Este documento trata sobre el análisis de funciones de varias variables utilizando el programa DERIVE. Se explican conceptos como gráficas y curvas de nivel de funciones de dos variables, límites y continuidad, derivadas parciales, vector gradiente y matriz hessiana. Se incluyen varios ejemplos resueltos paso a paso utilizando las herramientas de DERIVE para representar gráficas, calcular límites y derivadas.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
El documento describe el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que Wilhelm Jordan propuso este método en 1895 para resolver sistemas con matriz simétrica. El algoritmo consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada para triangularizarla y obtener las soluciones.
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss involucra la transformación de la matriz de coeficientes a una forma escalonada mediante operaciones de filas. El método de Gauss-Jordan extiende este proceso para obtener una matriz identidad, lo que proporciona directamente las soluciones. El documento ilustra ambos métodos con un ejemplo numérico y explica las diferencias entre los enfoques.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales por el método de variables separables. Primero define qué son las variables separables y cómo escribir la ecuación diferencial en una forma integrable. Luego, resuelve un ejemplo paso a paso identificando las funciones, separando las variables y integrando. Finalmente, concluye que este método requiere identificar las funciones y separar e integrar para obtener la solución general.
El documento describe el método de diferencias divididas de Newton para obtener el polinomio interpolador que pasa por varios puntos de datos. Explica que este método permite calcular fácilmente los coeficientes del polinomio y que estos coeficientes tienen la propiedad de permanecer sin cambios si se aumenta el orden del polinomio. También señala que este método es especialmente útil cuando se necesitan realizar múltiples evaluaciones del polinomio.
Este documento describe cómo encontrar un factor integrante u(x,y) para una ecuación diferencial no exacta, de modo que al multiplicar la ecuación por u, se convierta en una ecuación exacta. Explica que u solo debe depender de x o y, y proporciona fórmulas para calcular p(x) o p(y) según sea el caso, de donde se obtiene u. Finalmente, una vez determinado u, se multiplica por la ecuación original para convertirla en exacta.
El documento presenta varios ejercicios y problemas resueltos sobre límites y continuidad de funciones. El primer ejercicio comprueba que el límite de una función cuando x tiende a 2 es 4. El segundo ejercicio analiza la continuidad de una función dada su gráfica. El tercer ejercicio determina los puntos donde la función no tiene límite.
Este documento describe el método de bisección y el método de la regla falsa para encontrar las raíces de una ecuación. El método de bisección divide repetidamente el intervalo en dos partes iguales hasta encontrar la raíz con la precisión deseada. El método de la regla falsa es similar pero divide el intervalo de forma desigual basándose en la función. El documento incluye ejemplos y algoritmos de ambos métodos.
El documento describe el algoritmo de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que Wilhelm Jordan propuso este método en 1895 para resolver sistemas con matriz simétrica. El algoritmo consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz aumentada para triangularizarla y obtener las soluciones.
Este documento explica el método de variables separables para resolver ecuaciones diferenciales. Primero define el concepto de variables separables como aquellas ecuaciones donde las variables (x, y) y sus diferenciales están separadas. Luego ilustra el método con un ejemplo, mostrando cómo ordenar la ecuación para separar las variables y luego integrar cada parte. Finalmente, concluye que este método funciona para ciertos tipos de ecuaciones diferenciales pero a veces puede ser complicado y se requieren otros métodos.
Este documento explica dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Gauss y el método de Gauss-Jordan. El método de Gauss involucra la transformación de la matriz de coeficientes a una forma escalonada mediante operaciones de filas. El método de Gauss-Jordan extiende este proceso para obtener una matriz identidad, lo que proporciona directamente las soluciones. El documento ilustra ambos métodos con un ejemplo numérico y explica las diferencias entre los enfoques.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones diferenciales por el método de variables separables. Primero define qué son las variables separables y cómo escribir la ecuación diferencial en una forma integrable. Luego, resuelve un ejemplo paso a paso identificando las funciones, separando las variables y integrando. Finalmente, concluye que este método requiere identificar las funciones y separar e integrar para obtener la solución general.
El documento describe el método de diferencias divididas de Newton para obtener el polinomio interpolador que pasa por varios puntos de datos. Explica que este método permite calcular fácilmente los coeficientes del polinomio y que estos coeficientes tienen la propiedad de permanecer sin cambios si se aumenta el orden del polinomio. También señala que este método es especialmente útil cuando se necesitan realizar múltiples evaluaciones del polinomio.
Este documento describe cómo encontrar un factor integrante u(x,y) para una ecuación diferencial no exacta, de modo que al multiplicar la ecuación por u, se convierta en una ecuación exacta. Explica que u solo debe depender de x o y, y proporciona fórmulas para calcular p(x) o p(y) según sea el caso, de donde se obtiene u. Finalmente, una vez determinado u, se multiplica por la ecuación original para convertirla en exacta.
Este documento presenta cómo utilizar el software Derive para enseñar conceptos matemáticos como ecuaciones lineales, funciones lineales, ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas. Explica los pasos para introducir ecuaciones y funciones, resolver ecuaciones, graficar funciones y calcular tablas de valores. También incluye ejemplos resueltos de problemas y ejercicios sobre estas temáticas matemáticas usando Derive.
Este documento presenta el método de la bisección para encontrar las raíces reales de una ecuación. Explica que el método requiere un intervalo inicial donde la función cambia de signo, garantizando la existencia de una raíz. Luego, calcula el punto medio del intervalo y evalúa la función allí, descartando la mitad del intervalo donde no cambia el signo. Repite este proceso biseccionando iterativamente hasta alcanzar la precisión deseada. Finalmente, muestra un ejemplo resuelto paso a paso usando Excel y Visual Basic para implementar
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Gauss-Seidel con relajación. Explica los pasos para implementar cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se aplican. Concluye que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi y que el método de Gauss-Seidel con relajación puede acelerar aún más la convergencia.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
Este documento describe el método de la bisección para encontrar raíces de una ecuación. El método involucra iterativamente dividir el intervalo inicial en dos partes iguales basado en si el valor de la función es positivo o negativo en el punto medio, hasta que el intervalo sea menor a un error especificado. El documento provee detalles sobre cómo calcular el número de iteraciones necesarias y presenta un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta 7 ejercicios que involucran el uso de métodos numéricos como la bisección y Newton-Raphson para aproximar raíces de ecuaciones. En cada ejercicio se proporcionan los datos necesarios, como la función, el intervalo inicial y la precisión requerida, y se resuelven usando programas como GeoGebra, Excel y Maple para obtener las raíces aproximadas.
