Este documento presenta los pasos para calcular límites de funciones. Explica conceptos como la continuidad, derivabilidad y el teorema de L'Hôpital para determinar límites indeterminados. Además, incluye fórmulas para calcular límites de funciones racionales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras.

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lim
cot
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
las definiciones de abajo no es obligatorio que f x este definida en x a
se empieza por f x b hasta llegar a x a g
luego si g se cumple f x b
cogemos f x b g x x a
sacar D por ejemplo D c d
sacar
a d
a c
se coge el numero mas bajo h
si D le damos un valor al azar a
asi que x a x a h h x a h
por ultimo a ar g x sabiendo que h x a h
Limite de una funcion es saber cual es el valor de la funcion acercandonos a cierto valor
f x quiere decir que cuando x se acerca a la funcion f x y se acerca a
f x b
x D x a f x b
x D a x a f x b
x D a x a f x b
x D x a f x
x D x a f x
x D x f x cte
x D x f x cte
x D x f x
x D x f x
x D x f x
x D x f x
Los pasos a seguir por resolver un ite por definicion
Definicion
f x b
f x b
f x b
f x
f x
f x cte
f x cte
f x
f x
f x
f x
2
1
2
1
0 1
7 3 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1
2
3
4
5
R
R
x a
g g
g
x
x a
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x a
x a
x a
x a
x a
x
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x
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6 7 6
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6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
3
3
3
3
3
3
1 1
1
1 1 1 1
1 1
2 2 1 1
2 2 1 1 1
2 2 1 1 1
2 2 1 2
2 2 1 1
2 2 2 1
2 2 1 1
2 2 2 2
2 2 2 1
2 2 1 2
2 2 1 1
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lim lim
lim lim cos cot
min
exp exp
exp exp
int
lg
a siempre a a a a a b a b
b
a
b
a
siendo b a a a a b a b a b a c c b
a b a b a b b a b si b fuera negativo seria imposible
a b a b b a si b fuera negativo seria verdad siempre
a b a b a a b a b a b
a b a b a a b a b a b
de las potencias n
f x f x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
g x
f x
g x
f x
k f x k f x siendo k Cte
k k siendo k Cte
f x f x
fog x f g x si f es continua en g x
f x f x cuidado con D si n es par
f x f x cuidado con D
sen f x sen f x lo mismo pasa con tag g arcsen etc
a si no hay raices cuadradas factorizamos
b si hay raices cuadradas utilezaremos el conjugado
c aplicar regla de l hopital
a se divide el numerador y el deno ador por el x de mayor grado potencia
b si son onentes divideremos por el onente de de mayor base
c regla de l hopital
a en la mayoria de los casos basta con efectuar el calculo
b en raices cuadradas basta con multiplicar por el conjugado
c si son onentes se multiplica por el onente de mayor base
d aplicar regla de l hopital antes hay que transformarlo en caso
o aplicando estas formulicas que son eresantes
Recuerda estas formulas
mas adelante haremos a unos ejercicios para entenderlo mejor
observacion
a b
ab
b a
ab
b
a
a b ab b a
0 0 0
0
1
1
2
3
1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0
1
1 1
1
1 1
lim
n n n n n n
n n n n n n
x a
n
x a
n
x a x a x a
x a x a x a
x a
x a
x a
x a x a
x a
x a
g x
x a
g x
x a x a
x a
n
x a
n
f
x a b b x a
f
x a x a
2 2 2
1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
x a
log log
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0
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V
X
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exp min
lim det min
exp log
lim
lim
sin
lim
lim
lim
lim
lim
lim lim
lim int
int
int min
lim
lim
int
Aplicar la formula
Aplicar la formula
pasar la resion que da al deno ador por las formulas
que hay arriba y luego resolverlo por el metodo del caso
En los ites de in er acion siempre hay que buscar la manera de convertirlos
en o bien para despues factorizar aplicar l hopital
polinomicas racionales raices trigonometricas inversas onenciales aritmecas
f x e
f x e
la funcion f es continua podemos dibujar la grafica de f realizar ningun salto
f x b f x b cuando x a
f x es continua en el punto x a
f x f a cte
f x cte
f x cte
f x es continua a la derecha en x a Ssi f x f a cte
f x es continua a la izquierda en x a Ssi f x f a cte
f x es continua en el punto x a f x f x f a cte
fog x es continua en x a si g x es continua en x a y f x es continua en g a
todas las funciones seguientes son continuas sobre su D
la y la de un numero itado de funciones continuas en un ervalo es
a su vez una funcion continua
el cociente de dos funciones continuas en un ervalo es tambien una funcion
continua en ese ervalo excepto en los puntos que anulan el deno ador
f a f b
f x continua en a b
c a b f c
f es derivable en x a k x a
f x f a
k
h
f a h f a
k
si f es derivable sobre el ervalo I f es continua sobre I
si f es derivable en x a f es continua en x a
reciproco es falso
y
Definicion
Propiedades
Teorema de Bolzano
Definicion
o bien
Teorema
0
2
0
0
4
1
5
6
0 0
0
0
1
0
0
3
2
1 R
R
( ) ( ). ( )
( ) ( ) ( )
lim
lim
int
x a
g x g x f x
x a
g x g x Lnf x
x a
x a
x a
x a
x a
x a x a
f
x a
h
de dist o signo
1
0
0 0
x a
x a
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d
d
d
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3
7
7
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7
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3
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2 2 1 1
1
f d f d
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lim
lim
lim
lim
inf
lim lim lim lim
cos
cos
cos
cot cot
cos
cot
e e
e
e
Derivabilidad a la derecha Derivabilidad a la Izquierda
o bi n o bi n
Regla de L hopital Mas bi n de BERNOULLI
h
f a h f a
f a
x a
f x f a
f a
h
f a h f a
f a
x a
f x f a
f a
f es derivable en x a f a f a es decir cuando ambas tienen valores
finitos iguales o bi n ambos son initos de igual signo
sean f y g dos funciones continuas y definidas en a b derivables en a b y sea c a b
tal que f c g c
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
mientras f y g sean n veces continuas y derivables la regla de L hopital se puede aplicar n veces
y k cte y
y f x y n f x f x
y k f x y k f x
y f x g x y f x g x
y f x g x y f x g x f x g x
y
g x
f x
y
g x
f x g x f x g x
y fog x y f og x g x
y f x y
f of x
y f x y
f x
f x
Ln a
y a y a f x Ln a
y e y e f x
y senf x y f x f x
y f x y senf x f x
y tagf x y
f x
f x tag f x f x
y gf x y
sen f x
f x g f x f x
y arcsenf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y arctagf x y
f x
f x
y ar gf x y
f x
f x
y f x para esta formula se utiliza
asi que y solo queda aplicar formulas anteriores
a b a b a b a b a b a b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
e a
e e
Recordad
0
1 0
2
3
4
5
6
7
8
1
9
1
10
11
12
13
14
1
1
15
1
1
16
1
1
17
1
1
18
1
1
19
1
1
20
ln
h
x a
h
x a
x c x c x c x c
n
n
n n
a
f x f x
f x f x
g x
n n n n n n n n n
n
n
n
n
n n n
n
n
Lna
f x g x Lnf x
0 0
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1
2
2
2
2
2 2 2 1
2 1
2 1
g x
log
AA
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int cot
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u
o
o
u
sea f x l y f x l
f x l x a f x l A
f x l x a f x l B
ahora l l l f x f x l
luego l l l f x f x l l f x f x l f x l f x l
por ultimo como f x l y f x l asi que l l l l
pero como sabemos que y l l lo que l l l l l l
En conclusion el ite es nico siempre hay una sola solucion
en este ejercicio la funci n f x x
x
su do io D asi que
x
x
x D x x
x
x D x
x
vamos hacer aparecer
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
luego cogiendo queda demostrado el ite
en este ejercicio la funci n f x x x su do io D asi que
x x x D x x x
x D x x vamos hacer aparecer
x x x x x como ya tenemos x vamos a a ar
g x fijandonos en D cogeremos un valor de al azar siendo cojamos
se puede coger etc
y x x a nosotros nos eresa a ar x
x x x x x
x x
Por ltimo x x x x
luego cogiendo imo queda demostrado el ite
demostrar que si existe f x es unico
a b a b a a
demuestra que x
x
demuestra que x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
x x
a b c c b a siendo a b c de mismo signo
abc
a b b a siendo a b de mismo signo
ab
x x
x I
cogiendo
I
Recuerda
0 0
0 0
2 2
1
0 0 0 0
1
1
1
1
1
2 0 0 1 1
1
2
0 0 1
1
2
1
1
2 1
1 2 2
1
2 1
1
1
1
2 2
2 2 8 0 0 2 2 2 8
0 0 2 6
2 6 2 2 3 2 3 2
0 1 1
2
1
3
1
7
1
10
1
2 1 1 2 1 2 3
2 1 1 2 1 2 2 4 2 5 2 3 9 9 5 2 3 9
9 2 3 9 2 3 9
2 2 3 2 9 2 9
1 9
1
1
2
2 2 8
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2
3
1 1
1 1 1 0
1 1 0
2 2
2
1
R
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x a x a
x a
x a
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x
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x a
x
x
llegada
Comienzo
llegada Comienzo
g x
X
g x
1 2
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
1
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2
2
1
2
2
2
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2 2 1 1
1 1 1 1
2
2 2 1 1
2 2 1 1
1
2 2 1 1
2 2 1 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
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#
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f d d f
f
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f d d f
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d
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f f
f
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+
= +
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--------------------
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- + = - - + -
- -
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- = - - +
- = - - - - + - +
- + +
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- -
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V
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V
V
V
V
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F
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G
G
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6 7 8
444444 444444
6 7 8
444444 444444
6 7 8
444444444 444444444
6 7 8
444444444 444444444
L L
1 2 3
444
4 444
4
1 2 3
444
4 444
4

