El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.

1. .
.
. ,
,
, ,
int
Apolonio de Perga en el siglo III A C estudio las curvas canonicas curvas obtenidas al cortar un cono
A un cono doble circular recto cuando le hacemos cortes en dist os angulos mediante un plano
segun cada angulo de corte reciben el nombre de Circonferencia Elipse Hiperbola y parabola
Q V

4. , :
, ,
cos
Una Elipse es un conjunto de puntos A x y en el plano donde se cumple
dist F A dist F A dist entre los vertices del eje mayor
siendo F y F los puntos fijos de la elipse llamados fo
vea la imagen de abajo y hallemos La ecuacion de la Elipse
1 2
1 2
+ =
Q Q Q
Q
V V
V
V
El Plano es oblicuo al eje y no
es paralelo a la generatriz
a-c a+c
dist(v , v ) =
1 2

5. .
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,
, , , ,
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.
.
.
. .
.
,
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de donde sale esta Ec canonica
x a y b
ligada a y Vertical paralela al eje y
ligada a x Horizontal Paralela al eje x
centro a b
de la imagen de la pagina anterior podemos deducir que
F a c b F a c b c
tambien sabemos que a b c a b c ab ac bc
Por definicion de una Elipse sabemos que dist A F dist A F eje mayor
lo que corresponde a nuestra figura dist A F dist A F eje mayor
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b x a c y b
x a c x a c x a c y b
x a c xa xc ac x a c xa xc ac x a c y b
xc ac x a c y b xc ac x a c y b
xc ac x a c y b
x c a c xac xc ac x a c xa xc ac y b
x a xa x a xa y b
x x a a xa xa x a xa y b
x a y b x a y b dividiendo entre
x a y b siendo a b centro de la elipse
el la figura de abajo se pude deducir la misma ecuacion de la elipse seguiendo los mismos pasos
con la unica diferencia que hay son los seguientes
aqui F a b c F a b c c y dist A F dist A F
1
2 2 2
2
2
2
4 4
4 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
1
2
2
2
2
2
1 2
2 2 2
2 2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
1 2
2 2 2
1 2
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a a a a a a a a a a
a b a b a a b a a a a b a a
a b a b a a b a a a a b a a
b a b a b a a b a b
a b a b
b a a b b
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G
b+c
b-c
A(x,y)

7. , :
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2
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cos
Una Hiperbola es un conjunto de puntos A x y en el plano tal que
dist A F dist A F dist entre las vertices
siendo F y F los fo de la hiperbola
Su Ecuacion Canonica es de la forma
x a y b
vea la figura de abajo y veamos de donde sale esa ecuacion
sabemos que dist A F dist A F dist entre las vertices
F a c b F a c b c x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b
x a c y b x a c y b x a c y b
F A F A
F A F A
1
2 1
1 2 2
4 4
1 2
1 2
2
2
2
2
1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
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a b
a
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a a
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R
Q
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Q
Q
Q
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Q
Q
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Plano
Eje
Generatiz
Hiperbola
Hiperbola
El Plano es
paralelo al eje
asintota
asintota
Hiperbola Horizontal