Este documento presenta un manual de programas aplicados a métodos numéricos desarrollado como trabajo práctico educativo por dos estudiantes para acreditar su experiencia educativa. El manual contiene introducción, justificación, tipo y naturaleza del trabajo, características y funciones esenciales, y procesos del trabajo divididos en cuatro capítulos que describen métodos numéricos para resolver ecuaciones lineales, no lineales, diferenciales y de integración acompañados de ejemplos, diagramas de flujo, pseudocódigo y program
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con variables separables o reducibles a estaJoe Arroyo Suárez
Este documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. Estas ecuaciones pueden factorizarse en la forma y'=f(x)g(y) y luego resolverse mediante integración. El procedimiento implica separar las variables, integrar ambos lados y despejar y para obtener la solución en forma explícita o implícita. También explica cómo resolver problemas con condiciones iniciales encontrando primero la solución general y luego determinando el valor de la constante a partir de los datos iniciales.
Este documento presenta la asignatura de Ecuaciones Diferenciales. La asignatura consolida la formación matemática de los ingenieros y desarrolla su capacidad para aplicar conceptos matemáticos a problemas dinámicos en ingeniería. El curso cubre temas como ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, la transformada de Laplace y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar métodos de solución de ecuaciones diferencial
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales. Incluye un prólogo que introduce el tema y su importancia, una estructura lógica de los capítulos, y una biografía de Gottfried Leibniz, quien inventó independientemente el cálculo diferencial y el integral. El libro contiene definiciones, clasificaciones, métodos de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Resolución de Ecuaciones Diferenciales; Metodo de Variacion de ParametrosKaris
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que este método asume que la solución general de la ecuación homogénea se conoce y usa esta solución para determinar funciones que resuelven el sistema no homogéneo. Luego, detalla los pasos del proceso, incluyendo calcular la forma estándar, resolver la ecuación homogénea, calcular el wronskiano, y determinar e integrar funciones para obtener la solución particular y general. Finalmente, provee
Este documento explica diferentes métodos de interpolación como la interpolación lineal, la fórmula de interpolación de Lagrange y el método de interpolación de mínimos cuadrados. Incluye ejemplos y aplicaciones prácticas de cada método. También cubre el uso de herramientas computacionales como MATLAB para realizar interpolación de datos.
Actualmente existen numerosos programas de cálculo simbólico: Macsyma, Reduce, Mathematica, Maple, Axiom, Form, GNU-Calc, Derive,... DERIVE es un software con muchas ventajas y que es ampliamente utilizado en universidades por varios motivos fundamentales:
1. La facilidad de su aprendizaje: no necesita muchos conocimientos previos de informática, y se puede aprender a utilizar en un corto espacio de tiempo, sin necesidad de invertir muchas horas en la lectura del manual.
2. La sencillez de su entorno de trabajo, ya que permite ejecutar los comandos vía menú, o a través de la edición de los mismos por pantalla.
Este documento son unos apuntes para aprender a usar DERIVE que tiene los siguientes contenidos:
MODULO 1 (Introducción al programa)
1. Introducción al programa DERIVE, principales comandos.
2.Operaciones algebraicas básicas.
MODULO 2. (Matemáticas I).
3. Comandos básicos para el cálculo diferencial.
4. Análisis de Funciones de una variable.
5. Análisis de funciones de varias variables.
6. Cálculo Integral.
MODULO 3 (Matemáticas II)
7. Principales comandos para el álgebra lineal.
8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
9. Sistemas de ecuaciones lineales.
10. Diagonalización.
11. Formas cuadráticas.
Presentación que ofrece un marco comparativo del mercado de e-Commerce en LATAM (Argentina, Brasil, Chile, Colombia y México) en términos de penetración de Internet en hogares, penetración de smartphones, uso de trajeras de crédito y tamaño del mercado.
Este documento presenta cómo utilizar el software Derive para enseñar conceptos matemáticos como ecuaciones lineales, funciones lineales, ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas. Explica los pasos para introducir ecuaciones y funciones, resolver ecuaciones, graficar funciones y calcular tablas de valores. También incluye ejemplos resueltos de problemas y ejercicios sobre estas temáticas matemáticas usando Derive.
Este documento presenta el método de la bisección para encontrar las raíces reales de una ecuación. Explica que el método requiere un intervalo inicial donde la función cambia de signo, garantizando la existencia de una raíz. Luego, calcula el punto medio del intervalo y evalúa la función allí, descartando la mitad del intervalo donde no cambia el signo. Repite este proceso biseccionando iterativamente hasta alcanzar la precisión deseada. Finalmente, muestra un ejemplo resuelto paso a paso usando Excel y Visual Basic para implementar
Este documento describe tres métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de Jacobi, el método de Gauss-Seidel y el método de Gauss-Seidel con relajación. Explica los pasos para implementar cada método y provee un ejemplo numérico para ilustrar cómo se aplican. Concluye que el método de Gauss-Seidel converge más rápido que el método de Jacobi y que el método de Gauss-Seidel con relajación puede acelerar aún más la convergencia.
El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente escalonado mediante la eliminación de términos para simplificar la solución. El método de Gauss-Seidel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que utiliza los valores calculados en la iteración actual para calcular los valores en la siguiente iteración.
La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
Este documento describe el método de la bisección para encontrar raíces de una ecuación. El método involucra iterativamente dividir el intervalo inicial en dos partes iguales basado en si el valor de la función es positivo o negativo en el punto medio, hasta que el intervalo sea menor a un error especificado. El documento provee detalles sobre cómo calcular el número de iteraciones necesarias y presenta un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta 7 ejercicios que involucran el uso de métodos numéricos como la bisección y Newton-Raphson para aproximar raíces de ecuaciones. En cada ejercicio se proporcionan los datos necesarios, como la función, el intervalo inicial y la precisión requerida, y se resuelven usando programas como GeoGebra, Excel y Maple para obtener las raíces aproximadas.
Este documento presenta un manual de programas aplicados a métodos numéricos desarrollado como trabajo práctico educativo por dos estudiantes para acreditar su experiencia educativa. El manual contiene introducción, justificación, tipo y naturaleza del trabajo, características y funciones esenciales, y procesos del trabajo divididos en cuatro capítulos que describen métodos numéricos para resolver ecuaciones lineales, no lineales, diferenciales y de integración acompañados de ejemplos, diagramas de flujo, pseudocódigo y program
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con variables separables o reducibles a estaJoe Arroyo Suárez
Este documento describe cómo resolver ecuaciones diferenciales de variables separables. Estas ecuaciones pueden factorizarse en la forma y'=f(x)g(y) y luego resolverse mediante integración. El procedimiento implica separar las variables, integrar ambos lados y despejar y para obtener la solución en forma explícita o implícita. También explica cómo resolver problemas con condiciones iniciales encontrando primero la solución general y luego determinando el valor de la constante a partir de los datos iniciales.
