Este documento presenta un resumen de las identidades trigonométricas fundamentales y algunos problemas de ejemplo para practicar su uso. En particular, describe cuatro tipos principales de identidades: 1) identidades reciprocas, 2) identidades por división, 3) identidades pitagóricas y 4) identidades auxiliares. Además, ofrece consejos para resolver problemas con identidades trigonométricas y doce problemas de ejemplo resueltos.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Sen 2 x Cos 2 x 1 ; x R
Sen 2 x
Cos 2 x
1 Cos 2 x
1 Sen 2 x
Ciclo 2013-III
Sec 2 x Tan 2 x 1
Sec 2 x Tan 2 x 1 ; x R (2n 1) ; n Z
2 Tan 2 x Sec 2 x 1
C sc 2 x Cot 2 x 1
TRIGONOMETRÍA Csc 2 x Cot 2 x 1 ; x R n ; n Z
Cot 2 x Csc 2 x 1
“Identidades Trigonométricas” Semana Nº 7
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS  Si:
Son aquellas igualdades que relacionan funciones 1
sec x tgx n sec x tgx
trigonométricas de una cierta variable, las cuales se n
verifican para todo admisible, clasificándose de la
siguiente manera:
 Si:
1
1.- IDENTIDADES RECIPROCAS csc x ctgx m csc x ctgx
m
 Sen . Cosec = 1 R-n
 Cos . Sec = 1 R–(2n+1)
 Tan . Cotan = 1 R – n /2  senx 1 cos x cos x 1 senx
;
1 cos x senx 1 senx cos x
2. IDENTIDADES POR DIVISION
 Tan = Sen / Cos R–(2n+1) /2  (senx cosx)2= 1 2senx.cosx
 Cotan = Cos / Sen R–n
RECORDAR
3. IDENTIDADES PITAGORICAS Verso de “x” : ver x = 1 – cosx
 Sen2 + Cos2 = 1 R Converso de “x” : cov = 1 – senx
 1 + Tan2 = Sec2 R–(2n+1) /2
 1 + Ctg2 = Csc2 R–n Ex secante de “x” : ex sec = secx – 1
4. IDENTIDADES AUXILIARES PROPIEDAD: si multiplicamos a los ángulos de
una identidad trigonométrica por un factor
 sen4 x + cos4x =1-2sen2x cos2x
numérico cualquiera, la identidad sigue
cumpliéndose.
 sen6 x + cos6 x =1-3sen2x cos2x
 Sen2 2x + cos2 2x = 1
 tg x + cotg x = sec x . cosec x  1+ tg2 x/2 = sec2 x/2
 Sen5x .csc 5x = 1
 sec2x + cosec2x = sec2x .cosec2x  tg 10 x sen 10 x
cos 10 x
 (1 senx cosx)2=2 (1 senx)(1 cosx)
5. TIPOS
 Si: asenx +bcosx = C c a
2
b
2 A continuación te proponemos algunas guías o
sugerencias que te servirán para desarrollar
Entonces: a b ejercicios, estas son:
senx cos x
c c
1
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

2. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
 Escoger el miembro más complicado de la 2 2 co s x
K 1
identidad. sen x co s x 1
 Colocar el miembro escogido en términos
se n x co s x 1 2 2 co s x
de senos y cosenos. K
se n x co s x 1
 Hacer uso de identidades algebraicas,
según sea el caso. senx cos x 1 senx cos x 1
 Cuando haya potencias puede ser útiles K
senx cos x 1 senx cos x 1
hacer factorizaciones
2
De las identidades fundamentales se
2
 sen x 1 co s x
K
podrán deducir otras. 2 sen x co s x
2
Los ejercicios sobre IDENTIDADES 1 sen x 1 sen x 1 sen x
K
TRIGONOMETRICAS, son de 4 tipos: 2 sen x cos x
 Demostraciones
1 sen x 1 sen x 1 sen x
 Simplificaciones K
 Condicionales 2 sen x cos x
 Eliminación del ángulo 1 sen x 2 sen x 1 sen x
K k
2 sen x cos x cos x
PROBLEMAS Resueltos
3. Eliminar “x” si:
1. Simplifique: 2
2 se c x a tg x
1 co v x 1 v ers x co v x
E 2 csc x
2
ctg x
1 v ers x co v x
A) vers x B) cov x C) 2 -vers x A) a b B) a
2
b
2 2
0 C) a b 0
D)2-cov x E) 2 + cov x D) a b 0 E) a 2b
2 2
1 co v x 1 v ers x co v x 2 sec x a tg x 2 1 tg x
E
1 v ers x co v x
a tg x ………(*)
2
a tg x 1 tg x
1 1 sen x 1 1 cos x 1 sen x 2 2
E 2 csc x b ctg x 2 1 ctg x
1 1 cos x 1 sen x
2
b ctg x 1 ctg x b ctg x
sen x 1 sen x cos x sen x cos x 1
E tg x
2
1 b
cos x sen x 1 sen x cos x 1
2
2 2
tg x tg x
se n x 1 co s x se n x
b tg x …………….…(*)(*)
2
E tg x 1
2 se n x co s x
2
(*) + (*) (*)
1 co s x 1 co s x 1 co s x
E 0 (a b) tg x a b 0
2 co s x
1 co s x 1 co s x 1 co s x
E
4. Si: tg x
2 2
se n x
2 co s x A tg x
B
2 2
ctg x co s x
E 1 cos x
E 1 1 vers x Halle: (A + B)
E 2 vers x A) 3 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
2
se n x 2
se n x 2 2
co s x
2 se n x se c x 1
2. Simplifique: k 2 2 co s x
1 co s
2
x 2 co s x csc x
2 2
1
sen x co s x 1 2
co s x
se n x
A) co s x B) 1 sen x C) 1- sen x
2 2
1 sen x co s x sen x 1 tg x 1 2
tg x  tg x
2
6
tg x
D) 1 + sen xE) 1
2 2
co s x cos x 1 ctg x 1
2
1 sen x tg x
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

3. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
1 tg x
6
A tg
B
x A = 1; B = 6A + B =7 a) n 2 m 2n
2
b) n 2 m
2
3n
c) n 2
m
2
2n d) n 3 m
3
2n
PROBLEMA DE CLASE e) n 2 m 2 2n
3º EXAMEN SUMATIVO 2009-III
1. Al simplificar
M = (Cscx-Ctgx). Senx 1 3Cosx , 7. Al simplificar la expresión:
1 Cos Senx Secx Cosx , se obtiene:
3
se obtiene: Cscx Senx
a) 2b) 4c) 6 d) 8 e) 10
a) senx b) cosxc) tgx d)Ctgx e) secx
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 - III
2º EXAMEN SUMATIVO 2009-III
2. Al reducir: 2 Sen 2 Sen 3 Cos 3 , se 8. Si: x = kcos ; y = ksen cos ; Z =
Sen Cos ksen sen .cos ; w = ksen sen sen
obtiene: El valor de M x
2
y
2
z
2
w , es:
2
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) 4
a) k b) 2k c) k2 d) 2k2 e) 2
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
3º EXAMEN SUMATIVO 2009-II
3. Al eliminar , de :
9. Determinar a-1 en la siguiente identidad
Sec Cos x .Cscx 1 1 1
, se obtiene:
2 2 2
a
Csc Sen y . Sec sen x ctg x cos x
a) 4 xy 2 4
x y
2
1 b) 4 x y
3 4
xy
3
1 a) ctg 2 x b) tg 2 x c) Sen 2 x
c) 4 xy 2 d) Cos x 2
e) Sec x 2
xy d)
4 2 4 2 4 2
x y xy x y xy
e) 4
xy
3 4
x y
3
1
10. Calcular “k”, para que la siguiente igualdad
2º EXAMEN SUMATIVO 2012 I
sea una identidad.
k k
sen x 1 sen x 1
4. Sabiendo que: 6 sen
2
x 2 cos
4
x
Csc a
2
1 2 (ctg b
2
Csc b ) ,
2 senx 1 senx 1
a) 2 b) 4c) 6 d)8 e) 10
CalcularY tgb
tga 11. Si: a .Cos 4 4 1 ,
bSen
1 1
a) 2 b) 1 c) 3 d) -2 e) -1
3º EXAMEN SUMATIVO 2011 III a b
5 4 4 , tal que a 0 y b 0,
5. Al simplificar la expresión:
2 2 2 2
Calcular Sec
tg Ctg 2 tg Ctg 1;
E a) a b b) a b c) a
tg Ctg 2 tg Ctg 1
a b b
se obtiene
d) a b e) a b
a) 1 b)2 c) 3 d) 2tg e) 3ctg
b a
2º EXAMEN SUMATIVO 2010-III
12. Si: p q t , determinar la relación
6. Al eliminar x en el sistema de ecuaciones:
senx cos x tgx
sec x csc x m
2
, se obtiene que elimina el arco “x”
tg x 1 n .tgx a) q 2 p 2 t 2 p q b)t
2 2 2 2 2 2 2
p q p t
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

4. Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
c) p 2 p 2 q
2
q t d) q
2 2 2
p
2
t
2
q p
2 2 19. Simplificar la expresión:
e) p 2
p
2
q
2
q t
2 2
a) b) c)
d) e)
13. Si: m p q
q .tgx ; n p .tgx
cos x cos x 20. Siendo ,
Determinar la relación que elimina el arco
calcule
de “x”
a) 91/30 b) 91/90 c) 91/60
a) m – n = p – q b) m + n = p + q
d) 91/40e) 91/50
c) m2 + n2 = p2 + q2d) m 2– n2 = p2 – q 2
e) m 3– n2 = p2 – q 3
21. Hallar:
Si:
14. Si la siguiente expresión es una identidad:
a) b) c)
1 cos x 1 cos x
senx k d) e)
senx . cos x k
Calcular el valor de “k”
22. Si:
a)senx b) cosx c) tgx
Calcular:
d) senx.cosx e) Cscx.Tgx
a) 0 b) 1 c) 2
15. Si: Secx d) 3e) 4
Tgx a ; csc x Ctgx b
Determinar la relación que elimina el arco “x”
23. Calcular el mínimo valor:
de “x”
a) 4 a .b a
2
1 b
2
1 b) 2 a .b a
2
1 b
2
1
a) 3 b) 4 c) 5
c) a .b a
2
2 b
2
2 d) 2 a .b a
2
1 b
2
1
d) 9 e) 8
e) 4 a .b a
2
1 b
2
1
24. el equivalente de:
16. Calcular el valor k para que la expresión F es:
sea independiente de x, si:
F tg x
4
3tg x
2
k sec
4
x sec
2
x a) b)
a) 2 b) 1 c) 0d) -1 e) -2 c) d)
e)
17. Calcular el valor de:
25. Dada la expresion :
Calcular el valor de „„m‟‟ para que las raices
sean seno y coseno de un mismo arco.
a)7/15 b)13/15 c) 15/13
a) 2 b) 4 c) -1 d) 15/7 e) 39/5
d) 1 e) 3
26. Dada la ecuación:
18. Sabiendo que , halle:
Calcular el valor de „„m‟‟ para que las raices
sean secante y tangente de un mismo arco.
a) 3 b) 2 c) 1 a) b) c)
d) e) d) e)
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-07 Ingreso Directo

5. 5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo