1. El documento presenta información sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, tangente y cotangente y teoremas como el de Pitágoras y el seno. 2. Incluye fórmulas trigonométricas, propiedades de los ángulos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones trigonométricas. 3. Cubre una amplia gama de temas matemáticos relacionados con la trigonometría.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría. Explica las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos, el teorema del coseno, el teorema del seno y el círculo trigonométrico. También incluye fórmulas, propiedades, igualdades y métodos para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeiaMateo Banhakeia
I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones.
II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones.
III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.
Este documento presenta varios ejemplos de uso de matrices para representar información. En el primer ejemplo, se usa una matriz de 3x3 para sintetizar las respuestas de tres amigos sobre quién aprobará la selectividad. En el segundo ejemplo, se representa mediante una tabla la información sobre vuelos entre países. Finalmente, el documento proporciona varios ejercicios relacionados con operaciones con matrices como traspuestas, productos y métodos para calcular inversas.
El documento contiene 10 preguntas sobre derivadas de funciones. Las preguntas 1-7 piden calcular derivadas de funciones dadas o encontrar la ecuación de la tangente en un punto. Las preguntas 8-9 piden encontrar los extremos de funciones. La pregunta 10 pide derivar la función y=5lnx-x2.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con vectores en el espacio. Incluye cálculos de áreas y volúmenes de figuras geométricas definidas por vectores, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También aborda conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores.
El documento presenta ejercicios y conceptos sobre determinantes de orden 2 y 3. Explica cómo calcular determinantes mediante la regla de Sarrus y desarrollando por filas y columnas. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y calcula valores de determinantes dados sus matrices.
Este documento presenta una serie de ejercicios de sucesiones numéricas y literales para determinar el siguiente término o valor. Incluye 13 ejercicios para hallar el siguiente número, letra, par de letras o figura en diferentes sucesiones dadas.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría. Explica las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos, el teorema del coseno, el teorema del seno y el círculo trigonométrico. También incluye fórmulas, propiedades, igualdades y métodos para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeiaMateo Banhakeia
I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones.
II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones.
III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.
Este documento presenta varios ejemplos de uso de matrices para representar información. En el primer ejemplo, se usa una matriz de 3x3 para sintetizar las respuestas de tres amigos sobre quién aprobará la selectividad. En el segundo ejemplo, se representa mediante una tabla la información sobre vuelos entre países. Finalmente, el documento proporciona varios ejercicios relacionados con operaciones con matrices como traspuestas, productos y métodos para calcular inversas.
El documento contiene 10 preguntas sobre derivadas de funciones. Las preguntas 1-7 piden calcular derivadas de funciones dadas o encontrar la ecuación de la tangente en un punto. Las preguntas 8-9 piden encontrar los extremos de funciones. La pregunta 10 pide derivar la función y=5lnx-x2.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con vectores en el espacio. Incluye cálculos de áreas y volúmenes de figuras geométricas definidas por vectores, así como operaciones entre vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial. También aborda conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores.
El documento presenta ejercicios y conceptos sobre determinantes de orden 2 y 3. Explica cómo calcular determinantes mediante la regla de Sarrus y desarrollando por filas y columnas. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales y calcula valores de determinantes dados sus matrices.
Este documento presenta una serie de ejercicios de sucesiones numéricas y literales para determinar el siguiente término o valor. Incluye 13 ejercicios para hallar el siguiente número, letra, par de letras o figura en diferentes sucesiones dadas.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con sucesiones y progresiones matemáticas. Los ejercicios incluyen hallar términos de sucesiones, identificar el tipo de progresión, calcular sumas, diferencias y otros valores relacionados con sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones constantes y lineales. Incluye problemas sobre ecuaciones de rectas, determinación de pendientes, dominios y rangos de funciones, y gráficas de funciones.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas, puntos de intersección, paralelismo, perpendicularidad y distancias entre puntos dados diferentes sistemas de ecuaciones lineales.
3. También incluye problemas sobre funciones constantes y lineales aplicadas a situaciones reales.
1) El documento presenta los principios básicos de la teoría de probabilidad y métodos combinatorios, incluyendo definiciones de probabilidad, permutaciones, combinaciones y distribuciones.
2) Explica fórmulas matemáticas para calcular el número de posibilidades en diferentes escenarios, como lanzar dados o elegir comités.
3) También cubre generación de números aleatorios y su importancia histórica para el desarrollo de la estadística.
Este documento describe cómo resolver ecuaciones de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) mediante la factorización. Explica que cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, y que para resolverla se puede factorizar el lado izquierdo en un producto de binomios cuya igualación a cero da las soluciones. Proporciona ejemplos de cómo factorizar diferentes ecuaciones cuadráticas para resolverlas.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos para la asignatura Matemática 61 del Ciclo Básico Común de la Facultad de Agronomía de la UBA. La guía introduce los temas a estudiar, que incluyen conceptos de análisis matemático en una variable, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y nociones básicas de combinatoria y probabilidad. Además, proporciona una lista de libros de consulta y una serie de ejercicios prácticos para que los estudiantes practiquen y
El documento contiene 16 problemas de matemáticas que involucran cálculos de sumas, progresiones aritméticas y geométricas, y términos enésimos. Se pide determinar valores, razones y sumas. La mayoría de los problemas se resuelven aplicando fórmulas matemáticas apropiadas a cada caso.
guia de ejercicios de matematica del cbcapuntescbc
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
El documento presenta varios ejercicios sobre números complejos. Incluye preguntas sobre la diferencia entre el plano complejo y el plano cartesiano, graficar puntos en el plano complejo, identificar cuáles expresiones son reales y cuáles complejas, operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos, expresar números complejos en diferentes formas, resolver ecuaciones complejas y hallar raíces de números complejos.
El documento presenta una introducción a los números complejos, incluyendo tres definiciones clave:
1) Los números complejos son pares ordenados de números reales que pueden representarse en un plano y se definen mediante operaciones de suma y multiplicación.
2) El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano, mientras que su argumento es el ángulo con el eje real.
3) Un número complejo también puede escribirse en forma trigonométrica o polar en términos de su módulo y argumento
Este documento presenta un conjunto de ejercicios matemáticos sobre sumas y ángulos para que los estudiantes de segundo grado los resuelvan. Incluye 6 secciones de ejercicios de sumas y una sección sobre ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal, con 3 ejemplos para practicar. El documento pide a los estudiantes entregar la tarea el 7 de enero.
Este documento presenta un banco de preguntas para un examen de matemáticas de décimo año de educación general básica. Contiene 30 preguntas sobre operaciones con radicales, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones lineales, potenciación, notación científica, funciones, expresiones algebraicas, fracciones algebraicas y factorización. El objetivo es que los estudiantes puedan estudiar y prepararse para rendir el examen quimestral.
Matemáticas para la Economía: Álgebra (6501108) PEC_2013. Solucionesuniverso exacto
El documento presenta varios problemas de álgebra lineal y sistemas de ecuaciones, incluyendo el cálculo de bases de subespacios vectoriales, operaciones matriciales, aplicaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Se piden determinar la solución o resultado de cada problema.
Este documento presenta varios ejercicios de sucesiones resueltos por alumnos de 3o ESO. Los ejercicios incluyen hallar términos, diferencias, sumas y razones de progresiones aritméticas y geométricas. Los alumnos demuestran cómo aplicar fórmulas como el término general para resolver los problemas planteados.
Este documento contiene una lista de ejercicios de ecuaciones de primer grado. Incluye 16 problemas de resolución de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. El documento proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con una incógnita, fracciones y paréntesis.
Taller de matrices y sistemas de ecuaciones linealesAlbert Page
Este documento presenta varios problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo operaciones con matrices, sistemas de ecuaciones lineales, y clasificación de matrices. Se proporcionan ejemplos de sumas, productos, trazas y determinantes de matrices, así como condiciones para que matrices conmuten o sean simétricas u ortogonales. También se plantean problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales y su solución, así como problemas prácticos resueltos mediante sistemas de ecuaciones.
1) El documento describe las propiedades de las desigualdades y el orden de los números reales, incluyendo la relación de orden, propiedades de las desigualdades, intervalos y ecuaciones. 2) Explica que una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos como >, <, ≥ o ≤ y analiza las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar o dividir sus términos. 3) También introduce conceptos como el valor absoluto de un número y sus propiedades.
Este documento presenta un examen final de cálculo integral con 10 preguntas de opción múltiple sobre diferentes temas como reescribir integrales, hallar resultados de integrales definidas e indefinidas, resolver integrales mediante diferentes métodos como integración por partes e integrales que producen logaritmos naturales, y calcular áreas bajo curvas.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta fórmulas y conceptos clave para resolver integrales definidas. Explica cómo utilizar sustituciones trigonométricas, cambios de variable y tablas de integrales para calcular integrales definidas de funciones. También incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para integrar funciones elementales como seno, coseno y exponenciales.
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con sucesiones y progresiones matemáticas. Los ejercicios incluyen hallar términos de sucesiones, identificar el tipo de progresión, calcular sumas, diferencias y otros valores relacionados con sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
1. El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con funciones constantes y lineales. Incluye problemas sobre ecuaciones de rectas, determinación de pendientes, dominios y rangos de funciones, y gráficas de funciones.
2. Se piden determinar ecuaciones de rectas, puntos de intersección, paralelismo, perpendicularidad y distancias entre puntos dados diferentes sistemas de ecuaciones lineales.
3. También incluye problemas sobre funciones constantes y lineales aplicadas a situaciones reales.
1) El documento presenta los principios básicos de la teoría de probabilidad y métodos combinatorios, incluyendo definiciones de probabilidad, permutaciones, combinaciones y distribuciones.
