El documento presenta diferentes conceptos geométricos como rectas, planos y sus posiciones relativas. Define los elementos que caracterizan una recta y un plano, como puntos y vectores directores. Explica cómo estudiar la posición relativa de dos rectas mediante la dependencia lineal de sus vectores directores. Luego, analiza la posición relativa de una recta y un plano, y de dos o más planos, a través del rango de las matrices formadas por sus ecuaciones.
1) El documento describe tres métodos (abatimientos, giros y cambios de plano) utilizados en geometría descriptiva para situar figuras en posiciones más ventajosas.
2) Los abatimientos involucran girar un plano alrededor de su traza para cambiar su posición, los giros giran puntos, rectas o planos alrededor de ejes, y los cambios de plano cambian la posición de un plano.
3) Se explican en detalle cada uno de los métodos y cómo aplicarlos para resolver problemas geométricos
El documento resume los principales conceptos del plano cartesiano y las transformaciones isométricas en geometría. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares y coordenadas, y cómo se pueden representar puntos, figuras y sistemas de coordenadas. Luego, introduce las tres transformaciones isométricas principales: traslaciones, reflexiones y rotaciones, manteniendo las medidas de figuras al moverlas en el plano.
1) El documento presenta conceptos fundamentales de geometría como puntos, rectas, planos y el espacio. 2) Define conceptos como segmentos, rayos y distancia entre puntos. 3) Establece ocho postulados sobre la existencia de puntos, rectas y planos infinitos, y la unicidad de la distancia entre puntos.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
2 tema 9 la proporción y estructuras modulares parte 1 y 2qvrrafa
Este documento trata sobre las proporciones y estructuras modulares. Explica conceptos como la razón, la proporción, el teorema de Tales y cómo dividir un segmento en partes iguales usando proporciones. También cubre cómo construir figuras iguales mediante traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y coordenadas, y define la simetría y semejanza entre figuras.
Este documento es un examen parcial de matemáticas para séptimo nivel que consta de 4 partes: 1) 10 preguntas de selección múltiple, 2) apareamiento de conceptos, 3) completar información, y 4) 3 problemas de desarrollo. El examen tiene un valor total de 50 puntos y los estudiantes disponen de 80 minutos para completarlo.
6 rectas paraleleas y perpendiculares enee (10mos e , f )Alberto Pazmiño
Las tres oraciones son:
El documento explica las características de rectas paralelas, perpendiculares y secantes en un plano de coordenadas. Se definen rectas paralelas como aquellas con pendientes iguales, rectas perpendiculares como aquellas con el producto de sus pendientes igual a -1, y rectas secantes como aquellas con pendientes diferentes. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para practicar la identificación de estas rectas.
Este documento introduce la trigonometría y define sus funciones básicas. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Define las seis funciones trigonométricas utilizando un triángulo rectángulo, y calcula sus valores para ángulos de 30°, 45° y 60° sin usar calculadora. Resuelve ejemplos numéricos para practicar el cálculo de funciones trigonométricas.
1) El documento describe tres métodos (abatimientos, giros y cambios de plano) utilizados en geometría descriptiva para situar figuras en posiciones más ventajosas.
2) Los abatimientos involucran girar un plano alrededor de su traza para cambiar su posición, los giros giran puntos, rectas o planos alrededor de ejes, y los cambios de plano cambian la posición de un plano.
3) Se explican en detalle cada uno de los métodos y cómo aplicarlos para resolver problemas geométricos
El documento resume los principales conceptos del plano cartesiano y las transformaciones isométricas en geometría. Explica que el plano cartesiano está formado por dos ejes perpendiculares y coordenadas, y cómo se pueden representar puntos, figuras y sistemas de coordenadas. Luego, introduce las tres transformaciones isométricas principales: traslaciones, reflexiones y rotaciones, manteniendo las medidas de figuras al moverlas en el plano.
1) El documento presenta conceptos fundamentales de geometría como puntos, rectas, planos y el espacio. 2) Define conceptos como segmentos, rayos y distancia entre puntos. 3) Establece ocho postulados sobre la existencia de puntos, rectas y planos infinitos, y la unicidad de la distancia entre puntos.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
2 tema 9 la proporción y estructuras modulares parte 1 y 2qvrrafa
Este documento trata sobre las proporciones y estructuras modulares. Explica conceptos como la razón, la proporción, el teorema de Tales y cómo dividir un segmento en partes iguales usando proporciones. También cubre cómo construir figuras iguales mediante traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos y coordenadas, y define la simetría y semejanza entre figuras.
Este documento es un examen parcial de matemáticas para séptimo nivel que consta de 4 partes: 1) 10 preguntas de selección múltiple, 2) apareamiento de conceptos, 3) completar información, y 4) 3 problemas de desarrollo. El examen tiene un valor total de 50 puntos y los estudiantes disponen de 80 minutos para completarlo.
6 rectas paraleleas y perpendiculares enee (10mos e , f )Alberto Pazmiño
Las tres oraciones son:
El documento explica las características de rectas paralelas, perpendiculares y secantes en un plano de coordenadas. Se definen rectas paralelas como aquellas con pendientes iguales, rectas perpendiculares como aquellas con el producto de sus pendientes igual a -1, y rectas secantes como aquellas con pendientes diferentes. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para practicar la identificación de estas rectas.
Este documento introduce la trigonometría y define sus funciones básicas. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos. Define las seis funciones trigonométricas utilizando un triángulo rectángulo, y calcula sus valores para ángulos de 30°, 45° y 60° sin usar calculadora. Resuelve ejemplos numéricos para practicar el cálculo de funciones trigonométricas.
El documento describe los elementos básicos de la geometría descriptiva como puntos, rectas y planos, y cómo se representan en un sistema diédrico de proyección. Define la nomenclatura y posiciones de estos elementos, incluyendo sus proyecciones y trazas en los planos de proyección horizontal y vertical. Explica cómo determinar un plano a partir de rectas y puntos que contiene, y describe las rectas particulares de un plano como la recta horizontal, frontal, y de máxima pendiente.
Este documento presenta una unidad sobre traslaciones isométricas en el plano cartesiano. Incluye ejemplos de traslación de figuras, cálculo de nuevas coordenadas y composición de traslaciones. También contiene 10 ejercicios de selección múltiple y 4 ejercicios prácticos sobre traslación de triángulos y cuadriláteros en un sistema de coordenadas.
1ºdt tema 2 igualadad semejanza_escala_revisada_v2015qvrrafa
El documento describe cómo construir una figura directamente semejante a otra dada una razón de semejanza. Se explica que se toma un punto arbitrario O y se une a los vértices de la figura original. Luego, uno de los segmentos se divide según la razón de semejanza para encontrar el punto homólogo, y a partir de ahí trazar paralelas para construir la figura semejante. También habla de las escalas, su definición y tipos como de reducción, ampliación y tamaño natural.
Este documento presenta una serie de imágenes y describe los conceptos matemáticos que se pueden observar en cada una. Las imágenes muestran ejemplos de simetría, paralelismo, circunferencias concéntricas, ángulos y triángulos. El documento explica cada concepto matemático y proporciona fórmulas y definiciones técnicas relevantes.
Este documento describe las características básicas de las rectas en geometría. Explica que una recta es una sucesión ordenada de puntos entre dos puntos y que se define por su pendiente. También describe las ecuaciones que definen rectas paralelas, perpendiculares y que pasan por puntos específicos. Finalmente, explica las rectas notables en un triángulo como mediatrices, medianas, alturas y bisectrices.
1) El teorema de Tales establece que dos triángulos son semejantes si un ángulo de uno es igual a un ángulo del otro y las razones de sus lados correspondientes son iguales.
2) El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
3) Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente relacionan los ángulos y los lados de un triángulo rect
El documento explica conceptos básicos sobre la línea recta en geometría analítica, incluyendo: ejes de coordenadas, puntos, distancia entre puntos, representación gráfica de ecuaciones lineales, pendiente, ecuaciones de rectas, rectas paralelas y perpendiculares. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
1. El documento presenta 30 problemas de geometría analítica sobre vectores, rectas y figuras planas. Los problemas incluyen hallar vectores, expresar vectores como combinaciones lineales, calcular ángulos entre vectores, determinar si pares de vectores forman bases, y encontrar ecuaciones de rectas y puntos notables de figuras.
2. Muchos problemas implican usar operaciones con vectores como suma, producto escalar y proyecciones para resolverlos. También involucran hallar ecuaciones paramétricas, generales y normales canónicas de rectas.
Este documento explica conceptos fundamentales de proporcionalidad como razón, proporción, proporcionalidad directa e inversa. Luego, describe tres aplicaciones de la proporcionalidad: 1) la cuarta proporcionalidad de tres segmentos, 2) la tercera proporcionalidad de dos segmentos y 3) la media proporcional de dos segmentos. En cada caso, se define la relación matemática y se explica gráficamente el proceso para construir el segmento proporcional.
Representación de puntos y rectas en diferentes posiciones con sus trazos, ...Andrea Falcón
El documento describe los conceptos básicos de la geometría descriptiva, incluyendo la proyección de puntos, rectas y figuras en los planos de proyección horizontal y vertical. Explica cómo las proyecciones de los puntos de un objeto al unirse mediante líneas dan la imagen proyectada del objeto. También cubre la representación de puntos y sus proyecciones, así como la proyección de rectas y el proceso de rebatimiento de los planos.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento describe los orígenes y desarrollo de la geometría a través de las civilizaciones antiguas como los egipcios y griegos. Explica conceptos geométricos fundamentales como el plano, sus formas de determinación, rectas notables y representación mediante trazas. Finalmente, detalla elementos del plano como área, designación, pertenencia de rectas y planos paralelos.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo homologías, afinidades e inversiones. Explica conceptos como razón simple, razón doble y cuaterna armónica. También introduce la geometría proyectiva y cómo se conservan propiedades bajo proyecciones.