6. ,
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**
**
**
min
lim
cot
lim
min
lim
cot
min lim
lim
lim
lim
en este ejercicio la funcion f x x su do io D asi que
x x D x x
x D x vamos hacer aparecer
x x
x
x
x
x
x
como ya tenemos x vamos a a ar g x para ello sabemos que x
x x x
x x
x
luego x
x
x x
luego cogiendo queda demostrado el ite
en este ejercicio la funcion f x x
x
su do io D asi que
x
x
x D x x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
Ahora pasemos a a ar g x D
sabemos que x x x
x x
x x
luego x x x x
luego cogiendo imo queda demostrado el ite
A
A x D x
x x
x D x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x
x x
x
demuestra que x
demuestra que x
x
demuestra que
x x
Ejercicio
Ejercicio
mucho cuidado aqui
Ejercicio
x x
x I
I
I
I
a b
I
4 1 4
1
4 1 3 0 0 2 4 1 3
0 0 4 1 3
4 1 3 4 1 3
4 1 3
4 1 3
4 1 3
4 1 9
4
4 1 3
1
2 4 1 0
4 1 0 4 1 0 4 1 3 3 0
4 1 3
1
3
1
3
1
4 1 3
1
3
1
4 1 3
1
3
1
4 2
4 1 3
1
4 2 3
1
2 4
3
4
3
2
3
2
2
3
2 0 0 1 2
3
2
2
3
2 2
3 2 4
2
1
2
1
1 2
1
2
1 2
1
1 2
1
2
3
2 2
1
2
3
2 2
1
2 2
1
3
2
2 2
1
3
2
2
2
1
2
1 2
1
1 2 1 2
2
1
2
0 0 1
2 1 3 4
1
1
0 0 1
2 1 3 4
1
1
1
2 1 3 4
1
1
2 1 3 4
6 11 5
2 1 3 4
6 5 1
6 5
2 1
1
3 4
1
1
4 1 3
2
3
2
2 1 3 4
1
1
4
5
6
2 2
2
2
1
2
1
R
R
f
x
f
f
f
x
f
g
f
f
x
x
x
llegada Comienzo
g x
g x
a a
g x
Final
Inicio
g x
2
1
1
2
2
1
1
1 2
+ + + + +
+ (
( A
A A
, , ,
+ (
+ + , +
A
, , +
+ + A
+ ,
, ,
+ (
(
d
d
d
d
d
3
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
2 2 1 1
2 2 1 1
1
2
2 2 2 1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
2 2 1 1
2 2 1 1
f d d f
f d d f
f
f f
f
d
f
f d d f
f f f f f
f f
f
d
f
f d d f
f d d f
d
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+ +
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+ +
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Q Q
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Q Q
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V
V
V
V
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G
G
F
G
E
E
J
H
H
J
J
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6 7 8
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6 7 8
444444 444444
6 7 8
444444444
4 444444444
4
6 7 8
44444444444444
4 44444444444444
4
6 7 8
4444444444444
4 4444444444444
4
6 7 8
444 444
L
L
K K
1 2 3
44444444 44444444
1 2 3
44444444 44444444