Este documento presenta la asignatura de Ecuaciones Diferenciales. La asignatura consolida la formación matemática de los ingenieros y desarrolla su capacidad para aplicar conceptos matemáticos a problemas dinámicos en ingeniería. El curso cubre temas como ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, la transformada de Laplace y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. El objetivo es que los estudiantes aprendan a aplicar métodos de solución de ecuaciones diferencial
Este documento contiene varios ejercicios resueltos sobre interpolación polinomial y cálculo numérico. En el primer ejercicio se obtiene el polinomio interpolador de Lagrange para una función dada en cuatro puntos. En el segundo ejercicio se determina el polinomio interpolador de Lagrange para la función logaritmo en cinco puntos y se acota el error. En el tercer ejercicio se comprueba que los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton son idénticos para una función dada en tres puntos.
1) El documento describe métodos de aproximación funcional e interpolación numérica para determinar funciones a partir de datos discretos. 2) Explica el método de interpolación lineal y polinomios de grado superior, incluyendo polinomios de Newton y Lagrange. 3) El método de Lagrange determina coeficientes para una combinación lineal de funciones basadas en los puntos de datos, permitiendo aproximar valores intermedios.
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
El documento presenta los objetivos y contenidos del capítulo 2 sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se explica cómo encontrar soluciones generales y particulares de este tipo de ecuaciones, así como su análisis cualitativo y estabilidad dinámica. Se detalla el tratamiento de ecuaciones homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes, incluyendo métodos para hallar las raíces de la ecuación auxiliar y las soluciones complementarias y particulares. Finalmente, se proponen algunos ejercicios resuelt
Este documento presenta un libro sobre ecuaciones diferenciales. Incluye un prólogo que introduce el tema y su importancia, una estructura lógica de los capítulos, y una biografía de Gottfried Leibniz, quien inventó independientemente el cálculo diferencial y el integral. El libro contiene definiciones, clasificaciones, métodos de solución y aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Este documento presenta diferentes métodos numéricos para aproximar derivadas mediante diferencias finitas. Explica cómo usar la serie de Taylor para derivar fórmulas de diferenciación numérica hacia adelante, hacia atrás y centrales de primer orden y orden superior. También cubre el método de la secante utilizando diferencias finitas y proporciona ejemplos y gráficas para ilustrar los conceptos.
Método gráfico, Método de bisección y Método de la regla falsa deberesautomotriz
Este documento describe diferentes métodos para resolver ecuaciones, incluyendo el método gráfico, bisección, y regla falsa. Explica que el método gráfico usa una representación gráfica de la función para aproximar donde cruza el eje x, mientras que los métodos de bisección y regla falsa iterativamente reducen el intervalo donde podría estar la raíz basado en si la función cambia de signo.
Este documento define y explica los conceptos de grafo bipartito y grafo bipartito completo. Un grafo bipartito es aquel cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos disjuntos de tal forma que cada arista una un vértice de un conjunto con uno del otro. Un grafo bipartito completo es aquel donde cada vértice de un conjunto está conectado a todos los vértices del otro conjunto.
Resolución de Ecuaciones Diferenciales; Metodo de Variacion de ParametrosKaris
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que este método asume que la solución general de la ecuación homogénea se conoce y usa esta solución para determinar funciones que resuelven el sistema no homogéneo. Luego, detalla los pasos del proceso, incluyendo calcular la forma estándar, resolver la ecuación homogénea, calcular el wronskiano, y determinar e integrar funciones para obtener la solución particular y general. Finalmente, provee
Este documento explica diferentes métodos de interpolación como la interpolación lineal, la fórmula de interpolación de Lagrange y el método de interpolación de mínimos cuadrados. Incluye ejemplos y aplicaciones prácticas de cada método. También cubre el uso de herramientas computacionales como MATLAB para realizar interpolación de datos.
Actualmente existen numerosos programas de cálculo simbólico: Macsyma, Reduce, Mathematica, Maple, Axiom, Form, GNU-Calc, Derive,... DERIVE es un software con muchas ventajas y que es ampliamente utilizado en universidades por varios motivos fundamentales:
1. La facilidad de su aprendizaje: no necesita muchos conocimientos previos de informática, y se puede aprender a utilizar en un corto espacio de tiempo, sin necesidad de invertir muchas horas en la lectura del manual.
2. La sencillez de su entorno de trabajo, ya que permite ejecutar los comandos vía menú, o a través de la edición de los mismos por pantalla.
Este documento son unos apuntes para aprender a usar DERIVE que tiene los siguientes contenidos:
MODULO 1 (Introducción al programa)
1. Introducción al programa DERIVE, principales comandos.
2.Operaciones algebraicas básicas.
MODULO 2. (Matemáticas I).
3. Comandos básicos para el cálculo diferencial.
4. Análisis de Funciones de una variable.
5. Análisis de funciones de varias variables.
6. Cálculo Integral.
MODULO 3 (Matemáticas II)
7. Principales comandos para el álgebra lineal.
8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.
9. Sistemas de ecuaciones lineales.
10. Diagonalización.
11. Formas cuadráticas.
Presentación que ofrece un marco comparativo del mercado de e-Commerce en LATAM (Argentina, Brasil, Chile, Colombia y México) en términos de penetración de Internet en hogares, penetración de smartphones, uso de trajeras de crédito y tamaño del mercado.
El documento presenta los resultados de una encuesta realizada en Colombia sobre el nivel de digitalización de los ciudadanos. El 80% de los encuestados entre 15 y 55 años accede a Internet, lo que representa un aumento del 8% en los últimos dos años. El 54% de los usuarios de Internet lo usan a diario. El hogar se ha convertido en el lugar más común para acceder a Internet, superando a los cafés Internet. Las razones principales para no usar Internet son no saber cómo usarla y no verle utilidad.
Este documento presenta ejercicios resueltos relacionados con funciones vectoriales y curvas en el espacio. El primer ejercicio analiza si se intersectan dos curvas definidas por vectores posición y en qué puntos ocurre. El segundo ejercicio describe gráficamente una curva y prueba que su vector tangente es unitario cuando se usa la longitud de arco como parámetro. El tercer ejercicio calcula la velocidad de una partícula y determina el tiempo para recorrer una distancia dada.
El documento presenta varios ejemplos de derivadas aplicadas a situaciones de la vida cotidiana como tomar el autobús, carreras de relevos y más. En el primer ejemplo, se calcula la velocidad de un pasajero que corre para alcanzar un autobús en marcha. En el segundo ejemplo, se explica por qué los corredores de relevos empiezan a correr antes de recibir el testigo para una transición suave. El documento también incluye ejercicios de cálculo de derivadas y tangentes medias.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento describe el cálculo de integrales definidas e indefinidas utilizando el programa DERIVE. Explica los conceptos de integral inferior y superior de Riemann y cómo aproximar el área bajo una curva mediante rectángulos. Incluye ejemplos de cálculo de áreas delimitadas por curvas, funciones integrales y el cálculo de integrales indefinidas dependientes de parámetros.
