Modulo 1: Análisis Matemático de la Optimización

Matemática de la Optimización Muchas teorías económicas empiezan con el supuesto de que un agente económico quiere encontrar el valor óptimo de alguna función consumidores buscan maximizar utilidad empresas buscan maximizar utilidad Este capítulo introduce a las matemáticas que se emplean en estos problemas

Maximización de una función de una variable Ejemplo: Administrador de una firma desea maximizar beneficios  = f(q)  Cantidad Utilidad máxima  * ocurre en q *  * q*

Maximización de una función de una variable El admimistrador posiblemente intentará variar q para ver dónde se obtienen los beneficios máximos un incremento de q 1 a q 2 produce un aumento en   = f(q)  Cantidad  * q*  1 q 1  2 q 2

Maximización de una función de una variable Si el producto se incrementa más alla de q*, las utilidades disminuirán un incremento de q * a q 3 conduce a una caída en   = f(q)  Cantidad  * q*  3 q 3

Derivadas La derivada de  = f(q) es el límite de  /  q para cambios muy pequeños en q El valor de este ratio depende del valor de q 1

Valor de una derivada en un punto La evaluación de la derivada en el punto q = q 1 puede ser denotado En nuestros ejemplos previos,

Condición de primer orden para un máximo Para que una función de una variable to alcance su valor máximo en algún punto, la derivada en ese punto debe ser cero

Condiciones de segundo orden La condición de primer orden ( d  / dq ) es una condición necesaria para un máximo, pero no es una condición suficiente  Cantidad Si la función de utilidad tuviese forma de u, con la condición de primer orden se obtendría q * donde  se minimizaría  * q*

Condiciones de segundo orden Esto puede significar que para que q * sea un óptimo, y Por lo tanto, en q *, d  / dq debe ser decreciente

Segundas derivadas La derivada de una derivada se denomina segunda derivada La segunda derivada puede denotarse por

Condiciones de segundo orden La condición de segundo orden para un máximo (local) es

Reglas para hallar derivadas un caso especial de esta regla es de x / dx = e x

Reglas para hallar derivadas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son dos funciones de x y f’ ( x ) y g’ ( x ) existe Entonces

Reglas para hallar derivadas Si y = f ( x ) y x = g ( z ) y si existen f’ ( x ) y g’ ( x ), entonces: Se denomina la regla de la cadena . La regla de la cadena nos permite estudiar cómo una variable ( z ) afecta otra variable ( y ) a través de su influencia sobre alguna variable intermedia ( x )

Reglas para hallar derivadas Algunos ejemplos de la regla de la cadena incluyen

Ejemplo de maximización de utilidad Suponga que la relación entre utilidad y producto es  = 1,000 q - 5 q 2 La condición de primer orden para un máximo es d  / dq = 1,000 - 10 q = 0 q * = 100 Dado que la segunda derivada es siempre -10, q = 100 es un máximo global

Funciones de varias variables La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de varias variables existen trade-offs (disyuntivas) La dependencia de una variable ( y ) sobre una serie de otras variables ( x 1 , x 2 ,…, x n ) se denota por

La derivada parcial de y con respecto a x 1 se denota por Derivadas Se entiende que al calcular una derivada parcial, todas las demás x ’s se mantienen constantes

Una definición más formal de la derivada parcial es Derivadas parciales

Calculando derivadas parciales

Derivadas parciales Las derivadas parciales son la expresión matemática del supuesto ceteris paribus muestra cómo los cambios en una variable afectan algunos resultados cuando otras influencias se mantienen constantes

Derivadas parciales Debemos tener en cuenta cómo están medidas las variables Si q representa la cantidad de gasolina demandada (medida en billones de litros) y p representa el precio en dólares por litro, entonces  q /  p medirá el cambio en la demanda (en billones de litros por año) para un cambio en el precio de un dólar por litro

Elasticidad Las elasticidades miden el efecto proporcional del cambio en una variable sobre otra La elasticidad de y con respecto a x es

Elasticidad y forma funcional Suponga que y = a + bx + otros términos En este caso, e y,x no es constante es importante notar el punto en el cual la elasticidad va a ser computada

Elasticidad forma funcional Supongamos que y = ax b En este caso,

Elasticidad y forma funcional Supongamos que ln y = ln a + b ln x En este caso, Las elasticidades pueden calcularse a través de la diferenciación logarítmica