7. , ,
,
*
*
*
.
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.
.
.
.
**
**
cot
min
lim
lim lim lim lim
lim
lim lim
lim
lim lim lim
lim
lim lim
lim
lim
D se coge el numero mas bajo
asi que x x a amos g x
x sabemos que x x x x
x
sabemos que x x x
x x
x
sabemos que x x x
x x
por ultimo
x x
x
x x
x x x
x luego imo valor
I x
x
F I
I x
x
x
x x
x
x x x
x x
I x
x
F I aplicando l Hopital
I x
x x
I
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x x
F I
I
x
x x
x x
x x
x
x
I
x
x x
F I aplicando l Hopital
I
x
x x
x
x
Ejercicio
Ejercicio
calcula I x
x
calcula I
x
x x
metodo
metodo
metodo
metodo
2 2
1
3
4
3
2
1
1 3
4
6
1
2
1
1 2
1
4
1
6
1
4 1 6
1
6
1
1 6
1
5
6 5 6
1
1 6
1
1 6 6 1 0 6 5 2 6 5 2
2 1
1
6
1
1 6
1
3
1
2 2 3
1
3
2
2 1 3
4
4
3
2 1
1
2
3
2 1
1
2
3
3 4
1
6
1
1 6
1
2
1
3 3 2
1
2
3
3 4 2
1
2 3 4
1
3
2
3 4
1
2
2 1 3 4
1
1 6 5
2 1
1
3 4
1
1 2 2
3
2 1 6 1
1 6 6
1
6
4
256
4 4
4 256
0
0
4
256
4
16 16
4
4 4 16
4 16 256
4
256
4 4
4 256
0
0
4
256
1
4
4 4 256
9
3
9 9
9 9
0
0
9
3
3 3
3
3 6
3
2
1
9
3
9 9
9 9
0
0
9
3
2
2 3
6
6 3
6
3
2
1
0
0
7
8
4
256
9
3
1
2
1
2
R
g
x
x x x x
x
x x
x
x x x
x
x x
por a cada lado
por a cada lado
por a cada lado
H
H
x
x
1
4
4 4
4
4
4
2 2
4
2
4
2
4
4 4
4
4
4
3
3
3
2
2
3
2
2
3 3
3
2
2
3
2
2
3
6 1
2 1
3 1
4
4
3
2
2
AA
(
AA ( ( (
AA ( (
( (
AA ( (
( (
(
&
A
A
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
1
d
f
f
d
f
= - =
- =
- =
- - -
- - - - - - -
-
- - - - -
- -
-
- - - - - - -
- - -
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- -
- - = -
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lim lim lim
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lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim lim
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lim lim lim
lim lim lim
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lim lim lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
I x
e e e e
F I aplicando l Hopital
I x
e e e
e e
aplicando Factorizando
I
x
x
F I
I
x
x
x x
x
x x x
x
aplicando l Hopital
I
x
x
x
x
x x
aplicando conjugado
I
x
x
x
x
x
x
x x x
x
x x
Respuesta I x
x
F I
aplicando
x x x x x x
I x
x
x x x
x
x x
aplicando
I x
x x
x
aplicando
sacamos el imo comun multiplo de indices de las raices m c m
asi que el cambio de variable es t x
t t
x
luego I queda de la seguiente forma
I x
x
t
t
t
t
t t t
t
t t
Respuesta I
x x
x x
F I
calcula I x
e e
calcula I
x
x
calcula I x
x
calcula I
x x
x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
metodo
metodo
metodo
metodo a b a b a ab b
metodo L Hopital
metodo Haciendo cambio de variable
a a a a a existe Ssi
a si n par
a si n impar
Recuerda
2 2 2 0
0
2 1
1
1
0
0
1
1
1 1
1
1 1 1
1
4
1
1
1
2
2
1
4
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1 1
1
4
1
1
1
0
0
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
1 3 3
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
3
1
2
6
0
0
2
1
1
1
1
2
6
9
10
11
12
1
2
3
1
2
3
R
R
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
x
x x x
x x x
x t t t t
x
x
x
x
x
x
H
n n n
2
2 2 2
2
2
2 2
2
1
2
1
2
1 1
1
2
1 1
1
2
1
2
1 1
1
3
3
3 3 3 3 3 3 2
3 3
1
3
1 3 2
3 3
3
1 2
3 3
1
3
1
2
3
1 2
3
3
3
1
3
1
3
3
3
1
3
1
2
1
2
2 2
3
2
2
2
1
2
1
3
2 2
3
2
3 3 2 2
1
1
A
(
" & "
"
A
A
A
A
A
A
d
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-
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--------------------
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+ +
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-
+ -
- = - + +
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Q
Q
Q
Q
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Q Q
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Q
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Q
Q
Q
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Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
G
G
K

9. . . ,
.
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. .
. .
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.
. . .
.
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.
**
**
min
lim lim lim lim
lim
lim cos
cos
lim cos
cos
lim cos
cos cos
lim cos
cos
lim cos
cos
lim
lim cos
lim
lim lim lim lim
lim
min
lim lim lim lim lim
lim cos
cos
lim
lim
para esta clase de ejercicios lo es sacar imo comun multiplo de las indices raices
m c m asi que el cambio sera de t x
x x t t
x t
I
x x
x x
x x
x x
t t
t t
t t
t t
t
t t
t t t t t t es positivo
I x x
senx x
F I
aplicando L Hopital
I x x
senx x
x x senx
x x sen x
I x x
senx x
x
senx
x
x
I senx
e e
F I
aplicando L Hopital
I x
e e
x
a
Lna
I senx
e e
senx
e e
senx
e e
x
x
senx
x
x
e
e
I
x
x
F I
sacamos el imo comun multiplo de indices de las raices m c m
asi que el cambio de variable es t x
t t
x
luego I queda de la seguiente forma
I
x
x
t
t
t
t
t t
t t t
t
t t
aplicando
x x x x x x
x
x x
x
x x
x
x x x x x
metodo
metodo
metodo
metodo
metodo Haciendo cambio de variable
metodo a b a b a ab b
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
calcula I x x
senx x
calcula I senx
e e
calcula I
x
x
es muy parecido al ejercicio
1
2 3 6 2
2 2 0 0 0
2
2
6
2
2 3
2
2 3
2
2 3
2
2 3
2
0 5
0
1
0
0
1 1
1
2
2
1 1
1 1
2
2
0
0
1
1 1
2
1
1 1
2
2 2
2
1
2 1 1 1 2
1 1
1 1
0
0
2 3 6
1
1 1
0
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2
1
2
1
2
13
14
15
1
1 1
1 1
11
t
x x t t
t
x
x x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x t t t t
x
x
x
x x
x
6
6
6
2 2
3
2
2 3 0 6 6
3
6 6
0 2 6
3
3 6
0 6
3
6
3
3 2 2 2
0
0 0
2
0 0
0
0
0
0 0
2
0
2
0
2
0 3
6
6
0 3 1 6
3
6
1
2
3
1
2
1
2
3
3 3 3 3 3 3 2
3 3
3
2
3 3 2
3 3
2
2 2 2
2 2 2 2
3 3 2 2
2
0
0
0 3
6
A &
" & " & " & "
"
A
A
(
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"
,
,
A
A
A
= = -
-
= +
=
-
+ -
=
-
- +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
=
+
+ +
= = = =
--------------------
=
+
=
=
+
= -
+ -
= =
=
+
=
+
= =
--------------------
=
-
=
=
+
=
+
=
-
=
=
-
=
-
=
-
=
-
= =
--------------------
=
+ -
+ -
=
=
= +
=
+ -
+ -
=
-
-
=
-
-
=
- +
- + +
=
+
+ +
=
+ - = + - = + - = + - + + + +
+ - =
+ + + +
+ -
=
+ + + +
+ - = + - = + - = + - + +
- = - + +
=
+
=
-
=
+ -
+ -
" " " "
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" " " "
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-
-
- - -
-
-
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
R Q
Q
Q
Q
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
W
V W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
W
W
V
V
V
V
V
V
W
V
V
W
V
V
V
V
V
V
V
W
V
V V
V
V
# &
G
G 6 7 8
444 444
M
Cambio de Variable