Este documento presenta ejemplos y conceptos relacionados con el análisis de funciones de una variable, incluyendo el estudio de propiedades como el dominio, rango, asíntotas, intervalos de crecimiento y concavidad, extremos relativos y puntos de inflexión a través del análisis gráfico y analítico de funciones. También cubre temas como la aproximación de funciones mediante polinomios de Taylor y la definición de funciones definidas a trozos.
Este documento introduce los conceptos de límite y derivada, que son fundamentales en cálculo. Explica que un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un valor particular. Luego define la derivada de una función como la tasa de cambio de dicha función con respecto a la variable independiente y presenta diferentes formas de notarla. Finalmente, muestra cómo calcular derivadas usando la definición formal de límite.
Este documento presenta información sobre funciones matemáticas y cómo graficarlas y encontrar sus raíces en MATLAB. Explica conceptos como dominio, codominio e imagen de una función, así como tipos de funciones como suprayectivas, inyectivas y biyectivas. Luego proporciona ejemplos de cómo graficar funciones cuadráticas y encontrar sus raíces numérica y gráficamente en MATLAB usando comandos como plot, ezplot, solve y zooming.
Este documento describe el método de interpolación de Lagrange y su aplicación para aproximar funciones mediante polinomios. Explica que el método construye un polinomio de grado n que pasa exactamente por n+1 puntos de datos, interpolando la función en el intervalo definido por esos puntos. Además, introduce el concepto de error de interpolación y cómo calcular un límite superior para este error. Finalmente, presenta un programa informático que implementa el método de Lagrange de forma didáctica.
esta presentación es realizada en cumplimiento con la actividad prevista en la materia de optimización de sistemas y funciones muestra 4 tipos de métodos de optimizacion con su ejemplo correspondiente
Este documento describe diferentes tipos de gráficas y funciones en MatLab. Explica cómo generar gráficas xy con escalas lineales y logarítmicas usando los comandos plot, semilogx, semilogy y loglog. También cubre cómo crear gráficas múltiples, subgráficas, y gráficas tridimensionales de funciones de dos variables.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento introduce el concepto de función y sus propiedades. Define una función como una relación que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Explica cómo determinar gráficamente si una relación corresponde a una función y presenta ejemplos de funciones algebraicas, racionales y con raíz cuadrada.
Este documento introduce el concepto de función y sus propiedades. Define una función como una relación que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. Explica cómo determinar gráficamente si una relación corresponde a una función analizando si una línea vertical corta la gráfica más de una vez. También cubre los conceptos de dominio y cómo evaluar funciones para graficarlas.
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
Este documento introduce conceptos sobre el cálculo de integrales de funciones de varias variables. Explica cómo calcular integrales dobles y triples, las cuales son útiles para calcular áreas, volúmenes, cargas eléctricas y flujos de campos vectoriales. También cubre temas como derivadas parciales, derivación implícita, y el uso de multiplicadores de Lagrange para problemas de optimización con restricciones.
Este documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. Primero define la velocidad como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Luego ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos y explica la derivación implícita para funciones donde la variable dependiente no puede ser despejada explícitamente.
Este documento presenta conceptos fundamentales de cálculo diferencial e integral, incluyendo: 1) cómo usar derivadas para calcular velocidad y aceleración; 2) derivadas de funciones implícitas y de orden superior; y 3) criterios para determinar intervalos de crecimiento, extremos relativos, y concavidad/convexidad de funciones. Ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
El documento describe diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, lineales, polinómicas, cuadráticas y racionales. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto se le asocia un único elemento del segundo conjunto. También proporciona ejemplos de cómo expresar funciones mediante tablas, expresiones algebraicas y gráficas.
Este documento describe varias operaciones matemáticas que se pueden realizar con funciones en Geogebra, incluyendo límites, derivadas e integrales. Explica cómo calcular límites de funciones, derivadas de diferentes órdenes, primitivas e integrales definidas. También proporciona un ejemplo paso a paso de cómo calcular el área entre dos curvas.
Este documento describe cómo trazar curvas de una función gráficamente. Explica cómo una tabla de valores de x e y permite visualizar el comportamiento de una función y encontrar sus puntos críticos derivando la función para determinar dónde se iguala a cero. También describe cómo encontrar el punto de inflexión derivando la función por segunda vez y igualándola a cero.
La regla de la cadena es una técnica matemática para calcular la derivada de una función compuesta de otras funciones. Se explica con un ejemplo de dos funciones vinculadas y cómo calcular la derivada de la función exterior con respecto a la variable de entrada de la función interior. Luego, se demuestra que aplicar la regla de la cadena o calcular directamente la derivada sustituyendo funciones produce el mismo resultado. Finalmente, se explica que la regla de la cadena es importante para entrenar redes neuronales.
La regla de la cadena es una técnica matemática importante para calcular derivadas de funciones compuestas. Se explica el concepto con un ejemplo de dos funciones vinculadas y cómo la regla de la cadena permite calcular la derivada de la función exterior con respecto a la variable de entrada de la función interior multiplicando las derivadas individuales de cada función. También se muestra cómo las integrales encuentran el área bajo una curva mediante la aproximación del área con rectángulos cada vez más pequeños entre los límites de integración.
Similar a Derive 5(funciones de varias variables) (20)
El arte sirve para perpetuar, cambiar o enaltecer la cultura, refuerza y comunica valores culturales, y transmite, sustenta y cambia una cultura. También puede adornar y enaltecer el entorno, reforzar la moral de los grupos, crear unidad y solidaridad social, e influir en el cambio social al hacer tomar conciencia de problemas. El arte puede expresar aspectos religiosos, políticos y culturales de una sociedad.
El documento discute diferentes enfoques del arte en la educación y sus implicaciones para la enseñanza del arte en sociedades multiculturales. Identifica ocho funciones generales del arte como terapéutico, ayudar a ordenar el mundo, ejercer una función de supresión de hábitos, ofrecer sentido de trascendencia, y servir como medio de comunicación y comunión. También atribuye seis funciones primarias del arte como objetivar valores y emociones, realzar celebraciones y rituales, organizar y confirmar rangos sociales, serv
El documento proporciona información sobre diferentes técnicas pictóricas como la pintura al óleo, acrílicos y temperas. La pintura al óleo se ha utilizado desde el siglo XV y ofrece una amplia gama de matices. Requiere lienzo de lino o algodón y se puede diluir con aceite de linaza. Las temperas son adecuadas para el aula escolar ya que permiten corregir errores y son fáciles de usar para los niños. El documento también presenta ejemplos de obras pictóricas de diferentes artistas
El documento explica qué es el lenguaje visual. Define el lenguaje visual como el que se desarrolla en el cerebro para interpretar lo que se percibe a través de los ojos. Explica que existen tres tipos de lenguajes visuales según la finalidad: objetivo, publicitario y artístico. Luego describe los elementos conceptuales, visuales y de relación que se usan para construir un mensaje visual, incluyendo el punto, la línea, el plano, la forma, el color, la textura, la composición, el movimiento y la dirección.
