Este documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a es la parte real e i la raíz cuadrada de -1. También presenta diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.

2. Números Complejos
Antes de entrar en el tema hagamos una reflexión ver imagen para entenderlo mejor^ h
** 6 nº. giro de 180º^ h =- nº
ejemplo 2. giro de 180º^ h
=a
6 7 844444444 44444444
=- 2
2.a =- 2 ( a =- 1
** 6 nº. giro de 180º^ h. giro de 180º^ h = nº
ejemplo 2. giro de 180º^ h
=a
6 7 844444444 44444444
. giro de 180º^ h
=a
6 7 844444444 44444444
= 2
2.a.a = 2 ( 2a2
= 2 ( a2
= 1
ahora que pasa se damos dos veces giro de 90º
ejemplo 2. giro de 90º^ h
=a
6 7 84444444 4444444
. giro de 90º^ h
=a
6 7 84444444 4444444
=- 2
2.a.a =- 2 ( 2a2
=- 2 ( a2
=- 1 es imposible
se soluciono este problema en matematica, haciendo a = i = -1 ojo nunca se puede escribir -1^ h
El motivo por el cual no se puede escribir -1 es el seguiente:
i
2
=- 1 también sabemos que i
2
= i.i = -1 . -1 = -1^ h -1^ h = 1 = 1
lo cual nos indica que - 1 = 1 que es incierto. el i es un nº imaginario
y Son de la forma Z = a + bi , donde a,b^ h d R2
i
2
=- 1
a parte real , b parte imaginaria la expresion a + bi se llama forma Binomica
El conjunto de los nº complejos es C = a + bi/ a,b^ h d R2
" , , R 1 C
** Z = a + bi A Z es Imaginario puro sia=0
real sib=0
$
** conjugado de Z se presenta por Z = a - bi , opuesto es -Z =- a - bi
** Potencias de i
i
0
= 1 , i
1
= i , i
2
=- 1 , i
3
=- i , i
4
= 1 , i
5
= i
Para calcular i
n
,se coge n ' 4
si el resto es 1,2,3^ h ( 1 A i , 2 A i
2
=- 1^ h , 3 A i
3
=- i^ h
si el resto es 0 ( i
n
= 1
'
** Propiedades
Sean dos nº complejos Z = a + bi y W = c + di
Z = W , b=d
a=c
" , Z + W = a + c^ h + b + d^ hi , Z - W = a - c^ h + b - d^ hi
Z.W = ac - bd^ h + ad + bc^ hi , W
Z
=
c + di
a + bi
=
c
2
+ d
2
ac + bd +
c
2
+ d
2
bc - ad
i
Z.W = a + bi^ h c + di^ h = ac + adi + bci - bd = ac - bd^ h + ad + bc^ hi
W
Z
=
c + di
a + bi
=
c + di
a + bi
c - di
c - di
=
c
2
+ d
2
ac - adi + bci + bd
=
c
2
+ d
2
ac + bd^ h + bc - ad^ hi
Z.Z = a + bi^ h. a - bi^ h = a
2
+ b
2
Modulo y Argumento de un nº complejo
Modulo: de un nº complejo Z es la longitud del vector y se representa por Z = a
2
+ b
2
Argumento: de un nº complejo Z es el angulo formado entre Z y el eje x positivo Arg Z^ h = arctag
a
b
= a
imagen de abajo se ve lo que es modulo ,argumento,conjugado y opuesto
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

3. Z = a + bi = ra = e
ia
= r cosa + i.sena^ h
si Z = a + bi , Z = a - bi ,- Z =- a - bi , luego Z = Z = -Z = a
2
+ b
2
** el inverso de Z es
Z
1
=
Z
1
Z
Z
=
Z.Z
Z
=
a
2
+ b
2
Z
** Z d R , Z = Z , Z es imaginario puro Ssi Z =- Z
** Z + W = Z + W , Z.W = Z .W , W
Z
` j =
W
Z
** Z + Z = 2.R Z^ h A R Z^ h = parte real de Z
** Z - Z = 2i.Im Z^ h A Im Z^ h = parte Imaginaria de Z
** Z.W = Z . W = Z . W ,
W
Z
=
W
Z
, Z + W # Z + W , Z - W $ Z - W
** Z = 0 , Z = 0 , Z
2
= Z.Z , Z ! 0 (
Z
1
=
Z
2
Z
Forma Binómica Trigonometrica Polar y Exponencial
Z = a + bi = r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h
Forma trigonometrica
6 7 8444444444444444444444 444444444444444444444
= ra
forma polar
?
