Calculo integral banhakeia

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5
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3
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8
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2
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1
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. 5
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1 . . . . .
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ln
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cos
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cos
cos
cos
Lnx dx arcsenx dx x x dx
x x dx
x x
x x
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x x
x x
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x x x
x
dx tag x dx tag x dx
tag x dx g x dx sen mx nx dx
sen mx mx dx sen x dx x dx
sen x x dx sen x x dx senx
dx
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x
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x
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x dx sen x dx
x x
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x x
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x
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dx x x dx
a b x
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senx x
dx
senx tgx
dx
a x
dx
a wt bsen wt dx senx x
dx
f x a
f x
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x
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x
sen x
dx
x sen x
x
dx
senx x
senx x
dx senx x
x
dx senx x
senx x
dx
a b
a b
dx x a dx tgx dx
1 2 3
4 1 5
2
2 5
6
4 4
3
7
2 1
4
8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19
1
20
1 2
21 5 3
22 23 24
2 5
25
3 4
26 4 5 27
2 5
28
2 1 3 4
29 30
1 2 1 2
31 32
1
33 2 1
34 1 35 36
37 38 39
7
4
40
1
41 42
1
43
1
2
44
2
4
46
1
47
2
4
49
1
50
9
51
9 2 1
52 53
1
54
5
2
55
1
1
56
1
57
58 59 0
1
1
61 62 63
1
64
1
65 2 66
67 68 69
70 71 72
73
1
74 7
76 2 77 1 2
2
78 1
79 80 81
2
x
r
x
ax ax
x x
x x
2
3 2
2
2
2
3 5
6 3
3 6
3 2 2 2
2 2
3 3
2
2
2
2
2
3 2
2 1
3
2
0
1
2
0
4
0
2
2 2 2
0
0
1
2 2
3
2 2
3 3 5
2 2 2 2
4 4 2 2
4
2 2
2 4 2
2 2 2 4
2
2
6
2
2
2 2
2
2
2 2 2
5
2 2
2 2
5
3
2
2 2
- - -
- + -
+ -
- +
-
- +
+ +
-
- + +
-
- -
- - -
- - -
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-
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-
-
+
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-
+
-
+
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-
-
-
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-
-
-
-
- -
-
+
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+
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+
-
-
+
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-
+
- - -
+
-
+
- -
+
- + + - + -
-
- + - -
-
-
+
- -
- +
-
- + - +
- -
-
- - -
+
-
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V
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V
V
VV
V
V
V
V
V
V
V
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V
V
V
V
V
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2
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3
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4
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. 7 .
4
1
3
1
6 ;
.
cos cos
cos
ln cos
sec
cot
cos
cos
cot
cos
cos
cos
ln
ln
ln cos ln cos
cos
ln
cos
ln
ln ln
ln
senx x
senx
dx x
dx
x
x x senx
dx
x
x
dx
sen x
x
dx tgx dx
x tgx dx
x
g x
dx
x senx
dx
x tg x x dx x
x
dx
a b x
dx
x
dx
x
dx
senx x
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dx
x
senx
dx
x x
x x senx
dx
x x a
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x x
dx
x
dx
f x a
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x dx
x
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e
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x x
arcsen x
dx x
x
dx x dx
x x
x
dx
x
arcsen x
dx
e
e
dx
x x dx senx dx senx x dx
x e dx x dx
x
dx
e
dx
y x area comprendida
x
dx
dx
entre f x y eje x e f x eje y
x
dx
dx x dx
x x
dx
x x
x x
dx x x dx
cx d ax b
dx
x x
dx
x
dx
f x f x a
f x dx
f x f x a
f x dx
f x a f x
f x dx
x x
x dx
x x
dx
x e dx x xdx
x
x
dx
x
arctgx
dx
x
x
dx
x
x
dx
x x
x
dx
x x
dx
arctag x dx
x x
x
dx f x dx f x
a x
a
a x
x
x dx
1
82 83 1 84
85
1
86
1
87
88 89 90
91 2 3 3 92 1
1
93
94 95
2 3
96
1
97 98
2
2
99
00
1
101 2 102
103 104
4
104
1
105
1
1 1
106
4 9
107
1
1
108
1
109
1
110 4
111
1 1
2
112
1
113
1 1
114
1
115 116 1
117 118 3 11
1
2
120 1 121 4 1 2
1
12
1
124 1 1 5
5
126
5
12 4 12
129
1 1
1 0
2
131
132 133 13
4
135
1
136 13
138 139
1
1 0
141 142
1
14
1
144 1 145
4
2
14
1
0
1
147 2
4
4
0
1
1
3
x
x
x
x
x
e
x
x
x
2
2 2
3
2
2
4
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
3
2
2
3
1
3
2 2
5
6
2
3
2
2
0
3
2 2
2 2 2 2 2
1 1
2
0
1
0
1
0
2 2
2
2
1
1
2 2
0
1
2
2
1
1
2 2
1
3
0
2
2
2
3 4 2
2
!
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2
1
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- - - -
- - -
+
- + = -
-
-
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-
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-
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-
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-
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-
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-
+ + -
- - -
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3 3
3
r
-
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-
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l
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( ) ( )
( ) ( )
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.
.
6 7 8
9 8
lim
ln
int lim
ln
ln
ln ln cos
ln
cos cos
cos cos
cos tan
cos
sec ln
cos
calcula el area itada entre la graficas de las funciones f x x y g x x
calcula el area comprendida entre f x x y g x x
halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y x
entre el punto de corte con el eje x e el punto de abscisa x e
calcula el area del rec o itado por la curva y x x y el eje x
x
x
dx a e dx con a a sena dx con a
e e
e e
dt
a
a
dx con a
x
e x x
dx
ax b dx x dx x dx
x x dx
x x x
dx
senx x dx
sen x dx x
x
dx
x arcsenx
x dx
x x arctag x
dx
x
senx
dx senx x
dx
x
dx
x x
x x
dx
sen x x
dx
senx x
senx
dx x
dx
x x x
dx
x x x
x x
dx x
x
dx x dx
ax b cx d
x
dx
a
a
dx
148 2
149 2 2
150 1
151 3 6
152
1
153 0 154 0
155 156
1
0 157
1
1 1
158 159 2 1 160 3 1
161 162
3 6 8
2
163
164 165
1
166
1
167
2 2 1 2 1
168 1
1
169 2 2
170 171
4
5 1
172
173
1
174 1 175
2 4 3
3
17
1
17 1 17
17 1 0
x x x x
t t
t t
x
x arctgx
n
n
n
x
x
2
2
2
2
3
2 2
2
5
2
7
4 2
2
3 2
2
2 2
2
3 2
2
2
2 2
2
- = - =
- =- + = +
- = -
=
- =- +
-
+
- -
-
+
-
-
+
-
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- + - + - -
- -
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-
-
-
-
- + -
- +
+
- + +
- -
-
- +
-
-
+
- + -
+ + +
-
- + - +
+
- + -
-
+ +
-
-
-
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
# # #
# #
#
# # #
# # #
# # #
# # #
# # #
# # #
# # #
# #

Para saber resolver int egrales hay que saber derivar muy muy bien
y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan
muchisimo en las int egrales cuando hacemos cambio de variable.
sen a ! b
^ h = sena. cos b ! senb. cos a
I cos a ! b
^ h = cos a. cos b " senasenb
tag a ! b
^ h =
1 " taga.tagb
taga ! tagb
sena. cos b =
2
1
sen a + b
^ h + sen a - b
^ h
6 @
II cos a. cos b =
2
1
cos a + b
^ h + cos a - b
^ h
6 @
sena.senb =
2
1 - cos a + b
^ h + cos a - b
^ h
6 @
sena ! senb = 2sen
2
a ! b
cos
2
a " b
III cos a + cos b = 2 cos
2
a + b
cos
2
a - b
cos a - cos b =- 2sen
2
a + b
sen
2
a - b
taga ! tagb =
cos a. cos b
sen a ! b
^ h
sen
2
a + cos
2
a = 1 -1 # sena # 1 -1 # cos a # 1
sen2a = 2.sena. cos a cos 2a = cos
2
a - sen
2
a tag2a =
1 - tag
2
a
2.taga
cos
2
a =
2
1 + cos 2a
sen
2
a =
2
1 - cos 2a
tag
2
a =
1 + cos 2a
1 - cos 2a
1 + tag
2
a =
cos
2
a
1
1 + cot g
2
a =
sen
2
a
1
cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
cos a
1
=
2
1
1 - sena
cos a +
1 + sena
cos a
7 A sena
1
=
2
1
1 - cos a
sena +
1 + cos a
sena
7 A
Demostracion
cos a
1
=
cos
2
a
cos a
=
1 - sen
2
a
cos a
=
1 - sena
^ h 1 + sena
^ h
cos a
=
2
1
1 - sena
cos a +
1 + sena
cos a
7 A
Pitagoras
c
2
= a
2
+ b
2
sena =
c
b
cos a =
c
a
taga =
a
b
e-iax
= cos -ax
^ h + isen -ax
^ h = cos ax
^ h - isen ax
^ h
e
iax
= cos ax
^ h + isen ax
^ h
( (
sen ax
^ h = 2i
e
iax
- e-iax
cos ax
^ h = 2
e
iax
+ e-iax
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Estas fracciones en algunos ejercicios son muy utiles
1 + a
1 - a
=- 1 +
1 + a
2
;
a + b
a
= 1 -
a + b
b
;
a
2
- b
2
1
=
2a
1
a - b
1 +
a + b
1
8 B
*** muy importantes tenerlas memorizadas
an
- bn
= a - b
^ h an-1
+ an-2
b + an-3
b2
+ an-4
b3
+ .........................
^ h
an
+ bn
= a + b
^ h an-1
- an-2
b + an-3
b2
- an-4
b3
+ .... - ... + ........
^ h
observacion de las potencias = n - 1
/

1 y = k cte
^ h ( l
y = 0
2 y = f x
^ h
6 @n
( l
y = n. f x
^ h
6 @n-1
. l
f x
^ h
3 y = k.f x
^ h ( l
y = k. l
f x
^ h
4 y = f x
^ h ! g x
^ h ( l
y = l
f x
^ h ! l
g x
^ h
5 y = f x
^ h.g x
^ h ( l
y = l
f x
^ h.g x
^ h + f x
^ h. l
g x
^ h
6 y =
g x
^ h
f x
^ h
( l
y =
g x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.g x
^ h - f x
^ h. l
g x
^ h
7 y = fog x
^ h ( l
y = l
f og x
^ h
6 @. l
g x
^ h
8 y = f-1
x
^ h ( l
y =
l
f of-1
x
^ h
1
9 y = loga
f x
^ h
6 @ ( l
y =
f x
^ h
l
f x
^ h
Ln a
^ h
1
10 y = a
f x
^ h
( l
y = a
f x
^ h
. l
f x
^ h.Ln a
^ h
11 y = e
f x
^ h
( l
y = e
f x
^ h
. l
f x
^ h
12 y = sen f x
^ h
6 @ ( l
y = cos f x
^ h
6 @. l
f x
^ h
13 y = cos f x
^ h
6 @ ( l
y =- sen f x
^ h
6 @. l
f x
^ h
14 y = tag f x
^ h
6 @ ( l
y =
cos
2
f x
^ h
1
l
f x
^ h = 1 + tag
2
f x
^ h
6 @
6 @. l
f x
^ h
15 y = cotag f x
^ h
6 @ ( l
y =
sen
2
f x
^ h
-1
l
f x
^ h =- 1 + cotg
2
f x
^ h
6 @
6 @. l
f x
^ h
16 y = arcsen f x
^ h
6 @ ( l
y =
1 - f x
^ h
6 @2
1
l
f x
^ h
17 y = arcos f x
^ h
6 @ ( l
y =
1 - f x
^ h
6 @2
-1
l
f x
^ h
18 y = arctag f x
^ h
6 @ ( l
y =
1 + f x
^ h
6 @2
1
l
f x
^ h
19 y = arctag f x
^ h
6 @ ( l
y =
1 + f x
^ h
6 @2
-1
l
f x
^ h
20 y = f x
^ h
6 @g x
^ h
A para esta formula se utiliza eLna
= a
asi que y = eln f x
^ h
7 A
g x
^ h
= eg x
^ hLnf x
^ h
AA solo queda aplicar formulas anteriores
Hay que saber derivar muy bien y tener las formulas memorizadas para poder saber int egrar
es algo parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir
f x
^ h
a
b
# .dx "
f x
^ h en funcion de x ejemplo y = f x
^ h = 2x + 3
la curva de f x
^ h gira alrededor del eje X
a # x # b + x d a,b
6 @
a es el limite inferior , b es el limite superior
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
f y
^ h
a
b
# .dy "
f y
^ h en funcion de y ejemplo x = f y
^ h = 2y + 3
la curva de f y
^ h gira alrededor del eje Y
a # y # b + y d a,b
6 @
a es el limite inferior , b es el limite superior
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]

FORMULAS INTEGRALES
1) kdx = Kx siendo K una cons tan te
#
2) K.f x
^ hdx
# = K f x
^ h
# dx
3h f x
^ h ! g x
^ h
6 @
# dx = f x
^ h
# dx ! g x
^ h
# dx
4h f x
^ h
6 @n
# . l
f x
^ hdx =
n + 1
1
f x
^ h
6 @n+1
+ cte siendo n !- 1
5h f x
^ h
6 @
#
-1
. l
f x
^ hdx = ln f x
^ h + cte
6h a
f x
^ h
.
# l
f x
^ hdx = a
f x
^ h
ln a
1 + cte
7h a
f x
^ h
# dx " se hace cambio de variable t = f x
^ h
10h
cos
2
f x
^ h
l
f x
^ h
# dx = tgf x
^ h + cte
11h
sen
2
f x
^ h
l
f x
^ h
# dx =- cotag f x
^ h
^ h + cte
12h
1 - f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
- arccos f x
^ h + cte
arcsen f x
^ h
^ h + cte
(
13h
1 + f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
-arcotag f x
^ h
^ h + cte
arctg f x
^ h
^ h + cte
(
14h e
ax
cos bx dx =
a
2
+ b
2
e
ax
a cos bx + bsenbx
^ h
# + cte utilizando integración por partes
^ h
15h e
ax
# senbx dx =
a
2
+ b
2
e
ax
asenbx - b cos bx
^ h + cte utilizando integración por partes
^ h
16h
1 - f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
2
1
ln
1 - f x
^ h
1 + f x
^ h
+ cte A
17h
1 + f x
^ h
6 @2
! l
f x
^ h
# dx = ln f x
^ h ! 1 + f x
^ h
6 @2
_ i+ cte B
18h
f x
^ h
6 @2
- 1
! l
f x
^ h
# dx = ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
- 1
_ i+ cte C
las formulas A,B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante
aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas
Intergrales por parte
** udv
# = uv - vdu dirais de donde sale esto pues sea u = f x
^ h
# y v = g x
^ h
como sabemos en derivadas que f x
^ h.g x
^ h
^ hl= l
f x
^ hg x
^ h + f x
^ h l
g x
^ h
0
1 2 3
44444444444444444444444
4 44444444444444444444444
4
f x
^ h.g x
^ h
^ hl
# = l
f x
^ hg x
^ h + f x
^ h l
g x
^ h
6 @
#
0
1 2 3
4444444444444444444444444444
4 4444444444444444444444444444
4
f x
^ h.g x
^ h = l
f x
^ h
# g x
^ h
v
D
+ f x
^ h
u
A
# l
g x
^ h
0
1 2 3
44444444444444444444444444 44444444444444444444444444
uv = vdu + udv
#
#
udv = uv - vdu
#
# a

La formula a se utiliza en los seguientes casos
1 cuando tenemos solamente funcion logaritmica
Ejercicio 1 ln x.dx = I aqui u = ln x & du =
x
1
# dx
dv = 1dx & v = x
asi que I = x ln x - x
x
1
dx
# = x ln x - x
2 cuando tenemos solamente funcion inversa
Ejercicio 2 arcsenx dx
# = I aqui u = arcsenx & du =
1 - x
2
1
dx
dv = 1dx & v = x
asi que I = x.arcsenx -
1 - x
2
x dx
#
J
6 7 8
44444
4 44444
4
1 - x
2
nos hace pensar en 1 - sen
2
x = cos
2
x asi que hacemos cambio de varible
x = sent &
1
x
= sent & dx = cos t dt y por pytagoras del tringulo debajo
se deduce que cos t = 1 - x
2
luego J =
cos t
sent.cos t.dt
# =- cos t =- 1 - x
2
por ultimo I = x.arcsenx + 1 - x
2
+ cte
3 cuando tenemos producto de 2 funciones pertenecientes a las 5 funciones seguientes
Funcion Exponencial
Funcion Inversa(arco..............)
Funcion Logaritmica
Funcion Algebraica
FuncionTrigonometrica(seno,coseno,tg,.......)
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bEjemplosituvieramosxsenx"xesalgebraicasenxestrigonometricaluegou=xydv=senx
Ejemplo situvieramosx.lnx"xcorrespondeaalgebraicaylnxalogaritmicaluegou=lnxydv=x
paraestoutilizamosla palabraILATE la primeraqueaparecer correspondeau
ylasegundaqueaparececorrespondeadvsiempreseguiendoelordendela palabraILATE
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Ejercicio 3
x ln x.dx
# = I tenemos 2 funciones distintas
lnx es logaritmica
x es algebraica
% la primera en aparecer en ILATE es
la logaritmica asi que
dv = xdx & v =
2
1
x
2
u = ln x & du =
x
1
dx
* luego I =
2
1
x
2
ln x -
2
1
# x2
x
1
dx =
2
1
x
2
ln x -
2
1
2
1
x
2
=
2
1
x
2
ln x -
4
1
x
2
+ cte
Ejercicio 4
I = x. 1 + x
# dx
dv = 1 + x = 1 + x
^ h2
1
& v =
2
1 + 1
1
1 + x
^ h2
1 +1
=
3
2
1 + x
^ h2
3
u = x & du = 1dx
*
I =
3
2
x 1 + x
^ h2
3
-
3
2
1 + x
^ h2
3
# dx =
3
2
x 1 + x
^ h2
3
-
3
2
3
2 + 1
1
1 + x
^ h3
2 +1
=
3
2
x 1 + x
^ h2
3
-
3
2
5
2
1 + x
^ h2
5
=
3
2
x 1 + x
^ h2
3
-
15
4
1 + x
^ h2
5
Division de dos polinomios
^ h
P x
^ h ' Q x
^ h = C x
^ h + R x
^ h ,
Q x
^ h
P x
^ h
= C x
^ h +
Q x
^ h
R x
^ h
asi que
Q x
^ h
P x
^ h
# dx = C x
^ hdx
#
a
6 7 8
44444 44444
+
Q x
^ h
R x
^ h
# dx
b
6 7 8
44444
4 44444
4
para hallar la int egracion de a es facilisimo
solamente hay que saber la formula f x
^ h
^ hn
# . l
f x
^ hdx =
n + 1
1
f x
^ h
^ hn+1
I
L
A
T
E