Este documento presenta una lista de estilos y movimientos artísticos, desde el arte paleolítico hasta el pop art, pasando por el arte mesopotámico, griego clásico, romano, románico, gótico, Renacimiento, barroco, romanticismo, impresionismo, fauvismo, cubismo, op art y arte abstracto. El documento fue creado por el profesor Victor Jalid Funes para su clase de taller de arte.
El documento resume la historia del dibujo a lo largo de los tiempos, desde los griegos hasta la actualidad. Explica los diferentes tipos de dibujos como el boceto, descriptivo, analítico y técnico. También describe las estructuras y técnicas básicas del dibujo como la línea, punto y mancha, así como los materiales y procedimientos utilizados como lápices, carboncillo, tizas y bolígrafos.
El documento describe las diferentes técnicas de grabado, incluyendo su origen y evolución histórica. Explica que el grabado consiste en transferir una imagen a una superficie mediante incisiones en una matriz y luego aplicar tinta para imprimir la imagen de manera multiplicable. Describe las tres categorías principales de grabado - relieve, hueco y plano - y varias técnicas específicas como xilografía, aguafuerte y litografía. También cubre artistas importantes como Durero, Goya y Matisse y cómo el grabado ha seguid
El documento describe las principales técnicas y materiales de la escultura. Explica que la escultura es una forma de expresión artística tridimensional que se puede realizar en materiales como piedra, madera, arcilla, metal y nuevos materiales. También describe las principales herramientas para la escultura como palillos, vaciadores y las técnicas como talla, modelado, forja y vaciado. Por último, explica los diferentes enclaves de la escultura como la arquitectónica, urbana y del paisaje.
La comunicación visual se suele presentar o expresar en imágenes bidimensionales, e incluye: carteles, tipografía, dibujo, diseño gráfico, ilustración, diseño industrial, publicidad, animación, color y recursos electrónicos.
Este documento describe diferentes técnicas pictóricas como la pintura al óleo, acrílicos y temperas. La pintura al óleo ofrece amplias posibilidades de matices y es fácil de trabajar y retocar. Las temperas son ideales para los niños por su facilidad de uso y corrección. También se mencionan estilos como el puntillismo y distintos procedimientos pictóricos.
La actividad propone transformar la imagen "El grito" de Edvard Munch a diferentes estilos artísticos. Los estudiantes deben visualizar varios estilos, elegir uno, y transformar la imagen original a ese estilo seleccionado. Luego se compartirán los resultados.
El documento explica qué es el lenguaje visual. Se define como un sistema de comunicación que utiliza imágenes para transmitir mensajes de manera informativa, expresiva o estética. Incluye elementos conceptuales como punto, línea, plano y volumen, y elementos visuales como forma, color y textura. También cubre conceptos como composición, modelado y diferentes soportes pictóricos.
El documento clasifica diferentes materiales de pintura según su solubilidad en agua, thinner, alcohol, acetona y agua ras, e incluye ejemplos como acrílicos, óleos, témperas, acuarelas y barnices. También menciona diferentes soportes para la pintura como telas, papeles, muros, vidrios y metales.
Este documento describe la historia y evolución del dibujo a lo largo de los tiempos, desde los griegos hasta la actualidad. Explica diferentes tipos de dibujo como el boceto, descriptivo, analítico y técnico. También cubre materiales y técnicas como líneas, puntos, manchas, lápices, carboncillo y más. Finalmente, propone una actividad práctica de dibujo.
Este documento presenta la materia Lenguajes Artísticos Visuales para el año 2016. Se enfoca en desarrollar el pensamiento reflexivo de los estudiantes a través del análisis crítico del lenguaje visual y sus diversas expresiones. El contenido se divide en tres ejes que cubren el lenguaje visual en relación con el arte, la sociedad y la educación. La metodología propone un enfoque teórico-práctico a través de trabajos de aula y proyectos para lograr un aprendizaje significativo.
Este documento describe las funciones de los botones en el programa de edición de video Windows Live Movie Maker. Explica que se puede pegar contenido del portapapeles, agregar videos y fotos, agregar música, títulos, descripciones y créditos. También permite configurar la reproducción de partes del video o fotos, ajustar el brillo, cambiar a blanco y negro, y usar diferentes niveles de zoom y vista previa.
Este documento describe los conceptos básicos del lenguaje audiovisual como el video y el cine. Explica que ambos presentan una sucesión de imágenes en movimiento con sonido. Luego define términos clave como guión, encuadre, planos, escenas, secuencias, ángulo de cámara y movimientos de cámara que son elementos fundamentales para contar una historia con imágenes y sonido. Finalmente, brinda una breve bibliografía sobre el tema.
El documento resume diferentes enfoques históricos de la enseñanza de la educación artística desde la década de 1930 hasta la década de 1970, incluyendo el enfoque técnico, el expresionismo, el lúdico, la producción socio-cultural y los enfoques integradores. Explica los objetivos y perspectivas de cada enfoque a través del tiempo.
La fotografía no sólo reproduce la realidad exterior sino que lo hace desde la perspectiva del fotógrafo. Aunque la fotografía expresa la realidad, está condicionada por elementos técnicos como el encuadre, el objetivo elegido y el ángulo, lo que permite manipularla de diferentes formas. La fotografía sirve para ilustrar ideas, despertar temáticas, aumentar la credibilidad de un mensaje y representarlo de manera atractiva.
1. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
5. ANÁLISIS DE
VARIABLES.
66
FUNCIONES
DE
VARIAS
En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculos
analíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitaciones
relacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas.
5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES.
EJEMPLO 5.1.
Dibujar la gráfica de la función
x2 + y2
cos
4
.
f ( x, y ) =
2
2
3+ x + y
Solución
Editamos la función
y marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o
marcamos nuevamente
y una vez abierta la ventana 3D
y obtenemos
Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es
[-1/3,1/3]. Modificamos, por tanto, la escala en la variable z, para obtener una mejor visión de
la gráfica. Marcamos
obteniendo
y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,
2. Análisis de funciones de varias variables
67
Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opción
Posición de ojo o equivalentemente
si: x=10, y=10, z=24, obtenemos
y cambiamos las Coordenadas del ojo. Por ejemplo,
Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos
Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente de
la misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando las
coordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos
3. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
68
Si lo que queremos es ampliar o disminuir la visión que tenemos de la gráfica
marcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente,
pinchamos el botón de herramientas
x=25, y=25 y z=0.5, obtenemos
EJEMPLO 5.2.
Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide:
(a) dibujar su gráfica
(b) construir sus curvas de nivel.
que nos interese. Por ejemplo, considerando:
4. Análisis de funciones de varias variables
69
Solución
(a) Para dibujar la gráfica editamos la expresión
Como en el ejemplo anterior marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o
y una vez abierta la ventana 3D marcamos nuevamente
y obtenemos
(b) Las curvas de nivel de esta función son de la forma f(x,y)=k. Un camino para
representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cada uno de ellos representar la
ecuación f(x,y)=k. Utilizando la función VECTOR podemos agrupar en una misma expresión
las curvas de nivel que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando
y simplificando la expresión
obtenemos
Si abrimos ahora una Ventana 2D y mandamos representar con el icono
obtenemos las gráficas de esas 5 curvas de nivel:
5. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
70
EJEMPLO 5.3.
Dibujar la gráfica y las curvas de nivel de la función f(x,y)=
y2
− 3x .
5
Solución
Editamos la expresión
abrimos una Ventana 3D, marcamos
. La gráfica que obtenemos es
Si deseamos dibujar las curvas de nivel de la función, debemos representar las ecuaciones
f(x,y)=k, por ejemplo para k desde –5 a 5, editando
que al simplificar y representar nos da las curvas de nivel
6. Análisis de funciones de varias variables
71
5.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD.
Como bien sabemos, en funciones de varias variables el concepto de límite es mucho más
complejo que en funciones de una variable debido a que a un punto nos podemos aproximar
por muchas direcciones diferentes. Veamos algunos ejemplos que nos permiten estudiar la
continuidad de la función a través de la información que nos da su límite.
EJEMPLO 5.4.
Determinar si es continua en (0,0) la función
x + y
f ( x, y ) = x − y
0
Solución
x≠ y
x= y
Estudiamos en primer lugar la existencia de límite en dicho punto. Para calcular dicho
límite calculamos sus límites reiterados. Comenzamos calculando primero el límite respecto
de la variable x y después respecto de la variable y. Editamos la siguiente función
Nota: La función IF se utiliza para escribir funciones definidas a trozos.
En Cálculo seleccionamos la opción Límite (Variable x, Punto 0) o, equivalentemente,
pinchamos el botón de herramientas
y sobre esta última expresión repetimos lo anterior, Límite (Variable y, Punto 0)
7. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
72
) nos da –1.
que tras Simplificar (botón de herramientas
De la misma forma podemos calcular el otro límite reiterado, primero respecto de la
variable y en 0 y a continuación respecto de la variable x en 0 que al simplificar resulta 1.
Como no coinciden los límites reiterados entonces podemos asegurar que no existe el límite
en (0,0) y por tanto la función no es continua en (0,0).
Veamos la gráfica de dicha función. Situándonos en la expresión f(x,y) pasamos a
representarla
EJEMPLO 5.5.
Estudiar la continuidad en (0,0) de la función
x2 − y2
( x, y ) ≠ (0,0)
f ( x, y ) = x 2 + y 2
0
( x, y ) = (0,0)
Solución
Definimos la función editando la expresión
8. Análisis de funciones de varias variables
73
En este caso para el estudio del límite vamos a utilizar el cálculo de límites
direccionales, nos acercaremos al punto (0,0) por rectas que pasan por dicho punto; es decir,
rectas de la forma y=mx. Por tanto, calculamos
lim( y = mx ),( x , y )→( 0, 0) f ( x, y )
Primero editamos
y calculamos el límite cuando x tiende a 0 (en Cálculo opción Límite (Variable x, Punto 0))
obteniendo después de Simplificar
Por tanto no existe el límite, ya que el resultado depende de la pendiente de la recta
por la que nos acerquemos al punto (0,0).
Veamos la gráfica de dicha función. Nos situamos en la expresión f(x,y) y
representamos
5.3. DERIVADAS PARCIALES. VECTOR GRADIENTE. MATRIZ HESSIANA.
EJEMPLO 5.6.
Estudiar la existencia de derivadas parciales en (0,0) de la función
xy
( x , y ) ≠ ( 0 ,0 )
2
f ( x, y ) = x + y 2
0
( x , y ) = ( 0 ,0 )
Solución
Definimos la función editando la expresión
9. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
74
Calculamos primero la derivada parcial de la función respecto de x en el (0,0); esto es,
f ( t ,0 ) − f ( 0 ,0 )
f x ( 0 ,0 ) = limt →0
.
t
Para calcular dicha derivada editamos la expresión
sobre la cual aplicamos Calcular-Límite respecto de t en el punto 0 y al Simplificar se obtiene
0. Por tanto, fx(0,0)=0.
Para calcular la derivada parcial de f respecto de y en el (0,0) repetimos el proceso
obteniendo fy(0,0)=0. La gráfica de la función es la siguiente
EJEMPLO 5.7.
Calcular el vector gradiente de la función anterior en el punto (1,1).
Solución
En un entorno suficientemente pequeño del punto (1,1) la función f(x,y) está definida por
xy
.
2
x + y2
Por tanto, editamos primero una nueva función no definida en el (0,0) que también llamamos
f(x,y):
Calculamos fx(x,y) (Cálculo-Derivadas o
, variable x, orden 1)
10. Análisis de funciones de varias variables
y después sustituimos el punto (1,1) utilizando
Obtenemos
75
o Simplificar-Sustituir Variable.
Calculamos ahora fy(x,y) siguiendo el proceso anterior (Cálculo-Derivadas o
orden 1) y sustituimos en el punto (1,1) obteniendo
Por tanto, ∇f (1,1) = (
, variable y,
2 2
,
).
4 4
EJEMPLO 5.7.
Calcular la matriz Hessiana de la función f(x,y)=2x2y+y2 en el punto (0,1).
Solución
Editamos la expresión
Calculamos las derivadas parciales segundas de dicha función el en punto (0,1).
Para calcular fxx(0,1) aplicamos Cálculo-Derivadas o
simplificar obtenemos
, variable x, orden 2 y al
que al sustituir en x=0, y=1, nos da fxx(0,1)=4.
Para calcular fxy(0,1) aplicamos Cálculo-Derivadas o
, variable x, orden 1, sobre la
expresión que obtenemos aplicamos de nuevo Cálculo-Derivadas o
al simplificar obtenemos
, variable y, orden 1 y
que al sustituir en x=0, y=1, nos da fxy(0,1)=0. Por el Teorema de Schwartz de las derivadas
parciales cruzadas sabemos que fxy (x,y) = fyx(x,y), por tanto, fyx(0,1)=0.
Por último para calcular fyy(0,1) aplicamos Cálculo-Derivadas o
simplificar obtenemos
y por tanto fyy(0,1)=2.