= ei a+2kr^ h
forma exponencial
6 7 8444 444
, siendo r = Z
modulo de Z
A
= a
2
+ b
2
Ojo k d Z a = arctag
a
b
Formula Euler e
ia
= cosa + i.sena , cosa =
2
e
ia
+ e-ia
, sena =
2i
e
ia
- e-ia
Formula de Moivre Z
n
= r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n
= r
n
cos na^ h + i.sen na^ h
n.2kr=2 lk r=0
6 7 8444444444444 444444444444c m
** ra .rb
,
= r.r,
^ ha+b AA r.eia
.r,
.eib
= r.r,
ei a+b^ h
** rb
,
ra
= r,
r_ ia-b
AA
r,
.eib
r.eia
= r,
r ei a-b^ h
** ra^ hn
= rn
^ h a+2kr^ h.n = rn
^ hn.a AA r.eia
^ hn
= rn
.eina
, a + 2kr^ h.n = na + 2knr = na
** ra
n
= rn
^ h n
a+2kr AA reian
= rei a+2kr^ hn
= rn
e n
i a+2kr^ h
Calculo del Argumento
** Z = a + bi
si a 2 0 ( Arg Z^ h = arctag a
b = a
si a = 0 y b 1 0 ( Arg Z^ h =- 2
r
si a = 0 y b 2 0 ( Arg Z^ h = 2
r
si a 1 0 y b 1 0 ( Arg Z^ h = arctag a
ba k- r = a
si a 1 0 y b 2 0 ( Arg Z^ h = arctag a
ba k+ r = a
si a 1 0 y b = 0 ( Arg Z^ h = r = a
si a 2 0 y b = 0 ( Arg Z^ h = 00
= 2r = a
si a = 0 y b = 0 ( Arg Z^ h = Indefenido
Z
[
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

4. Ejercicios de nº complejos
1 Ejercicio
Hallar i
12
, i
37
, i-139
Respuesta:
** i
12
$
0
12
3
4
$ i
12
= 1 ; ó bién i
12
= i
4
^ h3
= 1
3
= 1
** i
37
$
1
37
9
4
$ i
37
= i
1
= i ; ó bién i
37
= i
4
^ h9
.i = i
** i-139
$
3
19
139
34
4
$ i-139
= i-3
= i
3
^ h-1
= -i^ h-1
=
-i
1
i
i
= i
ó bién i-139
= i-4
^ h34
.i-3
=
i
4
1
a k
34
.
i
3
1
a k =
-i
1
` ji
i
= i
................................................................
2 Ejercicio
Sean los nº complejos :
z1 = 1 - i ; z2 = 1 - i 3 ; z3 =
z2^ h4
z1^ h5
a Halla sus modulos y argumentos y sus formas polares trigonometricas y exponenciales.
b Determine la parte real e imaginaria de z3 y cual es su afijo.
c Deduzca los valores de cos
12
r
y sen
12
r
Respuesta: Recuerda: Z = a
2
+ b
2
, Arg Z^ h = arctag
a
b
= a , z
n
= z
n
, Arg z
n
^ h = n.Arg z^ h
w
z
=
w
z
Arg
w
z
_ i = Argz - Argw Z = a + bi
binomica
E
= ra
polar
?
= e
ia
exponencial
@
= r cosa + i.sena^ h
trigonometrica
6 7 84444444444 4444444444
a b z1 = 1 - i
Arg z1^ h = arctag
1
-1
4º cuadrante^ h =
4
-r
z1 = 1 + 1 = 2
*
z1 = 1 - i = 2 cos
4
-r_ i+ i.sen
4
-r_ i8 B = 2^ he
i 4
-r
= 2^ h
4
-r
afijo de z1 es 1, - 1^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 1
z2 = 1 - i 3
Arg z2^ h = arctag - 3 4º cuadrante^ h =
3
-r
z2 = 1 + 3 = 2
*
z2 = 1 - i 3 = 2 cos
3
-r_ i+ i.sen
3
-r_ i8 B = 2e
i
3
-r
= 2^ h
3
-r
afijo de z2 es 1, - 3^ h , Parte real = 1 Parte Imaginaria =- 3
z3 =
z2^ h4
z1^ h5
=
2e
i
3
-r
6 @4
2^ he
i
4
-r
6 @5
=
2^ h
8
2^ h
5
e
i 3
-4r
e
i
4
-5r
= 2^ h
-3
e
i
12
-15r
e
i
12
16r
=
4
2
e
i
12
r
z3 =
z2^ h4
z1^ h5
=
16 cos
3
-4r + i.sen
3
-4r` j
4 2 cos
4
-5r + i.sen
4
-5r` j
=
4 cos r +
3
r
_ i- i.sen r +
3
r
_ i` j
2 cos r +
4
r
_ i- i.sen r +
4
r
_ i` j
z3 =
4 -cos
3
r
_ i+ i.sen
3
r
_ i` j
2 -cos
4
r
_ i+ i.sen
4
r
_ i` j
=
4
2
2
-1 + i 3
c m
2
- 2 + i 2
c m
=
4
2
-1 + i 3^ h
- 2 + i 2^ h
-1 - i 3^ h
-1 - i 3^ h
z3 =
4
2
4
6 + 2
+ i
4
6 - 2
c m
z3 =
4
2
cos
12
r
_ i+ i.sen
12
r
_ i8 B =
4
2
e
i
12
r
=
4
2
c m
12
r
afijo de z3 es
4
6 + 2
,
4
6 - 2
c m , Parte real =
4
6 + 2
Parte Imaginaria =
4
6 - 2
c cos
12
r
_ i =
4
6 + 2
, sen
12
r
_ i =
4
6 - 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

5. 3 Ejercicio
Resolved en C las ecuaciones seguientes:
a 5z = 4 - i , b 1 + i^ hz + 1 - i = 0 , c 3z + 2iz = 5 - 3i
Respuesta: Recuerda: Z = a + bi , Z = a - bi ,- Z =- a - bi , Z
2
= Z.Z = a
2
+ b
2
a + ib = c + id ,
b = d
a = c
$
** a 5z = 4 - i , z =
5
4 -
5
i
, z =
5
4 +
5
i
** b 1 + i^ hz + 1 - i = 0 , z =
1 + i
1 - i
=
1 + i
1 - i
1 - i
1 - i
=
2
1 - i^ h2
=
2
-2i
=- i , z = i
** c 3z + 2iz = 5 - 3i 1 , sea z = a + bi , z = a - bi
1 , 3 a - bi^ h + 2i a + bi^ h = 5 - 3i , 3a - 3bi + 2ai - 2b = 5 - 3i
1 , 3a - 2b + i 2a - 3b^ h = 5 - 3i (
2a - 3b =- 3
3a - 2b = 5
$
a =
2
3
-3
-2
-3
5
-3
-2
=
-9 + 4
-15 - 6
=
5
21
b =
2
3
-3
-2
2
3
-3
5
=
-9 + 4
-9 - 10
=
5
19
luego z =
5
21 +
5
19
i
................................................................
