Este documento explica las matrices, su multiplicación y propiedades. Una matriz es una tabla de datos ordenados en filas y columnas. Para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. La multiplicación de matrices no es conmutativa. Algunas propiedades incluyen que la matriz identidad es el neutro de la multiplicación y que la inversa de una matriz cuadrada satisface ciertas ecuaciones.

1. I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L
E S C U E L A S U P E R I O R D E I N G E N I E R Í A T E X T I L
Á L G E B R A L I N E A L
T E M A : M U L T I P L I C A C I Ó N D E M A T R I C E S
A L U M N A : E S T R E L L A B E L E N D E L A C R U Z B A U T I S T A
G R U P O : 1 T M 5
P R O F E S O R A : A D R I A N A S A N D O V A L H E R N Á N D E Z

2. ¿QUÉ ES UNA MATRIZ?
Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos) ordenados en:
• Fila: es cada una de las líneas horizontales de la matriz.
• Columna: es cada una de las líneas verticales.
A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz 𝑚𝑋𝑛.
𝐴𝑛𝑋𝑚 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
⋮
𝑎𝑚3
⋱
⋯
⋮
𝑎𝑚𝑛
←
←
←
←
Filas
de
la
matriz
A
Columnas de la matriz A
Orden

3. • Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento 𝑎𝑖𝑗 o elemento (𝑖𝑗)-
iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.
• Abreviadamente se puede expresar 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices.
• El primero de ellos "𝑖", indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, "𝑗", la columna.
• El orden nos indica el número de filas 𝑛 y columnas (𝑚) que tiene una matriz. En el caso de la matriz cuadrada, con tan
solo indicando el orden de las filas 𝑛 ya sabremos el orden de las columnas 𝑚
Ejemplos:
𝐴 = 2
1
3 4
𝐴 tiene dos filas y dos columnas, así que su orden es (2,2)

4. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Dos matrices son multiplicables sí
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑚,𝑝)
𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 (𝑝,𝑛)
Estos dos elementos (𝑝) deben ser iguales para poder multiplicarse, es decir; si el número de columnas de 𝐴 coincide con
el número de filas de 𝐵.
Entonces:
𝐴 =
2 −3 0 1
5
4
−1 3 2
0 0 3 (3,4)
𝐵 =
2
5
6 (3,1)
En este caso "𝑝“ de 𝐴 y "𝑝“ de 𝐵 no son iguales por lo que no se puede realizar la multiplicación.

5. • 𝐷 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 (1,4) 𝐸 =
𝑦1
𝑦2
𝑦3
𝑦4 (4,1)
En este caso "𝑝“ de 𝐷 y "𝑝“ de 𝐸 son iguales por lo que se procede a realizar la multiplicación.
Se multiplica 𝑥1 POR 𝑦1, MÁS 𝑥2 POR 𝑦2, MÁS 𝑥3 POR 𝑦3, Más 𝑥4 POR 𝑦4 resultando de la siguiente manera:
𝐷 𝐸 = [𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 + 𝑥3𝑦3 + 𝑥4𝑦4]
LO PRIMERO QUE DEBE HACERSE PARA RESOLVER UNA MULTIPLICACIÓN ES VERIFICAR QUE SEAN COMPATIBLES.
DESPUÉS SE MULTIPLICA LA PRIMEA FILA DE 𝐴 POR LA PRIMERA COLUMNA DE 𝐵
SUMANDOSE LOS RESULTADOS COMO EN LA RESULTANTE DE ARRIBA.

6. EJEMPLOS (EJERCICIOS RESUELTOS EN CLASE)
1. 𝐴 =
1 −2 −5
3 4 0 2,3
𝐵 =
2 −1
1 0
−3 4 (3,2)
𝐴𝐵 =
1 2 + −2 1 + (−5)(−3)
3 2 + 4 1 + 0(−3)
𝐴𝐵 =
1 −1 + −2 0 + (−5)(4)
3 −1 + 4 0 + 0(4)
𝐴𝐵 =
15 −21
10 −3 (2,2)

7. 2. 𝐶 =
1 −1 2
0 3 4 (2,3)
𝐷 =
2 −3 0 1
5 −1 −4 2
−7 0 0 3 (3,4)
𝐶𝐷 =
1 2 + −1 5 + 2(−7)
0 2 + 3 5 + 4(−7)
𝐶𝐷 =
1 −3 + −1 (−1) + 2(0)
0 −3 + 3 −1 + 4(0)
𝐶𝐷 =
1 0 + −1 (−4) + 2(0)
0 0 + 3 −1 + 4 0
𝐶𝐷 =
1 1 + −1 2 + 2(3)
0 1 + 3 2 + 4(3)
𝐶𝐷 =
−17 −2
−13
4
−3
−3
5
18 (4,2)

8. 3. 𝐸 =
2 −3 0 1
3
0
2
1
1
1
0
1 (3,4)
𝐹 =
2
5
6 (3,1)
ESTA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES NO SE PUEDE REALIZAR PUES el número de columnas de 𝐸 NO coincide con
el número de filas de 𝐹.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
•El producto de matrices no es conmutativo. Es decir, el producto de matrices A⋅BA·B suele ser distinto del producto B⋅AB·A.
•De hecho, si las matrices AA y BB no son cuadradas, alguno de los dos productos no se puede calcular.
•La matriz identidad II (de dimensión adecuada) es el neutro del producto matricial. Es decir, para toda
matriz AA, I⋅A=AI·A=A y A⋅I=AA·I=A.
•Si el producto de dos matrices es 00, no significa que necesariamente una de las dos matrices sea la matriz nula (matriz de ceros).
•Para algunas matrices cuadradas, AA, existe una matriz llamada inversa, A−1A−1, tal que los productos A⋅A−1A·A−1 y A−1⋅AA−1·A son
iguales a la matriz identidad.

9. CONCLUSIÓN
• En otras palabras, la multiplicación de dos matrices es unificar las matrices en una sola matriz mediante la multiplicación y
suma de los elementos de las filas y columnas de las matrices origen teniendo en cuenta el orden de los factores.

10. BIBLIOGRAFÍA
• https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/11d.-ALGEBRA-DE-MATRICES-4.pdf
• https://economipedia.com/definiciones/matriz-
cuadrada.html#:~:text=El%20orden%20nos%20indica%20el,de%20las%20columnas%20(m).
• https://economipedia.com/definiciones/multiplicacion-de-matrices.html
• ÁPUNTES DE LA CLASE DE ÁLGEBRA LINEAL