2) Explica fórmulas matemáticas para calcular el número de posibilidades en diferentes escenarios, como lanzar dados o elegir comités.
3) También cubre generación de números aleatorios y su importancia histórica para el desarrollo de la estadística.
Este documento describe cómo resolver ecuaciones de segundo grado (ecuaciones cuadráticas) mediante la factorización. Explica que cualquier ecuación cuadrática puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, y que para resolverla se puede factorizar el lado izquierdo en un producto de binomios cuya igualación a cero da las soluciones. Proporciona ejemplos de cómo factorizar diferentes ecuaciones cuadráticas para resolverlas.
Este documento presenta una guía de trabajos prácticos para la asignatura Matemática 61 del Ciclo Básico Común de la Facultad de Agronomía de la UBA. La guía introduce los temas a estudiar, que incluyen conceptos de análisis matemático en una variable, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y nociones básicas de combinatoria y probabilidad. Además, proporciona una lista de libros de consulta y una serie de ejercicios prácticos para que los estudiantes practiquen y
El documento contiene 16 problemas de matemáticas que involucran cálculos de sumas, progresiones aritméticas y geométricas, y términos enésimos. Se pide determinar valores, razones y sumas. La mayoría de los problemas se resuelven aplicando fórmulas matemáticas apropiadas a cada caso.
guia de ejercicios de matematica del cbcapuntescbc
Este documento contiene 6 prácticas de matemática que cubren temas como números reales, funciones, límites, derivadas e integrales. Cada práctica incluye ejercicios resueltos sobre los conceptos matemáticos tratados y ejercicios adicionales para la práctica. También incluye evaluaciones parciales y final.
El documento presenta varios ejercicios sobre números complejos. Incluye preguntas sobre la diferencia entre el plano complejo y el plano cartesiano, graficar puntos en el plano complejo, identificar cuáles expresiones son reales y cuáles complejas, operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos, expresar números complejos en diferentes formas, resolver ecuaciones complejas y hallar raíces de números complejos.
El documento presenta una introducción a los números complejos, incluyendo tres definiciones clave:
1) Los números complejos son pares ordenados de números reales que pueden representarse en un plano y se definen mediante operaciones de suma y multiplicación.
2) El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano, mientras que su argumento es el ángulo con el eje real.
3) Un número complejo también puede escribirse en forma trigonométrica o polar en términos de su módulo y argumento
Este documento presenta un conjunto de ejercicios matemáticos sobre sumas y ángulos para que los estudiantes de segundo grado los resuelvan. Incluye 6 secciones de ejercicios de sumas y una sección sobre ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal, con 3 ejemplos para practicar. El documento pide a los estudiantes entregar la tarea el 7 de enero.
Este documento presenta un banco de preguntas para un examen de matemáticas de décimo año de educación general básica. Contiene 30 preguntas sobre operaciones con radicales, ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones lineales, potenciación, notación científica, funciones, expresiones algebraicas, fracciones algebraicas y factorización. El objetivo es que los estudiantes puedan estudiar y prepararse para rendir el examen quimestral.
Matemáticas para la Economía: Álgebra (6501108) PEC_2013. Solucionesuniverso exacto
El documento presenta varios problemas de álgebra lineal y sistemas de ecuaciones, incluyendo el cálculo de bases de subespacios vectoriales, operaciones matriciales, aplicaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Se piden determinar la solución o resultado de cada problema.
Este documento presenta varios ejercicios de sucesiones resueltos por alumnos de 3o ESO. Los ejercicios incluyen hallar términos, diferencias, sumas y razones de progresiones aritméticas y geométricas. Los alumnos demuestran cómo aplicar fórmulas como el término general para resolver los problemas planteados.
Este documento contiene una lista de ejercicios de ecuaciones de primer grado. Incluye 16 problemas de resolución de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. El documento proporciona ejemplos para que los estudiantes practiquen la resolución de ecuaciones de primer grado, incluyendo ecuaciones con una incógnita, fracciones y paréntesis.
Taller de matrices y sistemas de ecuaciones linealesAlbert Page
Este documento presenta varios problemas relacionados con álgebra lineal, incluyendo operaciones con matrices, sistemas de ecuaciones lineales, y clasificación de matrices. Se proporcionan ejemplos de sumas, productos, trazas y determinantes de matrices, así como condiciones para que matrices conmuten o sean simétricas u ortogonales. También se plantean problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales y su solución, así como problemas prácticos resueltos mediante sistemas de ecuaciones.
1) El documento describe las propiedades de las desigualdades y el orden de los números reales, incluyendo la relación de orden, propiedades de las desigualdades, intervalos y ecuaciones. 2) Explica que una desigualdad es una expresión algebraica relacionada por signos como >, <, ≥ o ≤ y analiza las propiedades de las desigualdades al sumar, restar, multiplicar o dividir sus términos. 3) También introduce conceptos como el valor absoluto de un número y sus propiedades.
Este documento presenta un examen final de cálculo integral con 10 preguntas de opción múltiple sobre diferentes temas como reescribir integrales, hallar resultados de integrales definidas e indefinidas, resolver integrales mediante diferentes métodos como integración por partes e integrales que producen logaritmos naturales, y calcular áreas bajo curvas.
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
Este documento presenta fórmulas y conceptos clave para resolver integrales definidas. Explica cómo utilizar sustituciones trigonométricas, cambios de variable y tablas de integrales para calcular integrales definidas de funciones. También incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para integrar funciones elementales como seno, coseno y exponenciales.
El documento presenta varios conceptos y demostraciones matemáticas. Se define el logaritmo y se demuestran varias propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. También se plantean y resuelven ejercicios relacionados con ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
El documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo diferentes formas de escribirlos y propiedades como el módulo y argumento. También describe varias transformaciones complejas como traslación, rotación, homotecia y similitud directa, dando las fórmulas correspondientes a cada una. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo del argumento de un número complejo.
1. Un documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas como sucesiones aritméticas, geométricas y sus propiedades. 2. Se definen conceptos como tero general, diferencia, razón y se explican sus características. 3. También se introducen series matemáticas y criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas.
2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.
3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.
El documento presenta diferentes conceptos geométricos como rectas, planos y sus posiciones relativas. Define los elementos que caracterizan una recta y un plano, como puntos y vectores directores. Explica cómo estudiar la posición relativa de dos rectas mediante la dependencia lineal de sus vectores directores. Luego, analiza la posición relativa de una recta y un plano, y de dos o más planos, a través del rango de las matrices formadas por sus ecuaciones.
El documento explica conceptos básicos sobre límites de funciones como su definición, diferentes tipos de límites (límites laterales, límites en un punto) y métodos para calcular límites como aplicar fórmulas o la regla de l'Hôpital. También cubre continuidad, derivabilidad y algunas propiedades de estas como que una función continua en un punto es derivable en ese punto.
El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.
Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
[/RESUMEN]
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
Limites continuidad-derivabilidad con + de 50 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
Este documento presenta una guía sobre funciones y sus propiedades. Explica conceptos como dominio, continuidad, derivabilidad, asintotas, puntos críticos, concavidad, y cómo construir una curva a partir de estos elementos. También incluye una tabla de derivadas de funciones comunes.
El documento presenta fórmulas trigonométricas útiles para resolver integrales definidas, incluyendo fórmulas para seno de suma y diferencia, coseno de suma y diferencia, y tangente de suma y diferencia. También presenta identidades para seno al cuadrado, coseno al cuadrado y seno-coseno.
1. El documento presenta ejercicios sobre números reales, incluyendo fracciones, operaciones y conversiones entre fracciones y decimales. 2. Se piden calcular valores de x para que fracciones sean equivalentes, expresar fracciones con el mismo denominador, y amplificar fracciones a potencias de 10. 3. También se incluyen ejercicios de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones, así como conversiones entre fracciones y decimales.
Este documento presenta 10 ejercicios de matemáticas sobre demostraciones de desigualdades entre números positivos. El documento incluye el nombre de la universidad, facultad, curso y profesor a cargo, así como los nombres de los estudiantes que integran el seminario.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
Similar a Trigonometria+50 ejercicios resueltos Banhakeia (20)
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
Este documento explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e propriedades. As matrizes são representadas por conjuntos de números organizados em linhas e colunas. O documento descreve matrizes simétricas, diagonais, escalares, entre outras, e como realizar operações como multiplicação, transposição e inversão de matrizes.
Estudio de funciones con + de 30 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento resume los conceptos fundamentales del estudio de funciones, incluyendo el dominio de definición, la simetría, la continuidad, la derivabilidad, los cortes con los ejes, las asintotas, la monotonía, los puntos críticos, la concavidad y los puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas que es importante memorizar.
Este documento define los logaritmos y demuestra varias de sus propiedades fundamentales, incluyendo que loga(c*d^h)=loga(c^h)+loga(d^h), que loga(d/c)=-loga(c)-loga(d), y que loga(b^h*c)=h*loga(b).
Limites-continuidad-derivabilidad por BanhakeiaMateo Banhakeia
1) El documento habla sobre los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones.
2) Explica las definiciones formales de límite, continuidad a izquierda/derecha y derivabilidad.
3) Proporciona fórmulas y propiedades clave sobre límites, como reglas para calcular límites indeterminados y la regla de L'Hôpital.
Este documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a es la parte real e i la raíz cuadrada de -1. También presenta diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.