ahora para resolver la
Q x
^ h
R x
^ h
# dx ojo el grado de R x
^ hes 1 grado de Q x
^ h
6 @
1 paso es calcular Q x
^ h = 0 y a1 a2 a3 ...........an
6 @ sean las soluciones Ahora
** si a1 a2 a3 ...........an
^ h ! R y son ! una de la otra & Q x
^ h = x - a1
^ h x - a2
^ h....... x - an
^ h = 0
Entonces
Q x
^ h
R x
^ h
=
x - a1
^ h
A1
+
x - a2
^ h
A2
+
x - a3
^ h
A3
+ . . . . . . . +
x - an
^ h
An
luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . An y por ultimo
Q x
^ h
R x
^ h
# dx =
x - a1
^ h
A1
dx +
x - a2
^ h
A2
dx
#
# + . . . + . . . . +
x - an
^ h
An
dx
#
** si a1 a2 a3 ...........an
^ h ! R y son = todas & Q x
^ h = x - a
^ hn
Entonces
Q x
^ h
R x
^ h
=
x - a
^ h
A1
+
x - a
^ h2
A2
+
x - a
^ h3
A3
+ . . . . . . . +
x - a
^ hn
An
luego se halla los valores de A1 A2 A3 . . . . . . . An y por ultimo
Q x
^ h
R x
^ h
# dx =
x - a
^ h
A1
dx +
x - a
^ h2
A2
dx
#
# + . . . . + . . . . . +
x - a
^ hn
An
dx
#
** si a1 a2 a3 ...........an
^ h ! C y son ! todas que no tiene soluciones reales
^ h
Entonces
Q x
^ h
R x
^ h
=
x ! a1
^ h2
+ b1
2
M1 x + N1
+
x ! a2
^ h2
+ b2
2
M2 x + N2
+
x ! a3
^ h2
+ b3
2
M3 x + N3
+ . . . . . . . +
x ! an
^ h2
+ bn
2
Mn x + Nn
luego se calcula los valores de M1 M2 M3 .......Mn y N1 N2 N3 ......Nn y por ultimo
Q x
^ h
R x
^ h
# dx =
x ! a1
^ h2
+ b1
2
M1 x + N1
dx +
x ! a2
^ h2
+ b2
2
M2 x + N2
dx + . . . + . . . +
x ! an
^ h2
+ bn
2
Mn x + Nn
#
#
# dx
se hace cambio de variable x ! a1 = b1 tgt ; x ! a2 = b2 tgt . . . . . . . . . ; x ! an = bn tgt
ahora bien si fuera Q x
^ h = ax
2
+ bx + c = 0 siendo 3= b
2
- 4ac 1 0 hacemos lo seguiente
Q x
^ h = ax
2
+ bx + c = ax
2
+ bx +
4a
b
2
-
4a
b
2
siempre va +
4a
b2
despues -
4a
b2
1 2 3
4444444 4444444
+ c = ax
2
+ bx +
4a
b
2
a k+ -
4a
b
2
+ c
a k
este dato es positivo
1 2 3
44444 44444
llegaremos a una forma de Q x
^ h = x ! a
^ h2
+ b
2
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
V
X
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
** si a1 a2 a3 ...........an
^ h ! C y son = todas que no tiene soluciones reales
^ h
se hace exactamente igual que en el caso de las reales con la unica diferencia que es el numerador Mx + N
** vamos a ver a lg unos ejemplos para entender mejor las int egrales racionales.
ejemplo de raices reales !
Ejercicio 5 I =
x2
+ x - 2
x3
- 2x2
+ 5
# dx aqui P x
^ h = x
3
- 2x
2
+ 5 Q x
^ h = x
2
+ x - 2
haciendo la division de los polinomios
5x - 1
3x
2
+ 3x - 6
-3x
2
+ 2x + 5
-x
3
- x
2
+ 2x
x
3
- 2x
2
+ 5
x - 3
x
2
+ x - 2
g
asi que P x
^ h | Q x
^ h = x - 3 +
x
2
+ x - 2
5x - 1
ahora hallemos las soluciones de x
2
+x-2=0+ x-1
^ h x + 2
^ h = 0
ahora
x
2
+ x - 2
5x - 1
=
x - 1
^ h x + 2
^ h
5x - 1
asi que
x
2
+ x - 2
5x - 1
=
x - 1
A +
x + 2
B
=
x
2
+ x - 2
A x + 2
^ h + B x - 1
^ h
& 5x - 1 = A x + 2
^ h + B x - 1
^ h
si x = 1 & 4 = 3A & A =
4
3
si x =- 2 & - 11 =- 3B & B =
3
11
er

asi que
x
2
+ x - 2
5x - 1
=
x - 1
4
3
+
x + 2
3
11
por ultimo I = x - 3
^ h
# +
x - 1
4
3
+
x + 2
3
11
dx = x - 3
^ hdx
# +
4
3
x - 1
1
# dx +
3
11
x + 2
1
dx
# =
2
1
x
2
- 3x + Ln x - 1 +
3
11
Ln x + 2 + cte
ejemplo de raices reales iguales
Ejercicio 6 I =
x
2
- 4x + 4
x
2
+ x + 3
# dx P x
^ h = x
2
+ x + 3 Q x
^ h = x
2
- 4x + 4
haciendo la division de los polinomios
5x - 1
-x
2
+ 4x - 4
x
2
+ x + 3
1
x
2
- 4x + 4
g
asi que I =
x
2
- 4x + 4
x
2
+ x + 3
# dx = 1dx +
x
2
- 4x + 4
5x - 1
#
# dx
factorizando x
2
- 4x + 4 = x - 2
^ h2
luego
x
2
- 4x + 4
5x - 1
=
x - 2
A +
x - 2
^ h2
B
=
x - 2
^ h2
A x - 2
^ h + B
si x = 2 & 9 = B
si x = 0 &- 1 =- 2A + B & A = 5
luego I = 1dx +
x - 2
5
#
# dx +
x - 2
^ h2
9
# dx = x + 5Ln x - 2 + 9.
-2 + 1
1
x - 2
^ h-2+1
= x + 5Ln x - 2 -
x - 2
^ h
9 + cte
ejemplo de raices complejas !
Ejercicio 7 I =
x - 2
^ h x
2
+ x + 1
^ h
x - 4
# dx aqui no tenemos P x
^ h porque el grado de numerador 1 grado denominador asi que
x - 2
^ h x
2
+ x + 1
^ h
x - 4
=
x - 2
A +
x
2
+ x + 1
Mx + N
U porque
" deno min ador tiene una solucion real y otra compleja de x
2
+ x + 1
^ h,
=
x - 2
^ h x
2
+ x + 1
^ h
A x
2
+ x + 1
^ h + Mx + N
^ h x - 2
^ h
si x = 2 &- 2 = 7A & A =
7
-2
si x = 0 &- 4 = A - 2N =
7
-2 - 2N & N =
7
13
si x =- 1 &- 5 = A + 3M - 3N &- 5 =
7
-2 + 3M -
7
39
& M =
7
2
asi que I =
7
-2
x - 2
1
# dx +
7
1
x
2
+ x + 1
2x + 13
# dx como se ve en la segunda int egral que d x
2
+ x + 1
^ h/dx = 2x + 1 ; pero en
el numerador tenemos 2x + 13 que habra que descomponer para que aparez ca 2x + 1 que es 2x + 1 + 12 asi que
I =
7
-2
x - 2
1
# dx
7
-2 Ln x-2
directa
1 2 3
44444444 44444444
+
7
1
x
2
+ x + 1
2x + 1
# dx
7
1 Ln x2
+x+1
_ i
directa
1 2 3
4444444444 4444444444
+ 7
1
x
2
+ x + 1
12
# dx
H
1 2 3
4444444444 4444444444
U H tenemos que haga que aparez ca a la formula nº 13
H = 7
12
x
2
+ x + 1
1
# dx como x
2
+ x + 1 = x
2
+ x +
4
1
4a
b2
?
J
L
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O -
4
1
- 4a
b2
?
+ 1 = x +
2
1
` j
2
+
4
3
= 4
3
3
2x +
3
1
c m
2
+ 1
; E
H = 7
12
4
3
3
2x +
3
1
c m
2
+ 1
; E
1
# dx =
21
48
2
3
3
2x +
3
1
c m
2
+ 1
; E
3
2
# dx =
42
48 3
arctag
3
2x +
3
1
c m
por ultimo I =
7
-2
Ln x - 2 +
7
1
Ln x
2
+ x + 1
^ h + 42
48 3
arctag
3
2x +
3
1
c m + cte
mas adelante veremos mas ejercicios resueltos.
[ 5x-1=A(x-2)+B 5.2-1=A.0+B B=9 ]
[ 5x-1=A(x-2)+9 5.0-1=A(0-2)+9 -1=-2A+9 A=5 ]

tag
m
x dx
#
*
cotg
m
x dx
#
*
Recordatorio d f x
^ h
^ h = f x
^ h
^ hl= derivada de f x
^ h
y = tagf x
^ h & l
y = 1 + tag
2
f x
^ h
6 @. l
f x
^ h =
cos
2
f x
^ h
1
l
f x
^ h
y = cot gf x
^ h & l
y =- 1 + cot g
2
f x
^ h
6 @. l
f x
^ h =
sen
2
f x
^ h
-1
l
f x
^ h
cos
2
x
1
= 1 + tag
2
x ;
sen
2
x
1
= 1 + cot g
2
x ; tagx =
cot gx
1
los pasos a seguir para resolver estas int egrales son dos:
Para tag
m
x dx
#
1º paso A descomponer tag
m
x =
2
cos
2
x
1 - 1
` j.tag
m-2
x
o bien
1 tag
2
x . tag
m-2
x
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
2º paso A si hemos utilizado
2 ,A tag
m
x =
cos
2
x
1 - 1
` j.tag
m-2
x = cos2x
1
tag
m-2
x - tag
m-2
x
1 ,hacer aparecer 1 + tag
2
x
^ h A tag
m
x = 1 + tag
2
x
^ htag
m-2
x - tag
m-2
x
*
Para cotg
m
x dx
# exactamente igual en vez de tagx ponemos cotgx
1º paso A descomponer cotg
m
x =
2
sen
2
x
1 - 1
` j.cotg
m-2
x
o bien
1 cotg
2
x . cotg
m-2
x
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
2º paso A si hemos utilizado
2 ,A cotg
m
x =
sen
2
x
1 - 1
` j.cotg
m-2
x = sen2x
1
cotg
m-2
x - cotg
m-2
x
1 ,hacer aparecer 1 + cotg
2
x
^ h A cotg
m
x = 1 + cotg
2
x
^ hcotg
m-2
x - cotg
m-2
x
*
Ejercicio 8 tag
3
xdx = tag
2
x . tagx
#
# dx = 1 + tag
2
x
^ htagx - tagx
6 @
# dx = 1 + tag
2
x
^ h
dtagx= tagx
^ hl= 1+tag2x
_ idx
6 7 8
44444
4 44444
4
.tagx.dx - tagx.dx
#
directa
6 7 8
44444 44444
#
= tagx d tagx
^ h
# -
cos x
senx
# dx =
2
1
tag
2
x + Ln cos x + cte
o bien
tag
3
xdx =
cos
2
x
1 - 1
` j
#
# tagx.dx = tagx.
cos
2
x
1
# dx - tagx.dx
# recordemos que
cos
2
x
1
dx = d tagx
^ h
= tagx.d tagx
^ h
# -
cos x
senx
# dx =
2
1
tag
2
x + Ln cos x + cte
Ejercicio 9 tag
5
xdx = tag
2
x . tag
3
x
#
# dx = 1 + tag
2
x
^ h
dtagx
6 7 8
44444
4 44444
4
tag
3
x - tag
3
x
< F
# dx = tag
3
xd tagx
^ h
# - tag
3
xdx
#
ejercicio anterior
6 7 8
44444 44444
=
4
1
tag
4
x -
2
1
tag
2
x + Ln cos x
` j+ cte
Ejercicio 10 tag
6
xdx = tag
2
x . tag
4
x
#
# dx = 1 + tag
2
x
^ h
dtagx
6 7 8
44444
4 44444
4
tag
4
x - tag
4
x
< F
# dx = tag
4
xd tagx
^ h
# - tag
4
xdx
#
=
5
1
tag
5
x - tag
4
xdx =
# 5
1
tag
5
x - 1 + tag
2
x
^ h
dtagx
6 7 8
44444
4 44444
4
tag
2
x - tag
2
x
; E
# dx
=
5
1
tag
5
x -
3
1
tag
3
x + tag
2
xdx
# =
5
1
tag
5
x -
3
1
tag
3
x + 1 + tag
2
x
^ h
dtagx
6 7 8
44444
4 44444
4
.1 - 1
; E
# dx
=
5
1
tag
5
x -
3
1
tag
3
x + 1d tagx
^ h - 1dx
#
# =
5
1
tag
5
x -
3
1
tag
3
x + tagx - x
Ejercicio 11 cotg
3
xdx = cotg
2
x.cotgx
#
# dx = 1 + cotg
2
x
^ hcotgx - cotgx
6 @
# dx = 1 + cotg
2
x
^ h
dcotgx= cotgx
^ hl=- 1+cotg2x
_ idx
6 7 8
444444 444444
.cotgxdx - cotgxdx
#
directa
6 7 8
44444 44444
#
=- cotgx d cotgx
^ h
# -
senx
cosx
# dx =-
2
1
cotg
2
x - Ln senx + cte

I = sen mx
^ h
# . cos nx
^ h.dx
*
Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos ! el primer paso pasarlas al mismo angulo
y la forma mas facil de resolver este problema es utilizando las formulas II
sena. cos b =
2
1
sen a + b
^ h + sen a - b
^ h
6 @
cos a. cos b =
2
1
cos a + b
^ h + cos a - b
^ h
6 @
sena.senb =
2
1 - cos a + b
^ h + cos a - b
^ h
6 @
sen mx
^ h. cos nx
^ h =
2
1
sen m + n
^ h.x
6 @+ sen m - n
^ h.x
6 @
" , asi que:
Ejercicio 12
I = sen mx
^ h
# . cos nx
^ h.dx = 2
1
sen m + n
^ hx
6 @dx
# + 2
1
sen m - n
^ hx
6 @dx
# =
2 m + n
^ h
-1
cos m + n
^ hx -
2 m - n
^ h
1
cos m - n
^ hx
Ejercicio 13
** si m = n
I = sen mx
^ h. cos mx
^ h
# .dx =
m
1
sen mx
^ h
# .d sen mx
^ h
^ h = 2m
1
sen
2
mx
^ h
I = sen
m
x
# .dx
*
I = cos
m
x
# .dx
*
m d N
*
1ºpaso es descomponer sen
m
x=sen
m-1
x.senx ; cos
m
x=cos
m-1
x.cosx
2º paso es resolver por partes
dv=senx.dx&v=-cosx
u = sen
m-1
x & du = m - 1
^ hsen
m-2
x. cos x.dx A f x
^ h
6 @n
^ hl= n f x
^ h
6 @n-1
. l
f x
^ h
(
Ejercicio 14
I = sen
3
x.dx = sen
2
x
u
E
.
#
# senx.dx
dv
6 7 8
444 444
asi que
dv = senx.dx & v =- cos x
u = sen
2
x & du = 2senx. cos x.dx
%
I = u.v - vdu =- cos x.sen
2
x + 2 cos
2
x. senx.dx
d cosx
^ h=-senx.dx
6 7 8
444 444
=
#
# - cos x.sen
2
x - 2 cos
2
x.d
# cos x
^ h
= 3
1 cos3x
6 7 8
444444444 444444444
= - cos x.sen
2
x -
3
2
cos
3
x + cte
Ejercicio 15
I = cos
6
x.dx = cos
5
x
u
D
.cos x.dx
dv
6 7 8
444 444
#
# asi que
dv = cos x.dx & v = senx
u = cos
5
x & du =- 5 cos
4
x.senx.dx
%
I = senx. cos
5
x + 5 cos
4
x.sen
2
x.dx =
# senx. cos
5
x + 5 cos
4
# x 1 - cos
2
x
^ h.dx = senx. cos
5
x + 5 cos
4
x.dx - 5 cos
6
x.dx
#
=I
6 7 8
44444
4 44444
4
# ,
, 6I = senx. cos
5
x + 5 cos
4
# x.dx
H
6 7 8
44444
4 44444
4
H = cos
4
# x.dx = cos
3
x
u
D
.cos x.dx
dv
6 7 8
444 444
# asi que
dv = cos x.dx & v = senx
u = cos
3
x & du =- 3 cos
2
x.senx.dx
%
H = senx. cos
3
x + 3 cos
2
x.sen
2
x.dx =
# senx. cos
3
x + 3 cos
2
x 1 - cos
2
x
^ hdx =
# senx. cos
3
x + 3 cos
2
x.dx - 3 cos
4
x.dx
#
=H
6 7 8
44444
4 44444
4
# ,
, 4H = senx. cos
3
x + 3 cos
2
x.dx
# = senx. cos
3
x + 3
2
1 + cos 2x
# dx = senx. cos
3
x +
2
3
1dx + cos 2x.dx
#
= 2
1 sen2x
6 7 8
44444
4 44444
4
#
f p
> H
,
3 3 1 3 3

, 4H = senx. cos
3
x +
2
3
x +
4
3
sen2x , H =
4
1
senx. cos
3
x +
8
3
x +
16
3
sen2x
Por ultimo I =
6
1
senx. cos
5
x +
4
5
senx. cos
3
x +
8
15
x +
16
15
sen2x
` j+ cte
I = sen
m
x.con
n
x
# .dx
*
Esta clase de int egrales se resuelve por partes siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en a
b
= a
b-1
a
1
si m 1 0 y n 2 0
I = sen
m
x.con
n
x
# .dx = sen
m
# x. cos
n-1
x. cos xdx = cos
n-1
x
u
6 7 8
444 444
.sen
m
x. cos x.dx
dv
6 7 8
44444444 44444444
#
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
2
si m 2 0 y n 1 0
I = sen
m
x.con
n
x
# .dx = sen
m-1
# x. cos
n
x.senxdx = sen
m-1
x
u
6 7 8
444
4 444
4
.cos
n
x.senx.dx
dv
6 7 8
4444444 4444444
#
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
3
si m 2 0 y n 2 0
I = sen
m
x.con
n
x
# .dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del 1 o 2
*
4
si m 1 0 y n 1 0
I = sen
m
x.con
n
x
# .dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante
*
Ejercicio 16
I = sen
-3
x. cos
2
x.dx
# = cos x
u
C
.sen
-3
x. cos x.dx
dv
6 7 8
44444444 44444444
# dv=sen-3x.cosx.dx&v= 2
-1 sen-2x
u=cosx&du=-senx.dx
'
I =
2
-1
sen
-2
x. cos x -
2
1
sen
-1
x.dx
# =
2
-1
sen
-2
x. cos x -
2
1
senx
dx
# sabemos que
sena
1
=
2
1
1 - cos a
sena +
1 + cos a
sena
7 A
I =
2
-1
sen
-2
x. cos x -
4
1
1 - cos a
sena +
1 + cos a
sena
_ i
# dx =
2
-1
sen
-2
x. cos x -
4
1
Ln 1 - cos x +
4
1
Ln 1 + cos x + cte
Ejercicio 17
I = sen
2
x cos
2
x.dx = senx
u
C
.senx. cos
2
x.dx
dv
6 7 8
4444444 4444444
=
#
#
dv = cos
2
x.senx.dx =- cos
2
x.d cos x & v =
3
-1
cos
3
x
u = senx & du = cos x.dx
)
I =
3
-1
senx. cos
3
x +
3
1
cos
4
# x.dx
ejercicio 15 es H
6 7 8
44444
4 44444
4
=
3
-1
senx. cos
3
x +
3
1
4
1
senx. cos
3
x +
8
3
x +
16
3
sen2x
` j
I =
4
-1
senx. cos
3
x +
8
1
x +
16
1
sen2x =
4
-1
senx. cos x
2
1 sen2x
6 7 8
44444 44444
. cos
2
x
d n
+
16
1
sen2x +
8
1
x =
8
-1
sen2x. cos
2
x
^ h +
16
1
sen2x +
8
1
x
I =
16
-2
sen2x. cos
2
x + 16
1
sen2x +
8
1
x =
16
sen2x
1 - 2 cos
2
x
^ h
=1-cos2x
sen2x
6 7 8
44444444
4 44444444
4
-cos2x
6 7 8
444444
4 444444
4
+
8
1
x =
16
sen2x - cos 2x
^ h
cos2x=cos2x-sen2x
6 7 8
4444
4 4444
4
+
8
1
x = 16
-1
sen2x. cos 2x
^ h
= 2
1 sen4x
6 7 8
4444444
4 4444444
4
+
8
1
x
I =
8
1
x -
32
1
sen4x
otro metodo
I = sen
2
x. cos
2
# x.dx = senx. cos x
= 2
1 sen2x
6 7 8
44444 44444
d n
2
dx =
# 4
1
sen
2
2x.dx =
4
1
# 2
1 - cos 4x
dx =
8
1
# dx -
8
1
cos 4xdx
#
= 4
1 sen4x
6 7 8
44444
4 44444
# = I =
8
1
x -
32
1
sen4x + cte
*** para esto lo 1º es conocer a lg unas formulas trigonometricas.
sen -x
^ h =- senx ; cos -x
^ h = cos x ; tag -x
^ h =- tagx
sen r - x
^ h = senx ; cos r - x
^ h =- cos x ;tag r - x
^ h =- tagx
sen r + x
^ h =- senx ; cos r + x
^ h =- cos x ;tag r + x
^ h = tagx
x