Derivada parcial de segundo-orden La derivada parcial de una derivada parcial se denomina derivada parcial de segundo-orden

Teorema de Young Bajo condiciones generales, no importa el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden

Uso de las parciales de segundo-orden Las parciales de segundo-orden juegan un papel importante en muchas teorías económicas Una de las más importantes es la parcial de segundo orden de la misma variable, f ii muestra cómo la influencia marginal de x i sobre y (  y /  x i ) cambia a medida que se incrementa x i un valor de f ii < 0 indica rendimiento maginal decreciente

Diferencial total Supongamos que y = f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) Si todas las x ’s varían en una pequeña cantidad, el efecto total sobre y será

Condición de primer orden para un máximo (o mínimo) Una condición necesaria para un máximo (o mínimo) de la función f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) es que dy = 0 para cualquier combinación de cambios pequeños en las x ’s La única forma de que esto sea cierto es si Un punto en el que esta condición se verifica se denomina punto crítico

Encontrar un máximo Supongamos que y es una función de x 1 y x 2 y = - ( x 1 - 1) 2 - ( x 2 - 2) 2 + 10 y = - x 1 2 + 2 x 1 - x 2 2 + 4 x 2 + 5 Condiciones de primer orden implican que O

Frontera de posibilidades de producción Ejemplo anterior: 2 x 2 + y 2 = 225 Puede re-escribirse: f ( x , y ) = 2 x 2 + y 2 - 225 = 0 Dado que f x = 4 x y f y = 2 y, la disyuntiva de coste de oportunidad entre x e y es

Teorema de la función implícita No siempre será posible resulver funciones implícitas de la forma g ( x , y )=0 para funciones explícitas de la forma y = f ( x ) los matemáticos han derivado las condiciones necesarias en muchas aplicaciones económicas, estas condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o mínimo)

El teorema de la envolvente El teorema de la envolvente considera cómo el valor óptimo de una función en particular cambia cuando un parámetro de esa función cambia La forma más simple de verlo es mediante un ejemplo

El teorema de la envolvente Supongamos que y es una función de x y = - x 2 + ax Para valores diferentes de a , esta función representa una familia de parábolas invertidas Si a a asignamos un valor específico, entonces y es una función de x solamente y el valor de x que maximiza y puede calcularse

El teorema de la envolvente Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a

El teorema de la envolvente A medida que a aumenta, el valor máximo de for y ( y *) se incrementa La relación entre a e y es cuadrática

El teorema de la envolvente Supongamos que estamos interesados en cómo y * cambia a medida que a cambia Hay dos formas de hacer esto calculamos la pendiente de y directamente mantenemos x constante en su valor óptimo y calculamos  y /  a directamente

El teorema de la envolvente Para calcular la pendiente de la función, debemos resolver para el valor óptimo de x para cualquier valor de a dy/dx = -2 x + a = 0 x * = a /2 Sustituyendo, obtenemos y * = -( x *) 2 + a ( x *) = -( a /2) 2 + a ( a /2) y * = - a 2 /4 + a 2 /2 = a 2 /4

El teorema de la envolvente Por lo tanto, dy * /da = 2 a /4 = a /2 = x * Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el teorema de la envolvente Para cambios pequeños en a , dy */ da puede ser computado manteniendo x en x * y calculando  y /  a directamente de y

El teorema de la envolvente  y /  a = x Manteniendo x = x *  y /  a = x * = a /2 Es el mismo resultado obtenido anteriormente

El teorema de la envolvente El teorema de la envolvente afirma que el cambio en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de la función puede ser encontrado diferenciando parcialmente la función objectivo mientras se mantiene constante x (o varias x ’s) en este valor óptimo

El teorema de la envolvente El teorema de la envolvente puede extenderse al caso donde y es una función de varias variables y = f ( x 1 ,… x n , a ) Encontrar un valor óptimo para y consistiría en resolver n ecuaciones de primer orden  y /  x i = 0 ( i = 1,…, n )

El teorema de la envolvente Valores óptimos para estas x ’s se determinarían como una función de a x 1 * = x 1 *( a ) x 2 * = x 2 *( a ) x n *= x n *( a ) . . .