Este documento presenta un estudio de funciones que incluye los siguientes puntos: 1) dominio de definición, 2) simetría y periodicidad, 3) continuidad, 4) derivabilidad, 5) corte con los ejes, 6) asintotas, 7) monotonía y puntos críticos, y 8) concavidad y puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas comunes y algunos casos particulares para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de integrales dobles sobre diferentes regiones. Se proporcionan los límites de integración para regiones como un trapecio, un segmento parabólico, círculos y más. También se piden cambiar el orden de integración y calcular valores numéricos de integrales dobles sobre estas regiones.
Este documento presenta las instrucciones para una prueba de acceso a la universidad de física en Andalucía. Contiene dos opciones con varias preguntas cada una. La duración de la prueba es de 1 hora y 30 minutos. Los estudiantes deben desarrollar las cuestiones y problemas de una sola opción utilizando una calculadora no programable. Cada pregunta se calificará de 0 a 2,5 puntos.
Este documento presenta resúmenes de fórmulas y conceptos clave de física para el curso de 2o de bachillerato. Incluye resúmenes de mecánica, movimiento armónico simple, sonido, interacción gravitatoria, fuerzas centrales, campo eléctrico, campo magnético, inducción electromagnética, óptica geométrica y física moderna. El documento proporciona fórmulas fundamentales de cada tema de forma concisa para servir como recurso de referencia rápida para los estudiantes
"Abordando la Complejidad de las Quemaduras: Desde los Orígenes y Factores de...AlexanderZrate2
Las quemaduras, una de las lesiones traumáticas más comunes, representan un desafío significativo para el cuerpo humano. Estas lesiones pueden ser causadas por una variedad de agentes, desde el contacto con el calor extremo hasta la exposición a productos químicos corrosivos, la electricidad y la radiación. Independientemente de su origen, las quemaduras pueden provocar un amplio espectro de daños, que van desde lesiones superficiales de la piel hasta afectaciones graves de tejidos más profundos, con potencial para comprometer la vida del individuo afectado.
La incidencia y gravedad de las quemaduras pueden variar según factores como la edad, la ocupación, el entorno y la atención médica disponible. Las quemaduras son un problema global de salud pública, con impacto no solo en la salud física, sino también en la calidad de vida y la salud mental de los afectados. Además del dolor y la discapacidad física que pueden ocasionar, las quemaduras pueden dejar cicatrices permanentes y aumentar el riesgo de infecciones y otras complicaciones a largo plazo.
El manejo adecuado de las quemaduras es esencial para minimizar el riesgo de complicaciones y promover una recuperación óptima. Desde los primeros auxilios en el lugar del incidente hasta el tratamiento médico especializado en centros de quemados, se requiere una atención integral y multidisciplinaria. Además, la prevención juega un papel fundamental en la reducción de la incidencia de quemaduras, mediante la educación pública, la implementación de medidas de seguridad en el hogar, el trabajo y otros entornos, y la promoción de políticas de salud y seguridad efectivas.
En esta exploración exhaustiva sobre el tema de las quemaduras, analizaremos en detalle los diferentes tipos de quemaduras, sus causas y factores de riesgo, los mecanismos fisiopatológicos involucrados, las complicaciones potenciales y las estrategias de tratamiento y prevención más relevantes en la actualidad. Además, consideraremos los avances científicos y tecnológicos recientes que están transformando el enfoque hacia la gestión de las quemaduras, con el objetivo último de mejorar los resultados para los pacientes y reducir la carga global de esta importante condición médica.
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxjanetccarita
Explora los fundamentos y las mejores prácticas en fijación, transporte en camilla e inmovilización de la columna cervical en este presentación dinámica. Desde técnicas básicas hasta consideraciones avanzadas, este conjunto de diapositivas ofrece una visión completa de los protocolos cruciales para garantizar la seguridad y estabilidad del paciente en situaciones de emergencia. Útil para profesionales de la salud y equipos de respuesta ante emergencias, esta presentación ofrece una guía visualmente impactante y fácil de entender.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Reacciones Químicas en el cuerpo humano.pptxPamelaKim10
Este documento analiza las diversas reacciones químicas que ocurren dentro del cuerpo humano, las cuales son esenciales para mantener la vida y la salud.
Esta exposición tiene como objetivo educar y concienciar al público sobre la dualidad del oxígeno en la biología humana. A través de una mezcla de ciencia, historia y tecnología, se busca inspirar a los visitantes a apreciar la complejidad del oxígeno y a adoptar estilos de vida que promuevan un equilibrio saludable entre sus beneficios y sus potenciales riesgos.
¡Únete a nosotros para descubrir cómo el oxígeno puede ser tanto un salvador como un destructor, y qué podemos hacer para maximizar sus beneficios y minimizar sus daños!
Esta presentación nos informa sobre los pólipos nasales, estos son crecimientos benignos en el revestimiento de los senos paranasales o fosas nasales, causados por inflamación crónica debido a alergias, infecciones o asma.
1. .
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Este teorema sirve cuando conocemos lados o lados y el angulo comprendidos entre ellos
Este teorema sirve cuando conocemos angulos y un lado o lados y el angulo opuesto a uno de ellos
recuerda que para convertir radianes en grados o viceversa
Aplicando Pitagoras
z a b z a b
sen
a b
b
a b
a
tag a
b
g b
a
Triangulo Rec gulo
Teorema del eno
Teorema del seno
Circulo Trigonometrico
la parte coloreada en rojo k k
sen hipotenusa
opuesto
h
a
hipotenusa
adyacente
h
b
adyacente
opuesto
b
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a b c b c A
b a c a c B
c a b a b C
senA
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senB
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la parte coloreada en azul k k sen
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vea ejercicio 2-8
vea ejercicio 2-9
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sentido negativo
sentido positivo
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2. ,
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cos int cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos int cos
cos cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos cos
cos
cos int cos
sup
u
u
u
angulos son complementarios si la suma de los dos angulos es grados
angulos son lementarios si la suma de los dos angulos es grados
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
sen sen es pq
sen z
a
a b
a
luego sen
es pq
z
b
a b
b
sen luego sen
sen sen es pq
sen z
a
a b
a
luego sen
es pq
z
b
a b
b
sen luego sen
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
es pq
z
a
a b
a
luego
sen sen es pq
sen z
b
a b
b
sen luego sen sen
sen sen es pq
sen z
b
a b
b
sen luego sen sen
es pq
z
a
a b
a
luego
Para hallar el seno eno del angulo escogeremos el angulo que se acerca a que es o
y con el signo de seno o eno seg n a que ervalo ya visto antes eje x eno eje y seno
seguir los mismos pasos hechos anteriormente
Angulos complementarios y lementarios
2 90
2 180
2 2
2
2 2 2 0
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 0
2
2 2 2 2 2
2
2 2
0
0
2 2
2
3
2
3
2
3
eje x
Z radio circulo
eje y
2 2
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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5 d
5 d
5 d
6
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6
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6
6
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z
z
z
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a
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r a r a r a
r r
b a r a a
r a r a r a r
b a r a a
r a r a r a r
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r
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4 444
4
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cos cos
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cos
cos cos cos cos
cos
cot cot
cos
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cos cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
tan
tan
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos
los dedos que quedan libres a la izquierda del dedo indicado
sen
los dedos que quedan libres a la derecha del dedo indicado
tag
los dedos que quedan libres a la izquierda del dedo indicado
los dedos que quedan libres a la derecha del dedo indicado
la mejor forma de hallar lo de los angulos complementarios y lementarios
es imaginar un circulo y aplicando lo anterior mentalmente teniendo en cuenta que eje x y eje y sen
De aqui se deduce que
Propiedades
sen a a sen a sena a a a sen a
tag a
tag a
taga
tag a
a
a
sen a
tag
sen a
a
a
a
tag a a
a
Tabla de valores mas significativos
formulas impor tisimas
sen a b sena b a senb
sen a b sena b a senb
a b a b sena senb
a b a b sena senb
a b taga tagb
taga tagb
a b taga tagb
taga tagb
sena senb a b a b
sena b sen a b sen a b
a b a b a b
a senb sen a b sen a b
sena senb sen
a b a b
sena senb
a b
sen
a b
a b
a b
sen
a b
a b sen
a b
sen
a b
sena a taga
60
3 2
60
3 2
60
3
1 2 2 2
2
1
2
1
1
1
1 1
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
0
0
0
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2 2 2
3 3
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b
b
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. . ,
. :
sup
cos
tan
cot cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
lg
cos cos
cot cot
angulos lementarios tiene mismo sen
los angulos opuestos tienen mismo
angulo de media vuelta tiene la misma gente
taga a sena a sen a a sen a a
tag
a
a
a
taga tagb
taga tagb
sen a b
sen a b
tag
a b
a b
sena senb
a b c a b
a b
tag
tag
b a c a c
a c
tag
tag
c b a b c
b c
tag
tag
Sea n un numero de lados de un poligono regular la medida de sus angulos es n
n
Como Resolver Ecuaciones trigonometricas
A unas Formulas Interesantes
sena senb
a b k k
a b k k
los
a b
a b k k
a b k k
taga tagb
a b k k
a k
b k
a b
a b k k
a k
b k
1 1 1 1
2 1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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Z
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2 2 2 2
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cos cos
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cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
tan
cos
Son de la forma
una de las formas de resolverlo es la seguiente
dividir la ecuacion entre la a o bien entre la b ongamos que dividamos por a
sen x a
b
x a
c
sen x tag x a
c
siendo tag a
b
sen x
sen
x a
c
sen x sen x a
c
utilizando una de estas formulas sen x a
c
a
c
o a
c
no tiene solucion imposible de resolver
a
c
a
c
la transformaremos en sen
luego sen x sen
x k
x k
con k
son de la forma que cuando sustituimos seno por eno y viceversa nos queda la misma ecuacion
ejemplo senx x si remplazamos sen por y viceversa queda de la seguiente
forma x senx que es exactamente igual que la original es simetrica
para este tipo de ecuaciones se resuelven haciendo cambio de variable x y
x y y seny
senx sen y y seny
utilizando formulas
Es una ecuacion de la forma f senx x donde f es un polinomio donde los ter os son de
tipo sen x x con a b es cons te para cada ter o del polinomio
Ejemplo sen x x senx x
sen x es de grado x es de grado senx x es de grado
lo que se hace en esta clase de ecuaciones es dividir por el o por el sen
en el ejemplo anterior podemos dividir por x ya que x
x k
x k
x k
y resulta que no es una solucion de la ecuacion por lo seguiente podemos por
sen x x senx x
x
sen x x senx x
x
tag x tag x tag x tag x haciendo cambio variable y tag x
y y ecuacion de segundo grado facil seguir
Ecuaciones Armonicas
Si
Si
Ecuaciones Simetrica
A
Ecuaciones Homogeneas
Observacion
a sen x b x c siendo a b c
a b a b sena senb
a b a b sena senb
sen a b sena b senb a
sen a b sena b senb a
Muy Impor te
Donde sirve el teorema de seno no sirve el teorema de eno y viceversa
Antes de resolver ecuacion trigonometrica tenemos que mirar antes su campo de existencia
En ecuaciones trigonometricas nunca se simplifica se factoriza y despues se resuelve
I
I
I
I
I
I
1 1
1 1
2
2
1 1
1 1
4
4 2
2
4 2
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2 3 2 1 1 2
0
2 2
2 2
2
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3 0 3 0
3 0
1
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a b
a b a b
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2 2
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6 7 8
44444444444444444444444 44444444444444444444444
6. , , ,
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.