Este documento presenta información sobre la semejanza de triángulos. Explica que para que dos triángulos sean semejantes deben cumplir que sus ángulos correspondientes son congruentes y que sus lados correspondientes son proporcionales. También presenta tres criterios (lado-lado-lado, lado-ángulo-lado, ángulo-ángulo) para determinar si dos triángulos son semejantes evaluando menos condiciones. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios sobre semejanza de triá
Este documento trata sobre la semejanza de polígonos y triángulos. Explica que dos polígonos son semejantes si tienen ángulos homólogos iguales y lados homólogos proporcionales. También indica que dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales o si sus tres lados son proporcionales. Finalmente, proporciona tres ejercicios sobre estos conceptos.
Congruencias y Semejanza de figuras planasYanira Castro
El documento explica los conceptos de congruencia y semejanza de figuras planas. Define la congruencia como dos figuras que tienen la misma forma y tamaño. Explica los criterios de congruencia para triángulos y los postulados de congruencia. Luego define la semejanza como dos figuras que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños, y que sus ángulos correspondientes son iguales y lados proporcionales. Explica los criterios y postulados de semejanza para triángulos y ofrece ejemplos de aplicación de estos conceptos.
El documento explica conceptos de proporcionalidad geométrica como el teorema de Tales y cómo dividir segmentos en partes iguales o proporcionales a otros números. También cubre semejanza de triángulos y hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica. Resuelve varios problemas aplicando estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la recta. Explica que una recta es el lugar geométrico de puntos con la misma pendiente. Describe seis formas de representar una recta mediante ecuaciones, incluyendo dos puntos, punto y pendiente, pendiente y ordenada, forma simétrica, general y normal. También cubre conceptos como pendiente, ángulo de inclinación, rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la recta como la resolución de triángulos.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
[/RESUMEN]
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
El documento describe los elementos básicos de la geometría descriptiva como puntos, rectas y planos, y cómo se representan en un sistema diédrico de proyección. Define la nomenclatura y posiciones de estos elementos, incluyendo sus proyecciones y trazas en los planos de proyección horizontal y vertical. Explica cómo determinar un plano a partir de rectas y puntos que contiene, y describe las rectas particulares de un plano como la recta horizontal, frontal, y de máxima pendiente.
Este documento presenta una unidad sobre traslaciones isométricas en el plano cartesiano. Incluye ejemplos de traslación de figuras, cálculo de nuevas coordenadas y composición de traslaciones. También contiene 10 ejercicios de selección múltiple y 4 ejercicios prácticos sobre traslación de triángulos y cuadriláteros en un sistema de coordenadas.
1ºdt tema 2 igualadad semejanza_escala_revisada_v2015qvrrafa
El documento describe cómo construir una figura directamente semejante a otra dada una razón de semejanza. Se explica que se toma un punto arbitrario O y se une a los vértices de la figura original. Luego, uno de los segmentos se divide según la razón de semejanza para encontrar el punto homólogo, y a partir de ahí trazar paralelas para construir la figura semejante. También habla de las escalas, su definición y tipos como de reducción, ampliación y tamaño natural.
Este documento presenta una serie de imágenes y describe los conceptos matemáticos que se pueden observar en cada una. Las imágenes muestran ejemplos de simetría, paralelismo, circunferencias concéntricas, ángulos y triángulos. El documento explica cada concepto matemático y proporciona fórmulas y definiciones técnicas relevantes.
Este documento describe las características básicas de las rectas en geometría. Explica que una recta es una sucesión ordenada de puntos entre dos puntos y que se define por su pendiente. También describe las ecuaciones que definen rectas paralelas, perpendiculares y que pasan por puntos específicos. Finalmente, explica las rectas notables en un triángulo como mediatrices, medianas, alturas y bisectrices.
1) El teorema de Tales establece que dos triángulos son semejantes si un ángulo de uno es igual a un ángulo del otro y las razones de sus lados correspondientes son iguales.
2) El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
3) Las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente relacionan los ángulos y los lados de un triángulo rect
El documento explica conceptos básicos sobre la línea recta en geometría analítica, incluyendo: ejes de coordenadas, puntos, distancia entre puntos, representación gráfica de ecuaciones lineales, pendiente, ecuaciones de rectas, rectas paralelas y perpendiculares. También incluye ejercicios para practicar estos conceptos.
1. El documento presenta 30 problemas de geometría analítica sobre vectores, rectas y figuras planas. Los problemas incluyen hallar vectores, expresar vectores como combinaciones lineales, calcular ángulos entre vectores, determinar si pares de vectores forman bases, y encontrar ecuaciones de rectas y puntos notables de figuras.
2. Muchos problemas implican usar operaciones con vectores como suma, producto escalar y proyecciones para resolverlos. También involucran hallar ecuaciones paramétricas, generales y normales canónicas de rectas.
Este documento explica conceptos fundamentales de proporcionalidad como razón, proporción, proporcionalidad directa e inversa. Luego, describe tres aplicaciones de la proporcionalidad: 1) la cuarta proporcionalidad de tres segmentos, 2) la tercera proporcionalidad de dos segmentos y 3) la media proporcional de dos segmentos. En cada caso, se define la relación matemática y se explica gráficamente el proceso para construir el segmento proporcional.
Representación de puntos y rectas en diferentes posiciones con sus trazos, ...Andrea Falcón
El documento describe los conceptos básicos de la geometría descriptiva, incluyendo la proyección de puntos, rectas y figuras en los planos de proyección horizontal y vertical. Explica cómo las proyecciones de los puntos de un objeto al unirse mediante líneas dan la imagen proyectada del objeto. También cubre la representación de puntos y sus proyecciones, así como la proyección de rectas y el proceso de rebatimiento de los planos.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica conceptos como ecuación de una recta, pendiente de una recta, ecuaciones de una recta principal, general y canónica. Luego introduce sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos como sustitución, igualación y reducción. Finalmente describe el método de Cramer para resolver sistemas. Incluye ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento describe los orígenes y desarrollo de la geometría a través de las civilizaciones antiguas como los egipcios y griegos. Explica conceptos geométricos fundamentales como el plano, sus formas de determinación, rectas notables y representación mediante trazas. Finalmente, detalla elementos del plano como área, designación, pertenencia de rectas y planos paralelos.
Este documento describe diferentes tipos de transformaciones geométricas, incluyendo homologías, afinidades e inversiones. Explica conceptos como razón simple, razón doble y cuaterna armónica. También introduce la geometría proyectiva y cómo se conservan propiedades bajo proyecciones.
Este documento presenta información sobre la semejanza de triángulos. Explica que para que dos triángulos sean semejantes deben cumplir que sus ángulos correspondientes son congruentes y que sus lados correspondientes son proporcionales. También presenta tres criterios (lado-lado-lado, lado-ángulo-lado, ángulo-ángulo) para determinar si dos triángulos son semejantes evaluando menos condiciones. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios sobre semejanza de triá
Este documento trata sobre la semejanza de polígonos y triángulos. Explica que dos polígonos son semejantes si tienen ángulos homólogos iguales y lados homólogos proporcionales. También indica que dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales o si sus tres lados son proporcionales. Finalmente, proporciona tres ejercicios sobre estos conceptos.
Congruencias y Semejanza de figuras planasYanira Castro
El documento explica los conceptos de congruencia y semejanza de figuras planas. Define la congruencia como dos figuras que tienen la misma forma y tamaño. Explica los criterios de congruencia para triángulos y los postulados de congruencia. Luego define la semejanza como dos figuras que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños, y que sus ángulos correspondientes son iguales y lados proporcionales. Explica los criterios y postulados de semejanza para triángulos y ofrece ejemplos de aplicación de estos conceptos.
El documento explica conceptos de proporcionalidad geométrica como el teorema de Tales y cómo dividir segmentos en partes iguales o proporcionales a otros números. También cubre semejanza de triángulos y hallar la cuarta proporcional numérica y geométrica. Resuelve varios problemas aplicando estos conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la recta. Explica que una recta es el lugar geométrico de puntos con la misma pendiente. Describe seis formas de representar una recta mediante ecuaciones, incluyendo dos puntos, punto y pendiente, pendiente y ordenada, forma simétrica, general y normal. También cubre conceptos como pendiente, ángulo de inclinación, rectas paralelas y perpendiculares. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la recta como la resolución de triángulos.
1) Se describen las ecuaciones que definen rectas y planos en el espacio tridimensional, incluyendo ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas. 2) Se explican métodos para determinar la posición relativa de dos rectas o de un plano y una recta basados en estudiar la dependencia lineal de sus vectores directores y normales. 3) También se analiza la posición relativa de dos planos mediante el rango de la matriz formada por sus coeficientes.
Dados dos puntos A y B, se define el vector que va de A a B. La suma de un vector y un punto da como resultado otro punto, y la suma de dos vectores da como resultado otro vector. El producto de un escalar por un vector también es un vector. Se describen propiedades del producto escalar como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
[/RESUMEN]
El documento explica conceptos básicos de trigonometría. Define las funciones trigonométricas principales (seno, coseno y tangente) y cómo se aplican en triángulos rectángulos y no rectángulos. También cubre identidades trigonométricas, conversiones entre grados y radianes, y cómo resolver ecuaciones trigonométricas.