4 Ejercicio
z1 = 1 - 3 i , z2 = 3
Hallar ¿ z =
z2
z1
? , z^ h-1
Respuesta:
z =
z2
z1
=
3
1 - 3 i
=
3
1 -
3
3
i , z =
3
1 +
3
3
i
z^ h-1
=
z
1
=
3
1 + 3 i
1
=
1 + 3 i
3
=
1 + 3 i
3
1 - 3 i
1 - 3 i
=
1 + 3
3 1 - 3 i^ h
=
4
3 1 - 3 i^ h
................................................................
5 Ejercicio
sean los nº complejos z1 = 3 + i , z2 = 1 - i
a halla los modulos y argumentos de z1 , z2 ,
z2
z1
y sus formas trigonometricas
exponenciales y polares
b deducir los valores de cos
12
5r
y sen
12
5r
Respuesta:
a modulos y argumentos de z1 , z2 ,
z2
z1
y sus formas trigonometricas exponenciales y polares.
z1
Argumento = Arg z1^ h = arctag
3
1
1º cuadrante^ h =
6
r
modulo = z1 = 3^ h
2
+ 1^ h2
= 4 = 2
Z
[
]]]]]
]]]]
z1 = 3 + i forma binomica^ h = 2 cos
6
r + i sen
6
r
_ i forma trigonometrica^ h
= 2e
i
6
r
forma exponencial^ h = 2 6
r forma polar^ h
z2
Argumento = Arg z2^ h = arctag
1
-1
4º cuadrante^ h =
4
-r
modulo = z2 = 1^ h2
+ -1^ h2
= 2
*
z2 = 1 - i forma binomica^ h = 2 cos
4
-r + i sen
4
-r_ i forma trigonometrica^ h
= 2 e-i 4
r
forma exponencial^ h = 2^ h
4
-r forma polar^ h
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

6. z2
z1
=
2 e-i 4
r
2e
i
6
r
=
2
2
e
i 6
r
e
i 4
r
= 2 e
i 6
r +i 4
r
= 2 e
i 12
5r
z2
z1
Arg
z2
z1
_ i =
12
5r
z2
z1
= 2
*
= 2 cos
12
5r + i.sen
12
5r
` j = 2 e
i 12
5r
= 2^ h
12
5r
z2
z1
=
1 - i
3 + i
=
1 - i
3 + i
1 + i
1 + i
=
2
3 - 1 + i 3 + 1^ h
= 2
2 2
3 - 1 + i 3 + 1^ h
< F
b deducir los valores de cos
12
5r
y sen
12
5r
z2
z1
= 2 cos
12
5r + i.sen
12
5r
` j = 2
2 2
3 - 1
+ i
2 2
3 + 1
< F &
sen
12
5r
=
2 2
3 + 1
cos
12
5r
=
2 2
3 - 1
Z
[
]]]]]]]
]]]]]]]
................................................................
6 Ejercicio
Calcula en forma trigonometrica , exponencial y polar z = 1 - i^ h4
,y z
Respuesta:
Recuerda: Euler e
ia
= cosa + i.sena , cosa =
2
e
ia
+ e-ia
, sena =
2i
e
ia
- e-ia
, z^ hn
= z
n
^ h
de Moivre Z
n
= r cos a + 2kr^ h + i.sen a + 2kr^ h^ h" ,6 @n
= r
n
cos na^ h + i.sen na^ h
n.2kr=2 lk r=0
6 7 8444444444444 444444444444d n
lz = 1 - i ( lz
Arg lz = arctag
1
-1
(4º cuadrante) =
4
-r
lz = 1^ h2
+ -1^ h2
= 2
* luego lz = 2 e-i 4
r
z = 1 - i^ h4
= lz^ h4
= 2 e-i 4
r
^ h
4
= 4e-ir
exponencial
D
= 4 cos -r^ h + i.sen -r^ h6 @
Trigonometrica
6 7 8444444444444444 444444444444444
= 4-r
polar
A
= -4
binomica
@
z = 1 - i^ h4
= 1 - i^ h6 @
4
Argz =- Argz = r
z = z = 4
( & z = 4e
ir
= 4 cos r^ h + i.sen r^ h6 @ = 4r =- 4
................................................................
7 Ejercicio
Hallar modulo y argumento de z =
1 - i
1 + i
` j
5
, 3z y - 5z y expresalos en su fomrma
trigonometrica,exponencial y binomica
Respuesta:
Recuerda: 6 n d N , 6 z d C*
Arg z
n
^ h = n.Arg z^ h
z
n
= z
n
( , z2
z1
=
z2
z1
, Arg
z2
z1
= Argz1 - Argz2
6 m d R*
, 6 z d C*
Arg m.z^ h =
Arg z^ h + r si m 1 0
Arg z^ h si m 2 0
(
m.z = m . z
Z
[
]]]]]
]]]]
sea z1 = 1 + i
Argz1 = arctag
1
1
1º cuadrante^ h =
4
r
z1 = 1 + 1 = 2
* ( z1 = 2 e
i 4
r
sea z2 = 1 - i
Argz2 = arctag
1
-1
4º cuadrante^ h =
4
-r
z2 = 1 + -1^ h2
= 2
* ( z2 = 2 e
i 4
-r
(
z2
z1
=
1 - i
1 + i
Arg
z2
z1
= Argz1 - Argz2 =
4
r -
4
-r
=
2
r
z2
z1
=
z2
z1
=
2
2
= 1
Z
[
]]]]]]
]]]]]]
( z2
z1
= 1e
i 2
r
= e
i 2
r
z =
z2
z1
_ i
5
=
1 - i
1 + i
` j
5
Arg
z2
z1
_ i
5
= 5.Arg
z2
z1
=
2
5r
= 2r +
2
r
=
2
r
z2
z1
_ i
5
=
z2
z1 5
= 1
5
= 1
Z
[
]]]]]
]]]]
( z2
z1
_ i
5
= e
i 2
r
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

7. z =
z2
z1
_ i
5
= e
i 2
r
= cos
2
r + i.sen
2
r
= 1 2
r = i
3z = 3.
