TEOREMA DE EJES PARALELOS

1. MOMENTO DE INERCIA
Por definiciónlosmomentosde inerciade un área diferencial dA con respecto a los ejes x y y son
𝑑𝐼 𝑥 = 𝑦2 𝑑𝐴 y 𝑑𝐼 𝑦 = 𝑥2 𝑑𝐴 respectivamente, los momentos de inercia se determinan por
integración para toda el área, es decir,
TambiénpodemosformularestacantidadparadA con respectoal “polo”
O o eje z.a este se le llamamomentode inerciapolar.Se define como
𝑑𝐽0 = 𝑟2 𝑑𝐴, donde r es ladistanciaperpendiculardesdeel polo(ejez)
hasta el momentodA.Paratoda el área el momentopolares:
𝐽 𝑜 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 = 𝐼 𝑥 + 𝐼 𝑦
Esta relaciónentre 𝐽 𝑜 𝑒 𝐼 𝑥,𝐼 𝑦 esposible puestoque 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2,
A partir de las formulaciones anteriores se ve que 𝐽 𝑜 𝑒 𝐼 𝑥, 𝐼 𝑦 siempre serán positivos ya que
implican el producto de una distancia al cuadrado y un área. Además las unidades para el
momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia, por ejemplo,
𝑚4, 𝑚𝑚4 𝑜 𝑝𝑖𝑒4, 𝑝𝑢𝑙𝑔4.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN AREA
Lo podemosemplearparaayudarnosacalcular el momento de inercia de un
área con respecto a cualquier eje que sea paralelo con respecto al eje que
pasa por su centroide y del cual se conosca el momento de inercia. Para
efectos de este teorema se va a calcular el momento de inercia de la área
sombreada que se muestra en la figura con respecto al eje x. para empezar
tomamos un elemento diferencial dA que esta ubicado a una distancia
arbitraria 𝑦′del eje centroidal 𝑥′. Si la distancia entre los ejes paralelos x y
𝑥′se define comody, entonces el momento de inercia de dA con respecto al
eje x es 𝑑𝐼 𝑥 = (𝑦′ + 𝑑𝑦)2 𝑑𝐴.Para toda el área,
𝐼 𝑥 = ∫(𝑦′ + 𝑑𝑦)2 𝑑𝐴
𝐼 𝑥 = ∫ 𝑦2 𝑑𝐴
𝐼 𝑦 = ∫ 𝑥2 𝑑𝐴

2. = ∫ 𝑦′2 𝑑𝐴 + 2𝑑 𝑦 ∫ 𝑦′ 𝑑𝐴 + 𝑑 𝑦
2
∫ 𝑑𝐴