Este documento describe cómo calcular la matriz asociada a una aplicación lineal. Explica el proceso de hallar las imágenes de los vectores de la base de salida, expresarlas como combinaciones lineales de la base de llegada, y resolver el sistema resultante para obtener la matriz. Como ejemplo, calcula la matriz asociada a la aplicación lineal f: R3 → P2(t) dada. También define qué son matrices semejantes y cómo una matriz puede ser semejante a otra mediante una transformación de base.

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
J O N AT H A N N A R A N J O
G R 4
G R U P O 5

2. MATRIZ ASOCIADA A LA APLICACIÓN LINEAL
f(v)=w
B2
V
B1
f(w)=z
B3
𝑨 = 𝒇 B2
B1
𝑷 = 𝒈 B3
B2
f g
gof
𝑨. 𝑷 = 𝑸 = 𝒈𝒐𝒇 B3
B1 = 𝒇 B2
B1 . 𝒈 B3
B2
v zw

3. PROCESO PARA EL CÁLCULO DE UNA MATRIZ
ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Sea:
𝐵1 = u1,u2, …
un 𝐵2 = w1,w2, …
wm
• Donde B1 es una base del espacio vectorial
de salida, y u1 es el primer vector de la base
del espacio vectorial de salida.
• Donde B2 es una base del espacio
vectorial de llegada, y w1 es el primer
vector de la base del espacio vectorial
de llegada.

4. DATOS:
La aplicación lineal, las bases 𝐵1 Y 𝐵2 ; siendo
𝐵1 la base del espacio vectorial de salida y 𝐵2 la
base del espacio vectorial de llegada.
S 𝑒𝑎 𝑓: R3 → P2 (t)
𝑎, 𝑏, 𝑐 → f 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑏 + 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑡 + 𝑎 − 𝑏 − 𝑐 𝑡2
1. Hallar las imágenes de los vectores de 𝑩1:
𝐵2 = 1 − 𝑡, 𝑡, 𝑡 − 𝑡2
𝐵1 = 1,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1

5. f 1, 1, 0 = 1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2
f 1, 0, 1 = 0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2
f 0, 1, 1 = 1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2
2. Con las imágenes obtenidas en el paso 1, se expresa
como combinación lineal con los vectores B2.
1 + 0 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾 1 − 𝑡 + 𝛽𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑡2
0 + 2 𝑡 + 0 𝑡2 = 𝛾′ 1 − 𝑡 + 𝛽′𝑡 + 𝛿′ 𝑡 − 𝑡2
1 + 0 𝑡 − 2 𝑡2 = 𝛾′′ 1 − 𝑡 + 𝛽′′𝑡 + 𝛿′′ 𝑡 − 𝑡2

6. 3. Unir las 3 matrices ya que solo cambia el termino
independiente.
1
−1
0
1
0 0
0 1
1 0
−1 0
0 1
2 0
0 −2 𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹1
4. Resolver el sistema usando el método de Gauss
Jordan
1
0
0
1
0 0
0 1
1 1
−1 0
0 1
2 1
0 −2 𝐹2 = 𝐹2 + 𝐹3
1
0
0
1
0 0
0 1
0 1
1 0
0 1
2 −1
0 0
Matriz asociada a la
aplicación lineal

7. ∴ La Matriz asociada a la aplicación lineal es:
𝒇 𝑩2
𝑩1 =
1
1
0
0 1
2 −1
0 0

8. MATRIZ ASOCIADA A LA APLICACIÓN LINEAL INVERSA
f(v)
B2
V
B1
v
B1
𝑨 = 𝒇 B2
B1
𝑷 = f−1
B1
B2
f f-1
fog
f−1
B1
B2= ( 𝑓 B2
B1)−1
v w v
Q=P.A
I=P.A
A= I−1

9. DEFINICION DE MATRIZ SEMEJANTE
• Sean las matrices A, B= M mxm es semejante A, si existe
una matriz P inversible, tal que B=P-1.
• Sean V W una transformacion lineal y A, B las
matrices A y B son semejantes si solo si, se trata de la
misma transformacion lineal respecto a bases diferentes.
𝑩 = 𝑳 S−1
S−1 y 𝑨 = 𝑳 S1
S1
𝑩 = 𝑷S−1
S−1 𝑺 A , BS S