z2
z1
_ i
5
Arg 3z^ h = Argz =
2
r
porque 3 2 0
3z = 3. z = 3
* ( 3z = 3.e
i 2
r
3z = 3.e
i 2
r
= 3. cos
2
r + i.sen
2
r
_ i = 3 2
r = 3i
- 5z =- 5.
z2
z1
_ i
5
Arg -5z^ h = Argz + r
porque -510
6 7 84444 4444
=
2
r + r =
2
3r
-5z = -5 . z = 5. z = 5
Z
[
]]]]]
]]]]]
(- 5z = 5.e
i 2
3r
- 5z = 5.e
i 2
r
= 5. cos
2
3r + i.sen
2
3r
` j = 5 2
3r =- 5i
................................................................
8 Ejercicio
Calcula los nº complejos seguientes en forma binomica,trigonometrica,polar e exponencial
obteniendo a la vez sus opuestos y conjugados y por ultimo representalos graficamente.
1 za =- 3 , 2 zb = 2 + 2i , 3 zc = 3 - i , 4 zd =
1 - 3 i
i
90
, 5 ze =
1 + i
-1 - i^ h3i
53
Respuesta: Recuerda: z = z = -z , Arg z^ h =- Arg z^ h , Arg -z^ h = Arg z^ h + r
1 za =- 3 = 3 -1^ h = 3 cosr + i.senr^ h = 3 e
i.r
= 3^ hr
Conjugado z a =- 3 = 3 cos -r^ h + i.sen -r^ h^ h = 3 e
i. -r^ h
= 3^ h-r
Opuesto - za = 3 = 3 cos0 + i.sen0^ h = 3 e
i.0
= 3^ h0
2 zb = 2 + 2i
Arg zb^ h = arctag
2
2
= 1` j
1º cuadrante
1 2 34444 4444
=
4
r
zb = 2^ h2
+ 2^ h2
= 8
Z
[
]]]]]
]]]]]
( zb = 8 cos
4
r + i.sen
4
r
_ i = 8 e
i.
4
r
= 8^ h
4
r
Conjugado zb = 2 - 2i = 8 cos
4
-r + i.sen
4
-r_ i = 8 e
i. 4
-r
= 8^ h
4
-r
Opuesto - zb =- 2 - 2i = 8 cos
4
5r + i.sen
4
5r
` j = 8 e
i.
4
5r
= 8^ h
4
5r
3 zc = 3 - i
Arg zc^ h = arctag
3
-1
c m
4º cuadrante
[
=
3
-r
zc = 3^ h
2
+ -1^ h2
= 2
Z
[
]]]]]]
]]]]]]
( zc = 2 cos
3
-r + i.sen
3
-r_ i = 2e
i.
3
-r
= 2^ h
3
-r
Conjugado zc = 3 + i = 2 cos
3
r + i.sen
3
r
_ i = 2e
i. 3
r
= 2^ h
3
r
Opuesto - zc =- 3 + i = 2 cos
3
2r + i.sen
3
2r
` j = 2e
i.
3
2r
= 2^ h
3
2r
4 zd =
1 - 3 i
i
90
calculemos 1º i
90
= i
4
^ h22
.i
2
= 1. -1^ h =- 1 asi que
zd =
1 - 3 i
i
90
=
1 - 3 i
-1
=
1 - 3 i
-1
1 + 3 i
1 + 3 i
=
4
-1 - 3 i
zd =
4
-1 - 3 i
Arg zd^ h = arctag
4
-1
4
- 3
= 3
J
L
KKKKKKKK
N
P
OOOOOOOO
3º cuadrante
1 2 344444444 44444444
=
3
r - r =
3
-2r
zd =
4
-1` j
2
+
4
- 3
c m
2
=
4
1
=
2
1
Z
[
]]]]]]]]]]]
]]]]]]]]]]]
( zd =
4
-1 - 3 i
=
2
1
cos
3
-2r + i.sen
3
-2r` j =
2
1
e
i.
3
-2r
=
2
1
3
-2r
Conjugado zd =
4
-1 + 3 i
=
2
1
cos
3
2r + i.sen
3
2r
` j =
2
1
e
i. 3
2r
=
2
1
` j
3
2r
Opuesto - zd =
4
1 + 3 i
=
2
1
cos
3
r + i.sen
3
r
_ i =
2
1
e
i.
3
r
=
2
1
` j
3
r
5 ze =
1 + i
-1 - i^ h3i
53
calculemos 1º i
53
= i
4
^ h13
.i
1
= 1. i^ h = i asi que
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

8. 1 i
^ h ^ h
ze =
1 + i
- 1 + i^ h3i
=- 3i = 3 -i^ h = 3 cos
2
-r + i.sen
2
-r_ i = 3e
i.
2
-r
= 3^ h
2
-r
Conjugado ze = 3i = 3 cos
2
r + i.sen
2
r
_ i = 3e
i. 2
r
= 3^ h
2
r
Opuesto - ze = 3i = 3 cos
2
r + i.sen
2
r
_ i = 3e
i.
2
r
= 3^ h
2
r
................................................................
