Este documento resume conceptos clave del Capítulo 2 como variables, funciones, límites e infinitésimos. Define variables como cantidades que pueden asignar valores ilimitados y funciones como relaciones donde el valor de una variable depende del valor de otra. Explica límites como aproximaciones a valores cuando una variable se acerca a un número y continuidad como igualdad entre el límite y el valor de una función. También cubre gráficas de funciones y conceptos matemáticos como infinito e infinitésimos.

1. TEMA: CAPÍTULO 2 (VARIABLES, FUNCIONES, Y LÍMITES)
NOMBRE: ISAMAR STEFANÍA DEL ROSARIO CASTRO

2. CAPITULO II
VARIABLES,
FUNCIONES Y
LIMITES

3. VARIABLES Y CONSTANTES:
Es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de
un proceso de análisis, un numero ilimitado de valores.
EJEMPLO:
x + y
__ ___ = 1
a b

4. INTERVALO DE UNA VARIABLE:
A menudo nos limitamos solamente a una porción de sistema de
números.
POR EJEMPLO:
Podemos restringir nuestra variable de manera que tome
únicamente valores comprendidos entre a y b.

5. VARIACIÓN CONTINUA
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un
intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el
valor b, de tal manera que toma todos los valores.

6. FUNCIONES:
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el
valor de la primera queda determinado si se da un valor a la
segunda] entonces se dice que la primera es función de la
segunda .
POR EJEMPLO el peso que un hombre puede levantar depende
directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su fuerza.

7. VARIABLES INDEPENDIENTES Y
DEPENDIENTES.
La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a
voluntad dentro de limites que dependen del problema particular,
se llama la variable .independiente o el argumento.

8. NOTACIÓN DE FUNCIONES.
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se
lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se
cambia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) ,
POR EJEMPLO si f(x) = X2 - 9 x + 14,
entonces, f ( ?I) = y2 - 9 Y + 14 ;
f(b+1)= (b+1) 2- 9(b + 1)+14=b2 -7b + G f( O) = 02 - 9· 0 + 14 =
14, f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, f(3) =32 - 9. 3 + 14= - 4 .

9. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA.
El cociente de dos números a y b es un número x tal que
a= bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero
queda excluida. En efecto, si b = O , Y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre
igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O. Si a =
O, entonces x puede ser cualquier número.

10. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Consideremos la función x2 y hagamos
y = x2.
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1)
define unívocamente a y para todos los valores de la variable
independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4)
Y se llama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente
(Art. 8) desde x = a hasta x = b, entonces y variará
continuamente desde y = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se
moverá continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a,
a2 ) hasta (b, b2 ). Además, a y b pueden admitir todos los
valores.

12. LÍMITE DE UNA VARIABLE:
La noción de una variable que se aproxima a un limite se
encuentra, en la Geometría elemental, al establecer o deducir
la fórmula que da el área del círculo..

13. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente
casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de
v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos
que examinar entonces los valores de la variable dependiente z e
investigar, particularmente, si z tiende también a un limite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se
expresa est.a relación escribiendo. :
lim z = a ,
v ---- l
Y se leera : el limite de z cuando v tiende a l , es a

14. TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los
teoremas siguientes. Supongamos que u, v y w sean funciones
de una variable x y que lím u = A, lím v = B, lím w = c. ",~a ", ~a
x~a
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un
producto.

15. FUNCIONES CONTINUAS Y DISCONTINUAS.
En el ejemplo 1 del Artículo 16 , donde se demostró que
lím (X2 + 4 x) 12, x-;'2
La definición general es la siguiente:
DEFINICIÓN. Se dice que una función f(x) es continua para x = a si
el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la
función para x = a. En símbolos, si lím ¡(x) = ¡(a), X-7a entonces f
(x) es continua para x = a.

16. INFINITO (00).
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor
que cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que
éste sea, decimos que la v se vuelve infinita . Si v toma solamente
valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma
valores negativos, se hace infinita negativamente.

17.  Demostrar una de las siguientes igualdades :
5 - 2x2 2
Lim -------------- = - ----
z--x 3x + 5x2 5

18. INFINITÉSIMOS
Una variable v que tiende a cero se llama un infinitésimo.
Simbólicamente se escribe (Art. 14) lím v = O o v ---7 O , Y
quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y
permanece, menor que cualquier número positivo asignado de
antemano, por pequeño que sea. Recíprocamente, si la
diferencia entre una variable y una constante es un infinitésimo,
entonces la constante es el limite de la variable .

19. TEOREMAS RELATIVOS A
INFINITÉSIMOS Y LÍMITES.
En las siguientes consideraciones todas las variables se
suponen funciones de la misma variable independiente, y,
además, que tienden a sus límites respectivos cuando esta
variable tiende a un valor fijo a . La constante E es un número
positivo asignado de antemano, tan pequeño como se quiera,
pero no cero.