^ h ^ h ^ h
tagx =
1 - tag
2
2
x
_ i
2tag
2
x
A tag a + b
^ h =
1 - taga.tagb
taga + tagb
tag
2
x =
cos
2
x
1 - 1 ; cot g
2
x =
sen
2
x
1 - 1 ; teorema Pitagoras U
para int egrar funciones trigonometricas A utilizaremos la regla de BIOCHE
1 si f -x
^ h = f x
^ h UUU cambio de variable U t = cos x & cosx =
1
t
aplicando Teorema de Pitagoras
1 = t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
U
senx = 1 - t
2
cos x =
1
t
&- senx.dx = dt &- 1 - t
2
.dx = dt & dx =
1 - t
2
-dt
*
2 si f r - x
^ h = f x
^ h U cambio de variable U t = senx & senx =
1
t
1 = t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
U
cosx = 1 - t
2
senx =
1
t
& cos x.dx = dt & 1 - t
2
.dx = dt & dx =
1 - t
2
dt
*
3 si f r + x
^ h = f x
^ h U cambio de variable U t = tagx
w
2
= t
2
+ 1
2
& w = 1 + t
2
U
senx =
1 + t
2
t
; cos x =
1 + t
2
1
tagx =
1
t
&
cos
2
x
1
.dx = dt & dx = cos
2
x.dt & dx =
1 + t
2
1
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
4 si no se cumplen ninguna de las 3 anteriores el cambio de variable U t = tag
2
x
y como se sabe que tagx =
1 - tag
2
2
x
_ i
2tag
2
x
& tagx =
1 - t
2
2t
w
2
= 2t
^ h2
+ 1 - t
2
^ h2
& w = 1 + t
2
U
senx =
1 + t
2
2t
; cos x =
1 + t
2
1 - t
2
tagx =
1 - t
2
2t
&
cos
2
x
1
.dx =
1 - t
2
^ h2
2 1 + t
2
^ h
dt & dx = cos
2
x
=
1+t2
^ h
2
1-t2
^ h
2
D
.
1 - t
2
^ h2
2 1 + t
2
^ h
dt & dx =
1 + t
2
2
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Ejercicio 18 1º caso
^ h
I =
senx
dx
# aqui f x
^ h =
senx
dx
A f -x
^ h =
sen -x
^ h
d -x
^ h
=
-senx
-dx
=
senx
dx
= f x
^ h & f -x
^ h = f x
^ h asi el cambio sera de t = cosx
Teorema de Pitagoras
t
2
+ w
2
= 1 & w = 1 - t
2
U
senx = 1 - t
2
cos x =
1
t
&- senx.dx = dt &- 1 - t
2
.dx = dt & dx =
1 - t
2
-dt
*
luego I =
1 - t
2
1 - t
2
-dt
# =-
1 - t
2
dt
# =-
2
1
# 1 + t
1 +
1 - t
1
8 Bdt =-
2
1
1 + t
1
# dt
=Ln 1+t
6 7 8
44444 44444
-
2
1
1 - t
1
dt
#
=-Ln 1-t
6 7 8
44444 44444
=
2
1
Ln 1 - t -
2
1
Ln 1 + t
asi que I =
2
1
Ln
1 + t
1 - t
=
2
1
Ln
1 + cos x
1 - cos x
cosx=t
C
+ cte
2º Metodo
I =
senx
dx
# =
2sen
2
x
cos
2
x
dx
# =
2
cos
2
x
sen
2
x
cos
2
2
x
dx
# =
tag
2
x
cos
2
2
x
2
1
dx
# = tag
-1
2
x
_ i
# 2
1
cos
2
2
x
1
e o
=dtag
2
x
6 7 8
44444
4 44444
4
dx =
= Ln[tag(x/2)]

= tag
-1
2
x
_ i
# dtag
2
x
= Ln tag
2
x
_ i+ cte
3º Metodo
aplicando la formula
senx
1
=
2
1
1 - cosx
senx +
1 + cosx
senx
7 A luego I =
2
1
1 - cos x
senx
1-cosx
^ hl=senx
6 7 8
4444 4444
+
1 + cos x
senx
1+cosx
^ hl=-senx
6 7 8
4444 4444
> Hdx
# =
=
2
1
Ln 1 - cos x
^ h -
2
1
Ln 1 + cos x
^ h & I =
2
1
Ln
1 + cos x
1 - cos x + cte = Ln
1 + cos x
1 - cos x + cte
A pero sabemos que tag
2
a =
1 + cos 2a
1 - cos 2a
& taga =
1 + cos 2a
1 - cos 2a
por ultimo I = Ln tag
2
x
_ i+ cte
1º Metodo
I =
sen
2
x + 1
cos x
# dx aqui f x
^ h =
sen
2
x + 1
cos x
dx A f r - x
^ h =
sen
2
r - x
^ h + 1
cos r - x
^ h
d r - x
^ h =
sen
2
x + 1
- cos x -dx
^ h
f r - x
^ h =
sen
2
x + 1
cos xdx
= f x
^ h A cambio de variable t = senx
U senx =
1
t
1 = t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
U
cosx= 1-t2
senx=1
t & cosx.dx
aparece enel ejercicio
6 7 8
44444444444
4 44444444444
4
=dt& 1-t2.dx=dt&dx=
1-t2
dt
*
I =
t
2
+ 1
dt
# = arctgt = arctg senx
^ h + cte
2º Metodo
I =
sen
2
x + 1
cos x
# dx tambien se puede ver que es de la forma
u
2
+ 1
l
u
#
u=senx
6 7 8
4444 4444
= arctg u
^ h
asi que I = arctg senx
^ h + cte
I =
1 + 2sen
2
x
dx
# aqui f x
^ h =
1 + 2sen
2
x
dx
A f r + x
^ h =
1 + 2sen
2
r + x
^ h
d r + x
^ h
sen2 r+x
^ h= sen r+x
^ h
6 @2 = -senx
^ h2
6 7 8
4444444444 444444444
4
=
1 + 2sen
2
x
dx
= f x
^ h
luego el cambio de variable U tagx =
1
t
w
2
= t
2
+ 1 & w = 1 + t
2
U
cosx =
1 + t
2
1
; senx =
1 + t
2
t
tagx =
1
t
&
cos
2
x
1
.dx
= 1+t2
^ h.dx
6 7 8
4444
4 4444
4
= dt & 1 + t
2
^ h.dx = dt & dx =
1 + t
2
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
1 + 2
1 + t
2
t
2
1 + t
2
dt
# =
1 + t
2
1 + 3t
2
1 + t
2
dt
# =
1 + 3 t
^ h
2
dt
# =
3
1
1 + 3 t
^ h
2
3 dt
# =
3
1
arctg 3 t
^ h
I =
3
1
arctg 3 t
^ h =
3
1
arctg 3 tagx
^ h
I =
5 + 3 cos x
dx
# aqui f x
^ h =
5 + 3 cos x
dx
y no cumple ninguna de los 3casos primeros
luego el cambio de variable U t = tag
2
x
tambien sabemos que tagx =
1 - tag
2
x
2tag
2
x
=
1 - t
2
2t
tagx =
1 - t
2
2t
y aplicando teorema de pitagoras

w
2
= 1 - t
2
^ h2
+ 2t
^ h2
& w = 1 + t
2
tagx =
1 - t
2
2t
&
derivando
?
como cos x =
1 + t
2
1 - t
2
asi que dx =
1 - t
2
^ h2
2 1 + t
2
^ h
1 + t
2
^ h
2
1 - t
2
^ h2
dt =
1 + t
2
2
dt
cos
2
x
1
dx =
1 - t
2
^ h2
2 1 - t
2
^ h - 2t -2t
^ h
dt =
1 - t
2
^ h2
2 - 2t
2
+ 4t
2
dt =
1 - t
2
^ h2
2 1 + t
2
^ h
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
5 + 3 cos x
dx
# =
5 + 3
1 + t
2
1 - t
2
1 + t
2
2
dt
# =
1 + t
2
8 + 2t
2
1 + t
2
2
dt
# =
2 4 + t
2
^ h
2dt
# =
4 1 +
2
t
` j
2
` j
dt
#
=
4
1
2
1 +
2
t
` j
2
2
1
dt
directa
6 7 8
4444 4444
# =
2
1
arctg
2
t
=
2
1
arctg
2
1
tag
2
x
_ i
8 B+ cte
Ejercicio 22
I = cos
3
x.dx
# aqui f x
^ h = cos
3
x.dx , f r - x
^ h = cos
3
r - x
^ h
cos r-x
^ h=-cosx
6 7 8
444444 444444
.d r - x
^ h
-dx
6 7 8
4444 4444
= cos
3
x.dx = f x
^ h
luego el cambio de variable U t = senx & senx =
1
t
1 = t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
t = senx & dt = cos x.dx
I = cos
2
x.cos x.dx
dt
6 7 8
444 444
=
# 1 - sen
2
x
^ h
# .dt = 1 - t
2
^ h.dt = t -
3
1
# t
3
= senx -
3
1
sen
3
x + cte
Ejercicio 23 es el ejercicio nº14
I = sen
3
x.dx
# aqui f x
^ h = sen
3
x.dx , f -x
^ h = sen
3
-x
^ h
sen -x
^ h=-senx
6 7 8
4444
4 4444
4
.d -x
^ h
-dx
G
= sen
3
x.dx = f x
^ h
luego el cambio de variable U t = cosx & cosx =
1
t
1 = t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
t = cosx & dt =- senx.dx senx = 1 - t
2
I = sen
3
x.dx =
# 1 - t
2
^ h 1 - t
2
# - 1 - t
2
^ h
dt
=- 1 - t
2
^ h.dt =- t +
3
1
# t
3
=- cosx +
3
1
cos
3
x + cte
ax
2
+ bx + c
# .dx
ax
2
+ bx + c
dx
#
para resolver estas int egrales sigue estoas dos pasos:
1º paso
** si a 2 0 UU ax
2
+ bx + c = ax
2
+ bx +
4a
b
2
6 7 8
4444444
4 4444444
4
-
4a
b
2
+ c = a x +
2 a
b
c m
2
-
4a
b
2
- c
a k
4a
b2-4ac =a
6 7 8
4444 4444
=
a x +
2 a
b
cambio por t
1 2 3
444444
4 444444
4
f p
2
+ a A si b
2
- 4ac 1 0
a x +
2 a
b
cambio por t
1 2 3
444444
4 444444
4
f p
2
- a A si b
2
- 4ac 2 0
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
ax
2
+ bx + c =
t
2
+ b
2
siendo b
2
= a 2
t
2
- b
2
siendo b
2
= a 1
)

** si a 1 0 UU ax
2
+ bx + c =- -ax
2
- bx - c
^ h =- -ax
2
- bx +
4 -a
^ h
b
2
-
4 -a
^ h
b
2
- c
c m
=- -a x -
2 -a
b
=t
1 2 3
44444444
4 44444444
4
f p
2
+
4a
b
2
- 4ac
=a
6 7 8
4444 444
4
=- t
2
+ a
ax
2
+ bx + c =- t
2
+ b
2
siendo b
2
= a 3
2º paso
en el caso 1 t
2
- b
2
= b
b
t
` j
2
- 1 UU nos hace recordar la formula tag
2
x =
cos
2
x
1 - 1
luego el cambio sera
cos u
1
=
b
t
& cos u =
t
b
aplicando al triangulo y pitagoras
t
2
= b
2
+ w
2
& w = t
2
- b
2
cos u =
t
b
&- senu.du =-
t
2
b
dt ; senu =
t
t
2
- b
2
en el caso 2 t
2
+b
2
=b b
t
` j
2
+ 1 UU nos hace recordar la formula 1 + tag
2
x =
cos
2
x
1
luego el cambio sera tag u
^ h =
b
t
t
2
+ b
2
= w
2
& w = t
2
+ b
2
tagu =
b
t
&
cos
2
u
1
.du =
b
1
dt ; cosu =
t
2
+ b
2
b
en el caso 3 b
2
-t
2
=b 1-
b
t
` j
2
UU nos hace recordar la formula cos
2
x = 1 - sen
2
x
luego el cambio sera sen u
^ h =
b
t
b
2
= t
2
+ w
2
& w = 1 - t
2
senu =
b
t
& cos u.du =
b
1
dt ; cosu =
b
1 - t
2
veamos unos ejemplos para entenderlo mejor,pero antes recordemos las formulas que necesitaremos
1 + f x
^ h
6 @2
! l
f x
^ h
# dx = ln f x
^ h ! 1 + f x
^ h
6 @2
_ i+ cte senarcsenx = x
cosarccosx = x
f x
^ h
6 @2
- 1
! l
f x
^ h
# dx = ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
- 1
_ i+ cte
1 - f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
- arccos f x
^ h + cte
arcsenf x
^ h + cte
( cos arcsenx = 1 - x
2
senar cos x = 1 - x
2
Ejercicio 24
I =
x
2
- 2x + 5
dx
#
x
2
- 2x + 5 = x
2
- 2x + 1
4a
b2
?
- 1
4a
b2
?
+ 5 = x - 1
^ h2
+ 2
2
aqui t = x - 1 & dt = dx y b = 2
luego I =
t
2
+ 2
2
dt
# =
2
2
t
` j
2
+ 1
dt
# =
2
t
` j
2
+ 1
2
1
dt
# = Ln
2
t +
2
t
` j
2
+ 1
: C = Ln
2
x - 1
` j+
2
x - 1
` j
2
+ 1
: C

Ejercicio 25
I =
3x
2
- x - 4
dx
#
3x
2
- x - 4 = 3x
2
- x +
12
1
4a
b2
@
-
12
1
4a
b2
@
- 4 = 3 x -
2 3
1
t
6 7 8
444444
4 444444
4
f p
2
-
2 3
7
c m
2
t = 3 x -
2 3
1
& dt = 3 dx &
3
dt
= dx luego I =
t
2
-
2 3
7
c m
2
3
dt
# =
2 3
7
7
2 3 t
c m
2
- 1
3
dt
# =
7
2
7
2 3 t
c m
2
- 1
dt
#
I =
7
2
2 3
7
7
2 3 t
c m
2
- 1
7
2 3
dt
# =
3
3
Ln
7
2 3 t
+
7
2 3 t
c m
2
- 1
< F + cte
Ejercicio 26
I = x
2
- 4x - 5
# .dx
x
2
- 4x - 5 = x
2
- 4x +
4
16
4a
b2
@
-
4
16 - 5 = x - 2
t
D
a k
2
- 3
2
haciendo cambio x - 2 = t & dx = dt
I = t
2
- 3
2
# dt = 3
3
t
` j
2
- 1
# dt lo que esta redondeado en azul nos recuerda la formula trigon. tag
2
x =
cos
2
x
1 - 1
asi que hagamos por 2º vez cambio de variable
cos u
1
=
3
t
& cos u =
t
3
&- senu.du =- 3t
-2
dt & dt =
3
senu
cos
2
u
9
du
I = 3 tag
2
u
# .
3
senu
cos
2
u
9
du = 9 sen
2
u. cos
-3
u.du = 9 senu.cos
-3
u.
#
# senu.du
dv = cos-3
udcosu & v =
2
-1
cos-2
u
w = senu & dw = cosudu
)
I =
2
-1
senu. cos
-2
u +
2
1
cos u
1
# du y como sabemos que
cos x
1
=
2
1
1 + senx
cos x +
1 - senx
cos x
7 A
I =
2
-1
senu. cos
-2
u +
4
1
Ln
1 - senu
1 + senu
ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando
3
2
+ w
2
= t
2
& w = t
2
- 3
2
senu =
t
t
2
- 3
2
cos u =
t
3
& cos
-1
u =
3
t
I =
2
-1
t
t
2
- 3
2
3
t
` j
2
+
4
1
Ln
1 -
t
t
2
- 3
2
1 +
t
t
2
- 3
2
luego la t = x - 2
I =
2
-1
3
x
2
- 4x - 5
x - 2
^ h +
4
1
Ln
1 - x
2
- 4x - 5
1 + x
2
- 4x - 5
+ cte
INTEGRALES DE LA FORMA
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
# .dx
1º
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
= Q x
^ h ax
2
+ bx + c
^ hl+
ax
2
+ bx + c
m
***
siendo Q x
^ hun polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x
^ h = grado de P x
^ h - 1 m nº real a determinar
INTEGRALES DE LA FORMA
ax + b
^ hn
ax
2
+ bx + c
dx
#
Para esta clase de integrales se hace cambio de variable ax + b =
t
1
asi poder transformarla en
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
# .dx
Se le denomina Metodo Aleman

