Este documento describe diferentes métodos de integración aproximada que se utilizan en ingeniería naval para calcular áreas, volúmenes y otras características geométricas de las formas de los barcos. Presenta los métodos de Newton-Cotes como Trapecios y Simpson, así como el método de Tchebicheff. Incluye ejemplos numéricos para ilustrar cada método.

1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN
APROXIMADA
CURSO: TEORÍA DE BUQUE I
DOCENTE: ING. CORTEZ GALINDO CANCIO
INTEGRANTES:
- EGUIZABAL CUADROS, HASSAN NEEL 20211302A
- MEDINA QUIROGA , ANDRES DANIEL 20191495F
- VÁSQUEZ BALAREZO, CLAUDIA SOFÍA 20211323I

2. INTRODUCCIÓN

3. IMPORTANCIA DE NUESTRO
ESTUDIO
 LA FORMA DE LAS CARENAS ESTÁN RELACIONADAS CON LA
HIDRODINÁMICA.
 ANTE LA NECESIDAD DE OBTENER MAYORES VELOCIDADES Y
FUERZA DE EMPUJE CON AHORRO DE POTENCIA
 LAS CARÁCTERISTICAS DE ESTAS FORMAS DETERMINAN
CURVAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS NO CONOCIDAS,
CUANDO NO SE CUENTA CON RECURSOS DE
CALCULADORAS Y ADECUADOS SOFTWARE
 EN EL CASO DE LA INGENIERÍA NAVAL ES COMÚN LA
DETERMINACIÓN DE LAS ÁREAS BAJO LAS CURVAS DE
FUNCIONES DESCONOCIDAS, CON LO QUE ES POSIBLE
OBTENER ÁREA DE SUPERFICIES, VOLÚMENES, MOMENTOS Y
LA COMBINACIÓN DE ELLOS.

4. ¿Qué vamos a integrar?
 Es necesario poder calcular centroides de secciones transversales o
de flotaciones, áreas de flotación, volúmenes y otras características
geométricas de la forma de un barco cuando flota en cualquier
línea de flotación prescrita. Áreas del área de sección transversal
sumergida en cada.

5. ¿Por qué es aproximada?
En arquitectura naval se presentan
curvas cuya ecuación no es fácil de
conocer y por eso no podemos
integrar por los métodos exactos por
eso recurrimos a los métodos
numéricos.

6. LOS MÉTODOS EXISTENTES DE INTEGRACIÓN APROXIMADA SE
AGRUPAN EN DOS CATEGORÍAS:
A).NEWTON COTES (ORDENADAS EQUIDISTANTES)
B).GAUSSIANOS(ORDENADAS IMPUESTAS ESPECÍFICAMENTE)

7. A).NEWTON COTES:
1.-MÉTODO DE TRAPECIOS
𝐴 = 𝑆(
1
2
𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + ⋯ + 𝑌𝑛−1 +
1
2
𝑌𝑛)
S=Distancia equidistante adoptada
𝑌𝑖(𝑖=1,2,3,…,𝑛)
=Ordenadas de las abscisas correspondientes

8. Ejemplo :
Un tanque tiene una profundidad
media de 5 metros. ¿Cuántos
metros cúbicos de agua se
requerirán para llenar el tanque?
(trapecios, n = 6).
𝒚𝟎 𝒚𝟏
𝒚𝟔
Resolución:

9. 2.-SIMPSON
2.1) PRIMERA REGLA DE SIMPSON: Esta regla admite que la curva comprendida
entre dos ordenadas distanciadas ‘’S’’
𝐴 =
𝑆
3
(𝑌1 + 4𝑌2 + 2𝑌3 + ⋯ + 2𝑌𝑛−2 + 4𝑌𝑛−1 + 𝑌𝑛)
donde:
n= número de partes par.
n+1=número de ordenadas.
𝐴(1,2) =
𝑆
3
(𝑌1 + 4𝑌2 + 𝑌3)
𝐴(1,2,3,4) =
𝑆
3
(𝑌1 + 4𝑌2 + 2𝑌3 + 4𝑌4 + 𝑌5)
𝐴(1,2,3,4,5,6) =
𝑆
3
(𝑌1 + 4𝑌2 + 2𝑌3 + 4𝑌4 + 2𝑌5 + 4𝑌6 + 𝑌7)