1) El documento contiene información sobre vectores, operaciones con vectores, producto escalar, rectas y ecuaciones vectoriales, paramétricas y explícitas de rectas. 2) También incluye conceptos como dependencia e independencia lineal de vectores, ángulo entre rectas, bisectriz de un segmento y de un ángulo. 3) Finalmente, presenta la ecuación general de una circunferencia.
1. El documento presenta información sobre conceptos trigonométricos como seno, coseno, tangente y cotangente y teoremas como el de Pitágoras y el seno. 2. Incluye fórmulas trigonométricas, propiedades de los ángulos y ejemplos de cómo resolver ecuaciones trigonométricas. 3. Cubre una amplia gama de temas matemáticos relacionados con la trigonometría.
El documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo diferentes formas de escribirlos y propiedades como el módulo y argumento. También describe varias transformaciones complejas como traslación, rotación, homotecia y similitud directa, dando las fórmulas correspondientes a cada una. Finalmente, muestra ejemplos de cálculo del argumento de un número complejo.
1. Un documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas como sucesiones aritméticas, geométricas y sus propiedades. 2. Se definen conceptos como tero general, diferencia, razón y se explican sus características. 3. También se introducen series matemáticas y criterios para determinar la convergencia o divergencia de una serie.
Este documento presenta información sobre números complejos. Introduce conceptos como módulo, argumento, formas polares, trigonométricas y exponenciales de expresar números complejos. También incluye ejemplos y ejercicios sobre cálculos con números complejos.
El documento trata sobre el análisis vectorial. Explica que las magnitudes pueden ser escalares o vectoriales, y que los vectores tienen módulo, dirección y sentido. También describe métodos para hallar el vector resultante de varios vectores, como el método del polígono.
Este documento describe diferentes tipos de operadores matemáticos entre escalares, vectores y tensores. Define escalares como de orden 0, vectores como de orden 1 y tensores como de orden 2. Explica los diferentes tipos de productos como producto punto, producto cruz y productos con tensores. También describe conceptos como divergencia y gradiente para campos vectoriales y escalares.
El documento presenta una introducción a los conceptos de magnitudes escalares y vectoriales en física. Explica que las magnitudes escalares se describen con un valor numérico y unidad, mientras que las magnitudes vectoriales requieren también indicar una dirección. Luego define vectores, magnitudes vectoriales como la velocidad y la fuerza, y describe métodos para representar y operar con vectores como suma, resta, multiplicación por escalares y hallar el vector resultante.
El documento describe el dibujo El Hombre de Vitruvio realizado por Leonardo da Vinci en 1492. Representa una figura humana inscrita en un círculo y un cuadrado basándose en los textos del arquitecto romano Vitruvio sobre las proporciones del cuerpo humano. El dibujo ilustra la teoría de que el cuerpo humano se divide armónicamente en dos mitades.
El documento explica las razones y proporciones. Define la razón como la comparación entre dos cantidades mediante sustracción o división, y la proporción como la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. Explica los tipos de razones y proporciones, así como sus propiedades. Finalmente, presenta ejercicios para practicar estos conceptos.
El documento presenta información sobre triángulos rectángulos. Explica la relación entre los lados de un triángulo rectángulo usando el Teorema de Pitágoras. También cubre conceptos como triángulos rectángulos semejantes y relaciones entre los ángulos y lados de triángulos rectángulos con ángulos de 45°, 60° y 90°. Finalmente, presenta ejercicios para practicar el uso de estas propiedades para calcular lados desconocidos.
1) El documento presenta los números complejos, definidos como pares ordenados de números reales, y establece las operaciones de suma, multiplicación e igualdad para ellos.
2) Se representan gráficamente los complejos en el plano cartesiano y se definen conceptos como parte real, parte imaginaria y módulo.
3) Se introduce la forma trigonométrica de un complejo, relacionando su magnitud, argumento y representación como vector geométrico.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores. Define qué son cantidades escalares y vectoriales, y proporciona ejemplos de cada una. Explica cómo describir un vector mediante sus componentes vectoriales a lo largo de los ejes coordenados y los vectores unitarios asociados. También resume métodos para representar vectores, como mediante cosenos directores, y operaciones básicas con vectores como suma, resta, producto escalar y producto vectorial.
1. El documento presenta ejercicios sobre números reales, incluyendo fracciones, operaciones y conversiones entre fracciones y decimales. 2. Se piden calcular valores de x para que fracciones sean equivalentes, expresar fracciones con el mismo denominador, y amplificar fracciones a potencias de 10. 3. También se incluyen ejercicios de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con fracciones, así como conversiones entre fracciones y decimales.
Este documento describe conceptos básicos de vectores y geometría en el espacio tridimensional. Introduce vectores, sumas y diferencias de vectores, productos de números por vectores, bases y coordenadas de vectores. Luego define rectas y planos en el espacio a través de puntos y vectores directores, y presenta diferentes ecuaciones para representar rectas y planos. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores, incluyendo: (1) definición de vectores y sus elementos como magnitud, dirección y sentido; (2) operaciones con vectores como suma, resta, descomposición; (3) producto escalar y vectorial; y (4) ejemplos de aplicación de conceptos como vectores posición y desplazamiento. El documento provee una introducción concisa a los fundamentos de la algebra y geometría vectorial.
El documento describe cómo las razones y proporciones se aplicaron de forma implícita en el pasado como parte de la vida cotidiana, mientras que hoy en día son conceptos centrales para las sociedades modernas y su economía. Explica también cómo esta rama de las matemáticas ha evolucionado desde el trueque hasta las operaciones bancarias computarizadas, requiriendo el uso de razones y proporciones.
Este documento explica los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. Presenta diferentes tipos como las separables, exactas, homogéneas y de Bernoulli, y describe los pasos para resolver cada tipo. También incluye ejemplos resueltos de cada uno para ilustrar los métodos.
Este documento trata sobre matrizes, definindo suas propriedades e operações básicas. Explica que uma matriz é um conjunto de números organizados em linhas e colunas e apresenta exemplos de diferentes tipos de matrizes como triangulares, simétricas e diagonais. Também descreve como realizar operações como soma, produto e inversa de matrizes.
1) Apolonio de Perga estudió las curvas canónicas en el siglo III a.C., las cuales son la circunferencia, elipse, hipérbola y parábola obtenidas al cortar un cono con un plano.
2) Las ecuaciones canonizadas de estas curvas son función de la distancia entre un punto y un foco o directriz.
3) La elipse y hipérbola tienen dos focos mientras que la parábola tiene un foco y la circunferencia ninguno.
1) El documento presenta definiciones y propiedades de los logaritmos, incluyendo demostraciones de identidades logarítmicas.
2) Se resuelven varios ejercicios utilizando propiedades de logaritmos para simplificar expresiones logarítmicas.
3) Los logaritmos están definidos para bases mayores que cero y el dominio de definición depende de la base del logaritmo.
Este documento presenta una guía sobre funciones y sus propiedades. Explica conceptos como dominio, continuidad, derivabilidad, asintotas, puntos críticos, concavidad, y cómo construir una curva a partir de estos elementos. También incluye una tabla de derivadas de funciones comunes.
El documento explica conceptos básicos sobre límites de funciones como su definición, diferentes tipos de límites (límites laterales, límites en un punto) y métodos para calcular límites como aplicar fórmulas o la regla de l'Hôpital. También cubre continuidad, derivabilidad y algunas propiedades de estas como que una función continua en un punto es derivable en ese punto.
Este documento presenta fórmulas y conceptos clave para resolver integrales definidas. Explica cómo utilizar sustituciones trigonométricas, cambios de variable y tablas de integrales para calcular integrales definidas de funciones. También incluye ejemplos de cómo aplicar estas técnicas para integrar funciones elementales como seno, coseno y exponenciales.
Este documento explica os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos, operações e propriedades. As matrizes são representadas por conjuntos de números organizados em linhas e colunas. O documento descreve matrizes simétricas, diagonais, escalares, entre outras, e como realizar operações como multiplicação, transposição e inversão de matrizes.
El documento describe las cuatro curvas cánonicas (elipse, hipérbola, parábola y circunferencia) obtenidas al cortar un cono circular recto con un plano. Explica que una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante, y deduce su ecuación canónica. Igualmente describe las hipérbolas, parábolas y deduce sus ecuaciones canónicas respectivas.
El documento presenta fórmulas trigonométricas útiles para resolver integrales definidas, incluyendo fórmulas para seno de suma y diferencia, coseno de suma y diferencia, y tangente de suma y diferencia. También presenta identidades para seno al cuadrado, coseno al cuadrado y seno-coseno.
Limites continuidad-derivabilidad con + de 50 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.
Estudio de funciones con + de 30 ejercicios resueltos BanhakeiaMateo Banhakeia
Este documento resume los conceptos fundamentales del estudio de funciones, incluyendo el dominio de definición, la simetría, la continuidad, la derivabilidad, los cortes con los ejes, las asintotas, la monotonía, los puntos críticos, la concavidad y los puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas que es importante memorizar.
El documento presenta varios conceptos y demostraciones matemáticas. Se define el logaritmo y se demuestran varias propiedades como que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores y que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos. También se plantean y resuelven ejercicios relacionados con ecuaciones y desigualdades logarítmicas.
Este documento define los logaritmos y demuestra varias de sus propiedades fundamentales, incluyendo que loga(c*d^h)=loga(c^h)+loga(d^h), que loga(d/c)=-loga(c)-loga(d), y que loga(b^h*c)=h*loga(b).