Asi que veamos algunos ejemplos paso a paso para poder entenderlos mejor
Ejercicio 27
I =
x
2
- 2x + 5
x
2
- x
# dx aqui P x
^ h = x
2
- x A es de grado 2 asi que Q x
^ hes de grado 1 & Q x
^ h = ax + b
luego
x
2
- 2x + 5
x
2
- x
= ax + b
^ h x
2
- 2x + 5
6 @l+
x
2
- 2x + 5
m
= a x
2
- 2x + 5 + ax + b
^ h
2 x
2
- 2x + 5
2 x - 1
^ h
+
x
2
- 2x + 5
m
=
x
2
- 2x + 5
a x
2
- 2x + 5
^ h
+
x
2
- 2x + 5
ax + b
^ h x - 1
^ h
+
x
2
- 2x + 5
m
=
x
2
- 2x + 5
2ax
2
+ x -3a + b
^ h + 5a - b + m
^ h
asi que 2a = 1 & a =
2
1
3a - b = 1 & b =
2
1
5a - b + m = 0 & m =- 2
ahora si
x
2
- 2x + 5
x
2
- x
=
2
1
x +
2
1
` j x
2
- 2x + 5
8 B
l
+
x
2
- 2x + 5
-2
x
2
- 2x + 5
x
2
- x
dx
# =
2
1
x +
2
1
` j x
2
- 2x + 5
8 B
l
# - 2
x
2
- 2x + 5
dx
#
ejercicio nº 24
6 7 8
44444444
4 44444444
4
=
2
1
x +
2
1
` j x
2
- 2x + 5 - 2 Ln
2
x - 1
` j+
2
x - 1
` j
2
+ 1
: C
a k
Ejercicio 28
I =
2x + 1
^ h3
3x
2
- x - 4
dx
# haciendo cambio de variable 2x + 1 =
t
1
& x =
2t
1 - t
& dx =
2t
2
-1
dt
una sustituido queda I =
-11t
2
- 8t + 3
-t
2
dt
# P t
^ hes de grado 2 & Q t
^ h = at + b
-11t
2
- 8t + 3
-t
2
= at + b
^ h -11t
2
- 8t + 3
6 @l+
-11t
2
- 8t + 3
m
=
-11t
2
- 8t + 3
a -11t
2
- 8t + 3
^ h
+
-11t
2
- 8t + 3
at + b
^ h -11t - 4
^ h
+
-11t
2
- 8t + 3
m
-11t
2
- 8t + 3
-t
2
=
-11t
2
- 8t + 3
a -11t
2
- 8t + 3
^ h + at + b
^ h -11t - 4
^ h + m
una vez despejado los valores de a b y m y sustituirlos en la formula
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
= Q x
^ h ax
2
+ bx + c
^ hl+
ax
2
+ bx + c
m
y int egrandolo quedara asi
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
=
# Q x
^ h ax
2
+ bx + c +
ax
2
+ bx + c
m
# dx
asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior
a
f x
^ h
# .dx
a
f x
^ h
# .dx para este tipo de int egrales se hace cambio de variable t = f x
^ h
Ejercicio 29
I = e
2x+1
# dx cambio variable t = 2x + 1 & dt = 2dx
I =
2
1
e
t
# dt =
2
1
e
t
=
2
1
e
2x+1
+ cte
R x;
cx + d
ax + b
` jq
p
,
cx + d
ax + b
` js
r
,.........,
cx + d
ax + b
` jv
n
: D
# .dx
+
` j ^ h

para estos tipos de int egrales se hace el cambio de variable
cx + d
ax + b
` j = t
n
siendo n = m.c.m q,s,.....,v
^ h
Recordatorio
m.c.m = minimo comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor exponente
^ h
Ejercicio 30
I =
1 - 2x
^ h3
2
- 1 - 2x
^ h2
1
dx
# cambio variable 1 - 2x = t
6
porque m.c.m 3,2
^ h = 6
1 - 2x = t
6
&- 2dx = 6t
5
dt & dx =- 3t
5
dt , t = 1 - 2x
6
I =
t
4
- t
3
-3t
5
dt
# =
t
3
t - 1
^ h
-3t
5
dt
# =- 3
t - 1
t
2
# dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi
I =- 3 t + 1
^ h
# dt - 3
t - 1
1
dt
# =
2
-3
t
2
- 3t - 3Ln t - 1
=
2
-3
1 - 2x
3
- 3 1 - 2x
6
- 3Ln 1 - 2x
6
- 1 + cte
** Integral de Riemann
f x
^ hdx AA f x
^ h
a
b
#
es una funcion continua en a,b
6 @
representa el area comprendida entre el eje ox , la curva de f x
^ h y las dos abscisas x = a y x = b
las areas situadas encima del eje ox son + y las situadas debajo del eje ox son -
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Regla de Brrow
f x
^ hdx
a
limite inferiorAeje x
S
b
limite superiorA ejex
?
# = f x
^ h
#
: C
a
b
= F b
^ h - F a
^ h siendo F la primitiva de f ; f
# = F ( d f
#
a k = d F
^ h ( f = l
F
Propiedades
1 f x
^ h
a
a
# dx = 0 ; 2 f x
^ h
a
b
# dx =- f x
^ h
b
a
# dx ; 3 f x
^ h ! g x
^ h
6 @
a
b
# dx = f x
^ hdx ! g x
^ h
a
b
#
a
b
# dx
4 k.f x
^ h
a
b
# dx = k. f x
^ h
a
b
# dx ; 5 f x
^ h
a
b
# dx = f x
^ h
a
c
# dx + f x
^ h
c
b
# dx c d a,b
6 @
6 si f x
^ h $ 0 en a,b
6 @ ( f x
^ h
a
b
# dx $ 0
7 si f x
^ h # 0 en a,b
6 @ ( f x
^ h
a
b
# dx # 0
8 si f x
^ h # g x
^ h en a,b
6 @ ( f x
^ h
a
b
# dx # g x
^ h
a
b
# dx
Teorema del valor medio
f una funcion continua en a,b
6 @ ( 7 c d a,b
^ h/ f x
^ h
a
b
# dx = f c
^ h b - a
^ h
Integrales Impropias
I = f x
^ h
a
b
# dx , si f x
^ h no es continua en c d a,b
6 @ ( I = lim
x"c
f x
^ h
a
c
# dx + lim
x"c
f x
^ h
c
b
# dx
si el limite existe y es finito & I es convergente
si el limite es 3 & I es divergente
Propiedades
f x
^ hdx = lim
b"+3
a
+3
# f x
^ h
a
b
# dx siendo f acotada en a, + 3
6 6
f x
^ hdx = lim
a"-3
-3
b
# f x
^ h
a
b
# dx siendo f acotada en -3,b
@ @
f x
^ hdx = lim
a"-3
-3
+3
# f x
^ h
a
c
# dx + lim
b"+3
f x
^ h
c
b
# dx

Ejercicio 31
I =
x
dx
0
1
# , la funcion f x
^ h =
x
1
en el intervalo 0,1
6 @ la funcion no esta en 0 asi que es una integral impropia luego
I = lim
a"0 x
dx
a
1
# = lim
a"0
2 x
6 @a
1
= lim
a"0
2 - 2 a
^ h = 2 ( I converge
Ejercicio 32
I =
x - 1
^ h2
dx
0
4
# ,aqui f x
^ h =
x - 1
^ h2
1
A D f = R - 1
" , y como estamos en el intervalo 0,4
6 @ f no es continua en x = 1
asi que I = lim
a"1 x - 1
^ h2
dx
0
a
#
; E + lim
a"1 x - 1
^ h2
dx
a
4
#
; E = lim
a"1 x - 1
-1
8 B
0
a
+ lim
a"1 x - 1
-1
8 B
a
4
= lim
a"1 a - 1
-1 - 1
` j
=3
1 2 3
44444444 44444444
+ lim
a"1 3
-1 +
a - 1
1
` j
=3
1 2 3
4444444444 4444444444
( I es divergente auque llegara a ser uno nada mas 3 I seria divergente
^ h
Ejercicio 33
I = 2x - 1
0
2
# dx 1º paso es descomponer el valor absoluto
2x - 1 =
-2x + 1 si x 1
2
1
2x - 1 si x $
2
1
*
al descomponer el valor absoluto f A funcion a trozos y
2
1
d 0,2
6 @
I = -2x + 1
^ h
0
2
1
# dx + 2x - 1
^ h
2
1
2
# dx = -x2
+ x
6 @0
2
1
+ x2
- x
6 @2
1
2
............................
Cambio de variable
** f g x
^ h
6 @
a
b
# l
g x
^ hdx = f u
^ hdu
g a
^ h
g b
^ h
#
para mejor entenderlo veamos un par de ejercicios
Ejercicio 34
I = x x
2
+ 1
^ h3
dx
0
1
# , aqui f x
^ h = x x
2
+ 1
^ h3
f es continua en R,luego f continua en 0,1
6 @ & I no es impropia
para resolver la integral hagamos cambio de variable u = x
2
+ 1 & du = 2x.dx &
2
du
= x.dx
si x = 1 & u = 2
si x = 0 & u = 1
$ . ( I =
2
1
u
3
du =
2
1
1
2
# 4
u
4
: C
1
2
=
8
15
Ejercicio 35
I = r2
- x2
dx
0
r
# A cambio de variable
x = r.sent & dx = rcost.dt
si x = r & sent = 1 & t =
2
r
si x = 0 & sent = 0 & t = 0
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
asi que I = r
2
- r
2
sen
2
t
0
2
r
# .r.cost.dt = r
2
1 - sen
2
t
0
2
r
# .cost.dt = r
2
cos
2
t.dt
0
2
r
# = 2
r
2
1 + cos2t
^ hdt
0
2
r
#
I =
2
r
2
t +
2
sen2t
8 B0
2
r
= 2
r
2
2
r - 0
_ i = 4
rr
2
Area = A siempre es 5
A = f x
^ h
a
b
# dx = parte que esta encima del eje x - la parte que esta por debajo del eje x
^ h
a
b
#
Area de 2 funciones f y g es A = f x
^ h - g x
^ h
a
b
# dx
Longitud = S = 1 + l
f x
^ h
6 @2
a
b
# dx
Volunen = V = Area x
^ h
a
b
# dx

f(x).dx
x=a
x=b
# f(y).dy
y=a
y=b
#
Area de una función respecto al eje x
Para hallar el area de la función respecto al eje X
se hacen cortes verticales al eje X n - isema en forma
de rectangulos de altura ri y anchura dx
asin que el area es el sumatorio de todas las areas
de los rectangulos como se ve en la figura de al lado
A = ri
i=1
n
/ .dx = ri
a
b
# .dx siendo
ri = altura y esta definida por la función f(x)
dx = anchura del rectangulo
luego A = f(x)
x=a
x=b
# .dx = f(x)
a
b
# .dx
f(x)

Area de una función respecto al eje y
Para hallar el area de la función respecto al eje Y
se hacen cortes verticales al eje Y n - isema en forma
de rectangulos de anchura ri y altura dy
asin que el area es el sumatorio de todas las areas
de los rectangulos como se ve en la figura de al lado
A = ri
i=1
n
/ .dy = ri
a
b
# .dy siendo
ri = anchura y esta definida por la función f(y)
dy = altura del rectangulo
luego A = Area = f(y)
y=a
y=b
# .dy = f(y)
a
b
# .dy
Area formada entre dos funciónes respecto al eje x
Area de f(x)"Bolas en negro
Area de g(x)"bolas en rojo
Los pasos a seguir son los seguientes:
1º sacar los puntos de interseccion entre f(x) y g(x)
f(x) = g(x) ,
x = b
x = a
$ siendo a 1 b asi que a es el limite inferior,b limite superior
2º esbozar las graficas y por ultimo calcular la integral
f(x)

Metodo de los discos
consiste en girar una region del plano al rededor de un eje (X) asi obtenemos un sólido de revolución.
** dividiendo el solido en sectores circulares(discos) ** haciendo cortes = al eje de rotación
** el radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotación hacia la función original.(no hacia el reflejo)
** en los discos el radio varia de un disco a otro;pero siempre queda determinado por la funcion en cuestion y su grosor
es el mismo para todos los discos, ver la imagen
En la imagen el eje de rotacion es el eje X
ri = el radio del disco = f(x)
dx = altura del disco
V = V de los discos
^ h
/
asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri
2
.dx
V = Vi
i=1
i=n
/ = r.r
2
.dx = r f x
^ h
6 @
a
b
#
a
b
#
2
dx
Determinar el Volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la funcion sobre eje Y
es exactamente igual que el anterior lo unico que cambia es el eje de ratacion Y
ri = radio del disco eje rotacion " funcion f(y)
6 @,cortes = al eje de ratacion ver imagen de abajo
^ h
dy = altura del disco ; V = V de los discos
^ h
/
asi que el volumen queda determinado por: Vi = r.ri
2
.dy
V = Vi
i=1
i=n
/ = r.r
2
.dy = r f y
^ h
6 @
a
b
#
a
b
#
2
dy
x
y
y
x
x
y
x
y

Volumen generado entre dos funciones
ver imagenes para entenderlo mejor
Ri = radio de la funcion f(x)
ri = radio de la funcion g(x)
*** rotacion respecto al eje X
^ h
Vi = volumen del disco = r Ri
2
- ri
2
^ h.dx
V = Vi
i=1
n
/ = r R
2
- r
2
^ hdx = r f(x)
^ h2
- g x
^ h
^ h2
6 @.dx
a
b
#
a
b
#
*** rotacion respecto al eje Y
^ h
Vi = volumen del disco = r Ri
2
- ri
2
^ h.dy
V = Vi
i=1
n
/ = r R
2
- r
2
^ hdy = r f(y)
^ h2
- g y
^ h
^ h2
6 @.dy
a
b
#
a
b
#
Rotación < al eje de ordenadas(eje y)
otro metodo que permite la obtención del volumen generado por el giro de una area
comprendida entre 2 funciones cualesquiera,f(x) y g(x) en un intervalo a,b
6 @ tales que
f(x) 2 g(x) en a,b
6 @ alrededor de un eje de revolucion < al eje de ordenadas x = k(cte) 2 0
La formula del volumen es:
V = 2r x - k
^ h f(x) - g(x)
6 @
a
b
# dx
Observación:
x - k
^ h 2 0 , la recta x = k se encuentra a la izquierda de la región comprendida entre f(x) y g(x)
Para los ejes de rotaciones verticales Y
V = 2r x.h(x).dx ; siendo h(x) =
funcion de derecha - la izquierda
funcion de arriba - funcion de abajo
%
a
b
#
Para los ejes de rotaciones horizontales Y
V = 2r y.h(y).dy ; siendo h(y) =
funcion de derecha - la izquierda
funcion de arriba - funcion de abajo
%
c
d
#
x
y
Mas adelante veremos algunos ejercicios y con la practica se entendera mejor.

Ejercicio 36
I =
a - x
2
^ h2
3
dx
#
I =
a - x
2
^ h2
3
dx
# =
a - x
2
^ h3
dx
# =
a - x
2
^ h a - x
2
^ h
dx
# =
a - x
2
^ h a 1 -
a
x
a k
2
c m
dx
# = I
1 -
a
x
a k
2
nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen
2
x = cos
2
x
asi que hacemos cambio de variable sent =
a
x
& x = a sent & dx = a cos t dt
I =
a - asen
2
t
^ h a 1 - sen
2
t
^ h
a cos t dt
# =
a cos
2
t cos t a
a cos t dt
# =
a
1
cos
2
t
dt
# =
a
1
tgt
y como tgt =
a - x
2
x
entonces I =
a
1
a - x
2
x
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 37
I =
a + x
2
^ h2
3
dx
#
I =
a + x
2
^ h2
3
dx
# =
a + x
2
^ h3
dx
# =
a + x
2
^ h a + x
2
^ h
dx
# =
a + x
2
^ h a 1 +
a
x
a k
2
c m
dx
# = I
1 +
a
x
a k
2
nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 + tg
2
x =
cos
2
x
1
asi que hacemos cambio de variable tgt =
a
x
& x = a tgt & dx = a
cos
2
t
1
dt
I =
a + a tg
2
t
^ h a 1 + tg
2
t
^ h
a
cos
2
t
1
dt
# =
a
cos
2
t
1
cos t
1
a
a
cos
2
t
1
dt
# =
a
cos t
1
dt
# =
a
1
cos t dt =
a
1
# sent
y como sent =
a + x
2
x
luego I =
a a + x
2
^ h
x
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 38
I =
a - x
a + x
# dx
a - x
a + x
# dx =
a - x a - x
a + x a - x
# dx =
a - x
a
2
- x
2
# dx =
a - x
a
2
1 -
a
x
_ i
2
` j
# dx = I
1 -
a
x
_ i
2
nos hace pensar en en la formula trigonometrica 1 - sen
2
x = cos
2
x
asi que hacemos cambio de variable sent =
a
x
& x = asent & dx = a cos t dt
t = arcsen
a
x
I =
a - asent
a
2
1 - sen
2
t
^ h
# a cos t dt =
a 1 - sent
^ h
a cos t a cos t dt
# =
a 1 - sent
^ h
a
2
cos
2
t dt
#
=
a 1 - sent
^ h
a
2
1 - sen
2
t
^ h
dt = a 1 + sent
^ h
#
# dt = a 1 + sent
^ h
# dt = a 1dt + a sent dt
#
#
= at - a cos t + cte = a arcsen
a
x
- a
2
- x
2
+ cte
---------------------------------

Ejercicio 39
I =
7
3x-5
4
# dx
7
3x-5
4
# dx = 4.7
-3x+5
# dx = I como sabemos que todas las int egrales de la forma a
f x
^ h
# dx se le hace
cambio de variable t = f x
^ h asi que t =- 3x + 5 & dt =- 3dx & dx =
-3
dt
luego queda
I = 4 7
t
# -3
dt
=
3
-4
7
t
# dt =
3
-4
7
t
.
ln 7
1
aplicando la formula a
f x
^ h
# . l
f x
^ hdx = a
f x
^ h
.
ln a
1
por ultimo I =
3 ln 7
-4
7
-3x+5 + cte
---------------------------------
Ejercicio 40
Demostracion de la formula 16
1 - f x
^ h
^ h2
l
f x
^ h
# dx =
2
1
ln
1 - f x
^ h
1 + f x
^ h
= ln
1 - f x
^ h
1 + f x
^ h
1 - f x
^ h
^ h2
l
f x
^ h
# dx = I en el deno min ador tenemos 1 - f x
^ h
^ h2
nos hace pensar en 1 - sen
2
x
asi que hacemos cambio de variable sent = f x
^ h & cos t dt = l
f x
^ hdx
I =
1 - sen
2
t
cos t dt
# =
cos
2
t
cos t dt
# =
cos t
dt
# utilizando la formula
cost
1
=
2
1
1 + sent
cost +
1 - sent
cost
8 B
I =
2
1
1 + sent
cos t
# dt +
2
1
1 - sent
cos t
# dt =
2
1
ln 1 + sent -
2
1
ln 1 - sent =
2
1
ln
1 - sent
1 + sent
=
2
1
ln
1 - f x
^ h
1 + f x
^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 41
Demostracion de la formula 13 en forma generalizada I =
a2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx siendo a ! 0
a
2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
a
2
1 +
a
f x
^ h
a k
2
nos hace recordar 1+tg2
1 2 3
444444 444444
> H
l
f x
^ h
# dx
asi que tagt =
a
f x
^ h
(
t = arctag
a
f x
^ h
1 + tag
2
t
^ hdt =
a
l
f x
^ h
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
haciendo los cambios queda
I =
a
2
1
1 +
a
f x
^ h
: C
2
a
a
l
f x
^ h
dx
# =
a
2
a
1 + tagt
1 + tag
2
t
^ hdt
# =
a
1
1dt
# =
a
1
t =
a
1
arctag
a
f x
^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 42
I =
1 + x
2
dx
#
1 + x
2
dx
# =
1 + x
^ h2
dx
# = arctagx + cte
---------------------------------
Ejercicio 43
I =
1 + x
4
2x.dx
#
1 + x
4
2xdx
# =
1 + x
2
^ h2
2x dx
# = arctagx
2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 44
I =
5 + x
4
2x dx
#

5 + x
5 + x
4
2x dx
# =
5
^ h
2
+ x
2
^ h2
2x dx
# =
5
1
arctag
5
x
2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 45
a2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx siendo f x
^ h !! a
a
2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
a
2
1 -
a
f x
^ h
a k
2
nos hace recordar 1-sen2
1 2 3
444444 444444
> H
l
f x
^ h
# dx
asi que sent =
a
f x
^ h
(
t = arcsen
a
f x
^ h
cost dt =
a
l
f x
^ h
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a
2
1
1 -
a
f x
^ h
: C
2
a
a
l
f x
^ h
dx
# =
a
2
a
1 - sen
2
t
cost dt
# =
a
1
cos
2
t
cost dt
# =
a
1
cost
1 dt
#
y como sabemos que
cost
1
=
cos
2
t
cost
=
1 - sen
2
t
cost
=
1 - sent
^ h 1 + sent
^ h
cost
=
2
1
1 - sent
cost +
1 + sent
cost
8 B
luego I =
2a
1
1 + sent
cost
# dt +
2a
1
1 - sent
cost
# dt =
2a
1
Ln 1 + sent -
2a
1
Ln 1 - sent
I =
2a
1
Ln
1 - sent
1 + sent
=
2a
1
Ln
1 -
a
f x
^ h
1 +
a
f x
^ h
=
2a
1 Ln
a - f x
^ h
a + f x
^ h
---------------------------------
Ejercicio 46
I =
1 - x
2
dx
#
1 - x
2
dx
# =
1 - x
^ h2
1.dx
# =
2
1
Ln
1 - x
1 + x + cte siendo x !! 1
---------------------------------
Ejercicio 47
I =
3 - x
4
2x.dx
#
3 - x
4
2x.dx
# =
3
^ h
2
- x
2
^ h2
2x.dx
# =
2 3
1
Ln
3 - x
2
3 + x
2
+ cte siendo x
2
! 3
---------------------------------
Ejercicio 48
a2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx
I =
a
2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
a 1 -
a
f x
^ h
: C
2
nos hace recordar 1-sen2
1 2 3
444444 444444
l
f x
^ h
# dx
asi que sent =
a
f x
^ h
(
t = arcsen
a
f x
^ h
cost dt =
a
l
f x
^ h
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a
1
1 -
a
f x
^ h
: C
2
a a
l
f x
^ h
dx
# =
1 - sen2
t
cost dt
# =
cos2
t
cost dt
# = 1dt = t
# + cte

