él quiera en una fila y registra el orden en
el cual quedaron. Luego los demás integrantes del equipo, ejecutarán el mismo ejercicio, pero cambiando
el orden de los cuadernos. Determina si las posibilidades encontradas son la única forma de ordenarlos.
Discute con tus compañeros de cuántas formas diferentes, es posible organizarlos. Propón una estrategia
para encontrar todas las posibilidades.
ACTIVIDAD 3: JUGANDO CON POSIBILIDADES
Lanza dos dados no cargados al aire y anota los resultados de las caras superiores. Verifica todas las
posibilidades que se obtienen. Encuentra el total. Enumera las posibilidades en las que el primer dado es
par. Enumera las posibilidades de que la cara superior del segundo dado sea un número primo.
CONCEPTUALIZACIÓN: LA PROBABILIDAD
Evento. Conjunto de uno o más resultados de un experimento aleatorio.
Probabilidad de un evento
Es la frecuencia relativa de que ese evento ocurra. Si A es un evento, la probabilidad de A, se expresa de
la siguiente manera:
Para la variable cualitativa “Color del vehículo que entra al pueblo”, si A es el evento: el vehículo es rojo,
entonces

Si A y B son dos eventos de un experimento aleatorio, las siguientes son algunas de las propiedades de la
probabilidad:
a. p(∅)=0, por ∅ se denota el evento imposible.
b. 0≤p(A)≤1. Note que la probabilidad de un evento no puede ser negativa ni mayor que 1.
c. Si A y B son eventos disjuntos (no tienen elementos en común), p(A∪B)=p(A)+p(B).
d. p(Ac)=1-p(A), en donde Ac es el complemento de A.
e. Si E es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, la p(E)=1. E es
el evento cierto o que se tiene la certeza de que siempre ocurre.
Al definir probabilidades, para los posibles eventos de un experimento aleatorio, las autoridades o
personas encargadas de tomar decisiones, pueden utilizarlas de acuerdo con los intereses que se tenga
al realizar un estudio.
Para los eventos:
A: Un carro que entra al pueblo está pintado de rojo.
B. Un carro que entra al pueblo está pintado de azul.
a. p(A∪B)=p(A)+p(B)=0.4+0.1=0.5
b. p(Bc )=1-p(B)=1-0.1=0.9. Este resultado nos informa sobre la probabilidad de que un
carro que entre al pueblo, no esté pintado de azul (Ver Tabla 4).
Parahallarloselementosdeunconjuntodedatosseutilizan técnicasllamadasdeconteoodeenumeración.
Para ello es necesario tener en cuenta los conceptos de población y muestra. De otro lado hay que tener
en cuenta el orden en que aparecen los datos y si estos se repiten.
Las técnicas de conteo son: el principio de multiplicación, la permutación y la combinatoria.
Principio de multiplicación:
Un experimento se describe como una sucesión de k pasos en los que hay n1 resultados posibles para el
primer paso, n2 resultados posibles para el segundo paso y así sucesivamente, entonces el número total
de resultados posibles del experimento es (n1 )(n2 )… (nk ).
Combinaciones:
Son otra regla de conteo que permite contar el número de resultados experimentales cuando el
experimento consiste en seleccionar n objetos de un conjunto de N objetos, n≤N.
Factorial de un número entero:
Es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n, se denota por n!=1×2×3×…×n.
En este caso el símbolo ! significa factorial.

Permutación:
Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se selecciona n objetos de un conjunto
de N y el orden de selección es importante. Para esta regla de conteo, los mismos n objetos seleccionados
en orden diferente se consideran un resultado experimental diferente.
Cuando los objetos seleccionados son iguales al tamaño del conjunto es decir, N=n la permutación es
igual a n!.
ACTIVIDAD 1
Si se cuenta con los diez dígitos.
a. La cantidad de números de tres cifras distintos que puedes formar con las diez cifras significativas
del sistema decimal es
b. La cantidad de números detres cifras quepuedes formar conlas diez cifras significativas del sistema
decimal, es
c. La cantidad de números pares de tres cifras que puedes formar con los diez dígitos y con la
posibilidad de repetir las cifras es
ACTIVIDAD 2
Con las letras de la palabra DISCO, la cantidad de palabras diferentes (aún sin sentido en el idioma español),
que puedes formar es
ACTIVIDAD 3
En una pastelería hay cinco tipos diferentes de pasteles. La cantidad de formas en las cuales puedes elegir
cuatro pasteles es
ACTIVIDAD 4
Un experimento consta de tres pasos; para el primer paso hay tres resultados posibles, para el segundo
hay dos resultados posibles y para el tercer paso hay cuatro resultados posibles. La cantidad de resultados
distintos que puedes definir para que el experimento esté completo es

ACTIVIDAD 5
Lanza una moneda tres veces:
a. La probabilidad de que se obtengan dos caras es
b. La posibilidad de que se obtengan, al menos, dos sellos es
c. La probabilidad de que los tres resultados sean iguales es
ACTIVIDAD 6
Se tiene una baraja con 52 cartas:
a. La posibilidad de seleccionar un as es
b. La posibilidad de seleccionar un trébol es
c. Son llamadas figuras en el naipe la sota, el rey y la reina. La posibilidad de seleccionar una
figura es
ACTIVIDAD EVALUATIVA
La siguiente prueba consta de 10 ejercicios, con los que pondrás a prueba tus conocimientos. Tienes
cuatro opciones de respuesta, en las que, sólo hay una verdadera. En cada caso debes seleccionar la
respuesta correcta.
La siguiente información permite solucionar los ejercicios 1 y 2. Lee detenidamente.
En una clínica hay 50 pacientes con ciertas fobias. La siguiente gráfica da información sobre pacientes con
tres tipos de fobias:

Además, se sabe que 12 tienen fobia sólo a las culebras, 25 tienen al menos dos de estas fobias, 10 tienen
fobia a las cucarachas y a los ratones y 6 sufren las tres fobias.
1. La cantidad de personas de este grupo que no sufren ninguna fobia es
a. 12
b. 10
c. 6
d. 2
2. Si A representa el conjunto de personas que tienen fobia a las cucarachas, B el conjunto de personas
que tienen fobia a los ratones y C el conjunto de personas que tienen fobia a las culebras, la región
sombreada representa al conjunto de personas que le tienen:
a. fobia a las culebras y no a las cucarachas
b. únicamente fobia a los ratones
c. fobia a las cucarachas
d. fobia únicamente a las cucarachas
Para resolver los ejercicios 3 y 4, lee con detenimiento la siguiente información:
Tres amigas Claudia, Clara y Carolina tienen un hermano cada una. Con el tiempo cada una acaba saliendo
con el hermano de sus amigas. Un día Claudia se encuentra con el hermano de Clara y le dice “Ayer vi
caminando a alguien con tu pareja”.

3. La pareja de Claudia es
a. El hermano de Carolina
b. El hermano de Clara
c. El hermano de Claudia
d. No puede determinarse
4. La pareja de Carolina es
a. El hermano de Carolina
b. El hermano de Clara
c. El hermano de Claudia
d. No puede determinarse
Los ejercicios del 5 al 9, se resuelven con la siguiente información:
En una fábrica se dispone de 6 máquinas diferentes A, B, C, D, E y F que necesitan ser organizadas en fila.
Cada máquina ocupará exactamente una de las seis posiciones numeradas consecutivamente, desde 1
hasta 6, de acuerdo a las siguientes reglas:
I. C ó E ocupan la posición 1
II. D ó E ocupan la posición 6
III. A y B ocupan posiciones consecutivas, no necesariamente en orden
IV. F y E ocupan posiciones consecutivas, no necesariamente en orden
5. Uno de los posibles órdenes en los cuales se pueden organizar las 6 máquinas de la posición 1 a la 6 es
a. C B D A F E
b. C F E B A D
c. C F E D B A
d. E C F A B D
6. Si C ocupa la posición 3, es posible concluir que
a. A ocupa la posición 4
b. B ocupa la posición 2
c. E ocupa la posición 3
d. F ocupa la posición 2
7. De las siguientes afirmaciones la única verdadera es
a. A ocupa la posición 4 y C ocupa la posición 5
b. D ocupa la posición 2 y C ocupa la posición 3
c. C ocupa la posición 2
d. D ocupa la posición 5

8. Si D y F ocupan posiciones consecutivas (no necesariamente en ese orden), entonces se tiene la certeza
de que
a. A ocupa la posición 4
b. B ocupa la posición 2
c. C ocupa la posición 1
d. E ocupa la posición 6
9. Si B y E ocupan posiciones consecutivas (no necesariamente en ese orden), entonces E puede estar en
la posición:
a. 2
b. 3
c. 4
d. 6
10. La siguiente figura muestra los resultados obtenidos de una encuesta realizada a 2500 personas sobre
sus hábitos de lectura. El número de personas encuestadas que han leído es
a. 325 personas
b. 500 personas
c. 700 personas
d. 2175 personas

Bibliografía
Anderson, D. et al. (2008). Estadística para administración y economía.
10° Edición. CENGAGE learning. México.
Hopkins, K. & Glass, G. (1997). Estadística Básica para las Ciencias Sociales y del Comportamiento.
Tercera edición. Prentice Hall. México.
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Ministerio de Educación Nacional. (2003). Estándares Básicos de Matemáticas.
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Segunda Edición. Thompson, México.
Zill, D. & Dewar J. (2002). Álgebra y trigonometría.
Segunda Edición. McGraw Hill, México.

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