3. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio.
Expresiones algebraicas
4. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Expresiones algebraicas
5. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Si queremos ordenar x pizzas, el costo total está dado
por la fórmula “80x + 10”.
Expresiones algebraicas
6. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Si queremos ordenar x pizzas, el costo total está dado
por la fórmula “80x + 10”.
Esta fórmula es una expresión.
Expresiones algebraicas
7. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Si queremos ordenar x pizzas, el costo total está dado
por la fórmula “80x + 10”.
Esta fórmula es una expresión.
Expresiones algebraicas
Si ordenáramos x = 100 pizzas, el costo sería
80(100)+10 = $8010.
8. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Si queremos ordenar x pizzas, el costo total está dado
por la fórmula “80x + 10”.
Esta fórmula es una expresión.
Expresiones algebraicas
Las expresiones matemáticas son procedimiento de
cálculos escritos con números, variables,
operaciones, símbolos +, –, *, / y ( )’s.
Si ordenáramos x = 100 pizzas, el costo sería
80(100)+10 = $8010.
9. Ordenamos pizzas de Pizza Planet.
Cada pizza cuesta $80 y hay un cargo de $10 por
entrega a domicilio. Por lo tanto si ordenamos 5
pizzas, el costo total será 80(5) + 10 = $410, sin incluir
propina.
Si queremos ordenar x pizzas, el costo total está dado
por la fórmula “80x + 10”.
Esta fórmula es una expresión.
Expresiones algebraicas
Las expresiones matemáticas son procedimiento de
cálculos escritos con números, variables,
operaciones, símbolos +, –, *, / y ( )’s.
Las expresiones predicen resultados.
Si ordenáramos x = 100 pizzas, el costo sería
80(100)+10 = $8010.
10. Una expresión algebráica es una fórmula construida
con variables y números mediante el uso de suma,
resta, multiplicación, división y potenciación.
Expresiones algebráicas
Algunos ejemplos de expresiones algebráicas son
3x2 – 2x + 4,
x2 + 3
3 x3 – 2x – 4
,
(x1/2 + y)1/3
(4y2 – (x + 4)1/2)1/4
Algunos ejemplos de expresiones no algebráicas son
sin(x), 2x, log(x + 1).
A las expresiones algebráicas de la forma
anxn + an–1xn–1...+ a1x + a0 donde cada ai es un
número, se les llama polinomios (en x).
A las expresiones algebráicas de la forma donde
P y Q son polinomios, se les llama expresiones
racionales.
P
Q
11. Expresiones polinómicas
Los siguientes son ejemplos de operaciones con
expresiones polinómicas y racionales.
Ejemplo A. Expande y simplifica.
(2x – 5)(x +3) – [(3x – 4)(x + 5)]
= 2x2 + x – 15 – [3x2 + 11x – 20]
= 2x2 + x – 15 – 3x2 – 11x + 20
= –x2 – 10x + 5
A3 B3 = (A B)(A2 AB + B2)
Algunos productos notables:
Factorizar una expresión
consiste en expresarla como un
producto no trivial.
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
+–
+– +–
(2x – 5)(x +3) – (3x – 4)(x + 5)
= (2x – 5)(x +3) + (–3x + 4)(x + 5)
= …
O distribuye el signo y trabaja
con un problema de suma:
12. Ejemplo B. Factoriza 64x3 + 125
64x3 + 125
= (4x)3 + (5)3
= (4x + 5)((4x)2 – (4x)(5) +(5)2)
= (4x + 5)(16x2 – 20x + 25)
Factorizamos polinomios por los siguientes objetivos.
I. Es más fácil evaluarlos o comprobar el signo del
resultado usando la forma factorizada del polinomio.
II. Para simplificar o realizar operaciones algebraicas
con expresiones racionales.
III. Para resolver ecuaciones (Siguiente sección).
A3 B3 = (A B)(A2 AB + B2)+– +
–+–
Expresiones polinómicas
13. Ejemplo C. Evalúa 2x3 – 5x2 + 2x para x = –2, –1, 3
factorizando el polinomio.