I = arcsen a
f x
^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 49
I =
1 - x
2
dx
#
1 - x
2
dx
# = arcsenx + cte AA aplicando la formula
a2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx = arcsen
a
f x
^ h
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 50
I =
9 - x
4
2x.dx
#
9 - x
4
2x.dx
# =
3
2
- x
2
^ h2
2x.dx
# = arcsen
3
x
2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 51
I =
9 - 2x - 1
^ h2
dx
#
9 - 2x - 1
^ h2
dx
# =
hagamos que aparezca el 2
S
d 2x-1
^ h =2
6 7 8
4444444444
4 4444444444
4
2
1
3
2
- 2x - 1
^ h2
2.dx
# =
2
1
arcsen
3
2x - 1 + cte
---------------------------------
En las integrales antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos
fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a algúna integral inmediata
y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas
Ejercicio 52
a2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx
I =
a
2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
a 1 +
a
f x
^ h
: C
2
nos hace recordar 1+tag2
1 2 3
444444 444444
l
f x
^ h
# dx
asi que tagt =
a
f x
^ h
(
t = arctag
a
f x
^ h
, sent =
a
2
+ f x
^ h
6 @2
f x
^ h
cos
2
t
1
dt =
a
l
f x
^ h
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a
1
1 +
a
f x
^ h
: D
2
a a
l
f x
^ h
dx
# =
cos
2
t
1
cos
2
t
1
dt
# =
cost
1
cos
2
t
1
dt
# =
cost
1
dt =
ya visto en ejercicio 45
?
2
1
# Ln
1 - sent
1 + sent
asi que I =
2
1
Ln
1 -
a
2
+ f x
^ h
6 @2
f x
^ h
1 +
a
2
+ f x
^ h
6 @2
f x
^ h
=
2
1
Ln
-f x
^ h + a
2
+ f x
^ h
6 @2
f x
^ h + a
2
+ f x
^ h
6 @2
---------------------------------
Ejercicio 53
I =
1 + x
2
dx
#
1 + x
2
dx
# =
2
1
Ln
-x + 1 + x
2
x + 1 + x
2
+ cte
---------------------------------

Ejercicio 54
I =
5 + x
4
2x.dx
#
5 + x
4
2x.dx
# =
5
^ h
2
+ x2
^ h2
2x.dx
# =
2
1
Ln
-x
2
+ 5 + x
4
x
2
+ 5 + x
4
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 55
I =
x
2
+ 1
x
2
- 1
# dx
x
2
+ 1
x
2
- 1
# dx =
x
2
+ 1
x
2
+ 1 - 2
# dx =
x
2
+ 1
x
2
+ 1
# dx - 2
x
2
+ 1
dx
# = 1.dx - 2
1 + x
2
dx
#
# = x - 2arctagx + cte
---------------------------------
Ejercicio 56
I =
1 + x
6
x
2
# dx
1 + x
6
x
2
# dx =
1 + x
3
^ h2
x
2
# dx =
3
1
1 + x
3
^ h2
3x
2
# dx =
3
1
arctagx
3
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 57
I =
x
2
Lnx
# dx
I =
x
2
Lnx
# dx en la integral tenemos dos funciones distintas (una logaritmica y algebraica)
asi que la integral la resolveremos por partes fijandonos en en la palabra
I
funcion inversa
?
L
funcion logaritmica
S A
funcion algebraica
?
T
funcion trigonometrica
S E
funcion exponencial
?
U es la primera funcion que aparezca en la palabra ILATE
dV es la segunda funcion que aparezca en la palabra ILATE
asi que
u = Lnx ( du =
x
1
dx
dv =
x
2
1
dx & v =-
x
1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
& I =-
x
1
Lnx -
x
-1
# x
1
dx =
x
-Lnx +
x
2
1
# dx =
x
-Lnx -
x
1 + cte
---------------------------------
Ejercicio 58
I =
x
Ln Lnx
^ h
# dx
I =
x
Ln Lnx
^ h
# dx haciendo cambio de variable t = Lnx & dt =
x
1
dx
luego I queda de la seguiente manera I =
x
Ln Lnx
^ h
# dx = Ln Lnx
^ h
# x
1
dx = Lnt dt
#
asi que u = Lnt ( du =
t
1
dt
dv = dt & v = t
* & I = t Lnt - t
# t
1
dt = t Lnt - t + cte = Lnx.Ln Lnx
^ h - Lnx + cte
---------------------------------
Ejercicio 59
I =
x.Lnx
dx
#
x.Lnx
dx
# =
Lnx
x
1
# dx haciendo cambio variable t = Lnx & dt =
x
1
dx
luego I =
t
dt
# = Lnt = Ln Lnx + cte
---------------------------------

Ejercicio 60
I =
x - 1
x + 1
# dx
I =
x - 1
x + 1
# dx haciendo cambio variable t
2
= x - 1 &
t =! x - 1
2tdt = dx
'
I =
t
t
2
+ 1 + 1
^ h2tdt
# = 2 t
2
+ 2
^ h
# dt =
3
2
t
3
+ 4t =!
3
2
x - 1
^ h2
3
! 4 x - 1 + cte
---------------------------------
Ejercicio 61 - 62
I = e
ax
.cosbx.dx
#
sea J = e
ax
.senbx.dx
#
1 I + i.J = e
ax
cosbx + isenbx
^ h
eibx
6 7 8
444444444 444444444
# dx = e
ax
.
# e
ibx
.dx = e
ax+ibx
# .dx = e
ax+ibx
a + ib
1
= e
ax
.e
ibx
a + ib
1
2 I - iJ = e
ax
cosbx - isenbx
^ h
6 7 8
444444444 444444444
# dx = e
ax
cos -bx
^ h + isen -bx
^ h
^ h
cos -b
^ h=cos b
^ h . sen -b
^ h=-senb , e-ibx
6 7 8
44444444444444 44444444444444
e-ibx=cos -bx
^ h+isen -bx
^ h
1 2 3
4444444444444444444
4 4444444444444444444
4
# dx = e
ax
.
# e-ibx
.dx = e
ax-ibx
# .dx = e
ax-ibx
a - ib
1
I - iJ = e
ax
.e-ibx
a - ib
1
1 + 2 = 2I = e
ax
.e
ibx
a + ib
1 + e
ax
.e-ibx
a - ib
1
= e
ax
e
ibx
a + ib
1
+ e-ibx
a - ib
1
8 B = e
ax
a + ib
cosbx + isenbx
+
a - ib
cosbx - isenbx
8 B
2I = e
ax
a
2
+ b
2
a.cosbx - ib.cosbx + ai.senbx + b.senbx + a.cosbx + ib.cosbx - ai.senbx + b.senbx
; E =
2I = e
ax
a
2
+ b
2
2a.cosbx + 2b.senbx
: D
I =
a
2
+ b
2
e
ax
a.cosbx + b.senbx
6 @ , para hallar eax
.senbx.dx
# basta con restar 1 - 2 y hacer mismos calculos
y el resultado de e
ax
.senbx.dx
# =
a
2
+ b
2
e
ax
-b.cosbx + a.senbx
6 @
2º metodo
I = eax
.cosbx.dx
# tenemos 2 funciones ! lo resolvemos por partes
dv = e
ax
& v = e
ax
a
1
u = cosbx & du =- b.senbx.dx
) ( I = cosbx.e
ax
a
1 -
a
1
e
ax
# -b.senbx
^ hdx = cosbx.e
ax
a
1 +
a
b
e
ax
# senbx
^ hdx
volviendo a integrar por partes
dv = e
ax
& v = e
ax
a
1
u = senbx & du = b.cosbx.dx
) ( I =
a
1
e
ax
.cosbx +
a
b
a
1
e
ax
.senbx - a
b
eax
.cosbx.dx
#
: C
I =
a
1
e
ax
.cosbx +
a
2
b
e
ax
.senbx -
a
2
b
2
eax
.cosbx.dx
#
I
6 7 8
44444444 44444444
, I +
a
2
b
2
I =
a
1
e
ax
.cosbx +
a
2
b
e
ax
.senbx
, I 1 +
a
2
b
2
c m
=
a2
a2
+b2
6 7 8
4444 4444
=
a
2
a
e
ax
.cosbx +
a
2
b
e
ax
.senbx , I =
a
2
+ b
2
e
ax
a.cosbx + b.senbx
6 @
---------------------------------
Ejercicio 63
I =
x
x + 1
# dx
x
x + 1
# dx ; haciendo cambio de variable x = tag
2
t ( dx = 2tagt 1 + tag
2
t
^ hdt
I =
tagt
1 + tag
2
t
# 2tagt 1 + tag
2
t
^ hdt = 2 1 + tag
2
t
^ h
# d tagt
^ h = 2tagt +
3
2
tag
3
t + cte = 2 x +
3
2
x
^ h
3
+ cte

2º metodo
x
x + 1
# dx =
x
x
# dx +
x
1
# dx = x 2
1
# dx + x 2
-1
# dx =
3
2
x2
3
+ 2x2
1
+ cte
3º metodo
x
x + 1
# dx ; haciendo cambio de variable x = t (
2 x
1
dx = dt ( dx = 2t.dt , luego
x
x + 1
# dx =
t
t
2
+ 1
# 2.t.dt =
=
3
2
t
3
+ 2t =
3
2
x
^ h
3
+ 2 x + cte
---------------------------------
Ejercicio 64
I =
1 + x
2
^ h2
x
2
# dx
I =
1 + x
2
^ h2
x
2
# dx
dv =
1 + x
2
^ h2
x
dx ( v =
2 1 + x
2
^ h
-1
u = x ( du = dx
* ( I =
2 1 + x
2
^ h
-x +
2
1
1 + x
2
dx
# =
2 1 + x
2
^ h
-x +
2
1
arctagx + cte
2º metodo
I =
1 + x
2
^ h2
x
2
# dx ; haciendo cambio de variable x = tagt (
t = arctagx & dt =
1 + x
2
dx
dx = 1 + tag
2
t
^ hdt
*
I =
1 + x
2
^ h2
x
2
# dx =
1 + tag
2
t
^ h2
tag
2
t. 1 + tag
2
t
^ hdt
# =
1 + tag
2
t
^ h
tag
2
t.dt
# =
cos
2
t
1
cos
2
t
sen
2
t
# dt = sen
2
t.dt
#
I =
2
1 - cos2t
# dt =
2
1
1 - cos2t
6 @
# dt =
2
1
t -
4
1
sen2t =
2
1
t -
2
1
sent.cost =
2
1
arctagx -
2
1
1 + x
2
x
1 + x
2
1 + cte
I =
2
1
arctagx -
2
1
1 + x
2
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 65
I = cos
2
x.cos2x.dx
#
I = cos
2
x.cos2x.dx =
2
1 + cos2x
#
# cos2x dx =
2
1
cos2x + cos
2
2x
^ h
# dx =
2
1
cos2x dx +
2
1
# cos
2
2x.dx
#
I =
4
1
sen2x +
2
1
2
1 + cos4x
# =
4
1
sen2x +
4
1
dx +
4
1
# cos4x dx
# =
4
1
sen2x +
4
1
x +
16
1
sen4x + cte
2º metodo
I = cos
2
x.cos2x.dx
# ; sea J = sen
2
x.cos2x.dx
#
1 I + J = cos
2
x.cos2x +
# sen
2
x.cos2x.dx = cos2x. cos
2
x + sen
2
x
^ h
# dx = cos2x.
# dx =
2
1
sen2x
2 I - J = cos2x cos
2
x - sen
2
x
^ h
# dx = cos2x.cos2x.dx = cos
2
#
# 2x.dx =
2
1 + cos4x
dx
# =
2
1
x +
8
1
sen4x
1 + 2 = 2I =
2
1
sen2x +
2
1
x +
8
1
sen4x ( I =
4
1
sen2x +
4
1
x +
16
1
sen4x + cte
---------------------------------

Ejercicio 66
I =
a + b x
dx
#
I =
a + b x
dx
# ; cambio de variable t = a + b x (
dt =
2 x
b
dx & dt =
b
2 t - a
^ h
b
dx & dx =
b
2
2 t - a
^ h
dt
x =
b
t - a
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a + b x
dx
# =
t
b
2
2 t - a
^ h
# dt =
b
2
2
t
t - a
# dt =
b
2
2
1 -
t
a
_ i
# dt =
b
2
2
dt -
# b
2
2a
t
dt
# =
b
2
2
t -
b
2
2a
Lnt
I =
b
2
2
a + b x
^ h -
b
2
2a
Ln a + b x + cte
---------------------------------
Ejercicio 67
I =
1 + senx + cosx
dx
#
I =
1 + senx + cosx
dx
# ; hacer cambio de variable t = tag
2
x
(
2
x
= arctagt & x = 2.arctagt & dx =
1 + t
2
2.dt
I =
1 + senx + cosx
dx
# =
1 + t
2
1 + t
2
+
1 + t
2
2t +
1 + t
2
1 - t
2
1 + t
2
2.dt
# =
1 + t
2
2 + 2t
1 + t
2
2
# dt =
1 + t
dt
# = Ln 1 + t = Ln 1 + tag
2
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 68
I =
senx + tagx
dx
#
I =
senx + tagx
dx
# ; Aplicando Bioche vemos que f -x
^ h =
sen -x
^ h + tag -x
^ h
d -x
^ h
=
senx + tagx
dx
= f x
^ h
asi que el cambio de variable es t = cosx & dt =- senx.dx =- 1 - t
2
dx & dx =-
1 - t
2
dt
ver imagen de abajo
^ h
I =
senx + tagx
dx
# =
t
t. 1 - t
2
+
t
1 - t
2
1 - t
2
-dt
# =
t
t + 1
^ h 1 - t
2
1 - t
2
-dt
# =
t + 1
^ h 1 - t
2
^ h
-t.dt
#
t + 1
^ h 1 - t
2
^ h
t
=
t + 1
^ h t + 1
^ h 1 - t
^ h
t
=
t + 1
^ h2
1 - t
^ h
t
t + 1
^ h2
1 - t
^ h
t
=
t + 1
A +
t + 1
^ h2
B +
1 - t
C
=
t + 1
^ h2
1 - t
^ h
A t + 1
^ h 1 - t
^ h
+
t + 1
^ h2
1 - t
^ h
B 1 - t
^ h
+
t + 1
^ h2
1 - t
^ h
C t + 1
^ h2
si t = 0 ( 0 = A + B + C & A =
4
-3
si t =- 1 (- 1 = 2B & B =
2
1
si t = 1 ( 1 = 4C & C =
4
1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
4
3
t + 1
dt
# -
2
1
t + 1
^ h2
dt
# -
4
1
1 - t
dt
# =
4
3
Ln 1 + t +
2
1
t + 1
^ h-1
+
4
1
Ln 1 + t + cte
I =
4
3
Ln 1 + cosx +
2
1
1 + cosx
^ h-1
+
4
1
Ln 1 + cosx + cte
---------------------------------

Ejercicio 69
I =
a
2
- x
2
^ h2
5
dx
#
I =
a
2
- x
2
^ h2
5
dx
# =
a
2
1 -
a
x
_ i
2
8 B
es parecido a 1-sen2
1 2 3
44444 44444
f p
2
5
dx
# ; cambio de variable sent =
a
x
sent =
a
x
(
cost =
a
a
2
- x
2
& a.cost = a
2
- x
2
cost dt =
a
dx
& a.cost.dt = dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a
2
- x
2
^ h2
5
dx
# =
a.cost
^ h5
a.cost.dt
# =
a
4
.cos
4
t
dt
# =
a
4
1
cos
2
t
1
# cos
2
t
1
dt
I =
a
4
1
cos
2
t
1
# d tagt
^ h =
a
4
1
1 + tag
2
t
^ h
# d tagt
^ h =
a
4
1
tagt +
3
1
tag
3
t
` j ; tagt =
a
2
- x
2
x
I =
a
4
1
a
2
- x
2
x +
3
1
a
2
- x
2
x
c m+ cte
---------------------------------
Ejercicio 70
I = acos
2
wt + bsen
2
wt
^ h
# dt ; w ! 0
I = acos
2
wt + bsen
2
wt
^ h
# dt , sabemos que cos
2
wt =
2
1 + cos2wt
y sen
2
wt =
2
1 - cos2wt
I =
2
a + acos2wt +
2
b - bcos2wt
` jdt =
2
a + b +
2
a - b
cos2wt
` j
#
# dt =
2
a + b
t +
4w
a - b
sen2wt + cte
2º metodo
I = acos
2
wt + bsen
2
wt
^ h
# dt , sea J = bcos
2
wt + asen
2
wt
^ h
# dt
1 I + J = acos
2
wt + bsen
2
wt
^ h
# + bcos
2
wt + asen
2
wt
^ hdt = a + b
^ h cos
2
wt + sen
2
wt
^ hdt
# = a + b
^ h
# dt = a + b
^ ht
2 I - J = a - b
^ h
# cos
2
wt + b - a
^ hsen
2
wt.dt = a - b
^ h cos
2
wt - sen
2
wt
6 @
=cos2wt
6 7 8
4444444444 4444444444
# dt =
2w
a - b
^ h
sen2wt
1 + 2 = 2I = a + b
^ ht +
2w
a - b
sen2wt ( I =
2
a + b
^ ht
+
4w
a - b
sen2wt
---------------------------------
Ejercicio 71
I =
senx.cosx
dx
#
I =
senx.cosx
dx
# , a senx.cosx
1
= tagx + cotgx , I = tagx + cotgx
^ h
# dx = tagx.dx + cotgx.dx
#
#
I =
cosx
senx
# dx +
senx
cosx
# dx =- Ln cosx + Ln senx = Ln
cosx
senx + cte = Ln tagx + cte
2º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a
I =
senx.cosx
dx
# =
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
# dx , b sen
2
x + cos
2
x = 1
I =
senx.cosx
sen
2
x
dx
# +
senx.cosx
cos
2
x
# dx =
cosx
senx
# dx +
senx
cosx
# dx =- Ln cosx + Ln senx
I = Ln
cosx
senx + cte = Ln tagx + cte
3º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b
I =
senx.cosx
dx
# =
senx.cosx
dx
# =
2
1
sen2x
dx
# = 2
sen2x
dx
# c sen2x = 2senx.cosx y senx
1
=
2
1
1 - cosx
senx +
1 + cosx
senx
7 A
1 - cos2x
^ hl= 2sen2x , 1 + cos2x
^ hl=- 2sen2x
I = 2
2
1
1 - cos2x
sen2x +
1 + cos2x
sen2x
` j
# dx =
1 - cos2x
sen2x
# dx +
1 + cos2x
sen2x
# dx =
2
1
1 - cos2x
2sen2x
# dx +
2
1
1 + cos2x
2sen2x
# dx