El teorema de la envolvente Sustituyendo en la función objectivo original resulta en una expresión para el valor óptimo de y ( y *) y * = f [ x 1 *( a ), x 2 *( a ),…, x n *( a ), a ] Diferenciando resulta

El teorema de la envolvente Debido a las condiciones de primer orden, todos los términos excepto  f /  a son iguales a cero si las x ’s están en sus valores óptimos Por lo tanto,

Maximización restringida ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de las x ’s? puede ser que todos los valores de x tengan que ser positivos las elecciones de los consumidores están limitadas por la cantidad de poder adquisitivo disponible Un método para resolver problemas de maximización restringidas es el método del multiplicador Lagrangiano

Método del multiplicador Lagrangiano Supongamos que queremos encontrar los valores de x 1 , x 2 ,…, x n que maximizan y = f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) sujeta a una restricción que permite utilizar sólo ciertos valores de las x ’s g ( x 1 , x 2 ,…, x n ) = 0

Método del multiplicador Lagrangiano El método del multiplicador Lagrangiano comienza con la siguiente expresión L = f ( x 1 , x 2 ,…, x n ) +  g ( x 1 , x 2 ,…, x n ) donde  es una variable adicional denominada multiplicador de Lagrange Cuando la restricción se mantiene, L = f porque g ( x 1 , x 2 ,…, x n ) = 0

Método del multiplicador Lagrangiano Condiciones de primer orden  L /  x 1 = f 1 +  g 1 = 0  L /  x 2 = f 2 +  g 2 = 0  L /  = g ( x 1 , x 2 ,…, x n ) = 0 .  L /  x n = f n +  g n = 0 . .

Método del multiplicador Lagrangiano Generalmente las condiciones de primer orden pueden resolverse para x 1 , x 2 ,…, x n y  La solución tendrá dos propiedades: las x ’s cumplirán con la restricción estas x ’s harán del valor de L (y por lo tanto de f ) tan grande como sea posible

Método del multiplicador Lagrangiano El multiplicador Lagrangiano (  ) tiene una importante interpretación económica Las condiciones de primer orden implican que f 1 /- g 1 = f 2 /- g 2 =…= f n /- g n =  los numeradores miden el beneficio marginal que una unidad más de x i tendrán para la función f los denominadores reflejan la carga agregada sobre la restricción de utilizar más x i

Método del multiplicador Lagrangiano En las elecciones óptimas para las x ’s, el ratio del beneficio marginal de incrementar x i y el coste marginal de incrementar x i sería el mismo para cada x  es el ratio común de coste-beneficio para todas las x’s

Método del multiplicador Lagrangiano Si se relajase la restricción en una pequeña cantidad, no importaría que x está cambiando El multiplicador Lagrangiano provee una medida de cómo la relajación dela restricción afectaría el valor de y  provee un “precio sombra” para la restricción

Método del multiplicador Lagrangiano Un valor alto de  indica que y puede incrementarse sustancialmente relajando la restricción cada x tiene un alto ratio coste-benecio Un valor bajo de  indica que no hay mucho que ganar al relajar la restricción  =0 implica que la restricción no es vinculante (cambiando la restricción no cambia la solución óptima)

Dualidad Cualquier problema de maximización restringida está vinculado con un problema dual de minimización restringida que enfoca la atención sobre las restricciones del problema original

Dualidad Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una restricción presupuestaria problema dual: los individuos minimizan el gasto necesario para lograr un nivel dado de utilidad Las firmas minimizan el coste de los insunmos para producir un nivel dado de producto problema dual: las firmas maximizan el producto para costes de insumos adquiridos

Maximización restringida Supongamos que un agricultor tiene cierta extensión de valla ( P ) y desea encerrar la forma rectangular más grande posible Denotemos x como la extensión de un lado Denotemos y como la extensión del otro lado Problema: escoger x e y tal que se maximiza el área ( A = x·y ) sujeta a la restricción de que el perímetro es fijo en P = 2 x + 2 y

Maximización restringida Configurando el multiplicador Lagrangiano L = x·y +  ( P - 2 x - 2 y ) Las condiciones de primer orden para un máximo son  L /  x = y - 2  = 0  L /  y = x - 2  = 0  L /  = P - 2 x - 2 y = 0

Maximización restringida Dado que y /2 = x /2 =  , x debe ser igual a y el campo sería cuadrado x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios marginales y costes marginales serían iguales Dado que x = y e y = 2  , podemos utilizar la restricción para mostrar que x = y = P /4  = P /8