2x3 – 5x2 + 2x = x(2x2 – 5x + 2)
= x(2x – 1)(x – 2)
Evaluando x = –2:
–2 [2(–2) – 1] [(–2) – 2] = –2 [–5] [–4] = –40
Evaluando x = –1:
–1 [2(–1) – 1] [(–1) – 2] = –1 [–3] [–3] = –9
Evaluando x = 3:
3 [2(3) – 1] [(3) – 2] = 3 [5] [1] = 15
Evaluar expresiones polinómicas
Es más fácil evaluar expresiones polinómicas
factorizadas. Toma menos pasos que evaluar el
valor directamente en la expresión original.
14. Ejemplo D. Determina si el resultado es + o –
para x2 – 2x – 3 si x = –3/2.
x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1). Entonces para x = –3/2,
obtenemos (–3/2 – 3)(–3/2 + 1) y (–)(–) = +
.
Determinar el signo del resultado.
Expresiones racionales
Decimos que una expresión racional está factorizada
si el numerador y el denominador están factorizados.
Ejemplo E. Factoriza
x2 – 1
x2 – 3x+ 2
x2 – 1
x2 – 3x+ 2
=
(x – 1)(x + 1)
(x – 1)(x – 2)
está factorizada.
Es mas fácil determinar el signo del resultado al
evaluar una expresión si se factoriza primero.
15. Expresiones racionales
Factorizamos expresiones racionales con el fin de
reducirlas, multiplicarlas o dividirlas entre sí.
Ejemplo F. Reduce x2 – 1
x2 – 3x+ 2
x2 – 1
x2 – 3x+ 2 =
(x – 1)(x + 1)
(x – 1)(x – 2)
x*y
x*z =
x*y
x*z =
y
z
Decimos que una expresión racional que no puede
ser cancelada está en su forma reducida.
= (x + 1)
(x – 2)
factoriza
Regla de cancelación: Dada una expresión racional
factorizada, se pueden cancelar factores comunes,
es decir
16. Regla de la
multiplicación:
Para llevar a cabo estas operaciones, factoriza las
expresiones y cancela tanto como sea posible.
P
Q
R
S
* = P*R
Q*S
Regla de la división:
P
Q
R
S
÷ = P*S
Q*R
Recíproco
Ejemplo G. Simplifica (2x – 6)
(y + 3) ÷
(y2 + 2y – 3)
(9 – x2)
(2x – 6)
(y + 3) ÷
(y2 + 2y – 3)
(9 – x2)
=
(2x – 6)
(y + 3)
(y2 + 2y – 3)
(9 – x2)*
=
2(x – 3)
(y + 3)
(y + 3)(y – 1)
(3 – x)(3 + x)*
–1 1
=
–2(y – 1)
(x + 3)
Expresiones racionales
17. Usamos el mínimo común denominador (mcd):
I. para sumar o restar expresiones racionales
Ejemplo H: Resuelve
7
12
5
8
+ –
16
9
Puesto que el
mcd es 48, ( )*
48
67
12
5
8
+ –
16
94 3
=
Sumar expresiones racionales (Método mcd):
Para sumar o restar (F ± G),
multiplica (F ± G)* mcd/mcd, expande (F ± G)* mcd
y simplifica (F ± G)(mcd) / mcd.
48 28 + 30 – 27
48
=
48
31
II. para simplificar fracciones complejas
III. para resolver ecuaciones racionales (mas adelante)
Expresiones racionales
18. –
(y2 + 2y – 3)(y2 + y – 2)
2y – 1 y – 3
y2 + y – 2 = (y – 1)(y + 2)
y2 + 2y – 3 = (y – 1)(y + 3)
Por lo tanto el mcd es (y – 1)(y + 2)(y + 3),
multiplicando mcd/mcd (= 1), expandiendo
–
(y2 + 2y – 3)(y – 1)(y + 2)
2y – 1 y – 3[ ](y – 1)(y + 2)(y + 3)
= (2y – 1)(y + 3) – (y – 3)(y + 2) = y2 + 6y + 3
Así que –
(y2 + 2y – 3)(y2 + y – 2)
2y – 1 y – 3
=
y2 + 6y + 3
(y – 1)(y + 2)(y + 3)
(y + 3) (y + 2)
Ejemplo I. Resuelve
mcd
mcdmcd
y simplificando,
Expresiones racionales
19. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:El mcd es 12.