I =
2
1
Ln 1 - cos2x -
2
1
Ln 1 + cos2x =
2
1
Ln
1 + cos2x
1 - cos2x
= Ln
1 + cos2x
1 - cos2x
= Ln tagx
^ h + cte , tag
2
x =
1 + cos2x
1 - cos2x
4º metodo Imaginemos que no hemos caido en la formula a y b y c
I =
senx.cosx
dx
# =
senx.cos
2
x
cosx.dx
# =
senx
cosx
tagx
1
D
# cos
2
x
1
tagx
^ hl
F
dx =
tagx
1
d tagx
^ h
# = Ln tagx + cte
5º metodo
I =
senx.cosx
dx
# , sea J =
cosx
senx
# dx =
senx.cosx
sen
2
x
# dx
1 I - J =
senx.cosx
1 - sen
2
x
# dx =
senx.cosx
cos
2
x
# dx =
senx
cosx
# dx = Ln senx
2 J =
cosx
senx
# dx =-
cosx
-senx
# dx =- Ln cosx
1 + 2 = I = Ln senx - Ln cosx = Ln
cosx
senx
= Ln tagx + cte
6º metodo
I =
senx.cosx
dx
# , aplicando la regla de Bioche
f -x
^ h =
sen -x
^ h.cos -x
^ h
d -x
^ h
=
-senx.cosx
-dx
=
senx.cosx
dx
= f x
^ h , sen -x
^ h =- senx , cos -x
^ h = cosx
cambio de varible t = cosx (
senx = 1 - t
2
, cosx = t
t = cosx & x = arcost
t = cosx & dt =- senx.dx & dt =- 1 - t
2
.dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
senx.cosx
dx
# =-
t. 1 - t
2
1 - t
2
dt
# =-
t. 1 - t
2
^ h
dt
# =-
t. 1 + t
^ h. 1 - t
^ h
dt
#
t. 1 + t
^ h. 1 - t
^ h
1
=
t
A +
1 + t
B +
1 - t
C
=
t. 1 + t
^ h. 1 - t
^ h
A 1 + t
^ h. 1 - t
^ h + B.t. 1 - t
^ h + C.t. 1 + t
^ h
si
t =- 1 & 1 =- 2C & C =
2
1
t = 1 & 1 = 2B & B =-
2
1
t = 0 & A = 1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
asi que I =-
t
dt
# +
2
1
1 + t
dt
# +
2
1
1 - t
-dt
# =- Ln t +
2
1
Ln 1 + t +
2
1
Ln 1 - t =- Ln t +
2
1
Ln 1 + t 1 - t
= 1-t2
6 7 8
444444
4 444444
4
d n
I =- Ln cosx + Ln 1 - cos
2
x =- Ln cosx + Ln senx = Ln
cosx
senx
= Ln tagx + cte
Ejercicio 72
I =
f x
^ h
6 @2
- a2
l
f x
^ h
# dx
I =
f x
^ h
6 @2
- a
2
l
f x
^ h
# dx =
a.
a
f x
^ h
: C
2
- 1
l
f x
^ h
# dx , cambio de variable
cost
1
=
a
f x
^ h
( cost =
f x
^ h
a
cost =
f x
^ h
a
(
f x
^ h =
cost
a
, sent =
f x
^ h
f x
^ h
6 @2
- a
2
-sent.dt =- a
f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.dx
( sent.dt = a
f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a
2
. tag
2
t
f x
^ h
6 @2
.sent.dt
# =
a
2
.
cost
sent
f x
^ h
6 @2
.sent.dt
# =
a
1
cost.
# f x
^ h
6 @2
.dt =
cost
1
# dt
aplicando la formula
cosx
1
=
2
1
1 - senx
cosx +
1 + senx
cosx
7 A
I =
2
1
1 - sent
cost +
1 + sent
cost
` j
# dt =
2
1
1 + sent
cost
# dx -
2
1
1 - sent
-cost
# dx =
2
1
Ln
1 - sent
1 + sent
I =
2
1
Ln
1 -
f x
^ h
f x
^ h
6 @2
- a
2
1 +
f x
^ h
f x
^ h
6 @2
- a
2
=
2
1
Ln
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
=
2
1
Ln
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
e o

I =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
- f x
^ h
^ h2
- a
2
6 @
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
= G =
2
1
Ln
a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
< F = Ln
a
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
I = Ln f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
- Lna = Ln f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 73
I =
1 + x
dx
# , haciendo cambio de variable x = t - 1
^ h2
(
dx = 2 t - 1
^ hdt
t - 1 = x & t = x + 1
(
I =
1 + x
dx
# =
t
2 t - 1
^ hdt
# = 2
t
t - 1
# dt = 2 dt - 2
t
dt
#
# = 2t - 2Lnt = 2 x + 1
^ h - 2Ln x + 1
^ h + cte a
2º metodo
I =
1 + x
dx
# , haciendo cambio de variable x = t
2
&
t = x
dx = 2t.dt
'
I =
1 + t
2t.dt
# = 2 1 -
1 + t
1
` j
# dt = 2 dt - 2
1 + t
1
dt = 2t - 2Ln 1 + t
^ h
#
# = 2 x - 2Ln 1 + x
^ h + ct l
e b
los resultados a y b son el mismo haciendo 2 + cte = ct l
e
---------------------------------
Ejercicio 74
I =
cos
5
x
sen
3
x
# dx
I =
cos
5
x
sen
3
x
# dx = tag
3
x
cos
2
x
1
# dx = tag
3
x
# d tagx
^ h =
4
1
tag
4
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 75
I =
x sen x
cos x
dx =
#
I =
x sen x
cos x
dx =
# sen x
cos x
x
1
dx , se observa que d sen x
^ h
# = cos x
2
1
x
1
dx
I = 2
sen x
cos x
2 x
1
dx
# = 2
sen x
dsen x
# = 2Ln sen x + cte
---------------------------------
Ejercicio 76
I =
1 + 2senx.cosx
senx - cosx
# dx
I =
1 + 2senx.cosx
senx - cosx
# dx =
senx + cosx
^ h2
senx - cosx
a k
# dx , senx + cosx
^ h2
= 1 + 2senx.cosx
sea u = senx + cosx ( du = cosx - senx
^ hdx ,luego
I =-
senx + cosx
^ h2
-senx + cosx
# dx =-
u
2
du
# =- u-2
# du = u-1
=
senx + cosx
1 + cte
---------------------------------
Ejercicio 77
I =
1 + 2senx.cosx
cos2x
# dx
I =
1 + 2senx.cosx
cos2x
# dx =
senx + cosx
^ h2
cos
2
x - sen
2
x
c m
# dx , cos2x = cos
2
x - sen
2
x
I =
senx + cosx
^ h 2
cosx - senx
^ h cosx + senx
^ h
# dx =
senx + cosx
^ h
cosx - senx
^ h
# dx = Ln senx + cosx + Cte.

^ h ^ h
2º metodo
I =
1 + 2senx.cosx
cos2x
# dx =
1 + sen2x
cos2x
# dx =
2
1
1 + sen2x
d sen2x
^ h
# =
2
1
Ln 1 + sen2x = Ln 1 + sen2x
1+sen2x= senx+cosx
^ h2
6 7 8
444444
4 444444
4
= Ln senx + cosx + Cte.
---------------------------------
Ejercicio 78
I =
1 + senx.cosx
senx.cosx
# dx =
2
1
1 +
2
1
sen2x
sen2x
# dx =
2
1
2 + sen2x
2sen2x
# dx =
2 + sen2x
sen2x
# dx
haciendo cambio de variable t = 2x & dt = 2.dx luego
I =
2
1
1 -
2 + sent
2
` j
# dt =
2
1
t -
2 + sent
dt
# = x -
2 + sent
dt
#
A
1 2 3
44444
4 44444
4
A =
2 + sent
dt
# haciendo cambio de variable tag
2
t
= n &
2
t
= arctagn & t = 2.arctagn & dt =
1 + n
2
2
dn
A =
1 + n
2
2n
+ 2
1 + n
2
2
# dn =
1 + n
2
2 n
2
+ n + 1
^ h
1 + n
2
2
# dn =
n
2
+ n +
4
1 -
4
1 + 1
dn
# =
n +
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
dn
#
y como sabemos que
a
2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
a
1
arctag
a
f x
^ h
+ cte
n +
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
dn
# =
3
2
arctag
2
3
2
2n + 1
J
L
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
N
P
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
=
3
2
arctag
3
2n + 1
=
3
2
arctag
3
2.tag
2
t + 1
=
3
2
arctag
3
2.tag
2
2x + 1
=
3
2
arctag
3
2.tagx + 1
luego I = x -
3
2
arctag
3
2.tagx + 1
+ cte
---------------------------------
Ejercicio 79
I =
a
x
.b
x
a
x
- b
x
^ h2
# dx
I =
a
x
.b
x
a
x
- b
x
^ h2
# dx =
a
x
.b
x
a
2x
- 2.a
x
.b
x
+ b
2x
# dx =
a
x
.b
x
a
2x
# dx - 2
a
x
.b
x
a
x
.b
x
# dx +
a
x
.b
x
b
2x
# dx =
b
x
a
x
# dx - 2 1
# dx +
a
x
b
x
# dx
I =
b
a
_ i
x
# dx - 2x +
a
b
` j
x
# dx =
Ln
b
a
b
a
_ i
x
- 2x +
Ln
a
b
a
b
` j
x
=
Lna - Lnb
b
a
_ i
x
- 2x +
- Lna - Lnb
^ h
a
b
` j
x
=
Lna - Lnb
b
a
_ i
x
- a
b
` j
x
- 2x + cte
---------------------------------
Ejercicio 80
I = x
2
- a
2
# dx
I = x
2
- a
2
# dx resolviendo por partes
dv = dx & v = x
u = x
2
- a
2
& du =
x
2
- a
2
x
dx
*
I = x. x
2
- a
2
-
x
2
- a
2
x
2
# dx = x. x
2
- a
2
-
x
2
- a
2
x
2
- a
2
+ a
2
# dx = x. x
2
- a
2
-
x
2
- a
2
x
2
- a
2
# dx - a
2
x
2
- a
2
dx
#
I = x. x
2
- a
2
- x
2
- a
2
# dx - a
2
a.
a
x
_ i
2
- 1
dx
# = x. x
2
- a
2
- x
2
- a
2
# dx - a
2
a
x
_ i
2
- 1
a
1
dx
#
I = x. x
2
- a
2
- I - a
2
Ln
a
x +
a
x
_ i
2
- 1 ( I =
2
x. x
2
- a
2
- 2
a
2
Ln
a
x +
a
x
_ i
2
- 1 + cte
---------------------------------

Ejercicio 81
I = tagx
# .dx
I = tagx
# .dx , sea t
2
= tagx &
t = tagx
2t.dt = 1 + tag
2
x
^ h.dx
(
I = t.
1 + t
4
2t
# dt =
1 + t
4
2t
2
# dt como se ve el denominador tiene soluciones complejas asi que resolvamoslo.
t
4
+ 1 = t
2
+ 1
^ h2
- 2t
2
= t
2
+ 1
^ h2
- 2 .t
^ h
2
= t
2
+ 2 .t + 1
^ h t
2
- 2 .t + 1
^ h
I =
1 + t
4
2t
2
# dt =
t
2
+ 2 .t + 1
At + B
# dt +
t
2
- 2 .t + 1
l
A t + l
B
# dt a
I =
1 + t
4
At + B
^ h t
2
- 2 .t + 1
^ h + l
A t + l
B
^ h t
2
+ 2 .t + 1
^ h
# dt
si t = 0 ( 0 = B + l
B ( B =- l
B
si t = i (- 2 = B + iA
^ h -i 2
^ h + i l
A + l
B
^ h i 2
^ h = A - l
A
^ h
=- 2
6 7 8
444
4 444
4
2 + i 2 l
B - B
^ h
=0
6 7 8
4444 4444
(
A - l
A =- 2 ( l
A = A + 2
l
B = B y B =- l
B ( l
B = B = 0
(
si t = 1 ( 2 = 2 - 2
^ hA + 2 + 2
^ h l
A = 2 - 2
^ hA + 2 + 2
^ h A + 2
^ h
l
A
6 7 8
4444
4 4444
4
= 4A + 2 2 + 2
2 = 4A + 2 2 + 2 ( 4A + 2 2 = 0 ( A =
2
- 2
l
A =
2
2
a , I =
1 + t
4
2t
2
# dt =
t
2
+ 2 .t + 1
2
- 2
t
# dt +
t
2
- 2 .t + 1
2
2
t
# dt =
4
- 2
t
2
+ 2 .t + 1
2t.dt
# + 4
2
t
2
- 2 .t + 1
2t.dt
#
I =
4
- 2
t
2
+ 2 .t + 1
2t + 2 - 2
^ h.dt
# + 4
2
t
2
- 2 .t + 1
2t - 2 + 2
^ h.dt
#
I =
4
- 2
t
2
+ 2 .t + 1
2t + 2
^ h.dt
# + 4
2
t
2
- 2 .t + 1
2t - 2
^ h.dt
# -
4
2
t
2
+ 2 .t + 1
- 2
^ h.dt
# + 4
2
t
2
- 2 .t + 1
2
^ h.dt
#
I =
4
- 2
Ln t
2
+ 2 .t + 1 + 4
2
Ln t
2
- 2 .t + 1 +
2
1
t
2
+ 2 .t + 1
dt
# +
2
1
t
2
- 2 .t + 1
dt
#
Ahora descompongamos
t
2
- 2 .t + 1 = t
2
- 2 .t +
2
1 -
2
1 + 1 = t -
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
t
2
+ 2 .t + 1 = t
2
+ 2 .t +
2
1 -
2
1 + 1 = t +
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
4
- 2
Ln t
2
+ 2 .t + 1 + 4
2
Ln t
2
- 2 .t + 1 +
2
1
t +
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
dt
# +
2
1
t -
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
dt
#
Aplicando la formula
a2
+ f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx = a
1 arctag a
f x
^ h
I =
4
- 2
Ln t
2
+ 2 .t + 1 + 4
2
Ln t
2
- 2 .t + 1 +
2
2
arctag 2 .t + 1
^ h +
2
2
arctag 2 .t - 1
^ h + cte
I =
4
- 2
Ln tagx + 2.tagx + 1 + 4
2
Ln tagx - 2.tagx + 1 +
2
2
arctag 2.tagx + 1
^ h +
2
2
arctag 2.tagx - 1
^ h + cte
I =
4
2
Ln
tagx + 2.tagx + 1
tagx - 2.tagx + 1
+
2
2
arctag 2.tagx + 1
^ h +
2
2
arctag 2.tagx - 1
^ h + cte
---------------------------------
Ejercicio 82
I =
senx + cosx
senx
# dx
I =
senx + cosx
senx
# dx , sea J =
senx + cosx
cosx
# dx
1 I + J =
senx + cosx
senx
# dx +
senx + cosx
cosx
# dx =
senx + cosx
senx + cosx
# dx = dx = x
#

2 I - J =
senx + cosx
senx
# dx -
senx + cosx
cosx
# dx =
senx + cosx
senx - cosx
# dx =-
senx + cosx
-senx + cosx
# dx
=- Ln senx + cosx
1 + 2 = 2I = x - Ln senx + cosx ( I =
2
1
x - Ln senx + cosx
^ h
---------------------------------
Ejercicio 83
I =
1 + cosx
dx
#
I =
1 + cosx
dx
# , sabemos que cos
2
x =
2
1 + cos2x
luego 1 + cosx = 2.cos
2
2
x
I =
1 + cosx
dx
# =
2.cos
2
2
x
dx
# =
cos
2
2
x
2
1
dx
# = d tag
2
x
_ i
# = tag
2
x + cte
2º metodo
como no se cumple ninguna de las 3 reglas de bioche el cambio de variable sera de t = tag 2
x
t = tag 2
x (
cosx =
1 + t2
1 - t2
arctagt = 2
x & 2.arctagt = x &
1 + t2
2.dt = dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
1 + cosx
dx
# =
1 +
1 + t2
1 - t2
1 + t2
2.dt
# =
1 + t2
2.dt
1 + t2
2.dt
# = dt = t =
# tag 2
x + cte
---------------------------------
Ejercicio 84
I =
x
2
x.cosx - senx
# dx
I =
x
2
x.cosx - senx
# dx ;
g x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.g x
^ h - f x
^ h. l
g x
^ h
# =
g x
^ h
f x
^ h
f x
^ h = senx ( l
f x
^ h = cos x
g x
^ h = x ( l
g x
^ h = 1
3 ( I =
x
2
x.cosx - senx
# dx ( I =
x
senx + cte
---------------------------------
Ejercicio 85
I =
x
2
Lnx - 1
# dx es de la forma
g x
^ h
6 @2
l
f x
^ h.g x
^ h - f x
^ h. l
g x
^ h
# =
g x
^ h
f x
^ h
I =
x
2
Lnx - 1
# dx , f x
^ h = Lnx ( l
f x
^ h =
x
1
g x
^ h =- x ( l
g x
^ h =- 1
* 4 ( I =
-x
^ h2
x
1 -x
^ h - Lnx. -1
^ h
# dx
I =
x
2
-1 + Lnx
# dx =
-x
Lnx + cte
---------------------------------
Ejercicio 86
I =
sen
2
x + 1
cosx
# dx
I =
sen
2
x + 1
cosx
# dx =
sen
2
x + 1
dsenx
# , nos recuerda a
1 + x
2
dx
# = arctagx luego
I = arctag senx
^ h + cte

Ejercicio 87
I = tagx
3
# .dx
I = tagx
3
# .dx , cambio variable t
3
= tagx & x = arctag t3
^ h & dx =
1 + t
3
^ h2
3t
2
.dt
=
1 + t
6
3t
2
.dt
I = t.
# 1 + t
6
3t
2
.dt
=
1 + t
6
3t
3
.dt
# =
1 + t
6
3t
3
.dt
# , 1 + t
6
= 1
3
+ t
2
^ h3
= 1 + t
2
^ h 1
2
- t
2
+ t
4
^ h
ahora descompogamos la fraccion
1 + t
6
3t
3
=
1 + t
2
^ h 1 - t
2
+ t
4
^ h
3t3
1 + t
2
^ h 1 - t
2
+ t
4
^ h
3t3
=
1 + t
2
At + B
+
1 - t
2
+ t
4
Ct
3
+ Dt
2
+ Et + F
3t3
= At + B
^ h 1 - t
2
+ t
4
^ h + 1 + t
2
^ h Ct
3
+ Dt
2
+ Et + F
^ h
3t3
= At - At
3
+ At
5
+ B - Bt
2
+ Bt
4
+ Ct
3
+ Ct
5
+ Dt
2
+ Dt
4
+ Et + Et
3
+ F + Ft2
3t3
= t
5
A + C
^ h + t
4
B + D
^ h + t
3
-A + C + E
^ h + t
2
-B + D + F
^ h + t A + E
^ h + B + F
^ h
Aplicando igualdad de polinomios resulta:
B + F = 0 & B =- F 6
A + E = 0 & A =- E 5
-B + D + F = 0 & F =- 2D 4
-A + C + E = 3 & E = 3 + 2A 3
B + D = 0 & B =- D 2
A + C = 0 & A =- C 1
_
`
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
&
2 , 4 y 6 &- B = F =- 2D = D b
1 , 5 y 3 & A =- C =- E =- 3 - 2A a
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
a &- 3 - 2A = A &- 3 = 3A & A =- 1 luego C = E = 1
b &- 2D = D & D = 0 luego B = F = 0
asi que
1 + t
2
^ h 1 - t
2
+ t
4
^ h
3t3
=
1 + t
2
At + B
+
1 - t
2
+ t
4
Ct
3
+ Dt
2
+ Et + F
=
1 + t
2
-t
+
1 - t
2
+ t
4
t
3
+ t
I =
1 + t
2
-t
+
1 - t
2
+ t
4
t
3
+ t
c mdt
# =
1 + t
2
-t
` jdt
# +
1 - t
2
+ t
4
t
3
+ t
c mdt
#
I =
2
-1
1 + t
2
2t
a kdt
# +
4
1
1 - t
2
+ t
4
4t
3
+ 4t
c mdt
# en la 2º integral d 1 - t
2
+ t
4
^ h = 4t
3
- 2t
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
1 - t
2
+ t
4
4t
3
- 2t
c mdt
# +
4
1
1 - t
2
+ t
4
6t
a kdt
#
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
Ln 1 - t
2
+ t
4
+
4
1
1 - t
2
+ t
4
6t
a kdt
# , 1 - t
2
+ t
4
= t
4
- t
2
+
4
1 -
4
1 + 1 = t
2
-
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
Ln 1 - t
2
+ t
4
+
2
3
t
2
-
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
t
f p
dt
#
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
Ln 1 - t
2
+ t
4
+
2
3
2
1
t
2
-
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
2t
f p
dt
#
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
Ln 1 - t
2
+ t
4
+
4
3
3
2
arctag
2
3
t
2
-
2
1
+ cte
I =
2
-1
Ln 1 + t
2
^ h +
4
1
Ln 1 - t
2
+ t
4
+
2
3
arctag
3
2t
2
- 1 + cte
I =
2
-1
Ln 1 + tagx
3
^ h
2
_ i +
4
1
Ln 1 - tagx
3
^ h
2
+ tagx
3
^ h
4
+
2
3
arctag
3
2 tagx
3
^ h
2
- 1
+ cte
Ejercicio 88
I = secx.tagx.dx
#
I = secx.tagx.dx
# =
cosx
1
# cosx
senx
dx =
cos
2
x
senx.dx
# =- cos-2
x.d cosx
^ h
# =
cosx
1 + cte
-----------------------