10. Ejemplo 1:
Utilizando la primera regla de
Simpson, calcule el área bajo la
curva.
Resolución:
Ejemplo 2:
Utilizando la primera regla de
Simpson, calcule el área de la
región rectangular.
2
1 2 3
1.5
( 4 ) (2 4(4) 6) 12
3 3
s
A Y Y Y m
       2
1 2 3
3
( 4 ) (5 4(5) 5) 30
3 3
s
A Y Y Y m
      
Resolución:

11. Resolución: Resolución:
Ejemplo 3:
Utilizando la primera regla de
Simpson calcule el área de la región
triangular.
Ejemplo 4:
Utilizando la primera regla de Simpson calcule el
volumen, considere como dato las áreas dadas.
2
1.5
(0 4(1.5) 2(3) 4(4.5) 6) 18
3
A m
      3
1 2 3
5
( 4 ) (256 4(100) 25) 1135
3 3
s
V A A A m
      

12. 2.2) SEGUNDA REGLA DE SIMPSON: Esta curva asume curvas comprendidas
entre ordenadas de 3° grado, para este caso el número de ordenadas tiene
que ser múltiplo de ሶ
3 + 1.
𝐴 =
3𝑆
8
(𝑌1 + 3𝑌2 + 3𝑌3 + 2𝑌4 + 3𝑌5 + 3𝑌6 … + 𝑌𝑛)
4 ordenadas: A =
3𝑆
8
(𝑌1 + 3𝑌2 + 3𝑌3 + 1𝑌4)
7 ordenadas: 𝐴 =
3𝑆
8
(𝑌1 + 3𝑌2 + 3𝑌3 + 2𝑌4 + 3𝑌5 + 3𝑌6+ 𝑌7)
10 ordenadas: 𝐴 =
3𝑆
8
(𝑌1 + 3𝑌2 + 3𝑌3 + 2𝑌4 + 3𝑌5 + 3𝑌6+ 2𝑌7 + 3𝑌8 + 3𝑌9+ 𝑌10)

13. Ejemplo 5:
Utilizando la segunda regla de
Simpson, calcule el área de la
región rectangular
Resolución:
Ejemplo 6:
Utilizando la segunda regla de
Simpson, calcule el área de la
región triangular
Resolución:
2
3 2
(5 3(5) 3(5) 5) 30
8
x
A m
    
2
3 2
(0 3(2) 3(4) 6) 18
8
x
A m
    

14. 2.3) REGLA 5,8,-1: Se admiten que los tramos son de 2°
𝐴1 =
𝑆
12
(5𝑌2 + 8𝑌3 − 𝑌4)
𝐴2 =
𝑆
12
(5𝑌3 + 8𝑌2 − 𝑌1)
Se le conoce como la regla inglesa

15. Ejemplo 7:
Utilizando la segunda regla de
Simpson calcule el área de la región
rectangular
Resolución:
2
1 1 2 3
2
2 3 2 1
2
1 2
2
4
(5 8 ) (5(4) 8(5) 6) 18
12 12
4
(5 8 ) (5(6) 8(5) 4) 22
12 12
40
4
(4 4(5) 6) 39.99999..... 40
3
T
s
A Y Y Y m
s
A Y Y Y m
A A m
A m
      
      
 
    