.
***
cos tan cot
cos
cos cos
cos
sup cos
cos cos
cos
sup tan
sup tan
Para resolver esta clase de inecuaciones se utiliza dos metodos
Se resuelve por las graficas para ello es necesario conocer las graficas de
seno eno gente angente de memoria abajo van sus graficas
Resolver por circulo trigonometrico recordad que eno es el eje x seno es el eje y
Para entender mejor como utilizar los dos metodos ve a los ejercicios
Si tuvieramos ax b c hacemos cambio de variable y ax b y c
si c imposible resolverlo ya que y
si c solucion
si c ongamos que c
cambiamos la desigualdad por igualdad y
y k
y k
sabemos que el eje x asi que en el eje x colocamos el valor de c y trazamos una paralela al eje y
la solucion seria todos los valores eriores a c que es encima del circulo
Si tuvieramos sen ax b c hacemos cambio de variable y ax b seny c
es exactamente parecido al anterior lo unico que cambia es colocar el valor de c en el eje y seno
y hacer una paralela desde este punto al eje x y todos los valores que quedan encima del c
la solucion seria todos los valores eriores a c que es encima
Inecuaciones Trigonometricas
Primer metodo
Segundo metodo
38 39 40
1 1 1
1
1 1
2
2
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2 2
2
1
2 2
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b
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-
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= +
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V
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Muy Importante leerlo atentamente
7. , .
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min
cos arccos cos
cos arccos arccos cos arccos arccos
tan cot
tan tan cot cot cot
cot cot cot cot
cot cot
arccos cot csc sec csc
sec arccos arccos cot
sec arccos sec sec
arccos arccos
lg int
nada primero
asi
Antes de debemos saber para que una funcion tenga inversa tiene que ser biyectiva
Para que la funcion seno sea biyectiva debemos restringer su do io de defnicion a
y su inversa es anotada asi Arcsen o bien sen ver imagen de abajo
sen arcsenx x si x arcsen senx x si x arcsen x arcsen x x
a la funcion eno se le hace igual restringiendo su D y la inversa se anota o bien
x x si x x x si x x x x
La funcion gente para que sea biyectiva su D mientras a la angente su D
y se no para la gente arctag o bien tag para la angente arc ag o bien ag
arctag x arctagx x arc ag x ar agx x ag arc ag x x
tag arctagx x x arctag tagx x si x arc ag agx x si x
x arcsenx ar agx arctagx arc x arc x arc x arcsen x
arc x x arcsenx x x arctagx arc agx x
arc x ecx x arc x arc x
ec x ec x
Funciones Inversas Trigonometricas
A unas identidades muy eresantes
2 2
1 1 2 2
1 1
0
1 1 0 1 1
2 2
0
2 2 0
2 2 2
1
1
2
1 1
2
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1 1 1 1
1 1
R R R
R
R
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f f
1
1
1 1
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d d d
d
d d
d d .
d .
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6 6
6 6 3 3
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r r
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r r
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- =- - - +
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V
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8. demostrar que cotagx + tagx
cotag - tagx
= 1 - 2sen
2
x
cotagx + tagx
cotag - tagx
=
senx
cosx +
cosx
senx
senx
cosx -
cosx
senx
=
senx cosx
cos
2
x + sen
2
x
senx cosx
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = 1 - 2sen
2
x
--------------------
demostrar que cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
sabemos que cos
2
x + sen
2
x = 1 + 1 - sen
2
x = cos
2
x + 1 - senx
^ h 1 + senx
^ h = cosx.cosx
+
cosx
1 - senx
=
1 + senx
cosx
de igual manera se puede demostrar
senx
1 - cosx
=
1 + cosx
senx
--------------------
demuestre
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
= cos2x
1 + tag
2
x
1 - tag
2
x
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1 +
cos
2
x
sen
2
x
1 -
cos
2
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2
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2
x + sen
2
x
cos
2
x
cos
2
x - sen
2
x
= cos
2
x - sen
2
x = cos2x
--------------------
demuestre
1+ secx
tagx
=
senx
1 - cosx
1 + secx
tagx
=
1 +
cosx
1
cosx
senx
=
cosx
1 + cosx
cosx
senx
=
1 + cosx
senx
1 - cosx
1 - cosx
=
1 - cos
2
x
senx 1 - cosx
^ h
=
=
sen
2
x
senx 1 - cosx
^ h
=
senx
1 - cosx
--------------------
demuestre tag
2
x - sen
2
x = tag
2
x . sen
2
x
tag
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x =
cos
2
x
sen
2
x - sen
2
x.cos
2
x
=
cos
2
x
sen
2
x 1 - cos
2
x
^ h
=
cos
2
x
sen
2
x sen
2
x
= tag
2
x . sen
2
x
--------------------
secx - tagx
^ h2
1 - senx
= 1 + senx
secx - tagx
^ h2
1 - senx
=
sec
2
x - 2.secx.tagx + tag
2
x
1 - senx
=
cos
2
x
1 -
cos
2
x
2senx +
cos
2
x
sen
2
x
1 - senx
=
=
sen
2
x - 2senx + 1
1 - senx
^ hcos
2
x
=
senx - 1
^ h2
1 - senx
^ h 1 - sen
2
x
^ h
=
1 - senx
^ h2
1 - senx
^ h2
1 + senx
^ h
= 1 + senx
--------------------
tagx+cotagx= senx.cosx
1
tagx + cotagx =
cosx
senx +
senx
cosx
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
1
O bién
senx.cosx
1
=
senx.cosx
sen
2
x + cos
2
x
=
senx.cosx
sen
2
x +
senx.cosx
cos
2
x
=
cosx
senx +
senx
cosx
= tagx + cotagx
--------------------
Observación
Para demostrar igualdades es mejor empezar por la expresión mas desarrollada
suele funcionar al 90%, y tener bién memorizada las formulas trigonometricas
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
9. Demostración del teorema de coseno.
a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a
^ h sabemos que
cos a
^ h =
c
x
+ x = c.cos a
^ h A Tri. Izq.
^ h
b = y + x + y = b - c.cos a
^ h
En Triangulo derecho
a
2
= y
2
+ h
2
= b - c.cos a
^ h
6 @2
+ h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a
^ h - 2.b.c.cos a
^ h + h
2
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= c
2
.cos
2
a
^ h + h
2
a
2
= b
2
+ c
2
.cos
2
a
^ h - 2.b.c.cos a
^ h + h
2
+ a
2
- c
2
= b
2
- 2.b.c.cos a
^ h + a
2
= b
2
- 2.b.c.cos a
^ h + c
2
+ a
2
= b
2
+ c
2
- 2.b.c.cos a
^ h
---------
c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b
^ h sabemos que
cos b
^ h =
a
y
+ y = a.cos b
^ h Tri.Derec.
^ h
b = y + x + x = b - a.cos b
^ h
En Triangulo Izquierdo
c
2
= x
2
+ h
2
= b - a.cos b
^ h
6 @2
+ h
2
= b
2
+ a
2
.cos
2
b
^ h - 2.b.a.cos b
^ h + h
2
a
2
= y
2
+ h
2
= a
2
cos
2
b
^ h + h
2
+ c
2
- a
2
= b
2
- 2.a.b.cos b
^ h + c
2
= a
2
- 2.a.b.cos b
^ h + b
2
+ c
2
= a
2
+ b
2
- 2.a.b.cos b
^ h
---------
b
2
= a
2
+ c
2
- 2.a.c.cos c
^ h
para su demostración se dan los mismos pasos cambiando h de posición.ver imagen
-------------------
Demostración del teorema de seno.