8. ,
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.
.
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.
.
. .
. .
,
Recuerda que a b c a b c ab ac bc
x a c y b x a c y b x a c y b
x a c xa xc ac x a c xa xc ac x a c y b
xc ac x a c y b xc ac x a c y b
xc ac x a c y b
xc ac x a c y b
x c a c xac xc ac x a c xa xc ac y b
x a xa x a xa y b
x x a a xa xa x a xa y b
x a y b x a y b dividiendo entre
x a y b
Ecuacion Canonica horizontal de una Hiperbola
ahora veamos cual es la ecuacion canonica de una Hiperbola vertical vea la imagen de abajo
sabemos que dist A F dist A F dist entre las vertices
F a b c F a b c c x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c
x a y b c x a y b c x a y b c
y b c yb yc bc y b c yb yc bc x a y b c
yc bc x a y b c yc bc x a y b c
yc bc x a y b c yc bc x a y b c
y c b c ybc yc bc y b c yb yc bc x a
y b yb y b yb x a
y y b b yb yb y b yb x a
y b x a y b x a dividiendo por
y b x a
Ecuacion canonica de una hiperbola hertical
si la fraccion contiene
x la Hiperbola su eje real es al eje x
y la Hiperbola su eje real es al eje y
F A F A
F A F A
2 2 2
4 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
1
2 1
1 2 2
2
4 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
1 2
1 2
2 2 2
1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
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a b a b a a b a a a a b a a
b a b a b a a b a b
a b
b
a b
b b
b
b b
b b
b b b b
b b b b
b b b b b b b b b b
a b a b b a b b b b a b b b
a b b a b a b b b b a b b b
a a b b a b a b a b
b a
-
+ + - +
-----------------------------
-
+ + = + + + + +
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+ + + + - + = + + + - + -
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- - = - + - - - - = - + - -
+ + - - + = + + - - + + -
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G
Asintota
Asintota
Eje real

11. :
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,
,
tan tan
Una parabola es un conjunto de puntos P x y en el plano donde se cumple
dis cia F A dis cia D A
siendo F el foco y D la directriz
vea la imagen de abajo y hallemos esa ecuacion parabolica
dist A D dist A F
dist A D y b p vea la grafica
dist A F x a y b p
y b p x a y b p y b p x a y b p a
recuerda a b c a b c ab ac bc
a y b p x a y b p
y b p yb yp bp x a y b p yb yp bp
x a yp bp x a p y b
asi que la ecuacion x a p y b es la ecuacion canonica de una Hiperbola
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
4
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
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V
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V
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V
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VW
"
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El Plano es Oblicuo al eje y es
paralelo a la generatriz
P = y

12. :
.
, , , , ,
, ,
,
,
:
:
En conclusion la Ecuacion de una parabola con vertice fuera del origen
Eje vertical
x a p y b
p la curva se abre hacia abajo
p la curva se abre hacia arriba
La curva de abajo tambien es una parabola veamos cual seria su Ec canonica
A x y F a p b x a p y b
dist A D dist A F
dist A D x a p vea la grafica
dist A F x a p y b
x a p x a p y b x a p x a p y b a
recuerda a b c a b c ab ac bc
a x a p x a p y b
x a p xa xp ap x a p xa xp ap y b
y b xp ap y b p x a
asi que la ecuacion y b p x a es la ecuacion canonica de una Parabola
En conclusion la Ecuacion de una parabola con vertice fuera del origen
Eje Horizontal
y b p x a
p la curva se abre hacia la Izquierda
p la curva se abre hacia la derecha
FA
4
0
0
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 4
4
4
0
0
2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
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2
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- = -
- = -
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Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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R
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V W
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G
G
G
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13. .
.
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Ecuacion de la parabola con vertice fuera del origen se puede escribir en dos formas diferentes
EJE VERTICAL
Ec Canonica x a p y b p se abre hacia arriba p se abre hacia abajo
Ec General x bx cy d c se abre hacia arriba c se abre hacia abajo
EJE HORIZONTAL
Ec Canonica y b p x a p se abre a la derecha p se abre a Izquierda
Ec General y by cx d c se abre a la derecha c se abre a Izquierda
4 0 0
0 0 0
4 0 0
0 0 0
2
2
2
2
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2 1
2 1
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- = -
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Q
R Q
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Q
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Q
W
V W
V
V
V
V
V
Lado recto = 4p
Lado recto pasa por el foco