16. 𝐴(1,2,3,4) =
𝑆
3
(𝑌
1 + 4𝑌2 + 2𝑌3 + 4𝑌4 + 𝑌5)
Simpson 5 ordenadas
Caso 1:
Un flotador de 38x6 flota al
calado de 2m este flotador tiene
áreas de planos de agua
constantes utilizando Simpson 5
ordenadas . Determine su área
𝟑
𝟐𝟎
Resolución:
𝑨𝟐
𝑨𝟏
𝟐𝟎/𝟒
5 ordenadas
4 partes
Recuerde:
𝟏𝟖/𝟒
𝒙 𝟐
𝒎𝒂𝒏𝒈𝒂

17. 𝑨𝟏
𝑨𝟐
Caso 2:
Un flotador de 60x12 (ver figura
planos de flotación constante).
Determine el área del plano de
flotación. (utilizando Simpson
mínimo 3 ordenadas )
Resolución:
𝐴(1,2) =
𝑆
3
(𝑌
1 + 4𝑌2 + 𝑌3)
Simpson 3 ordenadas
𝟑
𝟑
𝟔
𝟔
𝟒. 𝟓
𝟗 𝟗
𝟏𝟎 𝟏𝟎
𝟏𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟐𝟏

18. Caso 3:
Un flotador de 60x12x6 (ver figura
sección transversal a proa y popa
comenzando de derecha a
izquierda). Determinar el volumen
al calado de 4.5m. (utilizando
Simpson mínimo 5 ordenadas )
Resolución:
𝐴 =
𝑆
2
(𝑌
1 + 𝑌2)
𝑨𝟏 = 39𝒎𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝟎
𝟖
𝐴1 =
1.5
2
(10 + 8) +
1.5
2
(8 + 8) +
1.5
2
(10 + 8)
𝑻𝒓𝒂𝒑𝒆𝒄𝒊𝒐𝒔

19. 𝟖
𝟗
𝟒
𝟔
𝟏𝟎
𝟏𝟓
𝟏𝟓
𝟏𝟓
𝟏𝟓
𝟕
𝟖
𝟗
𝟔
𝟖
𝟏𝟎
𝟖
𝟏𝟐
𝟕
𝟏. 𝟓
𝟏. 𝟓
𝟏. 𝟓
𝟒
𝑨𝟏
𝑨𝟐
𝑨𝟑
𝑨𝟒
𝑨𝟓

20. P𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏
𝐴 =
𝑆
3
(𝑌1 + 4𝑌2 + 2𝑌3 + ⋯ + 2𝑌𝑛−2 + 4𝑌𝑛−1 + 𝑌𝑛)

21. B).GAUSSIANOS:
-MÉTODO DE TCHEBICHEFF:
Para la aplicación naval sólo se acostumbra a utilizar el método de tchebicheff,
donde la distancia de las ordenadas ya no son constantes
Si bien una tabla agregada proporcionada por n ordenadas se aplicará la fórmula
𝐴 =
𝑆
𝑛
(𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + ⋯ + 𝑌𝑛)
𝐴 =
𝐿
5
(𝑌1 + 𝑌2 + 𝑌3 + 𝑌4 + 𝑌5)

22. METODOS APROXIMADOS PARA EL CASO DE
INTEGRACION POLAR
Se usa este método particular para el calculo de cuñas con
inmersión o emersión; en los cálculos de estabilidad a grandes
ángulos

23. En el área del triangulo elemental “QED” resulta
𝐴 𝑂𝐸𝐷 =
𝑟2𝑑𝜃
2
Area total entre los limites 𝜃𝐴 𝑦 𝜃𝐵 sera:
𝐴 𝑂𝐴𝐵 =
1
2
න
𝜃𝐴
𝜃𝐵
𝑟2𝑑𝜃
Y esto nos resulta una integral aproximada(1° Regla de simpson)
𝐴 𝑂𝐴𝐵 =
𝑆𝜃
3
.
1
2
(𝑟0
2
+ 4𝑟1
2
+ 2𝑟2
2
+ 4𝑟3
2
+ 𝑟4
2
)

24. INTEGRACIÓN CON INSTRUMENTOS
PLANIMETRO
INTEGRADOR
INTEGRAFO
COMPUTADORAS ELECTRONICAS

25. GRACIAS