Limites-continuidad-derivabilidad por BanhakeiaMateo Banhakeia
1) El documento habla sobre los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad de funciones.
2) Explica las definiciones formales de límite, continuidad a izquierda/derecha y derivabilidad.
3) Proporciona fórmulas y propiedades clave sobre límites, como reglas para calcular límites indeterminados y la regla de L'Hôpital.
Este documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría. Explica las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos, el teorema del coseno, el teorema del seno y el círculo trigonométrico. También incluye fórmulas, propiedades, igualdades y métodos para resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas.
Este documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a es la parte real e i la raíz cuadrada de -1. También presenta diferentes formas de representar números complejos como la forma binómica, polar, trigonométrica y exponencial.
Este documento presenta un estudio de funciones que incluye los siguientes puntos: 1) dominio de definición, 2) simetría y periodicidad, 3) continuidad, 4) derivabilidad, 5) corte con los ejes, 6) asintotas, 7) monotonía y puntos críticos, y 8) concavidad y puntos de inflexión. También incluye una tabla de derivadas comunes y algunos casos particulares para aplicar estos conceptos.
Calculo integral 1 teoria y155 ejercios resueltos banhakeiaMateo Banhakeia
I. Este documento explica cómo resolver integrales y proporciona fórmulas útiles para integrales trigonométricas, exponenciales y fracciones.
II. Es importante saber derivar bien y memorizar estas fórmulas para poder integrar funciones.
III. Se explican conceptos como el cambio de variable, la integración por partes y cómo integrar fracciones dividiendo polinomios.
Este documento presenta varios ejercicios sobre el cálculo de integrales dobles sobre diferentes regiones. Se proporcionan los límites de integración para regiones como un trapecio, un segmento parabólico, círculos y más. También se piden cambiar el orden de integración y calcular valores numéricos de integrales dobles sobre estas regiones.
Es en el Paleozoico cuando comienza a aparecer la vida más antigua. En Venezuela, el Paleozoico puede considerarse concentrado en tres regiones positivas distintas:
Región Norte del Escudo Guayanés.
Cordillera de los Andes venezolanos.
Sierra de Perijá.
Los enigmáticos priones en la naturales, características y ejemplosalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxjanetccarita
Explora los fundamentos y las mejores prácticas en fijación, transporte en camilla e inmovilización de la columna cervical en este presentación dinámica. Desde técnicas básicas hasta consideraciones avanzadas, este conjunto de diapositivas ofrece una visión completa de los protocolos cruciales para garantizar la seguridad y estabilidad del paciente en situaciones de emergencia. Útil para profesionales de la salud y equipos de respuesta ante emergencias, esta presentación ofrece una guía visualmente impactante y fácil de entender.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
1. , , , , , , , , , , ,
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cos
exp
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Sean Los vectores u u u u v v v v A a a a B b b b
b a b a b a
v v v v
u
u
u
u
u
u
u
es representada por un punto u v
u v
u proy v v proy u
u v u v u v
u v es el menor angulo formado entre u y v
u v u v
Sean Los puntos A a a a B b b b C c c c D d d d
Sea M ese punto medio M
a b a b a b
Sea G ese punto
G
a b c a b c a b c
es una piramide triangular
Es un poliedro regular formado por equilateros
Sea G centro de gravedad
G
a b c d a b c d a b c d
es representado por X o bien por
w u v quiere decir que w u y w v
fuerza de lorentz q v X v y
u v u v sen u v el producto vectorial sirve para hallar Area
si u v
los vectores son paralelos es decir u v o bien u v
al menos uno de los dos vectores es cero
u v w u v w
w w w
v v v
u u u
u v w resa el volumen del paralelepipedo definido por los vectores u v w ver imagen
u v w u v w u v w area altura s h
el n real u v resa la area s del parale ramo que definen
los vectores u y v y w es la altura del paralelepipedo
vectores no nulos y no paralelos en el espacio es en el mismo plano
o en planos paralelos Ssi el producto mixto entre ellos es cero
u v y w son coplanares Ssi u v w
u es combinacion lineal de v w z si y solo si existen
no todos nulos tal que u v w z o bien u v w
u v w u v y w es en el mismo plano coplanarios
u v w
Vector definido por dos Puntos A y B
Modulo del vector v
Vector unitario del vector u
Producto Escalar de u y v
Punto Medio del segmento de extremos A y B
Baricentro de un triangulo ABC
Centro de Gravedad de un tetraedro
Producto Vectorial
u v er ante
v v v
u u u
i j k
v v v
u u u
i j k
es un vector
Producto Mixto
Combinacion Lineal
u v y w son Linealmente Dependiente
u v y w son Linealmente InDependiente
vea la imagen
Ejemplo
AB
F B F F B
2 2 2
3 3 3
4
3 3 3
0
0 180
3
0
0
0
0
u
u v
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1
2
2
2
3
2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2 3 3
1 1 2 2 2 3 3 3
1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
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a b c
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Q
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Q
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Q
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Q
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V
V
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V
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V
V
V
V
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V
Y
Y
V
V
V
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El dedo indice debe
señalar siempre al 1º
vector que multiplica,en
nuestro caso es la
Volumen de tetraedro
1/6
Proyeccion de u sobre v
Producto Escalar
G Baricentro
G Centro de Gravedad de tetraedro
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cos
int sec
cos
tan
det
sec
k k
Los elementos caracteristi de una Recta son
un punto P a b c y un vector director v v v v
x y z a b c v v v siendo
z c k v
y b k v
x a k v
siendo k
v
x a
v
y b
v
z c
A x B y C z D
Ax By Cz D
dos planos cuya er cion es una recta
las ecuaciones implicitas son ecuaciones de
su vector director es w
A B C
A B C
i j k
B C
B C
A C
A C
A B
A B
Los elementos caracteristi de un Plano son
un punto P a b c y dos vectores directores u u u u y v v v v
x y z a b c u u u v v v siendo
z c u v
y b u v
x a u v
siendo
Ax By Cz D
v v v
u u u
x a x b x c
el vector normal es n A B C
uno de los vectores directores se puede coger como v B A
Ecuacion de un plano que pasa por un punto P a b c y tiene un vector normal n A B C es
A x a B y b C z c
Sean Dos rectas r y s Para estudiar su posicion relativa
se considera el punto A a a a r y el punto B b b b s y los vectores
directores u y v de las rectas r y s
se estudia la dependencia lineal de los vectores
b a b a b a u u u u y v v v v
Que es lo mismo que estudiar el rango de la matriz M
v v v
u u u
b a b a b a
rag M
independientes r y s no es en el mismo plano r y s se cruzan
M los vectores u y v son
rag M las coordenadas de los vectores directores no son proporcionales r y s son antes
las coordenadas de los vectores directores son proporcionales r y s son paralelas
rag M
que las dos rectas r y s son coincidentes
Las coordenadas de los vectores u y v son proporcionales a decir
Ecuaciones de una RECTA
Ecuaciones de un
POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion Continua
Ecuacion
General
Implicita
Ecuacion Vectorial
Ecuacion Parametrica
Ecuacion
General
Implicita
Metodo
Plano
o bien
o bien
pueden darse dos casos
AB
AB
AB
0
0
0
0
0
3
0 3
2 1
2
1
3
1
R
R
R
R
1 2 3
1 2 3
3
2
1
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
2
3 3
2 2
1 1
2
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 2
1 2 2
1 1 2 2 3 3
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a b a b
a b
a b
a b
a b
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T
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V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
V
V
V
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V
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V
V
V
V
V
V
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V
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sea el punto A a a a r y el punto B b b b s
y los vectores directores u y v de las rectas r y s
proporcionales
no son
u y v
que no es en el mismo plano r y s se cruzan
Si u v u v u v son linealmente independientes
Si u v u v es en el mismo plano r y s antes
proporcionales
son
u y v
si A r y A s r y s son paralelos
si A que a r pertenece tambien a s r y s coincidentes
conocidas las Ecuaciones Implicitas de las rectas r y s su posicion relativa
viene er ada por la discusion del sistema de Ecuaciones que forman
s
A x B y C y D
A x B y C y D
r
A x B y C y D
Ax By Cy D
para ello estudiaremos el rango de las matrices
Matrice de coeficientes M
A B C
A B C
A B C
A B C
Matriz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
si rag M y rag M se cruzan
si rag M y rag M se cor
si rag M y rag M son paralelas
si rag M y rag M son coincidentes
Metodo
Metodo
AB AB AB
AB AB
0
0
0
0
0
0
3 4
3 3
2 3
2 2
2
3
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*
*
*
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1
1
1
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G
G
G
Rectas Coincidentes Rectas Paralelas
Rectas Secantes Rectas se cruzan
-
-
-
-
( Sistema Incompatible)
(Sistema Compatible Determinado)
( Sistema Incompatible )
( Sistema Compatible Indeterminado )
4. *** .