-----------------------
Ejercicio 89
I =
x
cotag x
# dx
I =
x
cotag x
# dx =
sen x
cos x
# x
1
dx =
sen x
cos x
# 2 x
2
dx , d sen x
^ h = cos x .
2 x
1
dx
I = 2
sen x
d sen x
^ h
# = 2.Ln sen x + cte
-----------------------
Ejercicio 90
I =
cos
3
x.senx
dx
#
I =
cos
3
x.senx
dx
# =
cos
4
x.
cosx
senx
dx
# =
cos
2
x
dx
# tagx
1
=
tagx
1
# d tagx
^ h = 2 tagx + cte
-----------------------
Ejercicio 91
I = 2x - 3
^ h.tag x
2
- 3x
^ h
# .dx
I = 2x - 3
^ h.tag x
2
- 3x
^ h
# .dx , cambio variable u = x
2
- 3x & du = 2x - 3
^ hdx
I = tagu.du =
cosu
senu
#
# du =-
cosu
-senu
# du =- Ln cosu =- Ln cos x
2
- 3x
^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 92
I =
1 + x
1 - x
# dx
I =
1 + x
1 - x
# dx , cambio variable x = cos2t (
2
1
arcsenx = t
sen
2
t =
2
1 - cos2t
cos
2
t =
2
1 + cos2t
dx =- 2.sen2t.dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
1 + cos2t
1 - cos2t
# -2.sen2t.dt
^ h =
2cos
2
t
2sen
2
t
# -2.sen2t.dt
^ h = tagt
# . -2.sen2t
^ h.dt
I =- 2
cost
sent
# .2sent.cost.dt =- 4 sen
2
t.dt =- 4
2
1 - cos2t
#
# dt =- 2 dt + 2cos2t.dt =- 2t + sen2t + cte
#
#
I =- 2.
2
1
arccosx + 1 - x
2
+ cte =- arccosx + 1 - x
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 93
I =
a + b x
dx
# , b ! 0
I =
a + b x
dx
# se hace cambio de variable t = a + b x (
x =
b
t - a
dt =
2 x
b
dx & dx =
b
2
2 t - a
^ h
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
a + b.
b
t - a
b
2
2 t - a
^ h
dt
# =
b
2
2
t
t - a
dt
# =
b
2
2
dt
# -
b
2
2a
t
dt
#
I =
b
2
2
t -
b
2
2a
Lnt =
b
2
2
a + b x
^ h -
b
2
2a
Ln a + b x
^ h + cte
Ejercicio 94
I =
x
dx
#

I =
x
dx
# aqui a = 0 y b = 1
asi que I = 2 x + cte
-----------------------
Ejercicio 95
I =
2 + 3 x
dx
#
I =
2 + 3 x
dx
# aqui a = 2 y b = 3
asi que I =
9
2
2 + 3 x
^ h -
9
4
Ln 2 + 3 x
^ h + cte
Ejercicio 96
I =
senx + cosx
1 + cotgx
# dx
I =
senx + cosx
1 + cotgx
# dx =
senx + cosx
1 +
senx
cosx
# dx =
senx + cosx
senx
senx + cosx
# dx =
senx
dx
#
I =
senx
dx
# para resolverlo ver ejercicio 18, vamos a utilizar otro metodo
I =
senx
dx
# , sea J =
senx
cosx.dx
#
cos
2
a =
2
1 + cos2a
cos
2
a =
2
1 + cos2a
sen2a = 2sena.cosa
1 I + J =
senx
1 + cosx.dx
# =
senx
2cos
2
2
x
.dx
# =
2sen
2
x
cos
2
x
2cos
2
2
x
.dx
# = 2
sen
2
x
2
1
cos
2
x
# dx = 2
sen
2
x
d sen
2
x
_ i
# = 2Ln sen
2
x + ct l
e
2 I - J =
senx
1 - cosx.dx
# =
senx
2sen
2
2
x
.dx
# =
2sen
2
x
cos
2
x
2sen
2
2
x
.dx
# = 2
cos
2
x
2
1
sen
2
x
# dx =- 2
sen
2
x
d cos
2
x
_ i
# =- 2Ln cos
2
x + ct m
e
1 + 2 = 2I = 2Ln sen
2
x + ct l
e - 2Ln cos
2
x + ct m
e ( I = Ln sen
2
x - 2Ln cos
2
x + cte ( I = Ln tag
2
x + cte
-----------------------
Ejercicio 97
I =
cos
4
x
senx
# dx
I =
cos
4
x
senx
# dx =- cos-4
x.d cosx
^ h
# =
3
1
cos-3
x + cte
-----------------------
Ejercicio 98
I =
2x. x
cosx + 2x.senx
# dx
I =
2x. x
cosx + 2x.senx
# dx =
2x x
cosx
# +
x
senx
=
x
2 x
cosx + x .senx
# dx ,
x
x
=
x
1
, d
g
f
a k =
g
2
l
f .g - f. l
g
g x
^ h = x ( l
g x
^ h =
2 x
1
f x
^ h =- cosx ( l
f x
^ h = senx
* 4 asi que I =
x
-cosx + cte
-----------------------
Ejercicio 99
I =
x x - a
^ h
dx
#

I =
x x - a
^ h
dx
# , x x - a
^ h = x
2
- ax = x
2
- ax +
4
a
2
-
4
a
2
= x -
2
a
_ i
2
-
2
a
_ i
2
I =
x -
2
a
_ i
2
-
2
a
_ i
2
dx
# = Ln x -
2
a + x x - a
^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 100
I =
x 1 + x
2
dx
#
I =
x 1 + x
2
dx
# , haciendo cambio de variable x =
t
1
& dx =
t
2
-dt
I =
t
1
1 +
t
1
` j
2
t
2
-dt
# =
t
1
t
2
t
2
+
t
2
1
t
2
-dt
# =
t
2
1
t
2
+ 1
t
2
-dt
# =
1 + t
2
-dt
# = Ln t - 1 + t
2
+ cte
I = Ln t - 1 + t
2
+ cte = Ln
x
1 - 1 +
x
1
` j
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 101
I =
cos2x
dx
#
I =
cos2x
dx
# =
cos
2
x - sen
2
x
dx
# =
cos
2
x 1 -
cos
2
x
sen
2
x
c m
dx
# =
cos
2
x 1 - tag
2
x
^ h
dx
# =
1 - tag
2
x
1
# cos
2
x
dx
=
1 - tag
2
x
d tagx
^ h
#
haciendo cambio variable t = tagx ( I =
1 - t
2
dt
# ,
1 - t
2
1
=
2
1
1 + t
1 +
1 - t
1
8 B
I =
2
1
1 + t
dt
# +
2
1
1 - t
dt
# =
2
1
Ln 1 + t -
2
1
Ln 1 - t =
2
1
Ln
1 - t
1 + t
= Ln
1 - tagx
1 + tagx
+ cte
-----------------------
Ejercicio 102
I =
f x
^ h
6 @2
- a
2
! l
f x
^ hdx
# = Ln
a
f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
- a2
siendo a ! 0
vamos a demostrar esta igualdad:
I =
f x
^ h
6 @2
- a
2
l
f x
^ hdx
# =
a
a
f x
^ h
: C
2
- 1
l
f x
^ hdx
# =
a
f x
^ h
: C
2
- 1
a
l
f x
^ h
dx
# , a
f x
^ h
: C
2
- 1
c mtiene semejanza a
cos
2
t
1 - 1
asi que haciendo cambio de variable
cos t
1
=
a
f x
^ h
( cos t =
f x
^ h
a
cost =
f x
^ h
a
(
f x
^ h =
cos t
a
& f x
^ h
6 @2
=
cos
2
t
a
2
-sent.dt =
f x
^ h
6 @2
-a. l
f x
^ h.dx
&
a
f x
^ h
6 @2
.sent.dt
= l
f x
^ h.dx
(
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
l
f x
^ h.dx =
cos
2
t
a
2
a
sent.dt
I =
a
f x
^ h
: C
2
- 1
a
l
f x
^ h
dx
# =
tag
2
t
cos
2
t
sent.dt
# =
cost
dt
# se ha aplicado la formula 1 + tag
2
t =
cos
2
t
1
I =
cos t
dt
# =
2
1
1 + sent
cos t +
1 - sent
cos t
8 B
# dt =
2
1
1 + sent
cos t
dt
# +
2
1
1 - sent
cos t
dt
#
^ h
6 @

I =
2
1
Ln 1 + senx
^ h -
2
1
Ln 1 - sent
^ h =
2
1
Ln
1 - sent
1 + sent
=
2
1
Ln
1 -
f x
^ h
f x
^ h
6 @2
- a
2
1 +
f x
^ h
f x
^ h
6 @2
- a
2
I =
2
1
Ln
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
=
2
1
Ln
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
e o =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
- f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
I =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
- f x
^ h
6 @2
- a
2
^ h
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
=
2
1
Ln
a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
= Ln
a
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
+ cte
si I =
f x
^ h
6 @2
- a
2
- l
f x
^ hdx
# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde
I =-
2
1
Ln
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
=
2
1
Ln
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
I =
2
1
Ln
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
e o =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
- f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
=
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
- f x
^ h
6 @2
- a
2
^ h
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
I =
2
1
Ln
a
2
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
_ i
2
= Ln
a
f x
^ h - f x
^ h
6 @2
- a
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 103
I =
f x
^ h
6 @2
+ a
2
! l
f x
^ hdx
# = Ln
a
!f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
siendo a ! 0
vamos a demostrar esta igualdad:
I =
f x
^ h
6 @2
+ a
2
l
f x
^ hdx
# =
a
a
f x
^ h
: C
2
+ 1
l
f x
^ hdx
# =
a
f x
^ h
: C
2
+ 1
a
l
f x
^ h
dx
# , a
f x
^ h
: C
2
+ 1
c mtiene semejanza a tag
2
t + 1
asi que haciendo cambio de variable tagt =
a
f x
^ h
tagt =
a
f x
^ h
( 1 + tag
2
t
^ h.dt =
a
l
f x
^ h.dx
I =
1 + tag
2
t
1 + tag
2
t
^ h.dt
# = 1 + tag
2
t
# =
cost
dt
# se ha aplicado la formula 1 + tag
2
t =
cos
2
t
1
I =
cost
dt
# =
2
1
1 + sent
cost +
1 - sent
cost
8 B
# dt =
2
1
1 + sent
cost
dt
# +
2
1
1 - sent
cost
dt
#
I =
2
1
Ln 1 + senx
^ h -
2
1
Ln 1 - sent
^ h =
2
1
Ln
1 - sent
1 + sent
=
2
1
Ln
1 -
f x
^ h
6 @2
+ a
2
f x
^ h
1 +
f x
^ h
6 @2
+ a
2
f x
^ h
I =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
=
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
e o =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
_ i
2
- f x
^ h
6 @2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
_ i
2
I =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
6 @2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
_ i
2
=
2
1
Ln
a
2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
_ i
2
= Ln
a
f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ cte
si I =
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- l
f x
^ hdx
# sacamos el signo - fuera y seguiendo los mismos pasos que arriba hasta llegar al resultado verde
I =-
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
=
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
e o =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
_ i
2
- f x
^ h
6 @2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
_ i
2
I =
2
1
Ln
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
6 @2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
_ i
2
=
2
1
Ln
a
2
f x
^ h
6 @2
+ a
2
- f x
^ h
_ i
2
= Ln
a
-f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ cte
-----------------------

Según el ejercicio 103 se demostro que
f x
^ h
6 @2
+ a
2
! l
f x
^ h.dx
# = Ln
a
!f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a
2
= Ln !f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a
2
- Lna
f x
^ h
6 @2
+ a2
! l
f x
^ h.dx
# = Ln !f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
+ cte a
Pero en todos los libros que tengo aparece de la seguiente forma:
f x
^ h
6 @2
+ a2
! l
f x
^ h.dx
# = Ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
+ a2
+ cte b
Derivando a Ln !f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
y la b Ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
+ a2
el es resultado
f x
^ h
6 @2
+ a2
! l
f x
^ h.dx
Pero Ln -f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
! Ln f x
^ h - f x
^ h
6 @2
+ a2
asi que averiguemos cual es esa diferencia:
Ln -f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
+ Ln f x
^ h - f x
^ h
6 @2
+ a2
= Ln -f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
_ i f x
^ h - f x
^ h
6 @2
+ a2
_ i
= Ln - f x
^ h
6 @2
+ f x
^ h
6 @2
+ a2
= Ln a2
= cte lo que significa que:
Ln -f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
= Ln f x
^ h - f x
^ h
6 @2
+ a2
+ cte
luego las dos formulas son verdaderas
-----------------------
Ejercicio 104
I =
x
2
+ 4
-dx
#
I =
x
2
+ 4
-dx
# =
Ln x - x
2
+ 4 + cte A segun la formula b
Ln -x + x
2
+ 4 + cte A segun la formula a
)
Comprobacion
a
x
2
+ 4
-dx
# = Ln -x + x
2
+ 4 + cte (
derivando
A
d
x
2
+ 4
-dx
#
c m = d Ln -x + x
2
+ 4 + cte
^ h
x
2
+ 4
-1
=
-x + x
2
+ 4
1 -1 +
2 x
2
+ 4
2x
c m =
-x + x
2
+ 4
x
2
+ 4
- x
2
+ 4 + x
=
x
2
+ 4
-1
luego la a es verdadera.
b
x
2
+ 4
-dx
# = Ln x - x
2
+ 4 + cte (
derivando
A
d
x
2
+ 4
-dx
#
c m = d Ln x - x
2
+ 4 + cte
^ h
x
2
+ 4
-1
=
x - x
2
+ 4
1
1 -
2 x
2
+ 4
2x
c m =
x - x
2
+ 4
x
2
+ 4
x
2
+ 4 - x
=
x
2
+ 4
-1
luego la b es verdadera.
asi que ambos resultados son verdaderos.

Ejercicio 104
I =
x
2
+ x + 1
x.dx
#
I =
x
2
+ x + 1
x.dx
# es de la forma
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
=
dx
d
Q x
^ h ax
2
+ bx + c
_ i+
ax
2
+ bx + c
m
Q x
^ h es un polinomio de coeficientes a determinar y grado de Q x
^ h = grado de P x
^ h - 1 = 0 y m nº real a determinar.
asi que Q x
^ h = cte = A luego
dx
d
A x
2
+ x + 1
^ h =
2 x
2
+ x + 1
A 2x + 1
^ h
ax
2
+ bx + c
P x
^ h
=
x
2
+ x + 1
x
=
2 x
2
+ x + 1
A 2x + 1
^ h
+
x
2
+ x + 1
m
=
x
2
+ x + 1
Ax +
2
A + m
(
2
A + m = 0
A = 1
) (
m =
2
-1
A = 1
)
I =
x
2
+ x + 1
x.dx
# =
dx
d
1. x
2
+ x + 1
^ hdx
# +
x
2
+ x + 1
2
-1
# dx = x
2
+ x + 1 -
2
1
x
2
+ x + 1
dx
#
I = x
2
+ x + 1 -
2
1
x
2
+ x +
4
1 -
4
1 + 1
dx
# = x
2
+ x + 1 -
2
1
x +
2
1
` j
2
+
2
3
c m
2
dx
#
Aplicando la formula
f x
^ h
6 @2
+ a
2
! l
f x
^ hdx
# = Ln
a
!f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a2
siendo a ! 0
I = x
2
+ x + 1 -
2
1
Ln
2
3
x +
2
1 + x
2
+ x + 1
+ cte
-----------------------
Ejercicio 105
I =
1 - x
2
1 - x - 1 + x
# dx
I =
1 - x
2
1 - x - 1 + x
# dx , 1 - x y 1 + x nos hace pensar en la formulas
sen
2
t =
2
1 - cos 2t
cos
2
t =
2
1 + cos 2t
*
asi que hagamos el cambio de variable x = cos 2t ( dx =- 2sen2t.dt , luego I queda de la seguiente forma
I =
1 - cos
2
2t
1 - cos2t - 1 + cos2t
# -2sen2t.dt
^ h =- 2
sen
2
2t
2 .sent - 2 . cos t
# sen2t.dt =- 2 2
sen2t
sent - cost
# dt
I =- 2 2
2sent.cost
sent - cost
# dt =- 2
sent.cost
sent
# dt + 2
sent.cost
cost
# dt =- 2
cost
dt
# + 2
sent
dt
# ver ejercicios 18 y 102
cost
dt
# =
2
1
Ln
1 - sent
1 + sent
,
sent
dt
# =
2
1
Ln
1 + cos t
1 - cos t
x = cos2t & x = cos
2
t - sen
2
t = 1 - 2sen
2
t &
2
1 - x
= sen
2
t & sent =
2
1 - x
supongamos que estamos en el 1 cuadrante
sent =
2
1 - x
UA
cost =
2
1 + x
se deduce del triangulo
I =
2
- 2
Ln
1 -
2
1 - x
1 +
2
1 - x
+
2
2
Ln
1 +
2
1 + x
1 -
2
1 + x
=
2
- 2
Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x
+
2
2
Ln
2 + 1 + x
2 - 1 + x
+ cte
I =
2
2
Ln
2 + 1 - x
^ h 2 + 1 + x
^ h
2 - 1 + x
^ h 2 - 1 - x
^ h
+ cte
-----------------------

2º metodo
I =
1 - x
2
1 - x - 1 + x
# dx =
1 - x
2
1 - x
# dx -
1 - x
2
1 + x
# dx =
1 - x
^ h 1 + x
^ h
1 - x
# dx -
1 - x
^ h 1 + x
^ h
1 + x
# dx
I =
1 - x
^ h 1 + x
^ h
dx
# -
1 - x
^ h 1 + x
^ h
dx
#
A =
1 - x
^ h 1 + x
^ h
dx
# , haciendo cambio de variable t
2
= 1 - x (
x = 1 - t
2
2t.dt =- dx
%
A =
2 - t
2
^ h.t
-2t.dt
# =- 2
2
^ h
2
- t
2
dt
# =- 2
2 2
1
Ln
2 - t
2 + t
=
2
- 2
Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x
+ ct l
e
B =
1 + x
^ h 1 - x
^ h
dx
# , haciendo cambio de variable t
2
= 1 + x (
x = t
2
- 1
2t.dt = dx
%
B =
2 - t
2
^ h.t
2t.dt
# = 2
2
^ h
2
- t
2
dt
# = 2
2 2
1
Ln
2 - t
2 + t
=
2
2
Ln
2 - 1 + x
2 + 1 + x
+ ct m
e
I =
2
- 2
Ln
2 - 1 - x
2 + 1 - x
+
2
2
Ln
2 - 1 + x
2 + 1 + x
+ cte
I =
2
2
Ln
2 + 1 - x
^ h 2 + 1 + x
^ h
2 - 1 + x
^ h 2 - 1 - x
^ h
+ cte
----------------------
Ejercicio 106
I =
4 - 9e
2x
e
x
.dx
#
I =
4 - 9e
2x
e
x
.dx
# =
3
1
2
^ h2
- 3e
x
^ h2
3e
x
.dx
# es de la forma
a
2
- f x
^ h
6 @2
l
f x
^ h
# dx =
-arccos
a
f x
^ h
+ cte
arcsen
a
f x
^ h
+ cte
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
-
3
1
arccos
2
3e
x
+ cte
3
1
arcsen
2
3e
x
+ cte
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
-----------------------
Ejercicio 107
I =
tag
2
x - 1
tagx + 1
# dx
I =
tag
2
x - 1
tagx + 1
# dx =
tagx + 1
^ h tagx - 1
^ h
^ h
tagx + 1
^ h
# dx =
cosx
senx - 1
dx
# =
senx - cosx
cosx.dx
#
1 I =
senx - cosx
cosx.dx
# , sea 2 J =
senx - cosx
senx.dx
#
A = 1 + 2 = I + J =
senx - cosx
cosx + senx
^ h.dx
# = Ln senx - cosx
B = 1 - 2 = I - J =
senx - cosx
cosx - senx
^ h.dx
# =- dx =- x
#
A + B = 2I =- x + Ln senx - cosx ( I =
2
-x + Ln senx - cosx
+ cte
-----------------------
Ejercicio 108
I =
x 1 - x
^ h
arcsen x
# dx
I =
x 1 - x
^ h
arcsen x
# dx se nos fijamos se ve que
dx
d
arcsen x
^ h =
1 - x
1
2 x
1
dx
I =
x 1 - x
^ h
arcsen x
# dx = 2 arcsen x
1 - x
1
2 x
1
# dx = 2 arcsen x
t
6 7 8
44444 44444
# d arcsen x
t
6 7 8
44444 44444
c m
I = 2
2
1
arcsen x
^ h
2
+ cte = arcsen x
^ h
2
+ cte
-----------------------