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
viendo el triangulo
senb =
a
h
+ h = a.senb
sena =
c
h
+ h = c.sena
*
+ c.sena = a.senb +
sena
a
=
senb
c
1
viendo el triangulo
sena =
b
l
h
+ l
h = b.sena
senc =
a
l
h
+ l
h = a.senc
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+ b.sena = a.senc +
sena
a
=
senc
b
2
de 1 y 2 se deduce que
sena
a
=
senc
b
=
senb
c
-------------------
resuelve sen 5x
^ h =
2
1
sen 5x
^ h =
2
1
+ sen 5x
^ h = sen
6
r
+
5x = r -
6
r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
5x =
6
5r + 2kr
5x =
6
r + 2kr
* +
x =
6
r + 2kr
x =
30
r + 2kr
* k d Z
el conjunto de soluciones es S =
30
r + 2kr-,
6
r + 2kr
#
$ . , k d Z
--------------------
2-8
2-9
2-10
10. resuelve sen x
^ h = cos 2x
^ h
sen x
^ h = cos 2x
^ h + cos
2
r - x
_ i = cos 2x
^ h +
2
r - x =- 2x + 2kr
2
r - x = 2x + 2kr
* +
x =
2
-r + 2kr
-3x =
2
-r + 2kr
+
x =
2
-r + 2kr
x =
6
r +
3
2kr
* con k d Z
*
el conjunto de soluciones es S =
6
r +
3
2kr
.,
2
-r + 2kr
#
$ . , k d Z
--------------------
resuelve tag 2x
^ h = 3
1º miramos el campo de existencia de la ecuación:
tag 2x
^ h existe Ssi cos 2x
^ h ! 0 + 2x !
2
r + kr + x !
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos la ecuacion siendo x !
4
r +
2
kr
con k d Z
tag 2x
^ h = 3 + tag 2x
^ h = tag
3
r
_ i + 2x =
3
r + kr + x =
6
r +
2
kr
con k d Z
ahora averiguemos para que valores de k
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
para excluirlo de las soluciones.
4
r +
2
kr
=
6
r +
2
kr
+
4
1 +
2
k
=
6
1 +
2
k
+
4
1
=
6
1
absurdo.
por último el conjunto de soluciones es S =
6
r +
2
kr
$ ., k d Z
--------------------
*** Ejercicio 6: resuelve 3 tag 2x
^ h = sec 2x
^ h + 1
recuerda: seca =
cosa
1
; cosec =
sena
1
1º calcular campo de existencia de la ecuación
tag 2x
^ h existee Ssi cos 2x
^ h ! 0 y sec 2x
^ h existe Ssi cos 2x
^ h ! 0
cos 2x
^ h = 0 + cos 2x
^ h = cos
2
r
_ i +
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+
* x =
4
r +
2
kr
con k d Z
Ahora resolvamos el ejercicio con x !
4
r +
2
kr
con k d Z
3 tag 2x
^ h = sec 2x
^ h + 1 + 3
cos 2x
^ h
sen 2x
^ h
=
cos 2x
^ h
1 + 1 + 3 sen 2x
^ h = 1 + cos 2x
^ h
+ 2 3 senx.cosx = cos
2
x + sen
2
x + cos
2
x - sen
2
x , cos
2
x + sen
2
x = 1 , sen 2x
^ h = 2senx.cosx ,cos 2x
^ h = cos
2
x - sen
2
x
+ 2 3 senx.cosx - 2cos
2
x = 0 + cosx 2 3 senx - 2cosx
^ h = 0 +
+
2 3 senx - 2cosx = 0
cosx = 0
' +
2 3 senx = 2cosx
cosx = 0
' +
cosx
senx
=
3
1
cosx = 0
* +
tagx =
3
1
cosx = 0
* +
+
tagx =
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z A
6
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
6
1
b Z & x =
6
r + kr
cosx = 0 +
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr
porque va dando saltos de r en r
6 7 8
444444 444444
con k d Z A
2
r + kr =
4
r +
2
kr
+ k =
2
-1
b Z & x =
2
r + kr
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
por último el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# -, 2
r + kr
# -, k d Z
--------------------
resuelve senx + cosx
^ h2
= 1
senx + cosx
^ h2
= 1 + sen
2
x + cos
2
x + 2senx.cosx = 1 + 1 + 2.senx.cosx = 1 + senx.cosx = 0 +
+
cosx = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr con k d Z
*
senx = 0 = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr con k d Z
$
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
por último el conjunto de soluciones es S = kr
" , , 2
r + kr
# -, k d Z
--------------------
2-11
2-12
2-13
2-14
11. resuelve sen
4
r - x
_ i+ 2 senx = 0
sen
4
r - x
_ i+ 2 senx = 0 + sen
4
r
cosx - cos
4
r
senx + 2 senx = 0 +
2
2
cosx -
2
2
senx +
2
2 2
senx = 0 +
+
2
2
cosx +
2
2
senx = 0 + cosx + senx = 0 + cosx =- senx + tagx =- 1 = tag
4
-r
+
+ x =
4
-r + kr con k d Z
por último el conjunto de soluciones es S =
4
-r + kr
# -, k d Z
--------------------
resuelve - 3.senx + 3 .cosx = 0
1º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx -
3
3
cosx = 0 + senx -
3
1
cosx = 0 +
+ senx - tag
6
r
cosx = 0 + senx -
cos
6
r
sen
6
r
cosx = 0 + cos
6
r
senx - sen
6
r
cosx = 0 +
+ sen x -
6
r
_ i = 0 + sen x -
6
r
_ i = sen0 +
x -
6
r
= r - 0 + 2kr
x -
6
r
= 0 + 2kr
* +
x -
6
r
= r + 2kr
x -
6
r
= 2kr
* con k d Z
+
x =
6
7r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* + x =
6
r + kr con k d Z poque las soluciones van dando saltos de r en r
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# - , k d Z
2º metodo
- 3.senx + 3 .cosx = 0 + senx =
3
3
cosx +
cosx
senx
=
3
3
=
3
1
+ tagx = tag
6
r
+ x =
6
r + kr con k d Z
--------------------
resuelve 3.senx+ cosx = 3
3 .senx + cosx = 3 + senx +
3
1
cosx = 1 + senx + tag
6
r
cosx = 1 +
+ cos
6
r
senx + sen
6
r
cosx = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = cos
6
r
+ sen x +
6
r
_ i = sen
2
r -
6
r
_ i = sen
3
r
+
+
x +
6
r
= r -
3
r + 2kr
x +
6
r
=
3
r + 2kr
* +
x =
2
r + 2kr
x =
6
r + 2kr
* con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + 2kr
# - , 2
r + 2kr
# - con k d Z
resuelve cotg 2x
^ h + tag x
^ h = 0 I
1º campo de existencia de cotg 2x
^ h A cos 2x
^ h ! 0
6 @y de tag x
^ h A cos x
^ h ! 0
6 @
cos 2x
^ h = 0 = cos
2
r
+
2x =-
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* +
x =-
4
r + kr
x =
4
r + kr
+ x =
4
r +
2
kr
* con k d Z
cos x
^ h = 0 = cos
2
r
+
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
* + x =
2
r + kr con k d Z
Ahora resolvamos la ecuación I siendo x b
2
r + kr
# - , x =
4
r +
2
kr
$ . con k d Z
cotg 2x
^ h + tag x
^ h = 0 +
sen 2x
^ h
cos 2x
^ h
+
cos x
^ h
sen x
^ h
= 0 + cos 2x
^ hcos x
^ h + sen 2x
^ hsen x
^ h = 0 + cos 2x - x
^ h = 0 = cos
2
r
+
cosx = cos
2
r
+ x =
2
r + kr con k d Z
Pero como hemos demostrado en campo de existencia que x b
2
r + kr
# - , x =
4
r +
2
kr
$ . ( la ecuación I no tiene solución
2-15
2-16
2-17
2-18
12. resuelve senx + cosx = 1 i
1º metodo Recordad: 2kr =- 2kr con k d Z
i es una ecuación simetrica ya que sustituindo sen A cos y cos A sen i no varia
asi que hacemos cambio de variable x = y +
4
r
luego i + senx + cosx = 1 + sen y +
4
r
_ i+ cos y +
4
r
_ i = 1
+
2
2
cosy + seny
^ h +
2
2
cosy - seny
^ h = 1 + 2
2
2
cosy = 1 + cosy =
2
1
=
2
2
+ cosy = cos
4
r
+
+
y =-
4
r + 2kr
y =
4
r + 2kr
* +
x -
4
r
=-
4
r + 2kr
x -
4
r
=
4
r + 2kr
* +
x = 2kr
x =
2
r + 2kr
( k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
2
r + 2kr
# - , 2kr
" , con k d Z
2º metodo Recordad: sena + senb = 2sen
2
a + b
cos
2
a - b
sena - senb = 2sen
2
a - b
cos
2
a + b
cosa + cosb = 2cos
2
a + b
cos
2
a - b
cosa - cosb =- 2sen
2
a + b
sen
2
a - b
senx + cosx = 1 + cos
2
r - x
_ i+ cosx = 1 + 2.cos
2
2
r - x + x
_ i
cos
2
2
r - x - x
_ i
= 1 +
+ 2.cos
4
r
cos
4
r - x
_ i = 1 + 2
2
2
cos
4
r - x
_ i = 1 + cos
4
r - x
_ i =
2
1
=
2
2
= cos
4
r
+
+
4
r - x =-
4
r + 2kr
4
r - x =
4
r + 2kr
* +
-x =-
2
r + 2kr
-x = 2kr
) +
x =
2
r + 2kr
x = 2kr
) con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
2
r + 2kr
# - , 2kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 13: Calcula el dominio de f x
^ h =
cos3x + cosx
x + 1
f x
^ h existe si y sólo si cos3x + cosx ! 0
cos3x + cosx = 0 + cos3x =- cosx = cos r - x
^ h +
3x =-r + x + 2kr
3x = r - x + 2kr
$ +
2x =-r + 2kr
4x = r + 2kr
$ +
+
x =
2
-r + kr
x =
4
r +
2
kr
* con k d Z luego D f = R -
2
-r + kr
# -,
4
r +
2
kr
$ . siendo k d Z
8 B
--------------------
*** Ejercicio 14: resuelve 5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 a
5.sen
2
x - 2cos
2
x - 3.senx.cosx = 0 es una ecuación homogenea de grado 2 podemos dividir por cos
2
x
ya que las soluciones de cosx = 0 + x =
2
r + kr A no es la solucion de la a
comprobando 5.sen
2
2
r - 2.cos
2
2
r - 3.sen
2
r
cos
2
r
= 5 ! 0
a + 5
cos
2
x
sen
2
x - 2
cos
2
x
cos
2
x - 3
cos
2
x
senx.cosx
=
cos
2
x
0
+ 5 tag
2
x - 2 - 3 tagx = 0 +
+ 5 tag
2
x - 3 tagx - 2 = 0 cambio variable tagx = y
+ 5y
2
- 3y - 2 = 0 3= -3
^ h2
- 4 5
^ h -2
^ h = 49 ( 3 = 7
y =
10
3 ! 7
=
5
-2
1
) (
tagx =
5
-2
+ x = 21,80º + k.180º
tagx = 1 + x =
4
r + kr
* sabemos que r = 180º
+
x -
25
3r + kr
x =
4
r + kr
* con k d Z , luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - , 25
3r + kr
$ . con k d Z
--------------------
2-19
2-20
2-21
13. *** Ejercicio 15: resuelve sen arccosx
^ h =
2
3
Recordad:
2
-r
# arccosx #
2
r
,
2
-r
# arcsenx #
2
r
1º buscamos cúal es el angulo de seno que nos da
2
3
que es sen
3
r
asi que sen arccosx
^ h = sen
3
r
sen arccosx
^ h = sen
3
r
+
arccosx = r -
3
r + 2kr
arccosx =
3
r + 2kr
* +
arccosx =
3
2r + 2kr Ab
2
-r
,
2
r
7 A
arccosx =
3
r + 2kr Ad
2
-r
,
2
r
7 A
*
luego arccosx =
3
r + 2kr + cos arccosx
^ h = cos
3
r + 2kr
_ i + x = cos
3
r
=
2
1
--------------------
*** Ejercicio 16:
Desde lo alto de un edificio se ve un perro en el suelo con un angulo de
depresión de 60º,si dicho edificio tiene una altura de 45 mts.