*** .
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sec
sec
Posicion relativa de un una recta y un Plano
Sea la recta r de la cual conocemos su vector director v y un punto A
y un plano P del cual conocemos su vector normal n
si el producto escalar de v n v n entonces hay dos posibilidades
si A P Plano la recta es paralela al plano P
si A P Plano la recta esta contenida en el plano P
si el producto escalar de v n v n recta r y Plano P son antes
vea las imagen de abajo
Posicion relativa de dos Planos
Sean los planos P Ax By Cz D y P A x B y C z D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
C
C
D
D
A
A
B
B
o bien
C
C
D
D
Los Planos son Coincidentes Los Planos son Paralelos Los Planos son antes
0
0
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V
V
G
Recta esta contenida en el plano
Recta paralela al plano
Recta y el Plano secantes
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sec
sec
min
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min
tan
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Posicion relativa de una recta y un plano
r
A x B y C z D
Ax By Cz D
y P A x B y C z D
Matriz coeficientes M
A B C
A B C
A B C
Martiz Ampliada M
A B C D
A B C D
A B C D
si ragM ragM la recta y el plano son antes r P
si ragM y ragM la recta es paralela al plano r P
si ragM ragM la recta esta incluida en el plano r P
Posicion relativa de Dos plano
P Ax By Cz D P A x B y C z D
M
A B C
A B C M
A B C D
A B C D
Si ragM ragM P y P son antes P P
Si ragM y ragM P y P son paralelas P P
Si ragM ragM P y P son coincidentes P P
Posicion relativa de Tres plano
P Ax By Cz D P A x B y C z D P A x B y C z D
A B C A B C A B y C son llamados coeficientes de las variables
D D y D son llamados ter os independientes
A x B y C z D
A x B y C z D
Ax By Cz D
M
A B C
A B C
A B C
M
A B C D
A B C D
A B C D
Si ragM ragM sistema compatible los planos se cor en un punto
Si ragM y ragM sistema incompatible pueden darse dos casos
los coeficientes de las variables de dos planos los coeficientes de las variables
son proporcionales y no lo son sus ter os no son proporcionales
independientes los coeficientes de las variables
del tercer plano no son proporcionales a los otros
los tres planos se cor dos a dos
planos paralelos y otro es ante formando una erficie prismatica
0
0
0
3
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2
0 0
2
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1
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2
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( Punto Rojo de la imagen )
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1
1
det min
tan
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sec
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det min
Si ragM ragM sistema compatible in er ado
Los Planos se cor en una recta se puede dar dos casos
los coeficientes de las variables dos Planos sus coeficientes son Proporcionales
no son proporcionales y no lo son con el tercero
Los tres Planos son dist os y se cor
en una recta pertenece a un haz de Planos Dos Planos coincidentes y otro es ante
Si ragM y ragM el sistema es incompatible pueden darse dos casos
los coeficientes de las variables son planos sus coeficientes son proporcionales
proporcionales y de los ter os y con los ter os independientes del
independientes
los tres planos son paralelos dos coincidentes y otro paralelo
Si ragM ragM sistema compatible in er ado
todos los coeficientes son proporcionales
los planos son coincidentes
2
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3
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tan
Modulo del
Dis cia entre dos Puntos
sean los puntos A a a a y B b b b
dist A B b a b a b a
Dis cia entre un Punto y una Recta
Hallar la dis cia entre el punto B y la recta r es calcular
dist B r
v
v
v producto vectorial v
A r
v vector director de la recta r
Dis cia entre dos rectas paralelas
Sean las rectas r A un punto a r
v vector director
s B un punto a s
v vector director
dist r s dist A s
v
v
ulo del vector director v
ulo del producto vectorial v
Dis cia entre dos rectas que se cruzan
dist r s
v v
v v
ulo del producto vectorial
ulo del producto mixto
otra manera de calcular las dis cias
r s dist r s r s dist r s r s dist r s dist A s
Dis cia de un punto a un plano
Sea A a a a ese punto y el plano P Ax By Cz D
dist A P
A B C
A a B a C a D Valor absoluto
Dis cia de una recta a un plano
Sea r la recta y P el plano
r P dist r P r corta al P dist r P r P dist r P dist A P
Dis cia entre dos Planos
Sean P y P dos planos
P P dist P P P corta P dist P P P P dist P P dist A P
AB
AB
AB AB
AB AB
AB
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0
0 0
0 0
r
r
r r
r
r s
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cos cos
tan cos
Angulo formado por dos rectas r de vector director u y s de vector director v
r s Angulo r s Angulo r s
u v
u v
r y s
u v
u v
Angulo formado por una recta y un plano r de vector director u y P de vector normal n
r P Angulo r P Angulo r corta P sen
u n
u n
Angulo formado por dos Planos Plano P con vector normal n y P con vector normal n
P P Angulo P P Angulo P P se cor
n n
n n
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0 0
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se cruzan
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exp
inf
exp
Tres Puntos A B C son alineados colineales sus coordenadas son proporcionales
vectores son colineales
que sus coordenadas son proporcionales
que uno puede resarse en funcion del otro
que podemos representarlos sobre una misma recta
Coplanares Significa que pertenecen al mismo Plano
vectores son siempre coplanarios
Puntos siempre son coplanarios ya que dichos puntos definen una recta por la cual pasan
initos Planos
si u y v son colineales u v y w son coplanarios
si u v y w son colineales
los otros dos por ej w u v
que uno de ellos se puede resarse en funcion de
que podemos representarlos en un mismo plano
w u v es un sistema
no tiene solucion no coplanarios
tiene solucion coplanario
puntos A B C son coplanares quiere decir que cualquier punto M x y z al Plano
que es la ecuacion Cartesiana de Plano
sea r y
x
z k
y
x
k cuidado muchos se creen que z
AB AC
AM AB AC AM AB AC
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2
2
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tan
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Sean los vectores u n v y w m
a para que valores de m y n los vectores u v y w son linealmente dependientes
y que u sea a w
Respuesta
u v y w son linealmente dependientes
m
n
n m
u w u w n m m n n m
y n m
n m
n m
n m
m m
n n n
Ejercicio n
Halla la ecuacion Implicita del plano que pasa por los puntos A B y C
Respuesta
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to
los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos
Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n
vea la imagen
n
i j k
k k k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma z D
por estar el punto A en el plano D D y por ultimo
P z P z
Otra manera de hallar la ecuacion cartesiana del plano
A
sea M x y z P plano
x y z
z
por ultimo la forma cartesiana del plano P z
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
1 3 1 0 1 1 2
1 2
1 0 1
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0 1 3 1 2 3 2 0 2 3 2
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10 10 0 1 0
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int sec
tan
tan
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unt
Ejercicio n
Deducir la ecuacion parametrica y cartesiana del plano P que contiene los tres puntos
A B y C
Halla el Punto de er cion entre el plano y la recta r
x y z
x y z
Respuesta
Antes de nada hay que averiguar que los puntos no es alineados para eso calculemos
los vectores y
que las coordenadas de los vectores y no son proporcionales por lo to
los puntos A B C no es alineados que si se puede hallar el plano que contenga los puntos
Para hallar la ecuacion cartesiana del plano se necesita un punto y un vector normal n
vea la imagen
A
n
i j k
i k j k j i
i j k
La ecuacion Implicita de un plano su forma general es A x B y C z D
siendo A B C su vector normal asi que el plano P es de la forma x y z D
por estar el punto A en el plano D D y por ultimo
P x y z es la ecuacion implicita del plano
Otra forma de hallar la ecuacion implicita del plano y es la mas directa es
A
sea M x y z P
z
y
x
z
y
x
del plano P
Parametrica
Ecuacion
Ecuacion Implicita es
x y z
P x y z
hallar el p o de entre la recta r
x y z
x y z
y el plano P x y z
x y z
x y z
x y z
utilizando la regla de Cramer
x y z
El punto de entre la recta y el plano es I
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
1 2 1 2 1 3 0 2 1
2 2 0
2 3
3
3 3 2 1 4 2
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0
14 8 9 0
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14 8 9 7 0
3 3 2 1 4 2 1 2 1
1 2 2
2 3 4
1 3
1 2 2
2 3 4
1 3
1 4 2
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1 2 1
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2 2 0
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14 8 9 7 0
14 8 9 7
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1 2 2
1 2 1
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Ecuacion vectorial del Plano
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Ejercicio n
Dada la recta r
x y z
x y z
y el punto A
el punto A r
Halla el vector director de r
hallar la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
calcula el punto de er cion entre el plano P y la recta r
Respuesta
A r Imposible A r
r
x y z
x y z
sistema de ecuaciones de incognitas con ecuaciones
haciendo z r
x y
x y
x y
x y
x y
z
y
x
vector director de la recta es v