Expresiones racionales
20. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
El mcd es 12.
Expresiones racionales
21. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
Expresiones racionales
22. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12
Expresiones racionales
23. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12 4
Expresiones racionales
24. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12 4 6
Expresiones racionales
25. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12 4 6
3 4
Expresiones racionales
26. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12 4 6
3 4
= 3
4 – 18
– 8
Expresiones racionales
27. Ejemplo J. Simplifica
–3
1
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
2
3
Los términos fraccionarios son
–4
1
3
2
3
1
2
3
4
1
3
2
.,,,
Multiplicando 12/12 (ó 1) al problema:
–3
1
2
3
–4
1
3
2
( )
)(
12
12
=
El mcd es 12.
–3
1
2
3
–4
1
3
2
*12
*12 *12
*12 4 6
3 4
= 3
4 – 18
– 8 = 14
5
Expresiones racionales
28. Ejemplo K. Simplifica
–
(x – h)
1
(x + h)
1
2h
Multiplica arriba y abajo por (x – h)(x + h) para reducir a
polinomios la expresión en los numeradores.
–
(x – h)
1
(x + h)
1
2h
=
–
(x – h)
1
(x + h)
1
2h
(x + h)(x – h)[ ]
(x + h)(x – h)*
=
–(x + h) (x – h)
2h(x + h)(x – h)
=
2h
2h(x + h)(x – h)
=
1
(x + h)(x – h)
Expresiones racionales
Una fracción compleja es una fracción de fracciones.
Para simplificar una fracción compleja, utilizamos el
mcd para eliminar los denominadores de todas las
fracciones.
30. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
31. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
32. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
33. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
34. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
(x + h) – (x) = h
35. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
=
h
h
(x + h + x)
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
(x + h) – (x) = h
36. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
(x + h) – (x) = h
37. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
=
h
h
(x + h + x)
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
(x + h) – (x) = h
38. Para racionalizar radicales utilizamos la fórmula
(x – y)(x + y) = x2 – y2.
(x + y) y (x – y) son llamados conjugados.
Racionalizar radicales
h
x + h – x
= h
(x + h – x) (x + h + x)
(x + h + x)
*
=
h
(x + h)2 – (x)2
(x + h + x)
=
h
h
(x + h + x)
=
1
x + h + x
Ejemplo K: Racionaliza el numerador h
x + h – x
(x + h) – (x) = h
39. Ejercicio A. Factoriza cada expresión y evalúala en los
valores dados. Sin calculadora.
Aplicaciones
1. x2 – 3x – 4, x = –2, 3, 5 2. x2 – 2x – 15, x = –1, 4, 7
3. x2 – x – 2, x = ½ ,–2, –½ 4. x3 – 2x2, x = –2, 2, 4
5. x4 – 3x2, x = –1, 1, 5 6. x3 – 4x2 – 5x, x = –4, 2, 6
B. Utilizando la forma factorizada, determina si el resultado
al evaluar cada expresión es positivo o negativo.
7.
x2 – 4
x + 4
8. x3 – 2x2
x2 – 2x + 1
, x = –3, 1, 5 , x = –0.1, 1/2, 5
4.
x2 – 4
x + 4 5. x2 + 2x – 3
x2 + x
6. x3 – 2x2
x2 – 2x + 1
, x = –3.1, 1.9 , x = –0.1, 0.9, 1.05
, x = –0.1, 0.99, 1.01
1. x2 – 3x – 4, x = –2½, –2/3, 2½, 5¼
2. –x2 + 2x + 8, x = –2½, –2/3, 2½, 5¼
3. x3 – 2x2 – 8x, x = –4½, –3/4, ¼, 6¼,