10. : .
. . ,
: .
: .
.
: .
**
**
**
**
lim lim
lim
min
lim lim lim lim lim
lim
lim lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim
lim lim
cos
lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
I
x x
x
x
x
x
x x
Respuesta I
x
x
F I
sacamos el imo comun multiplo de indices de las raices m c m
asi que el cambio de variable es t x
t t
x
luego I queda de la seguiente forma
I
x
x
t
t
t
t
t t t
t t
t t t
t t t
Respuesta I x a
x a
F I
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a x a
x a
x a a
x a
x a
x a x a
x a
x a a
x a
x a x
x a
Respuesta I bx
sen ax
F I
I bx
sen ax
b
a ax
b
a
I bx
sen ax
ax
sen ax
bx
ax
ax
sen ax
b
a
b
a
Respuesta I
x
x x
F I
calcula I
x
x
es muy parecido al anterior
calcula I x a
x a
siendo a
I
I
I
calcula I bx
sen ax
calcula I
x
x x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Haciendo cambio de variable
metodo aplicando el conjugado
metodo Factorizando
metodo l Hopital
metodo l Hopital
metodo
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
2
3
1
1
0
0
3 4 12
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
3
4
0
0
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
0
0
1
1 1
0
0
1
1
0
1
1 1
16
17
18
19
1
2
2
1
2
x x
x
x t t t t
x a
x a x a x a x a
x a x a x a
x a x a x a
x
x x
x x x
x
x
x a
x
x
H
0
2
3 3
0
2
3 3
1 4
3
12
12
1 4
3
1 12
4
12
3
1
3
4
1
2
2 2
1
2
2
0
0 0
0 0 0
1
2
1 4
3
0
1
2
,
(
" & "
"
A
A
A
A
$
+ - =
+ +
+ -
=
+ +
=
+ + + +
+ +
=
+ +
+ + + +
=
--------------------
=
-
-
=
=
=
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-
-
=
-
-
=
-
-
=
- + +
- +
=
- + +
- + +
=
--------------------
= -
-
=
= -
-
= -
-
+
+
=
- +
-
=
+
=
= -
-
=
- +
-
=
+
=
= -
-
= = =
--------------------
= =
= = =
= = = =
--------------------
=
-
- + -
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=
-
-
= -
-
=
=
-
- + -
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" " " " "
"
" " " "
" " "
" " "
"
" "
" " "
"
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"
"
"
Q
R Q
Q
Q
R Q
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R Q
R Q
R
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
V
V
V
V
V
V
W
V
W
V
V
V
W
V
V W
V
V
V
V
V
V
V W
V
V
V
V
V
W
V
V
V
V
V
V
V
V
V
#
#
# #
#
&
&
&
&
&
G
K

11. : .
:
, , , ,
: .
**
**
lim lim lim lim lim
lim lim lim lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim
lim lim lim
lim lim
lim lim
lim
lim
I
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
x
x x
x x
x
x
x x
x
I x
x
x
Respuesta I
x x
x x
F I
Recuerda
I
x x
x x
x x
x x
sea f x
x x
x x
hagamos la tabla para saber cual es el campo de existencia de x x
x
x
x
x x
x x existe Ssi x luedo D
I
x x
x x
x
x
x
x
I
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
no existe porque la funcion f x
x x
x x
no esta definida en
Respuesta I x
x x
F I
I x
x x
x x
x
x
x x
x x
x
x
x x
I
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x x
calcula I
x x
x x
calcula I x
x x
Ejercicio
Ejercicio
a a
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
2 2
0
2
2
2 3
0
0
2
2 3
3
3 1
3
3 1
3 1
1
1 0
3 0
1 3
3 1 3 1 3 1
3
3 1
3
3 1
3
3 1
3
1
0
3
2
0
3
3 1
3
3 1
3
3
1 2
3
1 2
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1 1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1 1
0
2
2 3
3
1 2
20
3
21
x x x x x
x x x x
x x
x
x x
f
x x
x x
x
x
x x x
x x
x x
x
x
n n
1
2
1
2
1 1
2
1
1 1 1 1
2
1 1
3
3 2
3
2
3
3 2
3
2
3
2
3 2
3
3
2
3 3 3 2
3
3
3 2
3
3
6
2
3 3
3
2
3 2
3
2
2
2
2 2
2 2
2 2
3
3 2
3
2
2
2 1 2 1
A
d , ,
3 3
3 3 3 3
3
3 3
=
-
- + -
=
-
-
+
-
-
= -
-
+
-
-
+
+
=
-
- +
+
+ -
-
= + +
+ -
-
= + +
+
-
= + =
--------------------
=
+
+ -
=
=
+
+ -
=
+
+ -
=
+
+ -
+ -
- +
- - - +
+ - + +
- +
+ - - - + = - - +
=
+
+ -
=
+
+ -
=
+
+ -
= +
-
= =
+
+ -
=
+
+ -
--------------------
= +
+ - +
=
-
= +
+ - +
=
+
+ - -
=
+
+ - -
=
+
- + - -
=
+
- + - -
=
- -
=-
+
+ - -
=
+
+ - -
=
-
=
=
+
+ -
= +
+ - +
-
- -
- -
- -
-
=- -
" " " " "
" " " "
" "
"
" "
" "
" "
"
"
" " "
" "
" "
"
" 3
3 3 3
3 3
3 3
3
-
- -
- -
- -
-
+
- -
+ +
-
+ +
- -
+
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
S
Q
Q
Q
Q
Q
S
S
Q
Q
Q
S
S
Q
Q
S
Q
Q
Q
S
Q
S
S
S
Q
S
S
S
Q
Q
S
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
S
Q Q
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
X
V
V
V
V
X
X
V
V
X
V
X
V
V
X
V
V
V
X
X
V
X
X
X
X
V
V
X
X
V
V
V
V
V
X
V
V
V
X
V
V
V
X
V V
! ! ! ! !
$ $ $
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
G G
G
J J
J
0 0
+ +
-

12. ** Ejercicio 22 anoto 3 =!3
^ h
calcula I = lim
x"3 l
a x
m
+ l
b x
m-1
+ l
c x
m-2
+ ..............
ax
n
+ bx
n-1
+ cx
n-2
+ ..............
I = lim
x"3 l
a x
m
+ l
b x
m-1
+ l
c x
m-2
+ ..............
ax
n
+ bx
n-1
+ cx
n-2
+ ..............
,
cuando x"3
ojo sólo
I = lim
x"3 l
a x
m
ax
n
= lim
x"3 l
a
a
x
n-m
= lim
x"3 l
a
a
x
k
Si k = 0 A I =
l
a
a
Si k par A I =
l
a
a +3
^ h
Si k Impar A I =
l
a
a
!3
^ h A depende del signo de
l
a
a
--------------------
** Ejercicio 23
calcula I = lim
x"+3 x
Lnx
^ h3
I = lim
x"+3 x
Lnx
^ h3
=
3
3
F.I
1º metodo recordad: lim
a"+3 a
Lna
= 0
I = lim
x"+3 x
Lnx
^ h3
= lim
x"+3 x
3
^ h
3
Lnx
^ h3
= lim
x"+3 x
3
Lnx
c m
3
= lim
x"+3 x
3
Ln x
3
^ h
3
e o
3
=
I = lim
x"+3 x
3
3.Ln x
3
^ h
d n
3
= 3
3
. lim
x"+3 x
3
Ln x
3
^ h
d n
3
= 27.0
3
= 0
2º metodo A cambio de variable x = u
3
,
u
3
A+3 , u A+3
x A+3
%
I = lim
x"+3 x
Lnx
^ h3
= lim
u"+3 u
3
Lnu
3
^ h3
= lim
u"+3 u
3
3.Lnu
^ h3
= 3
3
lim
u"+3 u
Lnu
` j
3
= 27.0
3
= 0
3º metodo A aplicando l´Hopital
I = lim
x"+3 x
Lnx
^ h3
=
H
?
lim
x"+3 x
3. Lnx
^ h2
=
H
?
lim
x"+3 x
3.2. Lnx
^ h
=
H
?
lim
x"+3 x
3.2
=
+3
6
= 0
--------------------
** Ejercicio 24
calcula I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1
^ h
x + x + 1
I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1
^ h
x + x + 1
=
+3 +3 - 3
^ h
+3
F.I
el 1º paso es convertir el denominador en un solo 3 para ello utilizaremos su conjugado.
I = lim
x"+3 x x - x
2
+ x + 1
^ h
x + x + 1
= lim
x"+3 x
3
- x
3
+ x
2
+ x
^ h
x + x + 1
=
I = lim
x"+3 x
3
- x
3
+ x
2
+ x
^ h
x + x + 1
x
3
+ x
3
+ x
2
+ x
^ h
x
3
+ x
3
+ x
2
+ x
^ h
= lim
x"+3 x
3
- x
3
- x
2
- x
^ h
x + x + 1
^ h x
3
+ x
3
+ x
2
+ x
^ h
I = lim
x"+3 -x
2
- x
^ h
x
4
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x
4
+ x
3
+ x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x
I = lim
x"+3
x
2
-1 -
x
1
` j
x
2
+ x
2
1 +
x
1 +
x
2
1 + x
2
1 +
x
1 + x
2
1 +
x
2 +
x
2
2 +
x
3
1
I = lim
x"+3 -1 -
x
1
` j
1 + 1 +
x
1 +
x
2
1 + 1 +
x
1 + 1 +
x
2 +
x
2
2 +
x
3
1
=
-1
4
=- 4
--------------------
** Ejercicio 25
calcula I = lim
x"+3 x
3
Ln 3x - 2
^ h

