Este documento resume conceptos clave del Capítulo 2 como variables, funciones, límites e infinitésimos. Define variables como cantidades que pueden asignar valores ilimitados y funciones como relaciones donde el valor de una variable depende del valor de otra. Explica límites como aproximaciones a valores fijos y continuidad como igualdad entre el límite y el valor de una función. También cubre gráficas de funciones e infinito.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. Antonella González
Ciclo Tercero
Bimestre: Segundo
La descripción precisa del concepto de límite no es un objetivo de este curso, sí que es necesario tener una idea del concepto de límite de una función en un punto. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera: Gestión Ambiental
Docente: Ing. Antonella González
Ciclo Tercero
Bimestre: Segundo
La descripción precisa del concepto de límite no es un objetivo de este curso, sí que es necesario tener una idea del concepto de límite de una función en un punto. El límite de una función en un valor determinado de x es igual a un número al que tiende la función cuando la variable tiende a dicho valor (pero nunca llega a serlo).
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Limites infinitos y limites en el infinitoAngel E. RamOx
Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo en el cual dada la función f(x) = con dominio D = {x / x Î R Ù x ¹ 1}, se obtuvo que =6.
Para profundizar el significado de la expresión: f(x) tiende a 6 cuando x tiende a 1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6. Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas encabezadas por y .
Instrucciones del procedimiento para la oferta y la gestión conjunta del proceso de admisión a los centros públicos de primer ciclo de educación infantil de Pamplona para el curso 2024-2025.
ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
3. VARIABLES Y CONSTANTES:
Es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de
un proceso de análisis, un numero ilimitado de valores.
EJEMPLO:
x + y
__ ___ = 1
a b
4. INTERVALO DE UNA VARIABLE:
A menudo nos limitamos solamente a una porción de sistema de
números.
POR EJEMPLO:
Podemos restringir nuestra variable de manera que tome
únicamente valores comprendidos entre a y b.
5. VARIACIÓN CONTINUA
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un
intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el
valor b, de tal manera que toma todos los valores.
6. FUNCIONES:
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el
valor de la primera queda determinado si se da un valor a la
segunda] entonces se dice que la primera es función de la
segunda .
POR EJEMPLO el peso que un hombre puede levantar depende
directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza.
7. VARIABLES INDEPENDIENTES Y
DEPENDIENTES.
La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a
voluntad dentro de limites que dependen del problema particular,
se llama la variable .independiente o el argumento.
8. NOTACIÓN DE FUNCIONES.
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se
lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se
cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) ,
POR EJEMPLO si f(x) = X2 - 9 x + 14,
entonces, f ( ?I) = y2 - 9 Y + 14 ;
f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G f( O) = 02 - 9· 0 + 14 =
14, f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .
9. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA.
El cociente de dos números a y b es un número x tal que
a= bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero
queda excluida. En efecto, si b = O , Y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre
igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a =
O, entonces x puede ser cualquier número.
10. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Consideremos la función x2 y hagamos
y = x2.
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1)
define unívocamente a y para todos los valores de la variable
independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4)
Y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente
(Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variará
continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se
moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a,
a2 ) hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los
valores.
11.
12. LÍMITE DE UNA VARIABLE:
La noción de una variable que se aproxima a un limite se
encuentra, en la Geometría elemental, al establecer o deducir
la fórmula que da el área del círculo..
13. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente
casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de
v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos
que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e
investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se
expresa est.a relación escribiendo. :
lim z = a ,
v ---- l
Y se leera : el limite de z cuando v tiende a l , es a
14. TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los
teoremas siguientes. Supongamos que u, v y w sean funciones
de una variable x y que lím u = A, lím v = B, lím w = c. ",~a ", ~a
x~a
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un
producto.
15. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS.
En el ejemplo 1 del Artículo 16 , donde se demostró que
lím (X2 + 4 x) 12, x-;'2
La definición general es la siguiente:
DEFINICIÓN. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si
el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la
función para x = a. En símbolos, si lím ¡(x) = ¡(a), X-7a entonces f
(x) es continua para x = a.
16. INFINITO (00).
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor
que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que
éste sea, decimos que la v se vuelve infinita . Si v toma solamente
valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma
valores negativos, se hace infinita negativamente.
17. Demostrar una de las siguientes igualdades :
5 - 2x2 2
Lim -------------- = - ----
z--x 3x + 5x2 5
18. INFINITÉSIMOS
Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo.
Simbólicamente se escribe (Art. 14) lím v = O o v ---7 O , Y
quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y
permanece, menor que cualquier número positivo asignado de
antemano, por pequeño que sea. Recíprocamente, si la
diferencia entre una variable y una constante es un infinitésimo,
entonces la constante es el limite de la variable .
19. TEOREMAS RELATIVOS A
INFINITÉSIMOS Y LÍMITES.
En las siguientes consideraciones todas las variables se
suponen funciones de la misma variable independiente, y,
además, que tienden a sus límites respectivos cuando esta
variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un número
positivo asignado de antemano, tan pequeño como se quiera,
pero no cero.