¿a que distancia se encuentra el perro del edificio?
en esta clase de ejercicios de trigonometria es muy impotante entender el ejercico y hacer un esquema de el.
aplicando el teorema de angulos congruentes ver imag.
^ h
viendo la imagen de enfrente podemos concluir que
cos60º =
45
x
+ x = 45.cos60º +
+ x = 45
2
1
= 22,5 mts A que es la distancia entre el edificio y el perro
--------------------
*** Ejercicio 17:
Un observador que se encuentra en lo alto de la torre,a 80 mts de altura,y formando un angulo con
la horizontal respecto del perro de
6
r
y de
3
r
respecto a la tortuga.
¿a que distancia se encuentra el perro de la tortuga?
viendo la imagen podemos deducir que
x + y = 80 cos
6
r
= 80
2
3
= 40 3 mts
y = 80 cos
3
r
= 80
2
1 = 40 mts
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
x = 40 3 - 1
^ h = 29,28mts A es la distancia que separa el perro de la tortuga.
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
14. *** Ejercicio 18: Resuelve sen2x =- senx
Recordad: sen -x
^ h =- senx , cos -x
^ h = cosx
sen2x =- senx + sen2x = sen -x
^ h +
2x = r - -x
^ h + 2kr
2x =- x + 2kr
% +
x = r + 2kr
x =
3
2kr
)
luego el conjunto de soluciones es S =
3
2kr
$ . , r + 2kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 19: Resuelve tag2x = cotagx
Recordad: sen
2
r - x
_ i = cosx , cos
2
r - x
_ i = senx , tag
2
r - x
_ i = cotagx , cotag
2
r - x
_ i = tagx
tag2x = cotagx + tag2x = tag
2
r - x
_ i + 2x =
2
r - x + kr + 3x =
2
r + kr + x =
6
r +
3
kr
con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r +
3
kr
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 20: Resuelve tag
2
x + 4 tagx + 3 = 0 i
1º campo de existencia de la ecuación i
sabemos que tagx =
cosx
senx
existe Ssi cosx ! 0 + x !
2
r + kr con k d Z
sea y = tagx i + y
2
+ 4y + 3 = 0 3= 16 - 12 = 4 & 3 = 2
y =
2
-4 ! 2
=
-3
-1
$ ( tagx =
-3
-1
$
tagx =- 1 , tagx = tag
4
-r
_ i + x =
4
-r + kr es una solución porque es !
2
r + kr
tagx =- 3 , x = arctag -3
^ h + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
-r + kr
# - , arctag -3
^ h + kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 21: Resuelve 5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x
5cosx + 7cos2x = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7 cos
2
x - sen
2
x
^ h = 2 - 4sen
2
x + 5cosx + 7cos
2
x - 3sen
2
x = 2 +
+ 5cosx + 7cos
2
x - 3 1 - cos
2
x
^ h - 2 = 0 + 10cos
2
x + 5cosx - 5 = 0 + 2cos
2
x + cosx - 1 = 0
haciendo cambio de variable y = cosx A 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 1 + 8 = 9 & 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
) ( cosx =
2
1
= cos
3
r
-1 = cosr
) +
cosx = cos
3
r
+ x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
cosx = cosr + x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
+
x =
x =-
3
r + 2kr
x =
3
r + 2kr
*
x =
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ x = 2k + 1
^ hr
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S =
3
-r + 2kr
# - , 3
-r + 2kr
# - , 2k + 1
^ hr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 22: Resuelve senx = tagx
senx = tagx A 1º campo de existencia para que sea posible senx = tagx cosx ] 0
cosx ] 0 + x !
2
r + kr
senx = tagx + senx =
cosx
senx
+ senx.cosx = senx cuidado en simplificar
^ h + senx.cosx - senx = 0
+ senx cosx - 1
^ h = 0 +
cosx = 1
senx = 0
+
cosx = cos0 +
x =- 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = 2kr
x = 2kr
+ 2kr
$
$
senx = sen0 +
x = r - 0 + 2kr
x = 0 + 2kr
+
x = r + 2kr
x = 2kr
+ x = kr
$
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
15. +
x = 2kr
x = kr
$ + x = kr como es distinto de
2
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = kr
" , con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 23: Resuelve 1 + 2cosx + cos2x = 0
1 + 2cosx + cos2x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x - sen
2
x = 0 + 1 + 2cosx + cos
2
x + cos
2
x - 1 = 0 +
2cos
2
x + 2cosx = 0 + cosx cosx + 1
^ h = 0 +
cosx =- 1 = cosr
cosx = 0 = cos
2
r
( +
x =-r + 2kr
x = r + 2kr
+ 2k + 1
^ hr
$
x =-
2
r + 2kr
x =
2
r + 2kr
+ x =
2
r + kr
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S = 2k + 1
^ hr
" , , 2
r + kr
# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 24: Resuelve sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx i
1º metodo
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x
^ h2
= sen
4
x + cos
4
x + 2sen
2
xcos
2
x
y como sen
4
x + cos
4
x = senx.cosx asi que 1
2
= 1 = senx.cosx + 2sen
2
xcos
2
x a
haciendo cambio de variable de senx.cosx = y a + 2y
2
+ y - 1 = 0 , 3= 9 ( 3 = 3
y =
4
-1 ! 3
=
2
1
-1
3
) = senx.cosx
** senx.cosx =- 1 ,
2
1
sen2x =- 1 , sen2x =- 2 imposible porque - 1 # sena # 1
** senx.cosx =
2
1
,
2
1
sen2x =
2
1
, sen2x = 1 = sen
2
r
,
2x = r -
2
r + 2kr
2x =
2
r + 2kr
* ,
, 2x =
2
r + 2kr , x =
4
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - con k d Z
2º metodo
se observa que la ecuación i es simetrica (al cambiar sen por cos y viceversa la i no cambia)
asi que haciendo cambio variable x = y +
4
r
senx = sen y +
4
r
_ i = senycos
4
r + cosysen
4
r
=
2
2
cosy + seny
^ h
cosx = cos y +
4
r
_ i = cosycos
4
r - senysen
4
r
=
2
2
cosy - seny
^ h
sen
4
x = sen
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy + seny
^ h
; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y + 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 + 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
cos
4
x = cos
4
y +
4
r
_ i =
2
2
cosy - seny
^ h
; E
4
=
16
4
cos
2
y + sen
2
y - 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 - 2seny cosy
^ h2
=
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
luego sen
4
x + cos
4
x =
4
1
1 + 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h +
4
1
1 - 4seny cosy + 4sen
2
y cos
2
y
^ h =
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y
^ h
senx.cosx =
2
2
cosy + seny
^ h.