13. I = lim
x"+3 x
3
Ln 3x - 2
^ h
= lim
x"+3 x
3
Ln x. 3 -
x
2
` j
8 B
= lim
x"+3 x
3
Lnx + Ln 3 -
x
2
` j
I = lim
x"+3 x
3
Lnx +
x
3
Ln 3 -
x
2
` j
> H = lim
x"+3 x
3
Lnx + lim
x"+3 x
3
Ln 3 -
x
2
` j
= lim
x"+3 x
3
Ln x
3
^ h
3
+ lim
x"+3 x
3
Ln 3 -
x
2
` j
I = 0 +
+3
Ln3
= 0 + 0 = 0
2º metodo A aplicando l´Hopital
I = lim
x"+3 x
3
Ln 3x - 2
^ h
=
H
?
lim
x"+3
3 x
2
3
1
3x - 2
3
= lim
x"+3 3x - 2
9 x
2
3
= lim
x"+3
x 3 -
x
2
` j
9 x
3
x
1
` j
3
=
I = lim
x"+3
x 3 -
x
2
` j
9x.
x
1
` j
3
= lim
x"+3
3 -
x
2
` j
9.
x
1
` j
3
=
3 - 0
9.0
= 0
--------------------
** Ejercicio 26 Recordad: I = lim
x"3
a
x
=
si x "-3
si 0 1 a 1 1 ( I =+3
si a 2 1 ( I = 0
$
si x "+3
si 0 1 a 1 1 ( I = 0
si a 2 1 ( I =+3
$
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
calcula I = lim
x"+3 a
x-1
a
2x+1
+ b
x
siendo a 2 b 2 1 y a,b
^ h d N2
I = lim
x"+3 a
x-1
a
2x+1
+ b
x
=
si x A-3 ( I =
0
0
F.I
si x A+3 ( I =
+3
+3
F.I
* el 1º paso es dividir por el exponente de mayor base
I = lim
x"+3 a-1
a
x
a.a
2x
+ b
x
= lim
x"+3 a
x
a-1
a
x
a.a
x
+
a
x
b
x
a k
= lim
x"+3 a-1
a.a
x
+
a
x
b
x
=0
A
f p
= lim
x"+3
a
2
a
x
= a
2
+3
^ h =+3
--------------------
Indeterminación 1
3
, 0.3
** Ejercicio 27 Recordad: I = lim
x"a
f x
^ h
6 @g x
^ h
= 1
3
( I = e
lim
x"a
g x
^ h f x
^ h-1
_ i
7 A
calcula I = lim
x"0
cosx + senx
^ hx
1
I = lim
x"0
cosx + senx
^ hx
1
= 1
3
F.I
I = e
lim
x"0
x
1 cosx+senx-1
^ h
como lim
x"0 x
cosx + senx - 1
^ h
=
0
0
apliquemos la regla de l´Hopital
lim
x"0 x
cosx + senx - 1
^ h
=
H
?
lim
x"0 1
-senx + cosx
^ h
= 1 por último
I = e
1
= e
--------------------
** Ejercicio 28
calcula I = lim
x"3 7x
7x - 2
` j
x
I = lim
x"3 7x
7x - 2
` j
x
= lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= 1
3
F.I
1º metodo
I = lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= e
lim
x"3
x 1-
7x
2 -1
d n
= e
lim
x"3
- 7
2
d n
= e- 7
2
=
e
2
7
1

14. 2º metodo Recordad: lim
f x
^ h"3
1 +
f x
^ h
1
a k
f x
^ h
= e
I = lim
x"3
1 -
7x
2
` j
x
= lim
x"3
1 +
-2
7x
1
e o
x
= lim
x"3
1 +
-2
7x
1
e o
-2
7x
> H
7
-2
= e- 7
2
=
e
2
7
1
--------------------
** Ejercicio 29
calcula I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= 1
3
F.I
1º metodo A I = lim
x"a
f x
^ h
6 @g x
^ h
= 1
3
( I = e
lim
x"a
g x
^ h f x
^ h-1
_ i
7 A
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= e
lim
x"1x-1
1
x+2
2x+1 -1
d n
= e
lim
x"1x-1
1
x+2
x-1
d n
= e
lim
x"1 x+2
1
d n
= e3
1
= e
3
2º metodo A lim
f x
^ h"3
1 +
f x
^ h
1
a k
f x
^ h
= e
I = lim
x"1 x + 2
2x + 1
` jx-1
1
= lim
x"1
1 +
x + 2
2x + 1 - 1
` jx-1
1
= lim
x"1
1 +
x + 2
x - 1
` jx-1
1
=
I = lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
x+2
x-1
x-1
1
= lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
> H
x+2
x-1
x-1
1
I = lim
x"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e o
x-1
x+2
> H
lim
x"1 x+2
x-1
x-1
1
= e3
1
= e
3
--------------------
** Ejercicio 30
calcula I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
= 1
3
F.I
I = lim
x"1
tg
4
rx
_ i
tg
2
rx
= e
lim
x"1
tg
2
rx tg
4
rx -1
c m
lim
x"1
tg
2
rx
tg
4
rx - 1
_ i = 3.0 F.I A
es pasarlo a la forma
0
0
o
3
3
y luego utilizar l´Hopital
cuando tenemos una indeterminación de esta forma
)
lim
x"1
tg
2
rx
tg
4
rx - 1
_ i = lim
x"1
tg
2
rx
1
tg
4
rx - 1
_ i
= lim
x"1
cotg
2
rx
tg
4
rx - 1
_ i
A Aplicando l´Hopital
= lim
x"1
sen
2
2
rx
-1
2
r
cos
2
4
rx
1
4
r
=
2
-1
lim
x"1
cos
2
4
rx
sen
2
2
rx
=
2
-1
2
2
c m
2
1
=- 1 luego I = e-1
--------------------