14. :
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.
.
. . . .
. . . .
. .
:
:
,
tan
La Ecuacion de una Parabola se puede presentar en forma general o canonica
cuando esta en forma general solo una de sus variables esta al cuadrado la x o la y
y su forma canonica se puede presentar de dos formas
y b p x a
o
x a p y b
a b vertice
si es de la forma x a p y b
aqui es la y
se fija en la variable de grado
si p la curva se abre en sentido del eje oy
si p la curva se abre en sentido del eje oy
si es de la forma y b p x a
aqui es la x
se fija en la variable de grado
si p la curva se abre en sentido del eje ox
si p la curva se abre en sentido del eje ox
la forma general de las conicas es ax by cx dy e
si a b es la ecuacion de una recta
si a b es la ecuacion de un circulo
si a o b es la ecuacion de una parabola
si a b y a b es la ecuacion de una Elipse
si a b es la ecuacion de una Hepirbola
conversion de la ecuacion general a canonica
a x b y c x d y e para ello juntamos los x por un lado y los y por el otro lado
la ecuacion queda de la forma a x c x b y d y e
ahora toca conseguir el binomio al cuadrado veamos como hacerlo sea a x b x c para ello
se utiliza a
b
veamos un ejemplo x x x x x x
x
Ejercicio n
Dada la ecuacion general x y x y
Identifica la conica y halla sus elementos
Respuesta
x y x y aqui a b por lo to es la ecuacion de una circonferencia
x y x y x x y y x x y y
x x y y x y
x y
radio
centro y
es una circonferencia de
4
4
4
1
0
0
4
1
0
0
0 1
0 1
0 1
0 0 1
0 1
0 1
0
0
4 6 2 6 4
36
4
36
2 6 9 9 2
3 7
1
4 10 25 0
4 10 25 0 1
4 10 25 0 4 10 25 0 4 4 4 10 25 25 25 0
4 4 10 25 4 0 2 5 2
2 5 2
2
2 5
a
b
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
4
2
2 2
2 2
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$
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2
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c
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Y
Y
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Q
R Q
R
Q
Q R
Q
Q
R Q
R
Q
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W
V W
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V
V
W
V
W
V W
V
V
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Z
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G
G
G
G
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( , )
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: 3 1 6
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1 1
( , )
4 4 , 4 2
2 2 , 2 1
2 4 4
( , )
Ejercicio n
sea la ecuacion general de una conica x y x y
identifica la conica y sus elementos
Respuesta
recueda la ecuacion general de una conica es de la forma ax by cx dy e
si a b es la ecuacion de una circonferencia lo que corresponde a nuestro caso
x y x y x x y y x x y y
x x y y x y
x y
y radio r
de centro
es un circulo
otro metodo
x y x y x x y y
sea f x x x f x x f x x x
sea f y y y f y y f y y y
ahora para conseguir el binomio al cuadrado desarrollaremos
x x x x x x y y y y y y
x x y y x y x y
x y
y radio r
de centro
es un circulo
Ejercicio n
sea la ecuacion general de una conica x y x y
identifica la conica y sus elementos
Respuesta
como a b que se trata de una circonferencia
x y x y x y x y x x y y
x x y y x x y y
x y es un circulo de centro y radio
otro metodo
x y x y x x y y
sea f x x x f x x f x x x
sea f y y y f y y f y y y
ahora para conseguir el binomio al cuadrado desarrollaremos
x x x x x x y y y y y y
x x y y x y x y
x y es un circulo de centro y radio
2
6 8 9 0
0
0
6 8 9 0 6 8 9 0 6 4
36
4
36
8 4
4
4
4
9 0
6 9 9 8 16 16 9 0 3 4 4
3 4 4
4
3 4
6 8 9 0 6 8 9 0
6 2 6 0 2 6 0 3
8 2 8 0 2 8 0 4
3 6 9 6 3 9 4 8 16 8 4 16
6 8 9 0 3 9 4 16 9 0 3 4 4
3 4 4
4
3 4
3 2 12 0
0
3 3 12 6 12 0 4 2 4 0 4 2 4 0
4 4
6
4
6
2 4
4
4
4
4 0 4 4 4 2 1 1 4 0
2 1 3 2 1 3
3 3 12 6 12 0 4 2 4 0
2 0 2 0
2 0 2 0
4 2 4 1 2 1 2 1 1
4 2 4 0 2 4 1 1 4 0 2 1 3
2 1 3 2 1 3
de la variable x de la variable y
de la variable x de la variable y
a
b
a
b
x y
a
b
a
b
x y
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 4
3 4
4 4
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
+ +
+ +
+
+
( + +
( + +
+ +
+ +
+
(
+ +
+ +
+
+
( + +
( + +
+ +
+ +
+
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- + - + + + - + = - + + =
- + + =
=
-
+ - + + = - + + + =
= - = - = - = =
= + = + = + = =-
- = - + - = - - + = + + + = + -
- + + + = - - + + - + = - + + =
- + + =
=
-
+ - + - =
= = =
+ - + - = + - + - = - + + - =
- + - + + + - - = - + - + + + - - =
- + + = -
+ - + - = - + + - =
= - = - = - = =
= + = + = + = =-
- = - + - = - - + = + + + = + -
- + + - = - - + + - - = - + + =
- + + = -
! !
! !
- +
- +
c
l l
l l
c
l l
l l
Y
Y
Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
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R
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
R
R
R
Q
Q
R
R
R
R
Q R
R S
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
W
W
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
W
V
W
W
W
V
V
W
W
W
W
V W
W X
G
G
6 7 8
4444 4444 6 7 8
44
4 44
4
6 7 8
4444 4444 6 7 8
4444 4444
1 2 3
44444 44444 1 2 3
444444 444444
1 2 3
44444 44444 1 2 3
44444 44444

