Este documento describe un método para calcular la raíz cuadrada de un número mediante aproximaciones sucesivas. Se toma el número inicial y se separan sus dígitos de dos en dos. Luego se encuentra el mayor número entero cuya raíz cuadrada sea menor o igual al primer par. Este número es el primer dígito de la raíz cuadrada buscada. Se resta su cuadrado del número inicial y se repite el proceso con los dígitos restantes para encontrar cada dígito sucesivo de la raíz cuadrada.

1. Newton:
El método dice que, dada una ecuación f(x)=0, el valor de x puede irse
aproximando mediante esta relación de recurrencia:
¿Cuál debe ser nuestra función?
Queremos encontrar el valor x de la siguiente ecuación:
para un valor conocido de n.
Entonces:
es decir:
para f :x
devuelve :x * :x - :n
fin
para f' :x
devuelve 2 * :x
fin
El procedimiento aproxima da un valor inicial a x de 1 y luego usa la relación
de recurrencia 10 veces mostrando cada vez la aproximación obtenida:

2. para aproxima :n
escribe frase [Aproximando la Raíz Cuadrada de:] :n
haz "x 1
repite 10 [haz "x :x - (f :x) / (f' :x)
escribe.aproximación]
fin
El procedimiento escribe.aproximación imprime tres números en una línea
mostrando: la aproximación, el valor de la raíz cuadrada calculada
internamente, y la diferencia entre ambos.
para escribe.aproximación
escribe `[
,[formatonumero (:x) 20 16]
,[formatonumero (raizcuadrada :n) 20 16]
,[formatonumero (abs :x - raizcuadrada :n) 20 16]
]
fin
aproxima 2
Aproximando la Raíz Cuadrada de: 2
1.5000000000000000
1.4142135623730951
1.4166666666666667
1.4142135623730951
1.4142156862745099
1.4142135623730951
1.4142135623746899
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730951
1.4142135623730949
1.4142135623730951
0.0857864376269049
0.0024531042935716
0.0000021239014147
0.0000000000015947
0.0000000000000000
0.0000000000000002
0.0000000000000000
0.0000000000000002
0.0000000000000000
0.0000000000000002
aproxima 961
Aproximando la Raíz Cuadrada de: 961
481.0000000000000000 31.0000000000000000 450.0000000000000000
241.4989604989604900 31.0000000000000000 210.4989604989604900
122.7391368467891500 31.0000000000000000 91.7391368467891510
65.2843751618499080 31.0000000000000000 34.2843751618499080
40.0022947858842950 31.0000000000000000
9.0022947858842954
32.0129582795904640 31.0000000000000000
1.0129582795904639
31.0160260802395910 31.0000000000000000
0.0160260802395911
31.0000041403635510 31.0000000000000000
0.0000041403635507
31.0000000000002770 31.0000000000000000
0.0000000000002771
31.0000000000000000 31.0000000000000000
0.0000000000000000

3. Pasos
1. 1
getting ready
Anota el número del que deseas calcular la raíz cuadrada, separando los dígitos por
pares, a partir del punto decimal: 79,520,789,182.47897 se convierte en "7 95 20 78 91 82.
47 89 70". Si el número de cifras a la izquierda de la coma es impar, el último grupo de la
izquierda, tendrá una sola cifra, en vez de dos. Como ejemplo, vamos a calcular la raíz
cuadrada de 780,14. Dibuja dos líneas como se muestra la foto y escribe "7 80. 14" a la
izquierda. En la parte superior derecha, tendremos la raíz cuadrada de 780,14.
2. 2
Mira en el extremo izquierdo y encuentra el número mayor entero n, cuyo cuadrado sea inferior o
igual a aquel par o cifra única.
Mira en el extremo izquierdo y encuentra el número mayor entero n, cuyo cuadrado sea
inferior o igual a aquel par o cifra única. Coloca 'n' en el cuadrante superior derecho, y
calcula el cuadrado de n en el cuadrante inferior derecho. En nuestro ejemplo, que el par
es 7, y 2 × 2 ≤ 7 <;3 × 3, entonces
3. 3