15. ** Ejercicio 31
calcula I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x
^ htgx
I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x
^ htgx
= 1
3
F.I
I = lim
x" 2
r
1 + r - 2x
^ htgx
= e
lim
x" 2
r
tgx 1+r-2x-1
^ h
lim
x"
2
r
tgx r - 2x
^ h = 3.0 F.I A lim
x"
2
r
tgx r - 2x
^ h = lim
x"
2
r
tgx
1
r - 2x
^ h
= lim
x"
2
r cotgx
r - 2x
^ h
A aplicar l´Hopital
= lim
x"
2
r
sen
2
x
-1
-2
= lim
x"
2
r
2sen
2
x = 2 luego I = e
2
--------------------
** Ejercicio 32
calcula I = lim
x"1
2 - x
^ htg
2
rx
I = lim
x"1
2 - x
^ htg
2
rx
= 1
3
F.I
I = lim
x"1
2 - x
^ htg
2
rx
= e
lim
x"1
tg
2
rx 2-x-1
^ h
= e
lim
x"1
tg
2
rx 1-x
^ h
lim
x"1
tg
2
rx
1 - x
^ h = 3.0 F.I A lim
x"1
tg
2
rx
1 - x
^ h = lim
x"1
tg
2
rx
1
1 - x
^ h
= lim
x"1
cotg
2
rx
1 - x
^ h
A aplicar l´Hopital
= lim
x"1
sen
2
2
rx
-
2
r
-1
=
r
2
lim
x"1
sen
2
2
rx
=
r
2
luego I = er
2
--------------------
Recordad: I = lim
x"a
f x
^ h
6 @g x
^ h
=
0
0
3
0
' ( I = e
lim
x"a
g x
^ hLn f x
^ h
_ i
7 A
** Ejercicio 33
calcula I = lim
x"0
cotagx
^ hsenx
I = lim
x"0
cotagx
^ hsenx = 3
0
F.I
I = e
lim
x"0
senx.Ln cotagx
^ h
A lim
x"0
senx.Ln cotgx
^ h = 0.3 F.I
lim
x"0
senx.Ln cotgx
^ h = lim
x"0
senx
1
Ln cotgx
^ h
=
H
?
lim
x"0
sen
2
x
-cosx
cotgx
1
sen
2
x
-1
= lim
x"0 -cosx
-tgx
= lim
x"0 cos
2
x
senx
= 0
luego I = e
0
= 1
--------------------
** Ejercicio 34
calcula I = lim
x" 2
r 1 - senx
1
` j
cotgx
I = lim
x" 2
r 1 - senx
1
` j
cotgx
= 3
0
F.I
I = e
lim
x"
2
r
cotgx.Ln
1-senx
1
c m
A lim
x" 2
r
cotgx.Ln
1 - senx
1
` j = 0.3 F.I
0
00 00

16. lim
x" 2
r tgx
1
Ln1 - Ln 1 - senx
^ h
6 @
% / =- lim
x" 2
r tgx
Ln 1 - senx
^ h
=
H
?
- lim
x" 2
r
cos
2
x
1
1 - senx
-cosx
=
= lim
x" 2
r 1 - senx
cos
3
x
=
0
0
=
H
?
lim
x" 2
r -cosx
-3cos
2
x.senx
= lim
x" 2
r
3cosx.senx = 0
luego I = e
0
= 1
--------------------
** Ejercicio 35
calcula I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
= 0
0
F.I
I = lim
x"+3
e-x
^ hx
1
= e
lim
x"+3x
1 .Ln e-x
^ h
A lim
x"+3 x
1
.Ln e-x
^ h = lim
x"+3 x
1 -xLn e
^ h
6 @ = lim
x"+3
-1
^ h =- 1
luego I = e-1
--------------------
** Ejercicio 36
calcula I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
= 0
0
F.I
I = lim
x"+3 1 + x
2
` jLnx
2
= e
lim
x"+3Lnx
2 Ln
1+x
2
d n
lim
x"+3 Lnx
2
Ln
1 + x
2
` j = 2 lim
x"+3 Lnx
Ln
1 + x
2
` j
= 2 lim
x"+3 Lnx
Ln2 - Ln 1 + x
^ h
=
+3
+3
=
H
?
2 lim
x"+3
x
1
1 + x
-1
=- 2 lim
x"+3 1 + x
x
=- 2 lim
x"+3 x
x
=- 2
luego I = e-2
--------------------
** Ejercicio 37
calcula I = lim
x"0
x.sen
x
1
, J = lim
x"3
x.sen
x
1
** I = lim
x"0
x.sen
x
1
si x " 0 ,
x
1
" 3 y sen
x
1
no admite ningún limite x " 0 ,lo unico que sabemos
es que esta a cot ada -1 # sen
x
1
# 1
` j en conclusión x.sen
x
1
" 0
por último lim
x"0
x.sen
x
1
= 0
** J = lim
x"3
x.sen
x
1
, J = lim
x"3
x
1
sen
x
1
haciendo cambio variable a =
x
1
a " 0
x " 3 ,
x
1
" 0
(
J = lim
x"3
x
1
sen
x
1
= lim
a"0 a
sena
= 1
--------------------

17. ** Ejercicio 38
se considera la función f x
^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
estudiar en los puntos 0 y - 1 la continuidad de f x
^ h
Respuesta :
f x
^ h =
-2x - 1 si x #- 1 3
x
2
si - 1 1 x 1 0 2
senx si x $ 0 1
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Continuidad en x = 0
f x
^ h es continua en x = 0 Ssi lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0-
f x
^ h = f 0
^ h
f 0
^ h " nos encontramos en la ecuación 1 ( f 0
^ h = sen0 = 0
x " 0+ " nos encontramos en la ecuación 1 ( lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0+
senx = 0
x " 0- " nos encontramos en la ecuación 2 ( lim
x"0-
f x
^ h = lim
x"0-
x
2
= 0
como lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0-
f x
^ h = f 0
^ h = 0 , f x
^ h es continua en x = 0
Continuidad en x =- 1
f x
^ h es continua en x =- 1 Ssi lim
x"-1+
f x
^ h = lim
x"-1-
f x
^ h = f -1
^ h
f -1
^ h " nos encontramos en la ecuación 3 ( f -1
^ h =- 2 -1
^ h - 1 = 1
x "- 1+ " nos encontramos en la ecuación 2 ( lim
x"-1+
f x
^ h = lim
x"-1+
x
2
= 1
x "- 1- " nos encontramos en la ecuación 3 ( lim
x"-1-
f x
^ h = lim
x"-1-
-2x - 1
^ h = 1
como lim
x"-1+
f x
^ h = lim
x"-1-
f x
^ h = f -1
^ h = 1 , f x
^ h es continua en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 39
f x
^ h =
2 si x = 1
x
2
- 1
x - 1
si x ! 1
*
estudia la continuidad de f
Respuesta :
f x
^ h =
2 si x = 1 2
x
2
- 1
x - 1
si x ! 1 1
*
en los ejercicios donde aparece el valor absoluto lo 1º es quitarlo
x - 1 =
x - 1 si x # 1
x - 1 si x $ 1
$ ,pero se observa en la ecuación 1 que x ! 1 asi que x - 1 =
x - 1 si x 1 1
x - 1 si x 2 1
$
luego la f queda de la seguiente forma : f x
^ h =
2 si x = 1
x
2
- 1
-x + 1
si x 1 1
x
2
- 1
x - 1
si x 2 1
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
] =
2 si x = 1 c
x + 1
-1
si x 1 1 b
x + 1
1
si x 2 1 a
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
sabemos que una funcion cte y una funcion lineal son continuas en todo R,y como f es el cociente
de dos funciones continuas en R ( f es continua en R excepto en los puntos que anulen el denominador -1
^ h
asi que nos queda por estudiar la continuidad en x = 1
f x
^ h es continua en x = 1 Ssi lim
x"1+
f x
^ h = lim
x"1-
f x
^ h = f 1
^ h
f 1
^ h = 2 , lim
x"1+
f x
^ h = lim
x"1+ x + 1
1
=
2
1
, lim
x"1-
f x
^ h = lim
x"1- x + 1
-1
=
2
-1
lim
x"1+
f x
^ h ! lim
x"1-
f x
^ h ! f 1
^ h ( f no es continua en x = 1
por último f es continua en R - -1,1
" ,
--------------------