16. , , ,
:
:
2 2
: 4 1
5
:
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:
.
9
,
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( , )
6
: 4 9 8 4
:
.
3
3 2
, 3 3
, 4 9 5
2
3
(1,3)
3 2
tan
tan
Ejercicio n
Halla la ecuacion del circulo que pasa por los puntos A B y C
Respuesta
la ecuacion general de una circonferencia es x y ax by c
C circulo
B circulo
A circulo
a b c
a b c
a c
a b c
a b c
a c
b b
a b a a
a c c
asi qur la ecuacion del circulo es x y x y
Ejercicio n
sea la ecuacion general de una conica x y x y
identificala y cuales son sus elementos
Respuesta
x y x y como a b y a b es una elipse
x x y y
x x y y x x y y
x y x y entre
x y x y
es la ecuacion de una elipse
x y
e excentricidad e
c
c dis cia focal c c
semi eje menor
semi eje mayor dist vertice centro
de centro
es una elipse horizontal ya que
Ejercicio n
dada la ecuacion general x y x y
identificala y calcula sus elementos
Respuesta
x y x y es una elipse ya que y
x y x y x x y y
x x y y x y
x y
x y x y
x y
e excentricidad e
c
c dis cia focal c c
semi eje menor
semi eje mayor dist vertice centro
de centro
es una elipse horizontal ya que
4
1 0 3 2 1 4
0
1 16 4 0
9 4 3 2 0
1 0
4 17 3
3 2 13 2
1 1
1 3 4 16 4
1 2 12 2 8 12 2
1 1 1
2 0
9 25 36 150 36 0
9 25 36 150 36 0 9 25 0
9 36 25 150 36 0
9 4 25 6 36 0 9 4 4 4 25 6 9 9 36 0
2 36 25 3 225 36 0 9 2 25 3 225 225
25
2
9
3
1
5
2
3
3
1
5
2
3
3
1
5 5
4
9 25 4
3
5
2 3
5 3
54 9 0
4 9 8 54 49 0 4 9 4 9 0
4 9 8 54 49 0 4 2 9 6 49 0
4 2 1 1 9 6 9 9 49 0 4 1 4 9 3 81 49 0
4 1 9 3 6 9
1
4
3
1
1 3
1
3
1
2
3
1
5
entre
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
+ +
( +
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+
&
+
+ +
+ +
+ +
&
+
+ +
+ , +
+
&
d
d
d
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2
2
2
2
-------------------------------------
-------------------------------------
- -
+ + + + =
+ + - + =
+ + - + =
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- + =-
- + =-
+ =-
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- - + = - + = =-
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c
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Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
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S
Q
Q
R
R
Q
V
V
V
V
V
V
V
W
W
W
W
W
W
W
V
W
V
V
W
V
W
W
V
W
V
V
V
W
V
V
V
V
W
X
W
V
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Z
[
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]
G G
J
6 7 8
44444 44444 6 7 8
44444 44444
L
1 2 3
44444 44444 1 2 3
44444 44444