la ecuacion implecita del plano P a r y pasa por el punto A
vea la imagen
se ve claramente que el vector director de la
recta v coincide con el vector normal del plano n v
la ecuacion cartesiana de un plano es de la forma
P A x B y C z D siendo A B C vector normal
asi que P x y z D como P pasa por A A P
D D asi que P x y z
Otra forma de hallarlo es sabemos que A P y n v
sea M x y z P n x y z
x y z P x y z
calcular el punto de entre el plano P y la recta r
x y z
x y z
x y z
sea B B
B
x y
z luego punto de es I
AM
2 8
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2 2 1
1
2
3
4
1 2 2 1
2 2 8
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2
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2 2 1 2 3 4
0 2 2 1 2 3 4 0
2 4 3 6 4 4 0 2 3 4 14 0
4
2 3 4 14
2 8
5 2 6
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5 2 1
2 3 4 14
1 2 1 8
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58
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Ejercicio n
Sean los puntos A B y C
deducir la ecuacion cartesiana y parametrica del plano P que contiene los puntos
Hallar la ecuacion parametrica y continua de la recta r ortogonal al plano P y que pasa
por el punto A
hallar la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
calcula la entre la recta r y el plano P
Respuesta
antes de nada los puntos A B C no deben estar alineados para eso lo calculemos y
A B y C
como sus coordenadas no son proporcionales A B C no es alineados
sabemos que A B y C pertenecen a P
A se puede escoger cualquiera de los puntos
Vea la imagen
sea M x y z P
z
y
x
z
y
x
del plano P
Parametrica
Ecuacion
Implicita es
x y z
P x y z cartesiana
Ecuacion parametrica y continua de la recta r P y que pasa por el punto A
la ecuacion vectorrial de una recta r que pasa por A y de vector director v x y z v
vea la imagen vector normal coincide con vector director
v n A
sea M x y z P v Ec Vect
r
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
z
y
x
r
x y z
Ec continua
la ecuacion implicita del plano P paralelo P y pasa por el punto D
vea la imagen como se ve n n
n n asi que P x y z D
y como P pasa por D
entonces D D
luego P x y z
calcular la entre la recta r y el plano P
r
z
y
x
P x y z
x y z d
z c
y b
x a
d remplazando
en la ecuaciones anteriores x y z r P I
AB AC
AB AC
AB AC
AM AB AC
OA
OM OA
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b
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Ejercicio n
Sean dos plano P
z B
y
x
P x y z
Ecuacion Vectorial y Implicita de P
punto de y el vector director de la recta r P P
deduzca la ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
Respuesta
P
z B
y
x
z
y
x
dos vectores directores u y v del plano
de aqui podemos deducir un punto A y
A u v
sea M x y z P u v Ecuacion Vectorial
Ecuacion Implicita u v
x y z
P x y z
la recta r P P
P x y z
P x y z
x y z
x y z
con incognitas
sistema de Ec
sea x
b y y
a b z z
Ecuacion parametrica de r
z
y
x
vector director v y el punto I
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es a r
el vector director v de la recta r es a la vez el vector normal del plano P
asi que P x y z D pero como sabemos que P pasa por B B P
D D luego P x y z
Ejercicio n
Halla las ecuaciones vectorial parametrica y continua una recta que pasa por los puntos
A y B
Respuesta
Sea r esa recta buscada y M x y z un punto cualquiera de r el vector un vector
represen te del vector direccion de la recta r
M x y z r siendo es la ecuacion vectorial de r
z
y
x
z
y
x
Ecuacion Parametrica de r
z
y
x
z
y
x
x y z
Ecuacion continua de r
AM
AM
AB
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1 2
2
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tan
tan
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
pasar a parametricas las rectas seguientes r
x y
z s y
x
Respuesta
r
x y
z la forma mas facil es cogiendo un parametro k
k
x y
z
z k
y k
x k
z k
y k
x k
Ec Parametrica
s y
x
aqui no aparece z z k parametro
s
z k
y k
x k
Ec Parametrica
Ejercicio n
Hallar la ecuacion del plano que pasa por A y es perpendicular a r
x y
z
Respuesta vea la imagen
el plano pedido es de la forma P ax by cz d siendo a b c vector normal de P
r P v vector director de r n vector normal de P n k v k
n k k k y como n es vector normal de P y pasa por A
k k k d d k por lo to P k x k y kz k
k x y z P x y z
Ejercicio n
Hallar la ecuacion implicita del plano que pasa por A y es al plano
P x y z y calcula vectores a el
Respuesta
P x y z y P el plano buscado como P P P x y z D
luego sabemos que pasa por A D D por lo to
P x y z
calcular vectores a el es lo mismo que buscar dos vectores directores de P para ello
pasemos la ecuacion del plano de implicita a parametrica
haciendo x e y la ecuacion queda asi
P
z
y
x
v
v
dos vectores paralelos
2
3
0
1
2 3 0
1
2
3
0
1
2
2
3
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1
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2
1 0
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2
1 0
3 2
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3 0
1 0
2 1 3
2
1
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2
3
0
2 1 1
2 2 1 3
2 2 1 3 0 6 2 6 0
2 6 0 2 6 0
3 1 1
2 3 1 0 2
2 3 1 0 2 3 0
3 1 1 2 3 1 1 3 1 0 2
2 3 2 0
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1 0 3 1
1 0 3
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c
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cos
cos
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Calcula el angulo que forma la recta r
x y z
con el plano
P x y z
Respuesta
r
x y z
v P x y z n
angulo formado entre r P vea la imagen
n v n v n v
n v n v
n v n v sen
sen
n v
n v
sen arcsen
Ejercicio n
Dado el punto P calcula la ecuacion de la recta r simetrica de r
z
y
x
respecto al punto P en forma continua
Respuesta
hallaremos dos puntos A y B de la recta r a los cuales les calcularemos sus semetricos
A y B respecto al punto P una vez hallados podemos calcular la ecuacion de la recta
r ya que conocemos dos puntos suyos
r
z
y
x
x y z B
x y z A
P
fijandonos en la imagen sea A a b c B a b c
A P PA a b c a b c A
B P PB a b c a b c B
r pasa por A y B su vector director es cogiendo el punto A
sea M x y z r r
z
y
x
Ec parametrica
la ecuacion Continua de r su forma general es v
x a
v
y b
v
z c
r
z
y
x
z
y
x
x
y z
r
x y z
A B
A M A B
2
3
5
1
1
1
2 5 7 11 0
2
3
5
1
1
1 1 3 2 2 5 7 11 0 1 3 2
90
1 3 2 1 3 2
1 9 4
14 14
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2
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1 2 2
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1
2
1 2 2
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1 1 2 2
0 2 1 0
1 2 2
1 2 2 1 3 2 0 5 4 0 5 4
1 2 2 0 4 0 1 6 2 1 6 2
1 1 2 0 5 4
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5
4 2
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r r r
r r
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tan
sec int sec
sec int sec
sec
det
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
dada la recta r
z
y
x
y un punto A
Hallar la ecuacion parametrica del plano P que contiene la recta r y pasa por A
Hallar la ecuacion del plano P a la recta y pasa por el punto A
Respuesta vea la imagen
r
z
y
x
y un vector director v
podemos despejar un pt B
para hallar la ecuacion de un plano se necesi puntos
no alineados o bien vectores directores un punto o bien un vectro normal y un punto
de la recta hemos despejado v que es a la vez un vector director del plano
es otro vector director del plano y un punto A
sea M x y z P v Ecuacion vectorial
z
y
x
Parametrica
Ecuacion
Ec cart
x y z
P y z
P r vector normal de P es v y A P vea la imagen
P x y z D
P y z D
A P D D
P y z P y z
Ejercicio n
sea P x y z y la recta r contiene los puntos A y B
halla la ecuacion parametrica de la recta r
demostrar que la recta r es ante al plano P halla el punto I de er cion
Ecuacion cartesiana del plano CIA sabiendo que C
Respuesta
recta r contiene A y B el vector es el vector director de r
sea el punto M x y z r
z
y
x
parametrica de r
es la ecuacion
la recta r es ante al plano P y calcular el punto I de er cion
P x y z vectro normal n r
z
y
x
v
n v r y P son antes r P
remplazando los valores de x y z de la recta en la Ec del plano
x y z asi que I
Sea el plano que pasa por los puntos C I y A
x y z
M x y z es combinacion lineal de y
z
y
x
x y z x y z
AB
AM AB
AB
AM AB
AB
AM AC AI
AM AC AI AM AC AI
1 2
1 2
5
3 0 2
1
2
1
1 2
1 2
5
0 2 2
5 1 1
3
2
0 2 2
2 1 1 3 0 2
2 2 1
0 2 1
3 0 2
2 1 1
0 2 2
3 2
0 2 0
2 0 2 2 3 0 2
0 2 2 0
2 2 0
3 0 2 2 2 0 4
2 2 4 0 2 0
2 3 0 1 2 3 3 2 1
1
2
1 2 0
1 1 2 3 3 2 1 2 4 2
3 2
2 4
1 2
2
2 3 0 2 1 3
3 2
2 4
1 2
2 4 2
2 1 3 2 4 2 4 4 6 2 0
4 0 2
3 10 7 3 10 7
3 1 2 0 3 10 7 1 2 3
1 2 3 0 4 3 4 8 4
0
3 3 4
2 4 8
1 0 4
0 8 12 16 16 0 2 3 4 4 0
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det
det min
det min
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
Sea P
z
y
x
el vector v es un vector director de P
y es perpendicular a la recta r
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B
por el punto A y es al plano P
halla Ecuacion parametrica de la recta r que pasa
halla la ecuacion Implicita de P
Respuesta
Ecuacion Implicita de P
z
y
x
y v y pasa por A
sus vectores directores v
sea M x y z P es combinacion lineal de v y v v v
x y z
P x y z P x y z
Ecuacion parametrica de la recta r que pasa por el punto A y es al plano P
vea la imagen vector director de r v coincide con n vector normal de P
sea M x y z r n v r
z
y
x
r
z
y
x
Ecuacion cartesiana del plano P que pasa por B y es perpendicular a la recta r
P r v n n P x y z d pero como B P d
d luego P x y z
v es un vector director de P x y z
luego v no es un vector director de P
Ejercicio n
Dado el punto A la recta r
x
y
z
y el plano P x y z