Ejercicio 109
I =
x
1 - Lnx
dx
#
I =
x
1 - Lnx
dx
# se nos fijamos se ve que
dx
d
1 - Lnx
^ h =
x
1
dx
I =
x
1 - Lnx
dx
# = 1 - Lnx
^ h2
1
# d 1 - Lnx
^ h =
3
2
1 - Lnx
^ h2
3
+ cte
-----------------------
Ejercicio 110
I = Ln 4 + x
^ hdx
I = Ln 4 + x
^ hdx , haciendo cambio de 4 + x = e
t
&
x = e
t
- 4 &
2 x
dx
= e
t
.dt & dx = 2e
2t
- 8e
t
^ hdt
Ln 4 + x
^ h = t
*
I = 2 te
2t
.dt - 8 te
t
.dt
#
# la forma mas facil de integrar es por partes
te
t
.dt
# dv = e
t
& v = e
t
u = t & du = dt
% ( te
t
.dt
# = te
t
- e
t
dt
# = te
t
- e
t
te
2t
.dt
#
dv = e
2t
& v =
2
1
e
2t
u = t & du = dt
) ( te
2t
.dt
# =
2
1
te
2t
-
2
1
e
2t
dt
# =
2
1
te
2t
-
4
1
e
2t
I = te
2t
-
2
1
e
2t
- 8te
t
+ 8e
t
+ cte e
t
^ h2
= e
2t
I = 4 + x
^ h
2
Ln 4 + x
^ h -
2
1
4 + x
^ h
2
- 8 4 + x
^ hLn 4 + x
^ h + 8 4 + x
^ h + cte
-----------------------
cx + d
^ h ax
2
+ bx + c
l
a x + l
b
# dx
1º Paso dividir:
b
l
a x + l
b
a
cx + d
g (
cx + d
l
a x + l
b
= a +
cx + d
b
2º Paso
cx + d
^ h ax
2
+ bx + c
l
a x + l
b
# dx =
ax
2
+ bx + c
a.dx
#
A
6 7 8
444444444
4 444444444
4
+
cx + d
^ h ax
2
+ bx + c
b.dx
#
B
6 7 8
444444444444444 444444444444444
3º Paso
Para A = a.
ax
2
+ bx + c
dx
# , utilizar
4a
b
2
para transformarlo de la seguiente forma:
x - i
^ h2
- c
2
dx
# ,
x - i
^ h2
+ c
2
dx
# ,
c
2
- x - i
^ h2
dx
#
y utilizar las formulas:
f x
^ h
6 @2
+ a
2
! l
f x
^ h.dx
# =
Ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ cte
Ln !f x
^ h + f x
^ h
6 @2
+ a
2
+ cte
*
f x
^ h
6 @2
- a
2
! l
f x
^ h.dx
# = Ln f x
^ h ! f x
^ h
6 @2
- a
2
+ cte
a
2
- f x
^ h
6 @2
! l
f x
^ h.dx
# =
"arcos
a
f x
^ h
+ cte
!arcsen
a
f x
^ h
+ cte
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas
4º Paso
Para B = b.
cx + d
^ h ax
2
+ bx + c
dx
# , hacemos cambio de variable cx + d =
t
1
La B se transformara en una integral parecida a la A;es deecir de la forma seguiente:
B = m
at
2
+ bt + d
dt
# , hacemos lo del paso 3º y quedara resuelto.
-----------------------

Ejercicio 111
I =
x - 1
^ h x
2
+ 1
x + 2
^ hdx
#
I =
x - 1
^ h x
2
+ 1
x + 2
^ hdx
# , -
3
----
x - 1
x + 2
1
x - 1
g (
x - 1
^ h
x + 2
^ h
= 1 +
x - 1
^ h
3
I = 1 +
x - 1
^ h
3
: D
#
x
2
+ 1
dx
=
x
2
+ 1
dx
# + 3
x - 1
^ h x
2
+ 1
dx
#
x
2
+ 1
dx
# = Ln x + x
2
+ 1 + cte ver ejercicio 102
x - 1
^ h x
2
+ 1
dx
# haciendo cambio variable x - 1 =
t
1
&
t =
x - 1
1
x =
t
1 + 1
dx =
t
2
-1
dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
t
1
t
2
1 +
t
2 + 2
t
2
-1
dt
# =
t
1
t
2
1 +
t
2
2t +
t
2
2t
2
t
2
-1
dt
# =
t
2
1
2t
2
+ 2t + 1
t
2
-1
dt
# =-
2t
2
+ 2t + 1
dt
#
=-
2t
2
+ 2t +
2
1 -
2
1 + 1
dt
# =-
2 t +
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
dt
# =-
2
1
2 t +
2
1
c m
2
+
2
1
c m
2
2 dt
#
=
2
2
2 t +
2
2
c m
2
+
2
2
c m
2
- 2 dt
# =
2
2
Ln 2 t +
2
2
c m - 2 t +
2
2
c m
2
+
2
2
c m
2
+ cte
I = Ln x + x
2
+ 1 +
2
3 2
Ln
x - 1
2
+
2
2
c m -
x - 1
2
+
2
2
c m
2
+
2
2
c m
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 112
I =
1 - x
arcsen x
# dx
I =
1 - x
arcsen x
# dx ,
dv =
1 - x
dx
( v =- 2 1 - x
u = arcsen x ( du =
1 - x
1
2 x
1
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =- 2 1 - x .arcsen x - -2 1 - x
#
1 - x
1
2 x
1
dx =- 2 1 - x .arcsen x +
x
dx
#
I =- 2 1 - x .arcsen x + 2 x + cte
-----------------------
Ejercicio 113
I =
e
x
+ 1 + 1
e
x
# dx
I =
e
x
+ 1 + 1
e
x
# dx , cambio variable e
x
+ 1 = t (
e
x
= t - 1 & e
x
.dx = dt & dx =
t - 1
dt
e
x
+ 1 = t
e
x
= t - 1
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
t + 1
t - 1
# t - 1
dt
=
t + 1
dt
# , cambio variable t = n &
2 t
dt
= dn & dt = 2n.dn
I =
n + 1
2n.dn
# = 2
n + 1
n.dn
# ,
n + 1
n
= 1 -
n + 1
1
I = 2 dn
# - 2
n + 1
dn
# = 2n - 2Ln n + 1 = 2 t - 2Ln t + 1 + cte
I = 2 e
x
+ 1 - 2Ln e
x
+ 1 + 1 + cte
-----------------------
Integrando por partes

Ejercicio 114
I = x 2
3
# Ln
x
1
dx
I = x 2
3
# Ln
x
1
dx integrando por partes
dv = x 2
3
& v =
5
2
x 2
5
u = Ln
x
1
& du = x.dx
*
I =
5
2
x 2
5
Ln
x
1 -
5
2
x 2
7
# dx =
5
2
x 2
5
Ln
x
1 -
5
2
9
2
x 2
9
+ cte
I =
5
2
x 2
5
Ln
x
1 -
45
4
x 2
9
+ cte
-----------------------
Ejercicio 115
I = cosx.Ln senx
^ h.dx
#
I = cosx.Ln senx
^ h.dx
# integrando por partes
u = Ln senx
^ h & du =
senx
cosx
dx = cotgx.dx
dv = cosx.dx & v = senx
I = senx.Ln senx
^ h - senx.
# cotgx.dx = senx.Ln senx
^ h - cosx
# .dx
I = Ln senx
^ hsenx
- senx + cte
-----------------------
Ejercicio 116
I = senx. 1 - cosx
# dx
I = senx. 1 - cosx
# dx =- 1 - cosx d cosx
^ h
# = 1 - cosx d 1 - cosx
^ h
#
I = u .du siendo u = 1 - cosx
#
I =
3
2
u 2
3
=
3
2
1 - cosx
^ h2
3
+ cte
2º metodo
I = senx. 1 - cosx
# dx = senx. 2sen
2
x
# dx aplicando la formula sen
2
x =
2
1 - cos2x
I = 2 senx.sen
2
x
# dx = 2 2sen
2
x
cos
2
x
.sen
2
x
# dx aplicando la formula senx = 2sen
2
x
cos
2
x
I = 2 2 sen
2
2
x
cos
2
x
# dx = 4 2 sen
2
2
x
# d sen
2
x
_ i porque d sen
2
x
_ i =
2
1
cos
2
x
I =
3
4 2
sen
3
2
x + cte , 3
4 2
sen
3
2
x
=
3
4 2
sen
2
x
_ i
3
=
3
4 2
2
1 - cosx
` j
3
=
3
4 2
2 2
1 - cosx
^ h2
3
=
3
2
1 - cosx
^ h2
3
-----------------------
Ejercicio 117
I = x
3
# e-4x2
.dx
I = x
3
# e-4x2
.dx si nos fijamos bien,se observa que derivada e-4x2
^ h =- 8x.e-4x2
.dx
asi que mejor hacer aparecer en la integral x.e-4x2
.dx
I = x
3
# e-4x2
.dx = x
2
# .x.e-4x2
.dx , ahora pasemos a integrar por partes
dv = x.e-4x2
dx ( v =
8
-1
e-4x2
u = x
2
( du = 2x.dx
*
I = x
2
8
-1
e-4x2
` j -
8
-1
e-4x2
# 2x.dx =
8
-1
x
2
e-4x2
` j +
4
1
xe-4x2
# .dx
I =
8
-1
x
2
e-4x2
+
4
1 -
8
1
` je-4x2
= e-4x2
8
-1
x
2
-
32
1
` j + cte
-----------------------

Ejercicio 118
I = cos 3x
# .dx
I = cos 3x
# .dx cambio variable u = 3x &
du =
2
3
x
dx
& dx =
3
2.u.du
x =
3
u
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I = cosu
# .
3
2.u.du
=
3
2
u.
# cosu.du , ahora pasemos a integrar por partes
dw = cosudu ( w = senu
v = u ( dv = du
$
I = usenu - senudu
# = usenu + cosu = 3x sen 3x + cos 3x + cte
-----------------------
Ejercicio 119
I =
1 + x
2
dx
#
I =
1 + x
2
dx
# , cambio variable u = 1 + x &
du =
2 x
dx
& 2 x du = dx & 2 u - 1
^ hdu = dx
x = u - 1
*
I = 2
u
2 u - 1
^ h
du
# = 4
u
u - 1
^ hdu
= 4 du - 4
u
du
#
#
# = 4u - 4Lnu + cte
I = 4 1 + x
^ h - Ln 1 + x
^ h + cte
-----------------------
Ejercicio 120
I =
1 + e
x
dx
#
I =
1 + e
x
dx
# cambio variable u = 1 + e
x
& du = e
x
dx &
u - 1
du
= dx
I =
u
u - 1
du
# =
u - 1
u
# du =
u - 1
u - 1 + 1
# du = 1
# du +
u - 1
du
# = 1
# du +
u - 1
d u - 1
^ h
#
I = u + Ln u - 1
^ h + cte = 1 + e
x
+ Lne
x
+ cte = 1 + e
x
+ x + cte = e
x
+ x + ct l
e
-----------------------
f x,y
^ h
a
b
# dx $ x d a,b
6 @ , f x,y
^ h
a
b
# dy $ y d a,b
6 @
Ejercicio 121
y
2
= 4x (
x =
4
y
2
y = 4x
*
1 calcula f y
^ h
0
4
# dy =
4
y
2
dy =
4
1
0
4
# y
2
0
4
# dy =
=
4
1
3
y
3
: C
0
4
=
4
1
3
4
3
a k-
3
0
3
a k
: C =
12
64
u
2
=
3
16
u
2
ver dibujo
3
16
u
2
$ es el area comprendida entre la funcion f x
^ h y el eje y en el intervalo 0,4
6 @.
2 calcula f x
^ h
0
4
# dx = 4x dy = 2
0
4
# x
0
4
# dy =
= 2
3
2x 2
3
; E
0
4
=
3
4
x 2
3
6 @0
4
=
3
4
4 2
3
^ h - 0 2
3
^ h
7 A =
3
32
u
2
ver dibujo
3
32
u
2
$ es el area comprendida entre la funcion f x
^ h y el eje x en el intervalo 0,4
6 @.
-----------------------

Ejercicio 122
I =
x - 1
dx
2
3
#
I =
x - 1
dx
2
3
# aqui la funcion f x
^ h =
x - 1
1
es continua en el intervalo 2,3
6 @
I = 2 x - 1
6 @2
3
= 2 3 - 1
^ h - 2 2 - 1
^ h
6 @ = 2 2 - 2
6 @ = 2 2 - 1
6 @ u
2
las integrales definidas AA Area AA unidad al cuadrado
-----------------------
Ejercicio 123
I =
x - 1
dx
1
3
#
I =
x - 1
dx
1
3
# aqui la funcion f x
^ h =
x - 1
1
no es continua en 1,3
6 @ ya que no esta definida en x = 1
lo que nos indica que I es una integral impropia,luego
I =
x - 1
dx
1
3
# = lim
a"1+
x - 1
dx
a
3
# = lim
a"1+
2 x - 1
6 @a
3
= lim
a"1+
2 3 - 1
^ h - 2 a - 1
^ h
6 @ = lim
a"1+
2 2 - lim
a"1+
2 a - 1
^ h
=0
6 7 8
44444 44444
I = 2 2 u
2
-----------------------
Ejercicio 124
I = Ln 1 - x
^ hdx
#
I = Ln 1 - x
^ hdx
# , cambio variable e
t
= 1 - x (
dx = -2e
t
+ 2e
2t
^ hdt
x = 1 - e
t
& x = 1 - e
t
^ h2
= 1 - 2e
t
+ e
2t
t = Ln 1 - x
^ h
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
I = t
# . -2e
t
+ 2e
2t
^ hdt =- 2 t.et
# dt
A
6 7 8
4444 4444
+ 2 t.e2t
# dt
B
6 7 8
4444
4 4444
4
resolviendo por partes las integrales A y B
A = t.et
dv = et
& v = et
u = t & du = dt
$ ( A = t.et
- et
# dt = t.et
- et
B = t.e2t
dv = e2t
& v =
2
1
e2t
u = t & du = dt
) ( B =
2
1
t.e2t
-
2
1
e2t
# dt =
2
1
t.e2t
-
4
1
e2t
luego I =- 2t.et
+ 2et
+ t.e2t
-
2
1
e2t
= 2et
-t + 1
^ h + e2t
t -
2
1
` j+ cte
I = 2 1 - x
^ h 1 - Ln 1 - x
^ h
6 @ + 1 - x
^ h
2
Ln 1 - x
^ h -
2
1
8 B + cte
-----------------------
Ejercicio 125
I =
x
2
5 - x
2
dx
#
I =
x
2
5 - x
2
dx
# =
5 .x
2
. 1 -
5
x
a k
2
dx
# , cambio variable sent =
5
x
&
cost =
5
5 - x
2
cost.dt =
5
dx
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I =
5.sen
2
t. 5 .cost
5 .cost.dt
# =
5
1
sen
2
t
dt
# =-
5
1
cotgt =-
5
1
x
5 - x
2
=-
5x
5 - x
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 126
I =
x5
6
+ x
x + 5 x2
3
# dx
I =
x5
6
+ x
x + 5 x2
3
# dx , m.c.m 2,3,6
^ h = 6 luego cambio variable x = t
6
&
t = x
6
dx = 6t
5
.dt
(

I =
t5
+ t6
t3
+ 5t4
# 6t5
.dt =
t5
1 + t
^ h
t3
+ 5t4
# 6t5
.dt = 6
1 + t
^ h
t3
+ 5t4
# dt
4
-----
-4t - 4
-4t
-----
4t2
+ 4t
4t2
-----
-4t3
- 4t2
-4t3
-----
5t3
+ 5t4
t3
+ 5t4
5t3
- 4t2
+ 4t - 4
1 + t
g
I = 6 5t
3
- 4t
2
+ 4t - 4
^ hdt + 6
1 + t
4dt
#
# =
4
30
t
4
-
3
24
t
3
+
2
24
t
2
- 24t + 24Ln 1 + t + cte
I =
2
15
x
4
6
- 8 x
3
6
+ 12 x
2
6
- 24 x
6
+ 24Ln 1 + x
6
+ cte
I =
2
15
x
2
3
- 8 x + 12 x
3
- 24 x
6
+ 24Ln 1 + x
6
+ cte
-----------------------
Ejercicio 127
I = 4x - x
2
# dx
I = 4x - x
2
# dx = -x
2
+ 4x
# dx = -x
2
+ 4x - 4 + 4
# dx = - x
2
- 4x + 4
^ h + 4
# dx =
I = - x - 2
^ h2
+ 2
2
# dx = 2
2
- x - 2
^ h2
dx = 2 1 -
2
x - 2
` j
2
#
# dx
cambio variable sent =
2
x - 2
(
cost =
2
4x - x
2
cost.dt =
2
1
dx & dx = 2.cost.dt
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
I = 2cost.2cost.dt
# = 4 cos
2
t.dt = 4
2
1 + cos2t
#
# dt = 2 1 + cos2t
^ hdt =
# 2t + sen2t + cte
I = 2t + 2sent.cost + cte = 2arcsen
2
x - 2 + 2
2
x - 2
2
4x - x
2
+ cte
I = 2arcsen
2
x - 2 +
2
x - 2
^ h 4x - x
2
+ cte
-----------------------
Ejercicio 128
I =
cx + d
^ h ax + b
dx
# siendo a.c ! 0
I =
cx + d
^ h ax + b
dx
# , cambio variable t = ax + b &
x =
a
t
2
- b
t
2
= ax + b & 2t.dt = adx
*
I =
a c
a
t
2
- b + d
a kt
2t.dt
# = 2
c.t
2
- c.b + a.d
^ h
dt
# =
c
2
t
2
- b +
c
a.d
dt
# =
c
2
t
2
+ -b +
c
a.d
` j
dt
# =
c
2
t
2
+
c
a.d - bc
` j
dt
#
si c20 y ad-bc20 o bien c10 y ad-bc10
I =
c
2
t
2
+
c
a.d - bc
` j
a k
2
dt
# =
c
2
a.d - bc
c
_ i arctagt
a.d - bc
c
_ i + cte =
c
2
a.d - bc
c
_ i arctag ax + b
a.d - bc
c
_ i + cte
si c10 y ad-bc20 o bien c20 y ad-bc10
I =
c
2
t
2
- -
c
a.d - bc
` j
a k
2
dt
# =-
c
2
-
c
a.d - bc
` j
a k
2
- t
2
dt
# =-
c
2
2 -
c
a.d - bc
` j
1
Ln
-
c
a.d - bc
` j - t
-
c
a.d - bc
` j + t

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