4. Resta el número que acabas de calcular en la parte izquierda.
Resta el número que acabas de calcular en la parte izquierda. En nuestro ejemplo, resta 4
de la "pareja" "7", dándonos un 3 (para este paso se realiza el cuadrado del número de la
parte superior derecha).
4. 4
Baja" el siguiente par, y lo colocas a la derecha del resultado de la sustracción que acabas de hacer.
"Baja" el siguiente par, y lo colocas a la derecha del resultado de la sustracción que
acabas de hacer. En nuestro caso el '80', bajándolo y poniéndolo al lado del 3 obtenido en el
paso anterior. Multiplica por 2 el número que en ese momento tenemos en la parte superior
derecha (un 2) y lo escribes en el cuadrante inferior derecho, añadiendo "_×_=" (como se ve
en la figura anterior a este párrafo).
5. 5
Encuentra la mayor cifra que pueda colocarse en los subrayados indicados en el párrafo anterior, de
modo que el resultado de la multiplicación sea inferior o igual, al número que en estos momentos está
en la parte izquierda (en el ejemplo un 380).

5. Encuentra la mayor cifra que pueda colocarse en los subrayados indicados en el
párrafo anterior, de modo que el resultado de la multiplicación sea inferior o igual, al
número que en estos momentos está en la parte izquierda (en el ejemplo un 380). En
nuestro ejemplo, si queremos sustituir el subrayado por 8, 48 veces 8 es 384, que es superior
a 380. Por lo tanto 8 es demasiado grande. Sin embargo eso no ocurre con el 7. Pon un 7 en
cada uno de los dos subrayados, y escribiremos: 47 por 7 igual a 329, que es menor que 380.
Escribe un 7 en la parte superior derecha. Este será el segundo dígito de la raíz cuadrada de
780,14.
6. 6
Resta el número que acabas de calcular (329) del número que hay en la parte izquierda (380).
Resta el número que acabas de calcular (329) del número que hay en la parte
izquierda (380). Se resta 329 de 380, lo que da 51.
7. 7
Repite el paso 4.
Repite el paso 4. Dado que ahora hemos encontrado el punto decimal en 780,14, hay que
escribir un punto decimal en la raíz cuadrada, en la parte superior derecha (después del 27).
"Baja" el siguiente par (14) en la parte izquierda, quedando 51 14,. A continuación calculamos
2 veces el número en la parte superior derecha (27), convirtiéndolo en un 54, por lo que
debemos escribir "54_x _ =" en el cuadrante inferior derecho.
8. 8

6. Repite el paso 5 y 6.
Repite el paso 5 y 6. Encuentra la mayor cifra para sustituir en los subrayados, y haz la
multiplicación. En nuestro ejemplo, 549 veces 9 es 4941, es decir, 549x9=4941, que es inferior
o igual al número de la izquierda (5114). Escribiremos por tanto un 9 en la parte superior
derecha, restando a continuación el resultado de la multiplicación (4941) del número de la
izquierda (5114), obteniendo un resultado de 173.
9. 9
Si deseas continuar calculando cifras, ve bajando pares de ceros en la parte izquierda y
repitiendo los pasos 4, 5 y 6.
Software educativo
Puedes practicar estos pasos con este software libre, con el mismo número 780,14 o con
cualquier otro que tu elijas. Aprendiendo paso a paso o calculando el resultado final en un solo
click.

7. http://www.raizcuadrada.es
Consejos
Other presentation possible
Otra forma posible de presentación de la operatoria, puede hacerse en la forma que puede
verse antes del presente párrafo.
Puedes presentar los cálculos libremente, de la manera que te encuentres más cómodo.
Algunas personas escriben el resultado por encima del número inicial.
En nuestro ejemplo, 1,73 se puede considerar un "resto": 780,14 = 27,9 m² + 1,73
Este método funciona para cualquier base, no sólo en base 10 (decimal).

8. Desplazar el punto decimal por incremento de dos dígitos en un número (factor de 100),
mueve el punto decimal por incrementos de un dígito en su raíz cuadrada (factor de 10)
Avisos
Asegúrate de separar los dígitos a partir del punto decimal. La separación de
79,520,789,182.47897 en la forma "79 52 07 89 18 2,4 78 97", dará lugar a una serie
incorrecta.
La
separación
apropiada
es
7 95 20 78 91 82 . 47 89 70
Cómo funciona
.
1.
2.
3.
4.
Queremos calcular la raíz cuadrada (L), de S.
Para entender cómo funciona este método, considera que el número del que estás calculando,
la raíz cuadrada es el área S de un cuadrado. En esencia, se está tratando de calcular la
longitud L de uno de los lados del cuadrado.
Queremos encontrar el número L, de tal manera que cumpla la igualdad siguiente: L ² = S.
Llamaremos 'A' al primer dígito de 'L' (la raíz cuadrada que estamos intentando calcular), B
será el segundo dígito, C el tercero, y así sucesivamente.
Llamemos 'Sa' al primer par de dígitos de S, 'Sb' al segundo par de dígitos, etc
Al igual que en una división, en el que sólo estamos interesados cada vez en el próximo dígito,
aquí, en el cálculo de la raíz cuadrada, estamos interesados cada vez en los próximos dos
dígitos.
Y también, al igual que en una división, la posición del punto decimal no es importante en el
proceso: siempre podemos ponerla en su lugar al final.