9 Ejercicio
Calcula z = -646
Respuesta: Recuerda: zn
( hay n soluciones de z
z = -646
= 64. -1^ h6
= 64 cosr + i.senr^ h6 @6
1
, hay 6 soluciones de z
z = 64 cos r + 2kr^ h + i.sen r + 2kr^ h^ h6 @6
1
= 646
cos
6
r + 2kr` j+ i.sen
6
r + 2kr` j` j8 B
z = 2 cos
6
r + 2kr` j+ i.sen
6
r + 2kr` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = 2 cos
6
r
_ i+ i.sen
6
r
_ i` j = 2.
2
3
+ i
2
1c m = 3 + i
para k = 1 A z1 = 2 cos
2
r
_ i+ i.sen
2
r
_ i` j = 2. 0 + i 1^ h = 2.i
para k = 2 A z2 = 2 cos
6
5r
` j
r- 6
r
E
+ i.sen
6
5r
` j
r- 6
r
E
f p
= 2 -cos
6
r
_ i+ i.sen
6
r
_ i` j = 2. -
2
3
+ i
2
1c m =- 3 + i
para k = 3 A z3 = 2 cos
6
7r
` j
r+
6
r
E
+ i.sen
6
7r
` j
r+
6
r
E
f p
= 2 -cos
6
r
_ i- i.sen
6
r
_ i` j = 2. -
2
3
- i
2
1c m =- 3 - i
para k = 4 A z4 = 2 cos
6
9r
` j
r+ 6
3r
E
+ i.sen
6
9r
` j
r+ 6
3r
E
f p
= 2 -cos
2
r
_ i- i.sen
2
r
_ i` j = 2. -i^ h =- 2.i
para k = 5 A z5 = 2 cos
6
11r
` j
2r-
6
r
6 7 8444 444
+ i.sen
6
11r
` j
2r-
6
r
6 7 8444 444
f p
= 2 cos
6
-r_ i- i.sen
6
-r_ i` j = 3 + i
................................................................
10 Ejercicio
Sea el nº complejo z =- 2 1 + i^ h
a Halla el modulo y argumento de z
b Halla su forma trigonometrica,polar e exponencial.
c Halla modulo y Argumento de las raices cubicas de z.
Respuesta:
a b z =- 2 1 + i^ h = - 2 - 2 i^ h
Arg z^ h = arctag
- 2^ h
- 2^ h
3º cuadrante^ h =
4
r - r =
4
-3r
z = - 2^ h
2
+ - 2^ h
2
= 4 = 2
Z
[
]]]]]
]]]]]
z = 2 -
2
2
-
2
2
ic m = 2 cos
4
5r
` j+ i.sen
4
5r
` j` j = 2e
i. 4
5r
= 2^ h
4
5r
c z3
= 23
cos
4
5r
` j+ i.sen
4
5r
` j` j3
1
aplicando de Moivre
z3
= 23
cos
3
4
5r + 2krd n + i.sen
3
4
5r + 2krd nd n = 23
cos
12
5r +
3
2
kr` j + i.sen
12
5r +
3
2
kr` j` j
z3
= 23
cos
12
5r +
3
2
kr` j + i.sen
12
5r +
3
2
kr` j` j , k d Z A hay 3 soluciones.
para k = 0 ( z0
3
= 23
cos
12
5r
` j + i.sen
12
5r
` j` j
para k = 1 ( z1
3
= 23
cos
12
13r
` j + i.sen
12
13r
` j` j
para k = 2 ( z2
3
= 23
cos
12
21r
` j + i.sen
12
21r
` j` j
................................................................
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

9. 11 Ejercicio
Halla Modulo y argumento del nº complejo zn = 1 + i 3^ h
n
siendo n d N
para que valores de n,zn d R.
Respuesta: Recuerda: z
n
= z
n
, Arg z
n
^ h = n.Arg z^ h
1 + i 3^ h
Arg 1 + i 3^ h = arctag
1
3
1º cuadrante^ h =
3
r
1 + i 3 = 1^ h2
+ 3^ h
2
= 2
Z
[
]]]]]
]]]]
zn = 1 + i 3^ h
n
= 2
n
cos
3
r + 2kr_ i+ i.sen
3
r + 2kr_ i8 B
n
zn = 1 + i 3^ h
n
= 2
n
cos
3
n.r + 2.nkr_ i+ i.sen
3
nr + 2nkr_ i8 B
zn = 2
n
cos
3
n.r + 2. lk r_ i+ i.sen
3
nr + 2 lk r_ i8 B
zn es real si y sólo si sen
3
nr
= 0 = sen0 ,
3
nr
= r + 2kr
3
nr
= 0 + 2kr
* ,
3
nr
= kr
3
nr
= kr , n = 3k ( n tiene que ser un multiplo de 3
................................................................
12 Ejercicio
Halla las Raices cubicas de la unidad.
Respuesta: Recuerda: a
3
- b
3
= a - b^ h a
2
+ ab + b
2
^ h
1º metodo
z
3
= 1 , z
3
- 1 = 0 , z - 1^ h z
2
+ z + 1^ h ,
z
2
+ z + 1 = 0
z = 1
%
z
2
+ z + 1 = 0 3= b
2
- 4ac = 1 - 4 =- 3 ( z =
2a
-b ! i -3
=
2
-1 ! i 3
las soluciones son: z1 = 1 , z2 =
2
-1 + i 3
, z3 =
2
-1 - i 3
2º metodo
z
3
= 1 , z = 13
= cos0 + i.sen03
= cos0 + i.sen0^ h3
1
= cos
3
0 + 2kr + i.sen
3
0 + 2kr` j
z = cos
3
2kr
` j+ i.sen
3
2kr
` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 1
para k = 1 A z1 = cos
3
2r
` j+ i.sen
3
2r
` j` j = cos r -
3
r
_ i+ i.sen r -
3
r
_ i` j = -cos
3
r
_ i+ i.sen
3
r
_ i` j
z1 =
2
-1 + i 3
para k = 2 A z2 = cos
3
4r
` j+ i.sen
3
4r
` j` j = cos r +
3
r
_ i+ i.sen r +
3
r
_ i` j = -cos
3
r
_ i- i.sen
3
r
_ i` j
z2 =
2
-1 - i 3
................................................................