18. ** Ejercicio 40
f x
^ h =
x
r
si x $ r
sen x + b
^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1
^ h2
si x # 0
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
Halla el valor de a y b para que f sea continua en R
Respuesta:
f x
^ h =
x
r
si x $ r
sen x + b
^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1
^ h2
si x # 0
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
]
las funciones a x - 1
^ h2
, sen x + b
^ h y
x
r
son continuas en todo su dominio
luego los únicos puntos de posible discontinuidad es el salto entre las funciones
para comprobar si la funcion es continua en dichos puntos se evalúan los limites laterales
y la función en los puntos.
continuidad en x = 0
f 0
^ h = a 0 - 1
^ h2
= a , lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0+
sen x + b
^ h = senb , lim
x"0-
f x
^ h = lim
x"0-
a x - 1
^ h2
= a
para que f sea continua en x = 0 , f 0
^ h = lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0-
f x
^ h , a = senb
continuidad en x = r
f r
^ h =
r
r
= 1 , lim
x"r-
f x
^ h = lim
x"r-
sen x + b
^ h = sen r + b
^ h =- senb , lim
x"r+
f x
^ h = lim
x"r+ x
r
= 1
para que f sea continua en x = r , f r
^ h = lim
x"r-
f x
^ h = lim
x"r+
f x
^ h , 1 =- senb
en conclución
-1 = senb
a = senb
$ ( a =- 1 , senb =- 1 = sen
2
-r
+
b = r +
2
r + 2kr
b =
2
-r + 2kr
*
b = r +
2
r + 2kr
b =
2
-r + 2kr
* + b =
2
-r + 2kr con k d Z
--------------------
** Ejercicio 41
f x
^ h =
b si x = 0
x
2
tg
2
rx
si x ! 0
*
halla el valor de b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
f x
^ h =
b si x = 0
x
2
tg
2
rx
si x ! 0
*
, f continua en x = 0 , lim
x"0
f x
^ h = f 0
^ h
lim
x"0
f x
^ h = lim
x"0 x
2
tg
2
rx
lim
x"0 x
2
tg
2
rx
= lim
x"0
r
2
r
2
x
2
tg
2
rx
= lim
x"0
r
2
r.x
tgrx
` j
2
= r
2
lim
x"0 r.x
tgrx
a k
2
=
lim
x"0 r.x
tgrx
= lim
x"0 rx
cosrx
senrx
= lim
x"0 rx.cosrx
senrx
= lim
x"0 rx
senrx
cosrx
1
` j = lim
x"0 rx
senrx
lim
x"0 cosrx
1
= 1.1 = 1
lim
x"0
f x
^ h = r
2
, f 0
^ h = b
luego para que f sea continua b debe valer r
2
--------------------

19. ** Ejercicio 42
f x
^ h =
2b si x = 0
x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
si x ! 0
*
halla los valores de a y b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
para que la función sea continua en x = 0 , lim
x"0
f x
^ h = f 0
^ h
lim
x"0
f x
^ h = lim
x"0 x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
=
0
0
F.I A aplicando l´Hopital
lim
x"0 x
2
e
x
- e
ax
+ x
2
=
H
?
lim
x"0 2x
e
x
- ae
ax
+ 2x
=
0
1 - a
A 1 - a = 0 + a = 1 asi poder seguir aplicando Hopital
^ h
lim
x"0 2x
e
x
- ae
ax
+ 2x
=
H
?
lim
x"0 2
e
x
- a
2
e
ax
+ 2
=
a=1
?
lim
x"0 2
e
x
- e
x
+ 2
= 1 , f 0
^ h = 2b
lim
x"0
f x
^ h = f 0
^ h , 2b = 1 , b =
2
1
--------------------
** Ejercicio 43
f x
^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
Estudiar la derivabilidad de f en x = 0 y x =- 1
Respuesta:
f x
^ h =
-2x - 1 si x #- 1
x
2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0
)
( l
f x
^ h =
-2 si x #- 1
2x si - 1 1 x 1 0
cosx si x $ 0
*
utilizando la definición $ f
derivabilidad en x = 0
derivada por la derecha
lim
x"0+ x - 0
f x
^ h - f 0
^ h
= lim
x"0+ x - 0
senx - sen0
= lim
x"0+ x
senx
= 1
derivada por la Izquierda
lim
x"0- x - 0
f x
^ h - f 0
^ h
= lim
x"0- x - 0
x
2
- sen0
= lim
x"0- x
x
2
= 0
luego la función no es derivable en x = 0 por no coincidir ambas derivadas.
derivabilidad en x =- 1
derivada por la derecha
lim
x"-1+ x - -1
^ h
f x
^ h - f -1
^ h
= lim
x"-1+ x + 1
x
2
- 1
= lim
x"-1+
x - 1
^ h =- 2
derivada por la Izquierda
lim
x"-1- x - -1
^ h
f x
^ h - f -1
^ h
= lim
x"-1- x + 1
-2x - 1 - 1
= lim
x"-1- x + 1
-2x - 2
=- 2
luego la función es derivable en x =- 1 por coincidir ambas derivadas.
utilizando $ l
f
l
f 0
^ h = 1 , l
f 0+
^ h = 1 , l
f 0-
^ h = 0 ( f no es derivable en x = 0
l
f -1
^ h =- 2 , l
f -1+
^ h =- 2 , l
f -1-
^ h =- 2 ( f es derivable en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 44
f x
^ h =
x
Ln 1 + x
^ h
si x 2 0
x
2
+ bx + c si x # 0
* es derivable en x = 0
Respuesta:
f x
^ h =
x
Ln 1 + x
^ h
si x 2 0
x
2
+ bx + c si x # 0
*
para que f sea derivable en x = 0 antes tiene que ser continua en x = 0