9. 5.
.
Conocemos 'Sa' (zona gris) y debemos buscar 'A' (un dígito entero).
Nos fijamos en el primer par de dígitos (Sa) de S (S = 7 en nuestro ejemplo), y queremos
encontrar su raíz cuadrada. El primer dígito 'A' de esa raíz cuadrada, es el mayor número
entero, cuyo cuadrado no sea mayor que 'Sa' (es decir, donde 'A' cumpla la siguiente
condición A ² ≤ Sa <(A +1) ²). En nuestro ejemplo, S1 = 7, y 2 ² ≤ 7 < 3 ², por lo que A = 2.
6. Ten en cuenta que si quisiéramos dividir 88962 por 7, por ejemplo, el primer paso sería
similar: estaríamos obteniendo el primer dígito de 88962 (8), y queremos la mayor cifra que,
multiplicada por 7, sea inferior o igual a 8. Lo que significa que en el cociente 'c', el primer
dígito sería un 1 (d=1), ya que 7×d ≤ 8 < 7 × (d +1).
7.
square of length 10A+B
A continuación querríamos calcular el siguiente dígito 'B' de la raíz cuadrada.
Consideremos que (10A + B) ² = 100 ² + 2 × 10AB + B ². (No hay que olvidarse que 10A + B es
igual al número B en la posición de las unidades, y A el de las decenas, por lo que si A = 1 y B
= 2, 10 A + B es simplemente el número 12).
(10A + B) ² es el área de todo el cuadrado, 100A² el área del cuadrado más grande, B² el área
del cuadrado más pequeño, y 10AB es el área de cada uno de los dos rectángulos.
8. En el paso 3, hemos substraído A² de Sa. Para tener en cuenta el factor de 100, dejamos caer
un par (Sb) de dígitos de S: Queremos que "Sa Sb" sea la superficie total del cuadrado, y
hemos restado 100A² (el área del cuadrado grande) de él. Lo que queda es el número N1,
obtenido a la izquierda en el paso 4, (380 en nuestro ejemplo). Y ese número es igual a 2 ×
10A × B + B ² (área de los dos rectángulos más pequeños de la zona de plaza).
9. Tenemos que N1 = 2 × 10 × B + B ², también escrito como N1 = (2 × 10 A + B) × B. Sabemos
N1 (= 380) y A (= 2), y estamos buscando B. En la ecuación, lo más probable es que B no sea
un número entero, así que debemos encontrar el mayor número entero B, de modo que (2 ×

10. 10 A + B) × B ≤ N1. (B+1 sería demasiado grande, por lo que tenemos: N1 < (2×10A + (B+1))
× (B+1).)
10. Para resolver esto, multiplicamos A por 2 A, subiéndolo al lugar de las decenas (lo que
equivale a multiplicar por 10), colocamos B en la posición de las unidades, y multiplicamos ese
número por B. El número es (2 × 10 A + B) × B, y esto es exactamente lo que hacemos
cuando escribimos "N_ × = _" (con N = 2 × A) en el cuadrante inferior derecha del paso 4. Y
en el paso 5, nos encontramos con B, el mayor número entero, que encaja en los subrayados,
de modo que (2 × 10 A + B) × B ≤ N1.
11. Entonces restamos el área (2 × 10 A + B) × B de la superficie total del área (a la izquierda, en
el paso 6), que nos da el área S-(10A + B)², todavía no representada (y que utilizaremos para
calcular el próximo dígito de forma similar).
12. Para calcular el siguiente dígito C, repetimos el proceso: bajamos el próximo par (Sc) de S
para obtener N2 a la izquierda, y buscar el mayor C, por lo que tendremos que (2 × 10 × (10 +
B) + C) × C ≤ N2 (equivalente a escribir dos veces el número de dos dígitos "AB", seguido de
"_×_=" y buscar la mayor cifra que se ajusta en el subrayado)