13 Ejercicio
Halla las Raices cuartas de 16.
Respuesta:
z = 164
= 16.14
= 16 cos0 + i.sen0^ h4
= 16 cos0 + i.sen0^ h6 @4
1
= 164
cos
4
0 + 2kr + i.sen
4
0 + 2kr` j
z = 2 cos
2
kr
` j+ i.sen
2
kr
` j` j k d Z
para k = 0 A z0 = 2 cos 0^ h + i.sen 0^ h^ h = 2
para k = 1 A z1 = 2 cos
2
r
_ i+ i.sen
2
r
_ i` j = 2.i
para k = 2 A z2 = 2 cos r^ h + i.sen r^ h^ h =- 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

10. ^ h ^ h^ h
para k = 3 A z3 = 2 cos
2
3r
` j+ i.sen
2
3r
` j` j = 2 cos r +
2
r
_ i+ i.sen r +
2
r
_ i` j = 2 -cos
2
r
_ i- i.sen
2
r
_ i` j =- 2.i
................................................................
14 Ejercicio
Halla las raices en C de la ecuacion -1 + i^ hz
3
- 2i = 0
Respuesta:
-1 + i^ hz
3
- 2i = 0 , z
3
=
-1 + i
2i
=
-1 + i
2i
-1 - i
-1 - i
=
2
2 - 2.i
= 1 - i
z
3
Arg z
3
^ h = arctag
1
-1
4º cuadrante^ h =
4
-r
z
3
= 1 + 1 = 2
* ( z
3
= 2 cos
4
-r + i.sen
4
-r_ i
z = 26
cos
4
-r + 2kr_ i+ i.sen
4
-r + 2kr_ i8 B3
1
= 26
cos
12
-r +
3
2
kr` j+ i.sen
12
-r +
3
2
kr` j8 B , k d Z
para k = 0 A z0 = 26
cos
12
-r_ i+ i.sen
12
-r_ i8 B
para k = 1 A z1 = 26
cos
12
7r
` j+ i.sen
12
7r
` j8 B
para k = 2 A z2 = 26
cos
12
15r
` j+ i.sen
12
15r
` j8 B = 26
cos r +
4
r
_ i+ i.sen r +
4
r
_ i8 B = 26
-cos
4
r
_ i- i.sen
4
r
_ i8 B
................................................................
15 Ejercicio
Resuelve en C la seguiente ecuación sabiendo que 1 + i^ hes una de las soluciones
2z
2
+ bz + 2 = 0 siendo b,z^ h d C2
Respuesta:
como 1 + i^ hes una de las soluciones de la ecuación ( 2 1 + i^ h2
+ b 1 + i^ h + 2 = 0
4i + b 1 + i^ h + 2 = 0 , b =
1 + i
-2 - 4i
1 - i
1 - i
=- 3 - i , b =- 3 - i
como ya sabemos que en las ecuaciones de 2º grado az
2
+ bz + c = 0
siendo z1 y z2 las soluciones
z1 .z2 =
a
c
z1 + z2 =
a
-b
*
asi que z1 .z2 =
2
2
= 1 siendo z1 = 1 + i ( z2 =
1 + i
1
, z2 =
1 + i
1
1 - i
1 - i
, z2 =
2
1 - i
................................................................
16 Ejercicio
Resuelve la ecuación: z
3
+ z
2
+ -1 + i^ hz + 2 + 2i = 0 a
sabiendo que - 2 es una de las soluciones,representa graficamente las soluciones.
Respuesta:
como - 2 es una solucion ( z + 2^ h z
2
+ az + b^ h = 0 , determinemos los coeficientes a y b.
z + 2^ h z
2
+ az + b^ h = z
3
+ z
2
a + 2^ h + b + 2a^ hz + 2b = z
3
+ z
2
+ -1 + i^ hz + 2 + 2i
aplicando igualdad de dos polinomios (
2b = 2 + 2i ( b = 1 + 1
b + 2a =- 1 + i
a + 2 = 1 ( a =- 1
)
luego a , z + 2^ h z
2
- z + 1 + i^ h6 @ = 0 (
z
2
- z + 1 + i^ h = 0 2
z + 2 = 0 1
(
2 z
2
- z + 1 + i^ h = 0 3= -1^ h2
- 4.1. 1 + i^ h = 1 - 4 - 4i
6 7 844444 44444
=
fijate bién
?
1 - 4i + 4i
2
6 7 8444444 444444
= 1 - 2i^ h2
z =
2
1 ! 1 - 2i^ h
=
i
1 - i$
................................................................
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

11. 17 Ejercicio
Sea z =
1 + i.taga
1
halla su modulo y argumento.
Respuesta: Recuerda: cos -a^ h = cosa , sen -a^ h =- sena
z =
1 + i.taga
1
=
cosa
cosa + i.sena
1
=
cosa + i.sena
cosa
cosa - i.sena
cosa - i.sena
=
cos
2
a + sen
2
a
cosa cosa - i.sena^ h
z = cosa cosa - i.sena^ h
** si cosa 2 0 ,
2
-r + 2kr 1 a 1
2
r + 2kr k d Z^ h ( z = cosa cos -a^ h + i.sen -a^ h^ h
Arg z^ h =-a
z = cosa
(
** si cosa 1 0 ,
2
r + 2kr 1 a 1
2
3r + 2kr k d Z^ h ( z =- cosa cos r - a^ h + i.sen r - a^ h^ h
Arg z^ h = r - a
z =- cosa
(
................................................................