2
2
cosy - seny
^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y
^ h
asi que
2
1
1 + 4sen
2
y cos
2
y
^ h =
2
1
cos
2
y - sen
2
y
^ h + 1 + 4sen
2
y cos
2
y - cos
2
y + sen
2
y = 0 +
+ 1 + 4cos
2
y 1 - cos
2
y
^ h - cos
2
y + 1 - cos
2
y = 0 +- 4cos
4
y + 2cos
2
y + 2 = 0 +- 2cos
4
y + cos
2
y + 1 = 0 c +
haciendo cambio de variable a = cos
2
y c +- 2a
2
+ a + 1 = 0 , 3= 9 & 3 = 3
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
16. a =
-4
-1 ! 3
=
2
-1
= cos
2
y A imposible cos
2
y 2 0
^ h
1 = cos
2
y + cosy =
-1 = cosr +
y =-r + 2kr
y = r + 2kr
+ y = 2k + 1
^ hr
'
1 = cos0 +
y = 2kr
y = 2kr
+ y = 2kr
%
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+ y = kr y por último x = y +
4
r
+ x =
4
r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S =
4
r + kr
# - con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 25: Resuelve sen
6
x + cos
6
x =
16
7
h
sabemos que sen
2
x + cos
2
x = 1 luego sen
2
x + cos
2
x
^ h3
= sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x
y como sen
6
x + cos
6
x =
16
7
asi que 1
3
= 1 = sen
6
x + cos
6
x + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
+ 1 =
16
7 + 3sen
4
xcos
2
x + 3sen
2
xcos
4
x +
16
9
= 3sen
2
x cos
2
x sen
2
x + cos
2
x
^ h +
16
3
= sen
2
x cos
2
x
+ sen
2
x cos
2
x -
16
3
= 0 + senx cosx -
4
3
c m senx cosx +
4
3
c m = 0 +
senx cosx -
4
3
= 0
senx cosx -
4
3
= 0
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
2senx.cosx =
2
3
2senx.cosx =
2
3
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
sen2x = sen
3
-r
+
2x = r +
3
r + 2kr
2x =
3
-r + 2kr
+
2x =
3
2r + kr
x =
6
-r + kr
*
*
sen2x = sen
3
r
+
2x = r -
3
r + 2kr
2x =
3
r + 2kr
+
x =
3
r + kr
x =
6
r + kr
*
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
luego el conjunto de soluciones es S =
6
r + kr
# - , 3
r + kr
# - , 6
-r + kr
# - , 3
2r + kr
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 26: Resuelve
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4r
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
cosy
cosx
=
2
-1
x + y =
3
4r
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
+
cosy
cos r +
3
r - y
_ i
=
2
-1
2
x = r +
3
r - y 1
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
2 ,
cosy
cos r +
3
r - y
_ i
=
cosy
-cos
3
r - y
_ i
=
-2
1
, 2cos
3
r - y
_ i = cosy , 2cos
3
r - y
_ i- cosy = 0 ,
, 2 cos
3
r
cosy + sen
3
r
seny
7 A- cosy = 0 , 2
2
1
cosy +
2
3
seny
; E- cosy = 0 ,
, cosy + 3 seny - cosy = 0 , 3 seny = 0 , seny = 0 = sen0 ,
y = r + 2kr
y = 2kr
, y = kr
%
sabemos que x + y =
3
4r
, x =
3
4r - kr , x =
3
4r + kr con k d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y
^ h =
3
4r + kr,kr
` j
$ . con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 27: Resuelve
cos x - y
^ h =
2
3
sen x + y
^ h = 1
*
cos x - y
^ h =
2
3
sen x + y
^ h = 1
* +
cos x - y
^ h = cos
6
r
+
x - y =-
6
r + 2 l
k r con l
k d Z 3
x - y =
6
r + 2 l
k r con l
k d Z 2
*
sen x + y
^ h = sen
2
r
+
x + y = r -
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+
*
x + y =
2
r + 2kr
x + y =
2
r + 2kr
+ x + y =
2
r + 2kr 1
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
17. observación: cuidado en despejar el valor de x e y de las ecuaciones 2 / 3 porque las dos cuentan
como si fuera una sola ecuación con dos incognitas.
1 / 2 +
x - y =
6
r + 2 l
k r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 2 + 2x =
3
2r + 2r k + l
k
=n
E
a k
+ x =
3
r + nr con n d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
3
r + nr + 2kr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
6
r + nr con n d Z
1 / 3 +
x - y =-
6
r + 2 l
k r
x + y =
2
r + 2kr
* 1 + 3 + 2x =
3
r + 2r k + l
k
=h
E
c m
+ x =
6
r + hr con h d Z
1 + x + y =
2
r + 2kr + y =
2
r -
6
r + hr + 2kr
2kr1hr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
3
r + hr con h d Z
luego el conjunto de soluciones es S = x,y
^ h =
6
r + hr,
3
r + hr
_ i
$ . con h d Z
--------------------
*** Ejercicio 28: Resuelve
cos x - y
^ h =
2
1
sen x + y
^ h =
2
1
*
cos x - y
^ h =
2
1
sen x + y
^ h =
2
1
* +
cos x - y
^ h = cos
3
r
+
x - y =-
3
r + 2kr
x - y =
3
r + 2kr
+
x - y =
3
-r + 2 l
k r 4
x - y =
3
r + 2 l
k r 3
con l
k d Z
*
*
sen x + y
^ h = sen
6
r
+
x + y = r -
6
r + 2kr
x + y =
6
r + 2kr
+
x + y =
6
5r + 2kr 2
x + y =
6
r + 2kr 1
con k d Z
*
*
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
asi que tenemos 4 sistemas de ecuaciones: 1 / 3 , 1 / 4 , 2 / 3 , 2 / 4
1 / 3
x - y =
3
r + 2 l
k r 3
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 3
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
12
-r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S1 = x,y
^ h =
4
r + nr,
12
-r + nr
_ i
$ . con n d Z
1 / 4
x - y =
3
-r + 2 l
k r 4
x + y =
6
r + 2kr 1
* (
1 + 4
A
2x =
6
-r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
12
-r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
r + 2kr + y =
6
r +
12
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
4
r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S2 = x,y
^ h =
12
-r + nr,
4
r + nr
_ i
$ . con n d Z
2 / 3
x - y =
3
r + 2 l
k r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 3
A
2x =
6
7r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
12
7r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
12
7r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
4
r + nr con n d Z
luego una de las soluciones es S3 = x,y
^ h =
12
7r + nr,
4
r + nr
` j
$ . con n d Z
2 / 4
x - y =
3
-r + 2 l
k r
x + y =
6
5r + 2kr
* (
2 + 4
A
2x =
2
r + 2nr
n=k+ l
k
C
+ x =
4
r + nr con n d Z
1 + x + y =
6
5r + 2kr + y =
6
5r -
4
r + 2kr - nr
2kr1nr
6 7 8
4444
4 4444
4
+ y =
12
7r + nr con n d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
18. luego una de las soluciones es S4 = x,y
^ h =
4
r + nr,
12
7r + nr
` j
$ . con n d Z
Por último la solución final es S = S1 , S2 , S3 , S4
--------------------
*** Ejercicio 29: demostrar que
sen a - b
^ h = sena.cosb - senb.cosa
sen a + b
^ h = sena.cosb + senb.cosa
cos a - b
^ h = cosa.cosb + sena.senb
cos a + b
^ h = cosa.cosb - sena.senb
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Aplicando la formula de Euler e
i.x
= cosx + i.senx
e
i. a+b
^ h
= cos a + b
^ h + i.sen a + b
^ h
e
i. a+b
^ h
= e
i.a
e
i.b
= cosa + i.sena
^ h cosb + i.senb
^ h = cosa.cosb - sena.senb + i sena.cosb + cosa.senb
^ h = cos a + b
^ h + i.sen a + b
^ h
luego :
sen a + b
^ h = sena.cosb + cosa.senb
cos a + b
^ h = cosa.cosb - sena.senb
(
e
i. a-b
^ h
= cos a - b
^ h + i.sen a - b
^ h
e
i. a-b
^ h
= e
i.a
e-i.b = cosa + i.sena
^ h cosb - i.senb
^ h = cosa.cosb + sena.senb + i sena.cosb - cosa.senb
^ h = cos a - b
^ h + i.sen a - b
^ h
luego :
sen a - b
^ h = sena.cosb - cosa.senb
cos a - b
^ h = cosa.cosb + sena.senb
(
--------------------
*** Ejercicio 30:
¿ conocidos los 3 angulos de un triangulo es posible resolver el triangulo?
No porque existen infinitos triangulos semejantes a uno dado con identicos triangulos.
ver imagen de enfrente
l
a
a
=
l
b
b
=
l
c
c
ll
a
l
a
=
ll
b
l
b
=
ll
c
l
c
--------------------
*** Ejercicio 31: Resuelve 1 - 2cos5x 1 0
1º metodo A utilizando las graficas
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a
^ h 2
2
1
cos a
^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z
k = 0 &
a =-
3
r
a =
3
r
* , k = 1 &
a =
3
5r
a =
3
7r
* .........
ahora en la grafica de coseno colocaremos los puntos hallados y en el eje y colocaremos
2
1
la solucion es todos los puntos de la grafica que se encuentren por encima de la recta y =
2
1
ver imagen solucion color verde
^ h (
3
-r + 2kr 1 a 1
3
r + 2kr +
3
-r + 2kr 1 5x 1
3
r + 2kr
+ 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
19. 2º metodo A utilizando circulo trigonometrico
1 - 2cos5x 1 0 + cos5x 2
2
1
haciendo cambio variable a = 5x ( cos a
^ h 2
2
1
cos a
^ h =
2
1
= cos
3
r
+
a =-
3
r + 2kr
a =
3
r + 2kr
* con k d Z + 15
-r +
5
2kr
1 x 1
15
r +
5
2kr
asi que dibujamos el circulo con los ejes x e y colocamos el punto
2
1
en el eje a "ejex" = cos
y desde este punto trazamos una ' al eje y e todos los valores que se encuentran a su derecha son las soluciones
--------------------
*** Ejercicio 32: Resuelve 1 - 2sen3x 1 0
1º metodo A graficas
1 - 2sen3x 1 0 +- 2sen3x 1- 1 + sen3x 2
2
1
+ sena 2
2
1
, siendo a = 3x
^ h +
ahora pasemos de desigualdad a igualdad para hallar los puntos de corte con la funcion seno.