er ar el punto B del plano P tal que la recta AB sea paralela a la recta r
Respuesta
la forma general de una Ec continua de r es v
x a
v
y b
v
z c
y de vector director v v v
la recta r pasa por a b c
r
x
y
z
r
x y z
y v
pasa por
denotamos la recta AB por r de la cual sabemos que pasa por A y es paralela a r
r r v v v asi que la recta r queda er ada de la seguiente manera
r
z k
y k
x k
como el punto B P y B r esto nos indica que P r B
P r
x y z
z k
y k
x k
k k
x y z k k k
por ultimo x y z B
AM AM
AM
3 2
1 2
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3 1 1 2
3 0 2
2
1
1
3 2
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2
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2 4 1 2 4 0 2 4 2 0
4 2 4 4 0
4 3 6 1 2 4 5 0
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2
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2 2
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2
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2 1 2
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1 2
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2
1 2
2 2 0 1
2 2 0 1 2 2 2 3 2 2 0
1 2 1 2 1 3 3 2 5 1 3 5
R
r
r
r
r
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AB AB r AB AB
AB AB AB
AB
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det min
sec
tan
sec
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tan
r P
Ejercicio n
a Estudia la posicion relativa del plano P y la recta r
P x y z r
z k
y k
x k
siendo k
b calcula la dis cia que hay entre la recta y el plano
c Halla la ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
Respuesta Recuerda
si la Ec de la recta r esta en forma Parametrica y Plano P en cartesiano
k n de cero r P
k cte r y P son antes
k k in er ado r P
recta r
y pasa por el punto A
de vector director v
Ec Parametrica
plano P
de vector normal n
Ec cartesiana
si n v n v
si A P r P
si A P r P
si n v r y P son antes
recta r en forma implicita y el plano en forma implicita cartesiana
se jun las ecuaciones de la recta con la del plano
M matriz d coeficientes M matriz ampliada
si ragM ragM r y P son antes
si ragM y ragM r P
si ragM ragM r M
a asi que para responder a esta pregunta se puede hacer de maneras dist as
r
z k
y k
x k P x y z k k k k
Metodo
r
z k
y k
x k
r
A
v
P x y z P n
v n v n
veamos si A pertenece o no al plano A P
por lo to r P
Metodo
r
z k
y k
x k
la pasaremos a implicita para ello necesitamos pasarla antes a continua
k
x y z
r
x y z
y z
x y
y z
x y
r
y z
x y
P x y z ahora hagamos el estudio del sistema
x y z
x y z
x y z
M M
2 2 0 2
1
0
0 0 0
0
0
0
3
2 3
2
3
1 2
1 2 2 0 2 1 2 2 0 0 6
2
2
1
1 2 0
1 1 1
2 2 0 2 1 1
1 1 1 2 1 1 2 1 1 0
2 1 1 1 0 2 5 0
2
1
1
1
1
2
1 1
1
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2
1
1
2
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1
1
1
2
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3 0
2 0
3 0
2 2 0
2 2
0
2 1 1
0 1 1
1 1 0
2 1 1 2
0 1 1 2
1 1 0 3
R
R
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*
*
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r
r
r r
r
r
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r
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r r
r r
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r
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= - - -
+ - + = -
= - - - =- + + =
+ - + = =
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+ - + =
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+ + =
- - -
c
c
c
c
c
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Q Q
Q
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Q
Q
U
Q
Q
Q
Q
V V
V
V
Z
V V V
Z
V
V
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Z
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G
G
G
G
G
G
17
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tan
tan min
log sec
tan
det
M ragM
M ragM
como ragM y ragM r P
b la dis cia que hay entre la recta r y el plano P
cuando nos referimos a la dis cia nos referimos a la disnacia ima que hay
por ica si r P dist r P si la r y P son antes dist r P
Recuerda si r P dist r P
n
A a B b C c D
siendo n es la normal del plano
dist un punto a b c de la recta P Ax By Cz D
r
z k
y k
x k
P x y z
dist r P dist u
c Ecuacion Parametrica e implicita del plano que contenga la recta r y es a P
vea la imagen
el vector normal n de P
representa un vector director
del plano y com r
el punto A
y el vector director v de la
recta tambien es del plano
por lo to ya conocemos
un punto y dos vectores
directores del plano
sea M x y z tal que n v Ecuacion vectorial de
z
y
x
z
y
x
ecuacion parametrica
Ecuacion Implicita es n v
x y z
x z y z x y y z
y z
A M
A M
2 1 1
0 1 1
1 1 0
2 1 1
0 1 1
1 1 0
1 2 1 0 0 1
1 1
1 0 1 2
2 1 1 2
0 1 1 2
1 1 0 3
2 1 2
0 1 2
1 0 3
2 6 2 6 3
2 3
0 0
0
2
1
1 2 0 2 2 0 2 1 1
1 2 0 2 1 1
2 1 1
2 1 1 2 1 0 2
6
6
6
1 2 0
0
2
1 2
2
1 2
0
1 1 1
2 1 1
1 2
0 1 2 2 1 2 4 0 3 3 6 0
2 0
R
* *
*
mod
p
r
r
r p r
r p r
ulo
valor absoluto
la recta
punto de
del plano
la normal
2 2 2
2
$
"
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(
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(
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7
1
z
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1
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r
r r
r
r
r a b a b r
r
a b
a b
a b
r
a b
a b
a b
r
- -
=- + - = = - = =
- - - -
=- - + =- =
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+ + + =
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+ - + = -
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+ + -
+ - +
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- -
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+ - =
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U
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Q
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Q
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Q
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Q
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V
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Z
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4 44444444444
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P
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det
Ejercicio n
Dada la recta r
x y z
a Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y contiene la recta r
b Halla el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
c Halla el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
Respuesta
a el plano P en forma cartesiana pasa por el punto A y contiene la recta r
primero veamos si A o no a la recta A r
vea la imagen
r
x y z
A punto r
v vector director
M x y z P Plano v
A A v x y z
v
x y z
P x y z
b el plano P en forma cartesiana que pasa por el punto A y es a r
vea la imagen
el vector director v es el
vector normal del plano P que su
forma cartesiana es
P A x B y C z D P x y z D
A P D D luego P x y z
c el plano P que contiene la recta r y paralelo a siendo P y Q
vea la imagen
P es vector director de P
r P A r tambien a P
v de r es vector director de P
M x y z P v
Ecuacion Cartesiana
x y z
x z x z
PQ
AM A A
A A AM
AM A A
PQ
PQ PQ
A M PQ
1
2
2
1
3
2
1 1 1
1 1 1
0 1 3 1 2 3
1 1 1
1
1
2
0
3
1
1
2
2
1
3
2
2 1 2
1 2 3
1 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 3 1 1 1
0
1 2 3
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1 1 1
0 2 2 0
1 1 1
1 2 3
0 2 3 0
1 1 1 1 1 2 1 3 1 0 0 2 3 0
0 1 3 1 2 3
1 3 0
1 2 3
1 3 3
2 1 2
0 3 8 0 3 8 0
R
R
r
r
r r
r r r
r r
r
r
r
r r
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2
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a b a b
a b a b
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+ + + = - + + + =
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- + -
= - - + = + - =
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m m
m m
m
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Q Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
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V
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int sec
nt sec
Ejercicio n
Sea el punto A y la recta r
z k
y k
x k
k
a Calcula la ecuacion implicita del plano P que contiene la recta r y pasa por A
b Calcula la ecuacion implicita del plano P a la recta r y pasa por A
c Halla la er cion de r y r
z n
y n
x n
n
Respuesta
vea la imagen
a r P y A P
veamos si A r para ello debe satisfacer la Ec
k
k
k
k
k
k
imposible
r
z k
y k
x k
v vector dir de r
A r
A
sea M x y z P v Ecuacion vectorial del plano P
Ecuacion Implicita
x y z
P x y z
b Ecuacion implicita de P a la recta r y pasa por A vea la imagen de abajo
como se ve en la imagen el vector
director v de la recta r coincide
con el vector normal n del plano P
tambien sabemos que A P
la forma general de un plano es
ax by cz d siendo a b c vector normal del plano
n v P x y z d
A P d d por seguiente P x y z
c I er cion de r
z k
y k
x k
y r
z n
y n
x n
r r
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
k n
n n
n remplazando en k ahora veamos si es cierto en la ecuacion
es cierto
z
y
x
I r r
AA
AM AA
2 0 3
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
2 0 3
3 2 5
0
2 1 3
5
1
0
3
1
2 5
1 3
3 1 5
1 0 2
2 0 3 1 0 1
3 1 5
1 0 1
2 3
0 8 1 0
3 1 5
2 0 3
0
3 1 5 5 0
2 0 3 3 2 0 5 3 0 9 3 5 9 0
2 5
1 3
3 4
5 2
2 3
2 5 3 4
5 2
1 3 2 3
2 5 3 4
5 2
3 3 3
2 5 3 4 3
5 2 2
1 1
1 5 2
4 1 3 3
2 5 3 3 4 4 13 13
3 16 13
5 8 3
2 12 10
10 3 13
R
R
R
r
r
r
r r
sarrus
aplicando
r
r
2
1 2
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a b a b
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XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
a halla la ecuacion general de la recta que pasa por P y Q
b halla un punto que equidiste de P y Q y que pertenezca a la recta r
