Este documento describe diferentes métodos para la diferenciación e integración numérica de funciones. Explica que las expresiones de diferencias centrales son más precisas para calcular derivadas que las expresiones de diferencias hacia adelante o hacia atrás. También describe la regla del trapecio y las reglas de Simpson para aproximar integrales, las cuales dividen el intervalo en segmentos y usan polinomios de orden superior para conectar los puntos. Finalmente, introduce brevemente el método de Romberg y el método de Euler para la integración numérica.

1. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCIÓN
Concentremos ahora nuestra atención a procedimientos para diferenciar numéricamente
funciones que están definidas mediante datos tabulados o mediante curvas determinadas en
forma experimental. Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que
se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces
la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función.
Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de Taylor. La serie de Taylor
para una función Y = f(X) en (Xi + ?X), desarrollada con respecto al punto Xi es
En donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y (Xi + ?X) se encuentra en la región de
convergencia. La función para (Xi + ?X) está dada en forma similar por:
Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos obtener una
expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1),
DIFERENCIAS CENTRALES, HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS

2. Observando la figura (1), vemos que si designamos los puntos uniformemente espaciados a la
derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda de Xi como Xi-1, Xi-2 , etc. e
identificamos las ordenadas correspondientes como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec.
(3) se puede escribir en la forma:
La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias Centrales de Y', para X. La
aproximación representa gráficamente la pendiente de la recta discontinua mostrada en la figura
1. La derivada real se representa mediante la línea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi.
Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita previamente, podemos
escribir la siguiente expresión para la segunda derivada:
La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda derivada de la
función en Xi. Esta expresión se puede interpretar gráficamente como la pendiente de la tangente
a la curva en Xi+1/2 menos la pendiente de la tangente a la curva en Xi-1/2 dividida entre ?X,
cuando las pendientes de las tangentes están aproximadas mediante las expresiones:
Es decir,
Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos cuatro términos en
el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2). Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene:

3. Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones correspondientes a Y =
f(X) en (Xi + 2?X) y (Xi - 2?X), respectivamente, obtenemos:
Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro términos mostrados
para cada desarrollo, se obtiene:
La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada:
La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a la tercera derivada
de Y en Xi.
Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la
solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso.
La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las
derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la
derivación de expresiones más precisas, especialmente para derivadas de orden superior al
segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de ecuaciones simultáneas que se deben
resolver.
No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para diferentes derivadas, se
incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios.
Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran con mucho mayor
facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de diferencias, de promedios y de
derivación. Este método se encuentra fuera de los alcances fijados, pero se pueden encontrar en
varios libros referentes al análisis numérico.
Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las diversas derivadas
encierran valores de la función en ambos lados del valor X en que se desea conocer la derivada en
cuestión. Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente
expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y
puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia
Adelante.

4. En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén totalmente en
términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda de Xi. Estas se conocen como
expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.
En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando no
se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones
de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto
deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de
las otras dos.
Utilizando desarrollos convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente
expresiones para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y
puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones:
Expresiones de Diferencias Finitas Hacia Adelante
En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando:
no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las
expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha
del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que
cualquiera de las otras dos
No se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA
INTRODUCCIÓN
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en
general, de una de las tres formas siguientes:
1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una
función trigonométrica.
2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.
3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos
discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando
métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben
emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la
integración numérica. Se basan en la estrategia de remplazar una función complicada o un
conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o
a los datos sobre intervalos de longitud constante.

5. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas
son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las
fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las
fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin
embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1.
Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y
aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.
Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son:
El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
Sustituyendo las ecuaciones. (1) en esta expresión se obtiene:
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

6. En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la
curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral
puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.
La integral es igual a
Cero
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la
integración numérica, porque se basan en: la estrategia de remplazar una función fácil o un
conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más difícil de integrar
La estrategia de remplazar una función no fácil sino complicada o un conjunto de datos tabulares
con alguna función aproximada que sea más fácil (y no difícil) de integrar
REGLAS DE SIMPSON.
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener
una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para
conectar los puntos.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de
Simpson.
REGLA DE SIMPSON DE 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la
ecuación:
Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de
segundo orden, entonces la integral es:
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

7. REGLA DE SIMPSON 1/3DE SEGMENTOS MULTIPLES.
Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración
en segmentos de igual anchura.
h = (b-a)/n
La integral total se representa como:
Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:
Reordenando los términos, se obtiene:
REGLA DE SIMPSON DE 3/8.
De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan
polinomios de LaGrange de tercer orden a cuatro puntos a integrar;
Para obtener

8. En donde h = (b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo
de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.
REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de
tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8.
No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el
número de segmentos es impar.
Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3
a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres.
De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo
completo
La regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples, así- como la regla trapezoidal, la regla de
Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual:
Anchura
La regla de Simpson de 3/8 de manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla
de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de LaGrange de:
Tercer orden a cuatro puntos a integrar
Método de Romberg
En análisis numérico, el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son
estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:
Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio. El método de
Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado.
Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo,
aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque
es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la
cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.
Método
El método se define de forma recursiva así:
O
donde

9. La cota superior asintótica del error de R(n, m) es:
O (hn2m+1)
La extrapolación a orden cero R(n,0) es equivalente a la Regla del trapecio con n + 2 puntos. a
orden uno R(n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n + 2 puntos.
Cuando la evaluación del integrando es numéricamente costosa, es preferible remplazar la
interpolación polinómica de Richardson por la interpolación racional propuesta por Bulirsch &
Stoer.
Ejemplo
Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [0, 1], esto es la función error
evaluada en 1, cuyo valor es erf (1) = 0,842700792949715. Se calculan los elementos de la matriz
triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es
menor que 1x10-8
0.77174333
0.82526296 0.84310283
0.83836778 0.84273605 0.84271160
0.84161922 0.84270304 0.84270083 0.84270066
0.84243051 0.84270093 0.84270079 0.84270079 0.84270079
El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la
precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores
obtenidas con la regla del trapecio mostrado aquí en la primera columna de la matriz triangular.
Para que este método de Romberg funcione, el integrando debe ser suficientemente:
Diferenciable
La extrapolación a orden uno R(n, 1) es equivalente a:
La Regla de Simpson con n + 2 puntos.
Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un
procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir
de un valor inicial dado.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, el método de Euler es la primera
aproximación de solución. Consideremos un sistema de N variables y1, que dependen de t. Las
ecuaciones diferenciales podrán expresarse de la siguiente forma:
yi = fi(y1, y2,…, yN, t) para i=1,2,…, N.

10. Escogiendo un paso de t pequeño se puede usar la aproximación de Euler, con la cual, para
calcular los valores de yi en el tiempo t+t se necesitan conocer en el tiempo t. La fórmula sería:
yi(t+?t) = yi(t) + ?tfi(y1, y2,…, yN,t) para i = 1,2,…N. Entonces para averiguar los valores de yi a
cualquier t basta conocer sus valores iniciales (condiciones iníciales a t=0 y resolviendo
iterativamente con un paso ?t hasta llegar a ese valor de t
Teniendo en cuenta el texto anterior entonces, el método de Euler, es un procedimiento de
integración numérica para resolver:
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Método de Runge-Kutta
Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de
métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los
matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta
El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden
Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo
es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.
Definamos un problema de valor inicial como:
y’ = f(t,y), y(t0) = y0
Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:
Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor yn más el producto del tamaño
del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de
pendientes:
k1 es la pendiente al principio del intervalo;
k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el
punto tn + h/2 usando el método de Euler
k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y
k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3

11. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden
de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4
h cuatro