20. continuidad en x = 0
f 0
^ h = c , lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0+ x
Ln 1 + x
^ h
=
0
0
aplicando l´Hopital
= lim
x"0+ 1
1 + x
1
= lim
x"0+ 1 + x
1
= 1
lim
x"0-
f x
^ h = lim
x"0-
x
2
+ bx + c
^ h = c
Por último f es continua en x = 0 Ssi f 0
^ h = lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0-
f x
^ h ( c = 1
derivabilidad en x = 0
lim
x"0+ x - 0
f x
^ h - f 0
^ h
= lim
x"0+ x
x
Ln 1 + x
^ h
- 1
= lim
x"0+ x
2
Ln 1 + x
^ h - x
=
0
0
aplicar l´Hopital
= lim
x"0+ 2x
1 + x
1 - 1
= lim
x"0+ 2x
1 + x
1 - 1 - x
= lim
x"0+ 2x
1 + x
-x
= lim
x"0+ 2 1 + x
^ h
-1
=
2
-1
lim
x"0- x - 0
f x
^ h - f 0
^ h
= lim
x"0- x
x
2
+ bx + 1 - 1
= lim
x"0- x
x
2
+ bx
= lim
x"0-
x + b
^ h = b
luego para que f sea derivable en x = 0 (
c = 1
b =
2
-1
)
--------------------
** Ejercicio 45
sea la función f x
^ h =
0
x
x
x si x ! 0
*
¿ es continua en x = 0 ?
calcula función reciproca f-1
Respuesta:
el primer paso es hacer desaparecer el valor absoluto,asi que la función queda de la forma seguiente:
f x
^ h =
0 si x 2 0
x
-x -x =- -x si x 1 0
x
x
x = x si x 2 0
Z
[
]
]
]
]
]
]
]
]
]
] , la función es continua en x = 0 Ssi f 0
^ h = lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0-
f x
^ h
f 0
^ h = 0 , lim
x"0+
f x
^ h = lim
x"0+
x = 0 , lim
x"0-
f x
^ h = lim
x"0-
- -x = 0 , luego f es continua en 0
función reciproca f-1
de f
f x
^ h = y ,
- -x = y +- x = y
2
si y # 0
x = y + x = y
2
si y $ 0
) ,
x =- y
2
si y # 0
x = y
2
si y $ 0
( ,
x =- y.y si y # 0
x = y.y si y $ 0
%
f x
^ h = y , x = y y = f-1
y
^ h
por último f-1
x
^ h = x x
--------------------
** Ejercicio 46
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = Ln ax
2
+ bx + c
^ h
Respuesta: Recuerda: y = f x
^ h
6 @n
& l
y = n f x
^ h
6 @n-1
. l
f x
^ h , y = Ln f x
^ h
6 @ & l
y =
f x
^ h
1
l
f x
^ h
l
f x
^ h =
ax
2
+ bx + c
1
ax
2
+ bx + c
^ hl=
ax
2
+ bx + c
1
ax
2
+ bx + c
^ h2
1
7 Al
l
f x
^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2
1
ax
2
+ bx + c
^ h2
1 -1
8 B ax
2
+ bx + c
^ hl
l
f x
^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2
1
ax
2
+ bx + c
^ h- 2
1
8 B 2ax + b
^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2 ax
2
+ bx + c
1
2ax + b
^ h
l
f x
^ h =
ax
2
+ bx + c
1
2 ax
2
+ bx + c
2ax + b
=
2 ax
2
+ bx + c
^ h
2ax + b
--------------------

21. ** Ejercicio 47
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = x x x
3
Respuesta:
f x
^ h = x x x
3
= x.x3
1
. x 2
1
^ h3
1
= x.x3
1
. x6
1
= x
1+
3
1 + 6
1
= x 2
3
( l
f x
^ h =
2
3
x 2
3 -1
=
2
3
x
--------------------
** Ejercicio 48
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = tg a
^ hx
Respuesta: Recuerda: a
f x
^ h
6 @l= a
f x
^ h
l
f x
^ h Ln a
^ h
f x
^ h = tg a
^ hx
( l
f x
^ h =
cos
2
a
^ hx
1
a
^ hx
6 @l=
cos
2
a
^ hx
1
a
^ hx
lna
--------------------
** Ejercicio 49
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = Ln x
^ hx
Respuesta: Recuerda: f x
^ h.g x
^ h
6 @l= l
f x
^ hg x
^ h + f x
^ h l
g x
^ h
f x
^ h = Ln x
^ hx
, f x
^ h = x.Ln x
^ h ( l
f x
^ h = Ln x
^ h + x
x
1
= Ln x
^ h + 1
--------------------
** Ejercicio 50
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = tg x
^ h
6 @sen2x
Respuesta: a = e
Lna
y = tg x
^ h
6 @sen2x
, y = e
Ln tg x
^ h
7 A
sen2x
= e
sen2x.Ln tg x
^ h
7 A
l
y = e
sen2x.Ln tg x
^ h
7 A
. sen
2
x.Ln tg x
^ h
6 @
6 @l= tg x
^ h
6 @sen2x
2senx.cosx.Ln tg x
^ h
6 @ + sen
2
x.
tgx
1
cos
2
x
1
: D
l
y = tg x
^ h
6 @sen2x
sen2x.Ln tg x
^ h
6 @ + tg
2
x.
tgx
1
: D
l
y = tg x
^ h
6 @sen2x
Ln tg x
^ h
6 @sen2x
+ tgx
6 @
--------------------
** Ejercicio 51
Calcula l
f x
^ h siendo f x
^ h = cosx
^ hcosx
6 @x
Respuesta:
y = cosx
^ hcosx
6 @x
, y = cosx
^ hx.cosx
, y = e
Ln cosx
^ hx.cosx
= e
x.cosx.Ln cosx
^ h
l
y = e
x.cosx.Ln cosx
^ h
x.cosx.Ln cosx
^ h
6 @l= cosx
^ hx.cosx
cosx.Ln cosx
^ h + x cosx.Ln cosx
^ h
^ hl
6 @ ,
l
y = cosx
^ hx.cosx
cosx.Ln cosx
^ h + x -senx.Ln cosx
^ h +
cosx
cosx -senx
^ h
7 A
$ .
l
y = cosx
^ hx.cosx
Ln cosx
^ hcosx
+ Ln cosx
^ h-x.senx
- x.senx
" ,
l
y = cosx
^ hx.cosx
Ln cosx
^ hcosx
cosx
^ h-x.senx
6 @ - x.senx
" ,
l
y = cosx
^ hx.cosx
Ln cosx
^ hcosx-x.senx
- x.senx
^ h
--------------------
** Ejercicio 52
halla la derivada nésima de y =
x + 1
1
, z =
x - 1
1
, w =
x
2
- 1
-2
ll
y = -1
^ h -2
^ h x + 1
^ h-1-2
= -1
^ h2
2 x + 1
^ h-1-2
A 2 x + 1
^ h-3
lll
y = 2 -3
^ h x + 1
^ h-4
= -1
^ h3
2.3 x + 1
^ h-1-3
A- 6 x + 1
^ h-4

22. llll
y = 24 x + 1
^ h-5
= -1
^ h4
2.3.4 x + 1
^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que l
y
n
= -1
^ hn
n! x + 1
^ h-1-n
1
para estar seguros debemos comprobar l
y
n+1
^ h
l
y
n+1
^ h
= -1
^ hn
n! -n - 1
^ h x + 1
^ h-2-n
= -1
^ hn+1
n + 1
^ h! x + 1
^ h-2-n
lo que demuestra que la formula 1 esta bién generalizada
z = x - 1
^ h-1
l
z =- x - 1
^ h-1-1
= -1
^ h1
x - 1
^ h-1-1
A- x - 1
^ h-2
m
z = -1
^ h -2
^ h x - 1
^ h-1-2
= -1
^ h2
2 x - 1
^ h-1-2
A 2 x - 1
^ h-3
n
z = 2 -3
^ h x - 1
^ h-4
= -1
^ h3
2.3 x - 1
^ h-1-3
A- 6 x - 1
^ h-4
mm
z = 24 x + 1
^ h-5
= -1
^ h4
2.3.4 x + 1
^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que l
z
n
= -1
^ hn
n! x - 1
^ h-1-n
2
se demuestra de la misma forma que la anterior.
se observa que w = y - z , l
w
n
= l
y
n
- l
z
n
asi que
l
w
n
= -1
^ hn
n! x + 1
^ h-1-n
- -1
^ hn
n! x - 1
^ h-1-n
= -1
^ hn
n! x + 1
^ h-1-n
- x - 1
^ h-1-n
6 @
l
w
n
= -1
^ hn
n!
x + 1
^ h1+n
1 -
x - 1
^ h1+n
1
; E = -1
^ hn
n!
x
2
- 1
^ h1+n
x - 1
^ h1+n
- x + 1
^ h1+n
< F