z
y
x
Respuesta
a P y Q
Ecuacion Continua escogiendo el punto P Ecuacion general
r
x y z
y z
x y
r
y z
x y
b sea H el punto que equidiste de P y Q y H r
z
y
x
H su forma generica es P y Q
dist H P dist H Q
no es verdad no existe ningun punto de r que equidiste de P y Q
Ejercicio n
Dado el punto P y la recta r
x z
x y z
Encuentre la ecuacion general del plano r y que la dist P
Respuesta
r
x z
x y z
n
n
P
r n vector normal de coincide con el vector director de r que es v
v n n
i j k
i j k j
asi que n v
x y z D P dist P
D
D
D D
D
D
D
que hay planos que verifican las condiciones
PQ
PH
QH
PH QH
1 2 3 2 1
1
1
2
1 2 3 2 1 2 4 2 1 2 1
1
1
2
2
1
3
2 2 6
2 2 2
2 4
2 0
1
1
2
2 1 1 1 2 3 1 2 1
2 1 1 2 1 3 1 1 4
2 1 1 2 1 1 3 3 2
1 1 4 3 3 2
1 2 1 2 16 8 9 6 9 6 4 4
18 22
1 1 2
2 0
2 3 0
2 0 2
2 3 0 1
1 0 1
1 2 1
1 1 2
1 0 1
1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1
1 1 1
0 1 1 2
1 1 1
1 1 2
3
3
2
3 2 3 2 3
2 3
5
1
2
PQ
en cruz
multiplicar
PQ
r
r
r
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1
1 2
2 2 2
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a
a
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a
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a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a a a a a a
r r
r r
r r
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G
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Ejercicio n
Halla la ecuacion de la recta r que pasa por el punto A y es al plano
P x y z y corta la recta r
x y z
Respuesta vea la imagen
para calcular la ecuacion de una recta
basta con puntos o bien un punto y un
vector directorm segun la imagen la mejor
opcion es hallar el punto de entre r y r
para ello hallemos el plano P que contiene la
recta r y pasa por A y al plano P
P P P x y z D como A P D D
P x y z vea la imagen calculemos B P r
r
x y z
k
x y z
z k
y k
x k
z k
y k
x k
sustituyendo estos valores en la
k k k k
z
y
x
B
asi que la recta pedida es la que pasa por A y B
A B y cogiendo el punto A
sea M x y z r k k r
z k
y k
x k
Ec perametrica de r
z k
y k
x k
k
x y z
r
x y z
Ec Continua
x y z
y z
x y
r
z y
x y
Ec implicita
AB
AM AB
3 1 2
2 3 4 0 2
1
2
2
2
2
2
3 1 2
2 3 0 3 2 6 0 5
2 3 0 1
2
1
2
2
2
2
2
1
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2
2
2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
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4
2 8 3 2 3
2 8 3 2 3
1 8 3 5 3
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2
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3 1 2 3
5
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3
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3
1
3
4 14 1 4
2 4
1
3 14
2 4
1
3 14
14
3
1
1
4
2
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3
1
1
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2
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2 2 2
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Q
S S Q
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G
G
G
G
G
G
La imagen nos ayuda a
entender mejor el enunciado
22
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3
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sec
sec
Ejercicio n
Dadas las rectas r
x y z
s
x y z
x y z
calcula la perpendicular comun a las rectas r y s
Respuesta
antes de nada estudiemos la posicion relativa de las dos rectas r y s
r
x y z
k r
z k
y k
x k
v
A
s
x y z
x y z
haciendo y s
y c
x z b
x z a
a z
c y
a b x
s
z
y
x
v
A
A A v v
la recta r y s son antes
vea la imagen
r y s antes la perpendicular comun es la recta t que pasa por el punto P de r s y de
vector director v v v
i j k
i k j k i j i j k
v P r s r
z k
y k
x k
s
z
y
x
remplazando los de s en r
k k
k
k
sustituyendo en r x y z P
sea M x y z t v t
z
y
x
PM
2
3
1
2
2
1
2 2 1
1
2
3
1
2
2
1
1 2
2
3 2
2 1 2
3 2 1
2 2 1
1
2 1 2
1
1
1 1 1 0
0 0 1
3 2 2 2 1 2 1 1 0
1 1 0
2 1 2
3 2 2
0 4 4 2 6 0 0
1 1 0
2 1 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 1
2 2 1
1 2
2
3 2
1
1 2 1 1
2 1
3 2 2 1
1 1 1 1 1 1
1
1 2
1 2
R
r
r
s
s
r s r s
t r s
t
t
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7
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m
m m
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b
b
b
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Q
Q
Q
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Q Q
Q
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V V
V
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23
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2
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det min
sec
cos cos cos
cos
inf
det min
det min
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Ejercicio n
r
z
x y
s y z
x
a er ar su posicion relativa
b en caso de cortarse calcula el angulo que forman y punto de corte
Respuesta
a r
z
x y
haciendo y k r
z
y k
x k
v
A
s y z
x
haciendo y s
z
y
x
v
A
A A
v y v no son proporcionales y r y s son antes
b v v v v v v v v
v v
v v
v v
v v v v radianes
punto de corte igualando las ecuaciones parametricas
k
k
k
k
remplazando en una de las ecuaciones
de la se deduce que es verdad luego
z
y
x
r s I
Ejercicio n
Calcula la Ecuacion implicita de del plano P que pasa por A y contiene la de
los planos P x y z P x y z
Respuesta
un haz de planos es un conjunto formado por initos planos que tienen una recta en
comun o que son paralelos entre si un libro la hojas son los planos y la union de las hojas la recta
el haz de los planos er ados por P y P tiene por ecuacion
x y z x y z
er aremos el plano pedido hallando la relacion que debe existir entre y para que
el punto A satisfaga la ecuacion
x y z x y z
remplazando en
x y z x y z
x y z x y z
x y z
asi que la ecuacion Implicita de P es
P x y z
1 0
2 0
5 0
2
1 0
2 0
1
2
1 1 0
2 0 1
5 0
2
5
2
0 1 1
2 0 5
4 0 4
0 1 1
1 1 0
4 0 4
4 4 0
1 1 0 0 1 1
0 1 0
2
1
60 3
5 1 3
2
2 2 1
3 4
1 4 3
1
4
2
2 4 1
1 5 3
2 3 4 1 0 7 5 3 0
2 3 4 1 7 5 3 0 1
1 5 3 1
2 3 4 1 7 5 3 0
15 12 7 25 3 3 0
6 12 0 2 1
2 3 4 1 7 5 3 0
4 6 8 2 7 5 3 0
11 7 5 0
11 7 5 0
r
r
s
s
r s
r s
r s r s r s r s
r s
r s
r s
r s r s
2 2 2 2
1 2
1 2
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a
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r
a
a
a
a
a b
a b
a b
a a a a b b b b
a b a b
b b
b
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c
c
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R
R
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R
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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2
tan
int sec
Ejercicio n
Dasa las rectas r
x y z
s
x
y z
a demostrar que r y s se cruzan
b halla la perpendicular comun a r y s
Respuesta
a r
x y z
A
v
s
x
y z s
x
y
z
A
v
v v
v y v no son proporcionales y como
v v son linealmente independientes que no es en el mismo plano r y s se cruzan
b Sea t la recta perpendicular comun a las rectas r y s vea la imagen
como t r y t s vamos a hallar dos planos P contiene r y t y P contiene s y t
sea n vector director de la recta t y sabemos que t r y t s n v v
n
i j k
j k
P contiene r y t P A v n v n A
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
P contiene s y t P A v n v A n
Sea M x y z P A v n A x y z
x y z
P x y z
por ultimo la recta t queda definida como la er cion de los dos planos P y P
t
x y z
x y z
A A
A A
M M
M M
1
2
2
1
2
3
3
1
1
1
2
2
1
2
3
2 1 3
1 2 2
3
1
1 3
1
1 1 1 1 0
3 1 1
3 2 3 1 2 2 3 1 1
3 1 1
1 2 2
3 2 3
6 3 12 18 6 2 5 0
3 1 1
1 2 2 5 5 0 5 5 0 1 1
1 2 2 0 1 1 2 1 3
1 2 1 3
1
0 1 1
1 2 2
2 1 3
0 4 4 0
3 1 1 1 1 0 0 1 1
1 1 1
1
0 1 1
3 1 1
1 1
0 3 3 1 0
2 3 3 1 0
4 4 0
R
R
2
2
2
r
r
s
s
r s r s
r s
r s r s
r s
r r r r
r r r
s s s s
s s s
1 2
1 1
1
2
1
2
2
1 2
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7
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a b a b
c d c d
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Q
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Q Q
Q
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V
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1
2
Primer Metodo
26
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int int
metodo
r
x y z
k
x y z
z k
y k
x k
r
v
A
s
x
y
z x
y
z
s
z
y
x
s
v
A
se pone dist os parametros a las rectas porque son dist as rectas
vamos a hallar la ecuacion del plano P que contiene la recta r y es a n P A v n
ya hallado anteriormente en el metodo que es P P x y z ahora solo
queda calcular el punto Q P s sustituyendo los valores de la recta s en el plano P
remplazando en la recta s
z
y
x
Q
asi que de la recta t ya sabemos que pasa por Q y de vector director n
sea M x y z t n t
z
y
x
metodo vea la imagen
r t A s t B
las rectas r y s pasarlas a parametrica
recuerda siempre parametro
A punto generico de r en funcion del parametro
B punto generico de s en funcion del parametro
calcular en funcion de los dos parametros
v
v
v
v
dos incognitas se resuelve
sistema de dos ecuaciones con
una vez resuelto el sistema y hallado el valor de los dos parametros se sustituye en A y B
asi que ya tenemos dos puntos por los cuales pasa la recta t
QM
AB
AB
AB
AB
AB
2
1
2
2
1
2
3
1
2
2
1
2
3
3 2
1 2
2
1 2 2
2 1 3
3
1
1 1 3
1
1 1
1
1 3
3 1 1
1 1 0
1 4 4 0
4 1 3 1 4 0 10
7
10
7
1 10
7
10
3
1 10
21
10
11
10
11
10
3
10
7
0 1 1
10
7
1
10
3
1
10
11
0
3
0
0
R
r
r
s
s
r r
s
r
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1
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V V
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V
V
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V
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V
V
V
Z
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Z
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G G
G
G
J
Vea la imagen
Pasos a seguir