Maximización restringida Interpretación del multiplicador de Lagrange si el agricultor estuviese interesado en conocer qué campo adicional puede tener valla agregando un metro adicional de valla,  sugiere que puede saberlo dividiendo el perímetro presente ( P ) por 8 por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee información acerca del valor implícito de la restricción

Maximización restringida Problema dual: escoger x e y para minimizar la cantidad de valla requirida para rodear el campo minimizar P = 2 x + 2 y sujeta a A = x · y Configurando el Lagrangiano: L D = 2 x + 2 y +  D ( A - x  y )

Maximización restringida Conditiones de primer orden:  L D /  x = 2 -  D · y = 0  L D /  y = 2 -  D · x = 0  L D /  D = A - x · y = 0 Resolviendo, tenemos x = y = A 1/2 El multiplicador Lagrangiano (  D ) = 2 A -1/2

Teorema de la envolvente & maximización restringida Supongamos que queremos maximizar y = f ( x 1 ,…, x n ;a) sujeta a la restricción g ( x 1 ,…, x n ; a ) = 0 Una forma de resolver sería fijando la expresión para el Lagrangiano y resolver las condiciones de primer orden

Teorema de la envolvente & Maximización restringida Alternativamente, puede demostrarse que d y */d a =  L /  a ( x 1 *,…, x n *; a ) El cambio en el valor máximo de y que resulta cuando a cambia puede encontrarse diferenciando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo

Restricciones con desigualdad En algunos problemas económicos no necesitamos que las restricciones se cumplan exactamente Por ejemplo, supongamos que buscamos maximizar y = f ( x 1 , x 2 ) sujeta a g ( x 1 , x 2 )  0, x 1  0, and x 2  0

Restricciones con desigualdad Una forma de resolver este problema es introduciendo tres nuevas variables ( a , b , y c ) que convierte las desigualdades en igualdades Para asegurar que se cumplen las desigualdades, elevamos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son positivos

Restricciones con desigualdad g ( x 1 , x 2 ) - a 2 = 0; x 1 - b 2 = 0; and x 2 - c 2 = 0 Cualquier solución que obedece estas tres restricciones de igualdad también cumplirán con las restricciones de desigualdad

Restricciones de desigualdad Podemos establecer el siguente Lagrangiano L = f ( x 1 , x 2 ) +  1 [ g ( x 1 , x 2 ) - a 2 ] +  2 [ x 1 - b 2 ] +  3 [ x 2 - c 2 ] Con lo cual obtendremos ocho condiciones de primer orden

Restricciones de desigualdad  L /  x 1 = f 1 +  1 g 1 +  2 = 0  L /  x 2 = f 1 +  1 g 2 +  3 = 0  L /  a = -2a  1 = 0  L /  b = -2 b  2 = 0  L /  c = -2 c  3 = 0  L /  1 = g(x 1 ,x 2 ) - a 2 = 0  L /  2 = x 1 - b 2 = 0  L /  3 = x 2 - c 2 = 0

Restricciones de desigualdad De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o  1 = 0 si a = 0, la restricción g ( x 1 , x 2 ) se cumple exactamente si  1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0 Similares relaciones de complementariedad de holguras (formadas por el conjunto de las restricciones de menor o igual multiplicadas por su correspondiente  ) también se cumplen para x 1 y x 2

Restricciones de desigualdad A estos resultados se los conoce como las condiciones de Kuhn-Tucker muestran que las soluciones para problemas de optimización que involucran a restricciones con desigualdades diferirán de problemas similares que involucran restricciones con igualdades no podemos equivocarnos trabajando principalmente con restricciones con igualdades, hay que considerar las desigualdades

Condiciones de segundo orden – funciones de una variable Denotemos y = f ( x ) Una condición necesaria para un máximo es que d y /d x = f ’( x ) = 0 Para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para los movimientos fuera de él

Condiciones de segundo orden- funciones de una variable La diferencial total mide el cambio en y dy = f ’( x ) dx Para estar en un máximo, dy debe ser decreciente para incrementos pequeños en x Para ver los cambios en dy , debemos utilizar la segunda derivada de y