17. 7
,
:
:
,
, , ,
1 2
. .
:
5 4
8
3,
2
1
:
3
,
:
3
3
tan
tan
tan
Ejercicio n
Halla la ecuacion de la elipse horizontal de centro
y su excentricidad y su dis cia focal es
Respuesta
recuerda
Elipse horizontal
x a y b
siendo
c semi eje menor semi eje mayor
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor
semi eje mayor dist vertice centro
a b centro
vea la imagen
siendo semi eje mayor semi eje menor a b vertice
e
dist vertice centro
c dist foco centro
x y
e
c
c e
x y
tambien sabemos que c c
por lo to asi queda la ecuacion
x y
Ejercicio n
Halla la ecuacion de la elipse horizontal de centro
y su excentricidad y su semi eje mayor es igual a
Respuesta
vea la imagen
e
c c
c
x y
tambien sabemos que c
por lo to asi queda la ecuacion
x y
1 2
5
3
3
1
5
3
1
1
3 3
5
5
1 2
1
25 9 16 4
1 2
1
4
3
2
1
3 2
3
4
1
9 4
9
4
27
2
27
2
27
4
1
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2
+
+ (
+
+ +
+ &
2
2
a b
a b
a
b
a
a b a b
a
a b
a
a b
b a b a b
a
a b b a b b
-------------------------------------
-
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-
=
+ - = -
= = -
-
=
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c
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Q
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R
R
Q R
Q
Q
Q
R
R
T
Q
Q
R
R
Q
Q
Q
R
R
Q
V
V
W
W
V
W
V
W
V
V
V
Y
W
W
V
V
W
V
W
V
W
V
W
V
Z
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Z
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Z
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Z
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Z
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18. ,
9
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5
2
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1
2,6
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1
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1
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2 3
, ,
, , , ,
( )
,
det min cos
Ejercicio n
Halla la ecuacion de la elipse Vertical E de centro
y su semi eje mayor es y el punto E
Respuesta
Recuerda vea la imagen
Elipse vertical
y b x a
siendo
c semi eje menor semi eje mayor
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor
semi eje mayor dist vertice centro
a b centro
E
y b x a
E
y x
E
Ejercicio n
Halla la ecuacion de la elipse Vertical E de centro
y uno de los vertices y su excentricidad es
Respuesta
Elipse vertical
y x
e
c
c
c
E
y x
Ejercicio n
sea la ecuacion canonica
x y
er a las coordenadas de los fo vertices la excentricidad centro
Respuesta
x y x y
F y F
V y V
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor
c c c
semi eje mayor dist vertice centro
centro
elipse vertical ya que
1 2
5 3 3
1
1
1
1
3 3
25
1 16
1
16
25
24
24
25 16
3
50
3
50
0
2 2 3 4
6 2
1
4
3
4 3
16
1 16 4
6 9 7 7
16
6
7
2
1
1
4
1
9
4
1
4
1
9
4
1
1 4
1
1 4 5 1 4 5
1 4 3 1 1 1 4 3 1 7
3
5
2
9 4 5 5
3
1 4
3 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
1 2
1 2
2 2 2 2
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+
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+ &
+
+ &
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2
2
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b a
b a
b
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b
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a a
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b
b
b b
a b a a
b
a
a b
b
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-------------------------------------
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c
c
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Q
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Q
Q
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V
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W
W
W
V
V
V
V
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V
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V
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V
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V
V
V
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vea la imagen de arriba