18 Ejercicio
Calcula el nº complejo z = 1 + i 3^ h
5
+ 1 - i 3^ h
5
Respuesta:
sea z1 = 1 + i 3
Arg z1^ h = arctag
1
3
1º cuadrante^ h =
3
r
z1 = 1 + 3 = 2
* ( z1 = 2.e
i 3
r
luego z1^ h5
= 2
5
.e
i 3
5r
sea z2 = 1 - i 3
Arg z2^ h = arctag
1
- 3
4º cuadrante^ h =
3
-r
z2 = 1 + 3 = 2
* ( z2 = 2.e
i 3
-r
luego z2^ h5
= 2
5
.e
i
3
-5r
Por último z = 2
5
cos
3
5r + i.sen
3
5r
` j + 2
5
cos
3
-5r + i.sen
3
-5r` j
z = 2
5
cos
3
5r + i.sen
3
5r
` j + 2
5
cos
3
5r - i.sen
3
5r
` j = 2.2
5
.cos
3
5r
= 2
6
.cos r +
3
2r
` j =- 2
6
.cos
3
2r
` j
z =- 2
6
.cos r -
3
r
_ i = 2
6
.cos
3
r
_ i = 2
6
2
1
= 2
5
................................................................
19 Ejercicio
Transformar z =
1 - a.i
1 + a.i
a d R^ h a la forma trigonometrica.
calcula
3 - i 3
3 + i 3
, w =
1 - i
1 + i
, w
93
y Lnw
93
Respuesta: Recuerda: cos2a = cos
2
a - sen
2
a sen2a = 2.sena.cosa
haciendo cambio variable a = tag
2
a
1 - a.i
1 + a.i
=
1 - i.tag
2
a
1 + i.tag
2
a
=
1 - i.
cos
2
a
sen
2
a
1 + i.
cos
2
a
sen
2
a
=
cos
2
a - i.sen
2
a
cos
2
a + i.sen
2
a
=
cos
2
a - i.sen
2
a
cos
2
a + i.sen
2
a
cos
2
a + i.sen
2
a
cos
2
a + i.sen
2
a
1 - a.i
1 + a.i
=
cos
2
2
a + sen
2
2
a
cos
2
2
a - sen
2
2
a + 2i.sen
2
a
cos
2
a
= cosa + i.sena = e
i.a
3 - i 3
3 + i 3
=
1 - i.
3
3
1 + i.
3
3
=
1 - i.tag
6
r
1 + i.tag
6
r
=
cos
6
r - i.sen
6
r
cos
6
r + i.sen
6
r
= cos
3
r + i.sen
3
r
= e
i.
3
r
w =
1 - i
1 + i
A haciendo cambio variable tag
2
a
= 1 = tag
4
r
(
2
a
=
4
r + kr ( a =
2
r + 2kr
luego w =
1 - i
1 + i
= cos
2
r + i.sen
2
r
= i = e
i. 2
r
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

12. 1 i
w
93
= w
4
^ h23
.w = i
4
^ h23
.i = i
Lnw
93
= Ln i^ h = Lne
i. 2
r
= i.
2
r + 2kr k d Z
................................................................
20 Ejercicio
Halla el nº complejo z en forma binomica sabiendo que una de sus raices tercera es 1 - i
Respuesta:
z3
= 1 - i , sea z0 = 1 - i
z0
Argz0 = arctag
1
-1
4º cuadrante^ h =
4
-r
z0 = 1^ h2
+ -1^ h2
= 2
* ( z0 = 2 cos
4
-r + 2kr_ i + i.sen
4
-r + 2kr_ i` j
z3
= 2 cos
4
-r + 2kr_ i + i.sen
4
-r + 2kr_ i` j , z = 2^ h
3
cos
4
-r + 2kr_ i + i.sen
4
-r + 2kr_ i` j
3
z = 2 2 cos
4
-3r + 2 lk r` j + i.sen
4
-3r + 2 lk r` j` j lk = 0 , 1 , 2
sólo queda por sustituir lk por los valores de 0 , 1 , 2
................................................................
21 Ejercicio
Halla el valor de a y b para que
2 - 2i
b - ai
sea real y de modulo 2
Respuesta:
2 - 2i
b - ai
lo 1º la transformaremos en forma binomica
2 - 2i
b - ai
=
2 - 2i
b - ai
2 + 2i
2 + 2i
=
4 + 4
2b + 2a + i 2b - 2a^ h
=
8
2b + 2a + 2i b - a^ h
=
4
b + a + i b - a^ h
2 - 2i
b - ai
para que sea real ( b - a = 0 , a = b
sabemos que
2 - 2i
b - ai
=
4
b + a + i b - a^ h
=
4
a + b` j
2
+
4
b - a` j
2
= 2 ,
16
a
2
+ 2ab + b
2
+ a
2
- 2ab + b
2
= 2 +
,
16
2a
2
+ 2b
2
= 2 , a
2
+ b
2
= 16 , a
2
+ a
2
= 16 , a
2
= 8 , a = b
-2 2
2 2
(
................................................................