Condiciones de segundo orden – funciones de una variable Notemos que d 2 y < 0 implica que f ’’( x ) dx 2 < 0 Dado que dx 2 debe ser positivo, f ’’( x ) < 0 Esto significa que la función f debe tener una forma cócava en el punto crítico

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables Supongamos que y = f ( x 1 , x 2 ) Las condiciones de primer orden para un máximo son  y /  x 1 = f 1 = 0  y /  x 2 = f 2 = 0 Para asegurar que el punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección fuera del punto crítico

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables La pendiente en la dirección x 1 ( f 1 ) debe ser decreciente en el punto crítico La pendiente en la dirección x 2 ( f 2 ) debe ser decreciente en el punto crítico Pero, se deben establecer condiciones sobre las derivadas parciales cruzadas ( f 12 = f 21 ) para asegurar que dy es decreciente para todos los movimientos a través del punto crítico

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables La diferencial total de y está dado por dy = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 La diferencial de esta función es d 2 y = ( f 11 dx 1 + f 12 dx 2 ) dx 1 + ( f 21 dx 1 + f 22 dx 2 ) dx 2 d 2 y = f 11 dx 1 2 + f 12 dx 2 dx 1 + f 21 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2 Por el teorema de Young, f 12 = f 21 y d 2 y = f 11 dx 1 2 + 2 f 12 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2

Condiciones de segundo orden- funciones de dos variables d 2 y = f 11 dx 1 2 + 2 f 12 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2 Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa para cualquier cambio en las x’s, f 11 y f 22 deben ser negativas Si dx 2 = 0, entonces d 2 y = f 11 dx 1 2 para d 2 y < 0, f 11 < 0 Si dx 1 = 0, entonces d 2 y = f 22 dx 2 2 para d 2 y < 0, f 22 < 0

Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables d 2 y = f 11 dx 1 2 + 2 f 12 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2 Si ni dx 1 o dx 2 son cero, entonces d 2 y será sin ambi güe dad negativo sólo si f 11 f 22 - f 12 2 > 0 las derivadas parciales de segundo orden ( f 11 y f 22 ) deben ser suficientemente negativas tal que compensan cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas parciales cruzadas ( f 12 = f 21 )

Maximización restringida Supongamos que queremos escoger x 1 y x 2 para maximizar y = f ( x 1 , x 2 ) Sujeta a la restricción linear c - b 1 x 1 - b 2 x 2 = 0 Podemos establecer el Lagrangiano L = f ( x 1 , x 2 ) +  ( c - b 1 x 1 - b 2 x 2 )

Maximización restringida Las condiciones de primer orden son f 1 -  b 1 = 0 f 2 -  b 2 = 0 c - b 1 x 1 - b 2 x 2 = 0 Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la diferencial total de “segundo” orden d 2 y = f 11 dx 1 2 + 2 f 12 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2

Maximización restringida Sólo los valores de x 1 y x 2 que satisfacen la restricción pueden ser consideradas como alternativas válidas para el punto crítico Por ello, debemos calcular la diferencial total de la restricción - b 1 dx 1 - b 2 dx 2 = 0 dx 2 = -( b 1 / b 2 ) dx 1 Estos son los cambios relativos permitidos en x 1 y x 2

Maximización restringida Debido a las condiciones de primer orden que implican que f 1 / f 2 = b 1 / b 2 , podemos sustituir y obtener dx 2 = -( f 1 / f 2 ) dx 1 Dado d 2 y = f 11 dx 1 2 + 2 f 12 dx 1 dx 2 + f 22 dx 2 2 podemos sustituir dx 2 y tenemos d 2 y = f 11 dx 1 2 - 2 f 12 ( f 1 / f 2 ) dx 1 2 + f 22 ( f 1 2 / f 2 2 ) dx 1 2

Maximización restringida Combinando términos y reordenando d 2 y = f 11 f 2 2 - 2 f 12 f 1 f 2 + f 22 f 1 2 [ dx 1 2 / f 2 2 ] Por lo tanto, para d 2 y < 0, debe ser cierto que f 11 f 2 2 - 2 f 12 f 1 f 2 + f 22 f 1 2 < 0 Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones denominadas funciones cuasi-cóncavas cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar una línea introducida completamente en el conjunto

Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas Las diferencias entre las funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la función y = f ( x 1 , x 2 ) = ( x 1  x 2 ) k donde las x ’s pueden tomar solamente valores positivos y k puede tomar una variedad de valores positivos

Funciones cóncavas y cuasi-cóncavas No importa que valores toma k , esta función es cuasi-cóncava Si la función es cóncava o no depende del valor de k si k < 0.5, la función es cóncava si k > 0.5, la función es convexa

Funciones homogéneas Una función f ( x 1 , x 2 ,… x n ) es homogénea de grado k si f ( tx 1 , tx 2 ,… tx n ) = t k f ( x 1 , x 2 ,… x n ) cuando una función es homogénea de grado uno, duplicando todos los argumentos duplica el valor de la función cuando una función es homogéna de grado cero, duplicando todos los argumentos deja la función sin cambios

Funciones homogéneas Si una función es homogénea de grado k , las derivadas parciales de la función será homogénea de grado k -1

Teorema de Euler Si diferenciamos la definición de homogeneidad con respecto a la proporcionalidad del factor t , obtenemos kt k -1 f ( x 1 ,…, x n )  x 1 f 1 ( tx 1 ,…, tx n ) + … + x n f n ( x 1 ,…, x n ) Esta relación se denomina teorema de Euler

Teorema de Euler El teorema de Euler muestra que, para funciones homogéneas, hay una relación definida entre los valores de la función y los valores de sus derivadas parciales

Funciones homotéticas Una función homotética es una que se forma tomando una transformación monotónica de una función homogénea no tienen las propiedades de homogeneidad de sus funciones subyacentes

Funciones homotéticas Tanto para funciones homogéneas como para las homotéticas, las disyuntivas implícitas entre las variables en la función dependen solamente de los ratios de aquellas variables, no de sus valores absolutos

Funciones homotéticas Supongamos que examinamos la función implícita de dos variables f ( x , y ) = 0 La disyuntiva implícita entre x e y para una función de dos variables dy / dx = - f x / f y Si asumimos que f es homogénea de grado k , sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k -1

Funciones homotéticas La disyuntiva implícita entre x e y es Si t = 1/ y ,

Funciones homotéticas La disyuntiva no está afectada por la transformación monotónica y permanece una función solamente del ratio x e y

Puntos importantes a considerar: Utilizando matemáticas tenemos una forma conveniente para que los economistas desarrollen sus modelos las implicaciones de varios supuestos económicos pueden estudiarse a través de herramientas matemáticas

Puntos importantes a considerar: Las derivadas se usan a menudo en economía porque los economistas están interesados en cómo los cambios marginales en una variable afectan a otras las derivadas parciales incorporan el supuesto ceteris paribus utilizando en muchos modelos económicos

Puntos importantes a considerar: Las matemáticas para optimización es una herramienta importante para el desarrollo de modelos que asumen que los agentes económicos racionalmente persiguen algunas metas las condiciones de primer orden requieren todas las derivadas parciales sean cero

Puntos importantes a considerar: La mayoría de los problemas de optimización económica involucran restricciones en las elecciones que los agentes pueden realizar las condiciones de primer orden para un máximo sugieren que cada actividad puede operar a un nivel en el cual el beneficio marginal de la actividad es igual a su coste marginal

Puntos importantes a considerar: El multiplicador Lagrangiano se emplea para ayudar a resolver problemas de maximization el multiplicador Lagrangiano puede ser interpretado como el valor implícito (precio sombra) de la restricción

Puntos importantes a considerar: El teorema de la función implícita ilustra la dependencia de las elecciones que resultan de un problema de optimización sobre los parámetros del problema

Puntos importantes a considerar: El teorema de la envolvente examina cómo las elecciones óptimas cambiarán a medida que cambia el parámetro del problema Algunos problemas de optimización pueden involucrar restricciones que son desigualdades antes que igualdades

Puntos importantes a considerar: Condiciones de primer orden son necesarias pero no suficientes para asegurar un máximo o un mínimo las condiciones de segundo orden que describen la curvatura de una función deben revisarse

Puntos importantes a considerar: Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos problemas económicos funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones de segundo orden de problemas de máximo o mínimo restringido donde las restricciones son lineales las funciones homotéticas tienen la propiedad de que las disyuntivas implícitas entre las variables dependen solamente de los ratios de estas variables

Modulo 1: Análisis Matemático de la Optimización

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