19. , /
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3
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2
4
3 3 ? ? ? ?
:
3 3
3 3 3 3
.
.
, , ,
tan
sin
tan
Ejercicio n
Halla la ecuacion de la hiperbola de centro y su excentricida es y su dis cia focal
Respuesta
la ecuacion de una Hiperbola horizontal
x a y b
siendo
c
A totas y b x a
e excentricidad
dist vertice centro
dist foco centro c
semi eje menor eje y
semi eje mayor dist vertice centro eje x
a b centro
c c
e
c
x y
x y
Ejercicio n
dada la ecuacion general identificala
x y x y I
Respuesta
como a b I es la ecuacion de una Hiperbola
x y x y x x y y
x x y y x x y y
x y x y
y x y x
fraccion la de y hiperbola vertical
Ejercicio n
dada la ecuacion y y x que conica es vertcice foco directriz
Respuesta
y y x es una parabola ya que solamente una variable esta al cuadrado
y y x y y x y x
y x x y x
y x
en sentido positivo del eje x
por lo to se abre en sentido de x eje x como p es
es una parabola y la variable que es de grado es la x
vertice V y foco F
su directriz corta el eje x x
12
3 4 5 4 5
1
25 16 9 3
4
5 5
4
5
4
5
3 4
1
5
3
3
4
1
1
9 25 54 100 206 0
0 9 25 0
9 25 54 100 206 0 9 54 25 100 206 0
9 6 25 4 206 0 9 6 9 9 25 4 4 4 206 0
9 3 81 25 2 100 206 0 9 3 25 2 25
9
2
25
3
1
3
2
5
3
1
1
4 6 2
4 6 2
4 6 2 4 4 4 6 2 2 32 4 36
2 36 36 36 1 2 4 9 1
2 4 9 1
1
1 2 1 9 2 8 2
1 9 10
p
a
b
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2
4
2
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5
5
2
1 1
a b
a b
a b
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b b
a a
a b b a b
a a a
b
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V
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V
V
V
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V
W
V
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W
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V
W
V
Z
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Z
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Z
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Z
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6 7 8
44444 44444 6 7 8
44444 44444
K
M

20. , ,
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1 1
:
7
:
:
.
, ,
cos
cos tan
min cos
Ejercicio n
calcula la ecuacion de una parabola con eje focal al eje y de vertice y que pasa por
Respuesta
la ecuacion es de la forma x a p y b ya que el eje focal es al eje y
x p y y como pasa por el punto p p
por ultimo la ecuacion es de la forma x y
Ejercicio n
si los fo de una elipse son los puntos F y F
y su eje menor mide calcula su ecuacion
Respuesta
F y F esto nos indica que el centro es el punto o bien como sabemos
el centro esta en medio de los fo por lo to centro
tambien F y F nos indica que es una elipse horizontal
asi que su ecuacion canonica es
x a y b
c dist foco centro centro foco
eje menor semi eje menor
tambien recordando la figura de elipse horizontal que c
la euacion es
x y
Ejercicio n
Deter e las coordenadas de los fo y directriz y lado recto
de la parabola cuya ecuacion es x y x
Respuesta
x y x x x y x x y
x y x y
y como p es se abre en sentido del eje y
es una parabola con el eje focal al eje y
su vertice es y su foco es
la directriz corta el eje y y
Lado recto es LR p
15
0 1 4 3
4
0 4 1 4 3 16 4 2 2
0 8 1
16
4 0 4 0
2
4 0 4 0 0 0
2
4 4
2
0 0 0 0
4 0 4 0
1
4 0 4 0 4
2 1
16 7
17 1 1
1
8 8 24 0
8 8 24 0 8 8 24 0 8 16 16 8 24 0
4 8 8 4 4 2 1
2
4 1 4 3
1
4 8
2
2
2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
( ,
&
+ &
+ +
+
(
5 5
a b
b
b a a a
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-------------------------------------
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-
+
-
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- = - - = -
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c
c
c
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Q
Q
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S
Q
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Q
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W
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V
V
V
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V
V
W
W
V
V
X
V
V
V
G