, variable y, orden 2 y al
11. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
76
Así pues la matriz Hessiana pedida es
4 0
Hf (0,1) =
0 2 .
Nota: Para calcular el gradiente o la matriz Hessiana de una función de varias variables
podemos seguir el siguiente camino alternativo ya que DERIVE dispone de una función
básica GRAD que nos ayuda a calcularlas directamente. Para utilizar dicha función cargamos
el fichero VECTOR.MTH (Archivo-Leer-Utilidad). La función GRAD está definida para
funciones de tres variables. Como nuestra función es de dos variables tenemos que decir
cuales son nuestras variables.
Editamos la expresión
y al simplificar obtenemos el vector gradiente de f(x,y):
Para calcular la matriz Hessiana de f(x,y) editamos la expresión
y simplificamos, obteniendo
Como hemos dicho la función GRAD asume por defecto que la función de varias
variables de la que queremos calcular el vector gradiente es una función de tres variables. La
función del ejemplo anterior es una función de dos variables y por tanto tenemos que añadir
esta información. Para calcular el vector gradiente de una función de tres variables será, por
tanto, suficiente escribir GRAD(f(x,y,z)) para calcular el vector gradiente y
GRAD(GRAD(f(x,y,z))) para calcular la matriz Hessiana.
5.4. DERIVADAS DIRECCIONALES. DIFERENCIABILIDAD.
EJEMPLO 5.9.
Calcular la derivada direccional de la función f(x,y)=3x2+y en el punto (0,0) y en la
dirección del vector (1,1).
Solución
Vamos a obtener la derivada direccional. Por definición
f (0 + h,0 + h) − f (0,0)
h (1,1)
Para efectuar este cálculo editamos la expresión que define la función
f (1,1) (0,0) = lim h→0
A continuación editamos la expresión de la que queremos calcular el límite
12. Análisis de funciones de varias variables
77
Calculamos el límite de esta expresión (Cálculo-Límite, o equivalentemente
respecto de la variable h en el punto 0),
y al simplificar obtenemos 1.
Como el módulo del vector (1,1) no es unitario, debemos dividir dicho resultado por el
módulo de este vector (1,1) = 2 . Obtenemos como resultado final que la derivada
direccional de la función f(x,y)=3x2+y en el punto (0,0) y en la dirección del vector (1,1) es
1/ 2 .
Un modo análogo de enfrentarse al problema requiere la comprobación de que f es
diferenciable. Para ello calculamos sus derivadas parciales respecto de las variables x e y
(Cálculo-Derivadas o, equivalentemente,
variable x, orden 1) y simplificando obtenemos
Y de manera análoga para calcular la derivada parcial respecto de la variable y
Ambas derivadas parciales son continuas en R2 y , por tanto, f es diferenciable. Por ser
f diferenciable podemos aplicar la siguiente propiedad
f (1,1) (0 ,0 ) = ∇f (0,0 ) ⋅ 1 / 2 ,1 / 2
Pasamos a calcular el vector gradiente de f en el punto (0,0) editando la expresión
(
)
simplificando obtenemos
y sustituyendo en la expresión obtenida el punto (0,0) (Simplificar-Sustituir Variable o
x=0)
(
Nos resta por calcular el producto escalar de los vectores (0,1) y 1 / 2 ,1 / 2
que nos da como resultado
2 / 2.
EJEMPLO 5.10.
Calcular el valor aproximado de ln(0,093+0,993) utilizando la diferencial.
)
,
13. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
78
Solución
Comprobemos en primer lugar si la función ln es diferenciable en el punto (0,1). Para
ello debemos calcular sus derivadas parciales. Editamos la función
y en Cálculo seleccionamos la opción Derivadas. Primero calculamos la derivada de orden 1
respecto de la variable x
Simplificando
se obtiene
que es una función continua en (0,1). Sustituyendo en el punto x=0, y=1 (Simplificar-Sustituir
Variable o
) tenemos
y simplificando se obtiene 0.
De igual forma derivamos la función respecto de la variable y, orden 1 y obtenemos
que también es continua en (0,1). Nuevamente al sustituir x=0, y=1, resulta que nos da el valor
3 al simplificar. Luego ∇f (0,1) = (0,3).
Como las dos derivadas parciales son continuas en un entorno del punto (0,1),
podemos aproximar el valor de la función mediante la diferencial ya que
f (0 ,09 , 0 ,99 ) ≈ f (0 ,1) + df (0 ,1) = f (0 ,1) + ∇f (0 ,1) ⋅ (0 ,09 − 0 , 0 ,99 − 1)
por tanto si editamos
tras simplificar
y aproximar
obtenemos
Así –0,03 es el valor aproximado de ln(0,093+0,993) que hemos obtenido utilizando la
diferencial.
Obsérvese que si aproximamos el valor de la expresión f(0.093,0.993) editando
tras simplificar obtenemos
14. Análisis de funciones de varias variables
79
resultado que aproximando nos da el valor
Por tanto concluimos que utilizando la diferencial no obtenemos una buena aproximación.
Sugerimos como ejercicio para el lector calcular una mejor aproximación de f(0.093,0.993)
utilizando el polinomio de Taylor de orden en el punto (0,1).
5.5.TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA.
EJEMPLO 5.11.
Dada la ecuación implícita 2ey-x-y-2=0
(a) ¿Define esta ecuación una función del tipo y=h(x), función definida respecto de la
variable x, en un entorno de (0,0)? En caso afirmativo, calcular h’(0).
(b) ¿Define a su vez una función x=g(y) en un entorno de (0,0)? ¿Podemos en este caso
calcular de forma explícita la función g?
Solución
Definamos en primer lugar a la función f(x,y), editando la expresión
(Obsérvese que el número e se edita utilizando el acento circunflejo, es decir, con el
símbolo ê).
(a)
Veamos que se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implícita para la
ecuación anterior.
(i) ¿f(0,0)=0?
Si editamos la expresión “f(0,0)” y simplificamos, comprobamos que la respuesta es
afirmativa.
(ii)
¿Existen y son continuas en un entorno del punto (0,0) las derivadas parciales de f ?
Calculemos las derivadas parciales de f.
Para calcular fx (Cálculo-Derivadas, respecto de x, orden 1)
que al simplificar nos da –1. Se trata de una función constante y, por tanto, continua en R2 y
en particular en cualquier entorno del (0,0).
De la misma forma, calculamos ahora fy .
y vemos que también se trata de una función continua en R2.
(iii) ¿fy(0,0)≠0?
Sustituyendo en la última expresión y=0 (Simplificar-Sustituir Variable o
) se
obtiene que fy(0,0)=1 y, por tanto, la respuesta también es afirmativa.
Luego, efectivamente, se cumplen las hipótesis del Teorema de la Función Implícita y
tenemos que h’(0)= -fx (0,0)/ fy(0,0)= -(-1)/1=1.
15. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
80
Para comprobar si existe una función g tal que x=g(y) basta comprobar la tercera
hipótesis del teorema (fx(0,0)≠0). Efectivamente, esta condición se cumple. Por tanto
sabemos que existe la función g. El Teorema de la Función Implícita sólo nos garantiza su
existencia, pero no nos da un método para calcular su expresión. Aun así en algunos casos
especiales se puede obtener la expresión de dicha función. Por ejemplo en este caso utilizando
la secuencia Resolver-Expresión Algebraico, o
y después simplificamos obtenemos
que determina la relación funcional pedida, siendo g(y)= 2ey-y-2.
Estudiemos ahora la gráfica de la ecuación f(x,y)=0 (esto equivale a ver la curva de
nivel 0 de la función f(x,y)). Abrimos una Ventana 2D, mandamos representar y obtenemos
Esta gráfica nos muestra que en un entorno del (0,0) se verifica la existencia de ambas
funciones h y g ya que la recta tangente a la curva en el (0,0) no es paralela a ninguno de los
dos ejes. Además se obtiene la existencia “global” de g y ”no global” de f.
EJEMPLO 5.12.
Determinar si la ecuación implícita
define a y en función de x (y=f(x)) en un entorno del punto (3,0).
Solución
Veámoslo geométricamente. Para ello representamos la gráfica de la ecuación
16. Análisis de funciones de varias variables
81
Obsérvese que en ningún entorno del punto (3,0) existe una dependencia funcional
unívoca de y respecto de x, ya que cualquier recta vertical que tracemos en puntos de
cualquier entorno del punto (3,0) se cruza con dos puntos de la curva, ya que la recta tangente
a la curva en dicho punto paralela al eje x=0. Por tanto en este caso podemos afirmar que no
existe una función y=f(x) definida en ningún entorno de (3,0).
5.6.EXTREMOS RELATIVOS.
EJEMPLO 5.13.
Calcular los extremos relativos de la función f(x,y)=x3+y3-3xy.
Solución
Editamos la expresión que define la función
A continuación vamos a calcular sus puntos críticos. Calculamos el vector gradiente de
esta función
que al simplificar resulta
Utilizando Resolver-Sistema e introduciendo las dos componentes del vector gradiente
igualadas a 0 e iluminando las variables x e y respecto de las cuales resolvemos obtenemos
Nosotros estamos únicamente interesados en las raíces reales ya que las variables de f
son reales.
Sustituyendo los valores obtenidos para la variable x y la ecuación que define y en
función de x (y=x2 ) obtenemos que si x=0 entonces y=0. Así encontramos el primer punto
crítico (0,0) y si x=1 obtenemos el punto (1,1).
Procedamos ahora a su clasificación utilizando la matriz Hessiana
17. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
82
que al simplificar nos da
Como deseamos ver cuales son las entradas de esta matriz en los puntos calculados
anteriormente sustituimos las componentes x e y de cada punto o, de forma análoga, podemos
editar la función
y calcular el valor de esta en esos puntos
El determinante de esta matriz se calcula editando
que al simplificar nos da –9. El punto (0,0) es, por tanto, un punto de inflexión.
Con (1,1), procedemos de igual forma, y la secuencia de resultados que se obtienen
son los siguientes
Al tratarse de un determinante de signo positivo el punto (1,1) es un extremo y por ser
la primera entrada de la matriz Hessiana, fxx(1,1), mayor que 0, es un mínimo local.
Vamos a efectuar la representación gráfica de la función para observar que,
efectivamente, tenemos un mínimo local y un punto de inflexión en dichos puntos.
Representándola y cambiando las coordenadas del ojo a x=-15, y=25 y z=12, la longitud
10:10:15 y centro x=0, y=0 y z=-1.5, obtenemos
18. Análisis de funciones de varias variables
83
Una segunda alternativa para clasificar extremos locales podría ser estudiando sus
curvas de nivel. Para obtener las curvas de nivel de esta función editamos
y al simplificar obtenemos
Representando
Donde vemos que el punto (1,1) es un punto crítico.
19. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
84
EJEMPLO 5.14.
Optimizar la función
f ( x, y ) = −
y
9 + x2 + y2
.
Solución
Editamos la expresión
Para obtener los puntos críticos debemos resolver el sistema de ecuaciones que se obtienen
editando
y simplificando obtenemos
Los puntos críticos son las soluciones de este sistema de ecuaciones. Observamos que este sistema es equivalente
al sistema
resolvemos éste siguiendo el proceso del ejemplo anterior para obtener los puntos críticos.
De esta manera hemos obtenido dos puntos críticos (0,-3) y (0,3) (el resto de las
soluciones del sistema no tiene componentes reales).
Procedemos a su clasificación utilizando la matriz Hessiana. Editamos
que al simplificar nos da
Sustituimos ahora en la matriz Hessiana el punto (0,-3) y obtenemos
20. Análisis de funciones de varias variables
85
cuyo determinante es
Por ser el determinante positivo, el punto (0,-3) es un extremo local. Como fxx(0,-3)<0
se trata de un máximo local. Para el punto (0,3) seguimos el mismo procedimiento y vemos
que se trata de un mínimo local.
Nota: Recordamos que para utilizar una expresión editada anteriormente podemos utilizar el
botón F3. En este caso para calcular el determinante de la matriz Hessiana hemos seguido el
siguiente camino: En Editar(Autor) escribimos DET y en lugar de escribir la matriz la
podemos recuperar con F3 una vez iluminada.
Representemos la función, cambiando el Rango de la variable z de –0.5 a 0.5.
Calculamos sus curvas de nivel editando la expresión
21. Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5
86
Nota: Obsérvese que en este caso estamos añadiendo una información adicional en la función
VECTOR. Por defecto la distancia entre los valores que toma el parámetro k es de una unidad,
pero si queremos considerar una distancia diferente tenemos que indicarlo. En este caso
queremos que la distancia entre cada una de las curvas de nivel sea 0.02.
Las curvas de nivel son
Como puede observarse los puntos (0,3) y (0,-3) son puntos críticos.
EJERCICIOS PROPUESTOS:
EJERCICIO 33.
Una empresa produce dos tipos de ordenadores O1 y O2 cuyos precios por unidad
vienen dados por pO1=100, pO2=150.
La función de costes de la empresa es C(x,y)=40 ln x - 20 ln y + 20x2 + 35 y2 siendo x e
y las unidades de ordenadores producidas de cada uno de los dos tipos. Calcular los niveles de
producción que permiten alcanzar el máximo beneficio.
EJERCICIO 34.
Optimizar la función f(x,y)=x4+y4-2(x-y)2..
EJERCICIO 35.
Obtener la gráfica de la función f(x,y)=y2-x2.
EJERCICIO 36.
Dibujar las curvas de nivel de la función anterior.