22 Ejercicio
Describir el conjunto de puntos del plano determinado por las seguientes ecuaciones.
a z - i # 2 , b z - 2 2 z - 1 , c z.z 2 4 , d z - 3i = 2 , e z 1 1 y Img z^ h 2 0
Respuesta: Recuerda: Ecuación circonferencia: x - a^ h2
+ y - b^ h2
= r
2
siendo a,b^ hcentro , r = radio
x - a^ h2
+ y - b^ h2
# r
2
A solución región interna x - a^ h2
+ y - b^ h2
$ r
2
A solución región externa
z = a + bi
afijo de z = a,b^ h
parte Imaginaria = Img z^ h = b
parte real = Re z^ h = a
_
`
a
bbbbb
bbbb
Z
[
]]]]]
]]]]
, z = a - bi z
2
= z.z
a z - i # 2
z - i = a + bi - i = a + i b - 1^ h , z - i = a
2
+ b - 1^ h2
luego z - i # 2 + a
2
+ b - 1^ h2
# 2 ,
+ a
2
+ b - 1^ h2
# 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el interior del circulo de centro 0,1^ h y radio 2
b z - 2 2 z - 1
z - 2 2 z - 1 , a - 2^ h2
+ b
2
2 a - 1^ h2
+ b
2
, a - 2^ h2
+ b
2
2 a - 1^ h2
+ b
2
, a - 2^ h2
2 a - 1^ h2
, a
2
- 4a + 4 2 a
2
- 2a + 1 ,- 2a 2- 3 ,- 2a 2- 3 , a 1
2
3
asi que el conjunto de puntos buscados es S = a + bi/a 1
2
3
y a,b^ h d R2
$ .
c z.z 2 4
z.z = z
2
= a
2
+ b
2
2 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el exterior del circulo de centro 0,0^ h y radio 2
d z - 3i = 2
z - 3i = 2 , a
2
+ b - 3^ h2
= 2 , a
2
+ b - 3^ h2
= 4 = 2
2
asi que el conjunto de puntos buscados es un circulo de centro 0,3^ h y radio 2
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA

13. ^ h
e z 1 1 y Img z^ h 2 0
Img z^ h 2 0 , b 2 0 , z 1 1 , a
2
+ b
2
1 1 , a
2
+ b
2
1 1
a
2
+ b
2
1 1 A nos indica que la solucion es el conjunto de puntos interiores del circulo de centro 0,0^ h y radio 1
pero cuidado b es positiva asi que la solucion es el interior del mediocirculo de centro 0,0^ h y radio 1
................................................................
23 Ejercicio
Resuelve z
4
=- 8 + 8 3 .i y demuestre que los afijos A,B,C y D de las soluciones forman un cuadrado.
Respuesta: Recuerda: distancia entre A y B es AB
ABCD forman un cuadrado Ssi AB = BC = CD = DA y forman un angulo de 90
0
z
4
=- 8 + 8 3 .i , z = -8 + 8 3 .i^ h4
1
w =- 8 + 8 3 .i
Arg w^ h = arctag
-8
8 3
2º cuadrante^ h =
3
-r + r =
3
2r
w = -8^ h2
+ 8 3^ h
2
= 16
Z
[
]]]]]
]]]]
z = -8 + 8 3 .i^ h4
1
= 16 cos
3
2r + 2kr` j+ i.sen
3
2r + 2kr` j` j4
1
= 2 cos
12
2r +
2
kr
` j+ i.sen
12
2r +
2
kr
` j` j
z = 2 cos
6
r +
2
kr
` j+ i.sen
6
r +
2
kr
` j` j k = 0 , 1 , 2 , 3
Para k = 0 A z0 = 2 cos
6
r
_ i+ i.sen
6
r
_ i` j = 2
2
3
+ i
2
1c m = 3 + i ( A 3,1^ h
Para k = 1 A z1 = 2 cos
3
2r
` j
cos r- 3
ra k
6 7 84444 4444
+ i.sen
3
2r
` j
sen r- 3
ra k
6 7 8444444 444444
f p
= 2 -cos
3
r
_ i+ i.sen
3
r
_ i` j =- 1 + 3 i ( B -1, 3^ h
Para k = 2 A z2 = 2 cos r +
6
r
_ i
-cos 6
ra k
6 7 8444444 444444
+ i.sen r +
6
r
_ i
-sen 6
ra k
6 7 84444444 4444444
f p
= 2 -cos
6
r
_ i- i.sen
6
r
_ i` j =- 3 - i ( C - 3, - 1^ h
Para k = 3 A z3 = 2 cos
6
r +
2
3r
` j
cos 6
10r
=2r-
6
2rd n
6 7 844444444 44444444
+ i.sen
6
r +
2
3r
` j
sen 3
-ra k
6 7 8444444444 444444444
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO = 2 cos
3
r
_ i- i.sen
3
r
_ i` j = 1 - 3 i ( D 1, - 3^ h
ver imagen de ABCD
A 3,1^ h B -1, 3^ h C - 3, - 1^ h D 1, - 3^ h
AB = -1 - 3, 3 - 1^ h & AB = -1 - 3^ h
2
+ 3 - 1^ h
2
= 8
BC = 1 - 3, - 3 - 1^ h & BC = 1 - 3^ h
2
+ - 3 - 1^ h
2
= 8
CD = 1 + 3, - 3 + 1^ h & CD = 1 + 3^ h
2
+ - 3 + 1^ h
2
= 8
DA = -1 + 3, 3 + 1^ h & DA = -1 + 3^ h
2
+ 3 + 1^ h
2
= 8
AB = BC = CD = DA ahora queda determinar el angulo que forman
AB . BC = AB BC . cos AB ,BC^ h a A producto escalar de dos vectores
AB . BC = -1 - 3, 3 - 1^ h - 3 + 1, - 1 - 3^ h = -1 - 3^ h - 3 + 1^ h + 3 - 1^ h -1 - 3^ h = 0
cos AB ,BC^ h =
AB BC
AB . BC
=
8 8
0
= 0 , AB ,BC^ h =
2
r
Por último podemos confirmar que los puntos ABCD forman una cuadrado.
Nº Complejos BANHAKEIA-TRUSPA