sen a
^ h =
2
1
= sen
6
r
+
a = r -
6
r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* +
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z
ahora cogemos la grafica de la función seno el eje x lo representamos como eje a e el eje y tal como es
el valor
2
1
lo colocamos en el eje y e todos los valores que quedan por encima de la recta y =
2
1
son la solucion de sen a
^ h 2
2
1
+
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr con k d Z ver la grafica de abajo
^ h +
+
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
2º metodo A circulo trigonometrico
Recuerda A es muy impor tan te
haciendo exactamente lo mismo que el 1º metodo hasta llegar a
a =
6
5r + 2kr
a =
6
r + 2kr
* con k d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
20. 6
ahora en el circulo el eje x seria eje a en el eje y colocamos y =
2
1
e trazamos una ' al eje a , los puntos de corte entre y =
2
1
y la circonferencia son
6
r
y
6
5r
todo lo que queda encima de
2
1
,perteneciendo al circulo es la solución.
ver imagen
por último
6
r + 2kr 1 a = 3x 1
6
5r + 2kr +
18
r +
3
2kr
1 x 1
18
5r +
3
2kr
con k d Z
--------------------
*** Ejercicio 33: Resuelve 3.tag 3x
^ h - 3 # 0
1º metodo A graficas
3.tag 3x
^ h - 3 # 0 + tag 3x
^ h #
3
3
=
3
1
+ tag 3x
^ h # tag
6
r
cambio variable a = 3x
tag a
^ h = tag
6
r
+
a !
2
r + kr
a =
6
r + kr
* k d Z
en la grafica de tangente ejex A eje a
^ h e en el ejey colocaremos y =
3
3
y señalamos los puntos de corte
y todos los datos que se encuentrenpor debajo de y =
3
3
son la solucion de tag a = 3x
^ h # tag
6
r
ver la grafica
cogeremos un int ervalo donde aparecen todos los datos y le añaderemos el periodo kr
Por último
2
r + kr 1 3x #
6
7r + kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z
2º metodo A circulo trigonometrico
Recordad: ver imagen donde tag es + , tag es una funcion creciente
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
21. como se ve
2
r + kr 1 3x # r +
6
r
6
7r
G
+ kr +
6
r +
3
kr
1 x #
18
7r +
3
kr
con k d Z
TRIGONOMETRIA BANHAKEIA-TRUSPA
22. ,
.
. . . . . . . . . . . .
.
. , .
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
exp int
arccos
cos
arccos cos arccos cos
arccos arccos
cos cos cos
arccos arccos cos arccos cos arccos
cos cos arccos arccos arccos
sup arccos cos cos arccos arccos
cos arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
Respuesta
calcula arcsen sen
mucho cuidado en hacer que arcsen sen
como no se puede aplicar arcsen sena a asi que en este caso lo primero es calcular
la resion erna es decir sen luego arcsen
Resuelve la ecuacion arcsenx
arcsenx senarcsenx sen x verificando arcsen
Resuelve la ecuacion x arcsen x
a sena
x arcsen x x arcsen x x sen arcsen x x x
x x
Resuelve la ecuacion x x
a b a b senasenb
x x x x
x x sen x sen x sen x
ongamos que x x x y sen x sen x
ver imagen del triangulo para entenderlo
aplicando pitagoras x h h x
la ecuacion queda de la seguiente forma x
x x x x
elevando al cuadrado queda x x x x x
ahora solo queda verificar cual de ellos es el verdadero
ar
Respuesta
2 2
0 0 0
3 2
3 2 6 2
1
3 2
1
3 6 2
2
2
2 2
2 0 0
2
3
2
3
2
3
2 3 3 2
1
2
3
1
1 1
2 2 2
3
1 3 3 1
9 3 1 12 3 4
1
2
1
1
3 2
1
3 3
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
, ,
, , ,
, ,
, ,
,
,
,
,
, , ,
, ,
!
!
! "
!
b
r
r r
r
r r
r
r
r r r r
r
r
r r
r
r r
r r
a a a
r
r
r r
r
r r
=
-
=
= =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = = = =
= +
+ =-
= + = + =- =-
= =
- - - - - - - - - - - - -
= +
+ = -
= + = +
= - = -
= = = = = -
+ = = -
= - - = -
= - = = =
- = +
-
= + - =
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
R
Q
Q
R
S
Q
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
W
V
X
W
V
#
#
! !
!
!
#
#
!
!
!
&
&
$ $
$
$
&
&
$
$
$
23. :
.
,
,
, ,
. . .
.
. . . . . . . . . . . .
:
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
arccos arccos
arccos arccos
arccos arccos arccos
arccos arccos
arccos cos arccos cos
cos cos cos cos
arccos arccos arccos arccos
cot arccos
arccos cos cot
cos
arccos
arccos arccos arccos
arccos cos
arccos
arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Resuelve la ecuacion E x x
si x x x
si x x x de x
vea la grafica
asi que de la ecuacion E x x se deduce que x
sea x x x x
Por pitagoras se halla que h x h x
E como
sen sen x x x x x x x
x x x x x x x x x como x x
verificando
Resuelve la ecuacion E g x
sea x x y E g vea imagen triangulo
h por pitagoras luego x
Resuelve la ecuacion E arcsenx x
arcsenx x sen arcsenx sen x x sen x
sea x x vea imagen triangulo
gracias a pitagoras podemos decir que sen x luego x x
elevando al cuadrado queda x x x x
la solucion es porque arcsen
no es una solucion porque arcsen
Respuesta
Respuesta
Respuesta
2 3
0 0 2
0 0 2
2 3 0
2 2
1 4 1
3 3 2 2
3 2 1 4 1 2
1
1 4 1 2
1
2
1 4 1 2
1
2 1 5 4 4
1
2 4 3 4
3
2
1
0 2
1
2 2
1
2
1 1 2
1
3 3
3
2
3
2
13
13
2
13
2 13
1 1
1 2 1 2
2
2
2
2
2
2
2
4 4
2
2
2
2
2
2
4 4
3
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 4 2 4 2
2 2
2 2 2
,
,
, ,
,
, ,
( , , ,
, ,
, ,
,
, ,
,
,
d
!
!
2 1 1
1 1 1
1
1
{
{
r
r
a a b b
a b
r r r r
a b a b a b
r
r r
r r
a a a
a
a a
a
r r
r r
- =
- =
= = = =
= - = -
- =
-
- = + = + - - = - - = -
- - = - - + = - + = = =
-
-
-
-
= - -
-
= - - =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = =
= = = =
- - - - - - - - - - - - -
=
= = =
= =
= - = -
= - = =
= =
- -
=
- -
=
l
Q
Q Q
S
S
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
S S
V
V V
X
X
V
V
X
V
V
V X
V
V
X
# &
G G
J
24. :
.
.
. . . . . . . . . . . .
:
. ,
,
, . .
,
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
:
:
:
:
arccos arccos
arccos arccos cos arccos cos arccos arccos
cos cos cos
arccos arccos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Resuelve la ecuacion E x
x x sea
x
x x
verificando con queda
Resuelve la ecuacion E arctag x arctag x
arctag a arctag b arctag a b
a b
tag a b
tag a tag b
tag a tag b
E arctag x
x x
x
x x
tag porque
E x x x x
x
m
2º etodo
arctag x arctag x sea
arctag x tag x
arctag x tag x
tag tag
tag tag
tag tag
x
x x
igual que el anterior sale x
Resuelve arctag x arctag x arctag
arctag x arctag x arctag arctag x x
x x
arctag
arctag x x arctag
x x
x x x x x
luego la solucion es x
Respuesta
Respuesta
Respuesta
recuerda
2 1 2 2
1
2 1 2 2
1 2 1 2 2
1
2
1
2 1 2 2 1 2 1 2 2
1
1 2
1
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
3
2
3
2
2 3 4
1 1
1 6
2 3
4 1 6
2 3
4 1 4 2 2
5 1 6 6 5 1 0 25 4 6 1 49 7
12
5 7
6
1
1
2 3 4 3 3
2 2
4 4 1
1
1 6
2 3
1
6
1
1
1
3
4
1
3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
1
1
3
4
4 4 4 3 4 4 1 0 2 1 0
2
1
.
,
2
2 2
2 2 2
2
2
3 2 3
2 2
2 2
1 2
2
2
2 2
2 2 2
,
,
, ,
,
, ,
, , ,
+
+
, ,
,
,
, , , ,
!
!
! "
! !
"
!
d
!
{
a
a a a
r r
r
r r r r r
r
b b
a a
a b
r a b r
a b
a b
D D
- =
- = - = =
- = = - = - = - =-
= =
- = =
- - - - - - - - - - - - -
+ =
= =
-
+
=
-
+
= =
-
= - + - = = - - = =
=
-
=
-
+ =
= =
= =
+ = + =
-
+
=
-
+
= =
-
- - - - - - - - - - - - -
+ - =
+ - = - -
+ -
=
- + =
- +
= - + = - + = - =
=
- - - - - - - - - - - - -
r
r r
-
Q
Q
T
Q
T
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
S
Q
Q
T
Q
Q
Q
S
S
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
Y
V
V
Y
V
V
V
V
V
X
X
V
VV
V
V
X
V
Y
V
X
V
V
V
V
#
&
G
G
G
6 7 8
444444 444444 6 7 8
44444 44444