Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones y puntos de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre dos números reales dados. También presenta la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass para Rn, el cual establece que si una sucesión acotada contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones y puntos de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que los números racionales son densos en los reales, mediante la construcción de un racional entre dos reales dados. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en Rn contiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones, puntos adherentes y de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre cualquier par de reales. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que si una sucesión acotada en Rn contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología en espacios métricos. Incluye la definición de sucesión, subsucesión, punto de acumulación, convergencia y espacios completos. También demuestra que el conjunto de los racionales es denso en el conjunto de los reales y presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre la existencia de puntos de acumulación en sucesiones acotadas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Se define qué es una sucesión, subsucesión, límite de una sucesión, punto de acumulación y se demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en R tiene al menos un punto de acumulación. También se define qué es una sucesión de Cauchy y se demuestra que Rn es un espacio métrico completo.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología y los espacios métricos. En particular, demuestra que el conjunto de los reales no es numerable y define la noción de sucesión controlada y espacio métrico cuasi-completo asociado a las sucesiones de Cauchy de un espacio métrico.
Este documento describe series de potencias y sus propiedades. Introduce la definición de una serie de potencias y discute su convergencia y radio de convergencia. Presenta ejemplos de series de potencias comunes y teoremas sobre las propiedades de las funciones representadas por series de potencias.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología. Presenta definiciones de conceptos como punto fronterizo, punto de acumulación, conjunto denso y conjunto compacto. Incluye demostraciones del teorema de Baire, el lema de Lebesgue y el teorema de que si una función es continua en todos sus puntos y su dominio es compacto, entonces su imagen también es compacta.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones y puntos de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que los números racionales son densos en los reales, mediante la construcción de un racional entre dos reales dados. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en Rn contiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones, puntos adherentes y de acumulación en espacios métricos. Incluye la demostración de que el conjunto de números racionales Q es denso en el conjunto de números reales R, mediante la construcción de un número racional entre cualquier par de reales. También presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que si una sucesión acotada en Rn contiene infinitos puntos, entonces tiene al menos un punto de acumulación.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología en espacios métricos. Incluye la definición de sucesión, subsucesión, punto de acumulación, convergencia y espacios completos. También demuestra que el conjunto de los racionales es denso en el conjunto de los reales y presenta el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre la existencia de puntos de acumulación en sucesiones acotadas.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Se define qué es una sucesión, subsucesión, límite de una sucesión, punto de acumulación y se demuestra el teorema de Bolzano-Weierstrass, el cual establece que toda sucesión acotada en R tiene al menos un punto de acumulación. También se define qué es una sucesión de Cauchy y se demuestra que Rn es un espacio métrico completo.
Este documento presenta definiciones y ejemplos relacionados con la convergencia de sucesiones en espacios métricos. Introduce conceptos como sucesiones, convergencia, subsucesiones y conjuntos acotados y cerrados. Explica que para que una sucesión converja a un punto x, x debe pertenecer a la clausura del conjunto donde está definida la sucesión.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología y los espacios métricos. En particular, demuestra que el conjunto de los reales no es numerable y define la noción de sucesión controlada y espacio métrico cuasi-completo asociado a las sucesiones de Cauchy de un espacio métrico.
Este documento describe series de potencias y sus propiedades. Introduce la definición de una serie de potencias y discute su convergencia y radio de convergencia. Presenta ejemplos de series de potencias comunes y teoremas sobre las propiedades de las funciones representadas por series de potencias.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología. Presenta definiciones de conceptos como punto fronterizo, punto de acumulación, conjunto denso y conjunto compacto. Incluye demostraciones del teorema de Baire, el lema de Lebesgue y el teorema de que si una función es continua en todos sus puntos y su dominio es compacto, entonces su imagen también es compacta.
Este documento describe un experimento de difracción de rayos X por un cristal de cloruro de potasio. Se observan una serie de círculos concéntricos en una placa fotográfica debido a la difracción de los rayos X por los diminutos cristales de KCl orientados al azar en un polvo. Se calcula la distancia entre iones vecinos de potasio en el cristal de KCl utilizando la posición del círculo más pequeño observado.
Articulo de Variable Compleja: Un Paseo a través de lo InéditoMynorRios
El documento presenta una introducción a los números complejos y funciones analíticas, incluyendo definiciones de funciones derivables, analíticas y armónicas. Explica las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo se pueden expresar en coordenadas polares. También menciona aplicaciones de las funciones analíticas en física y la relación entre funciones analíticas y armónicas. El objetivo general es proponer una línea educativa sobre variable compleja dirigida a estudiantes universitarios.
Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.
Este documento presenta 8 ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes. Cada ejercicio contiene la serie numérica a estudiar y la solución utilizando criterios como el de convergencia, D'Alembert o Cauchy. Los ejercicios cubren series como armónicas, logarítmicas y racionales, y determinan si son convergentes o divergentes.
Bitácora N°2 (07 Feb - 10 Feb) Topología IMiriJaneth
Este documento presenta una introducción a la topología a través de los espacios métricos. Define conceptos fundamentales como métrica, distancia, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado en un espacio métrico. Incluye demostraciones de teoremas como que toda bola abierta es un conjunto abierto y toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Finalmente, propone tres tareas que verifican propiedades de métricas y describen geométricamente las bolas en el plano cartesiano con la métrica de Manhattan
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento describe los conceptos de campo escalar y campo vectorial. Un campo escalar asocia un escalar a cada punto del espacio, mientras que un campo vectorial asocia un vector. Se definen propiedades como estacionario, equiescalar e isoescalar para campos escalares, y líneas de campo para campos vectoriales. También introduce conceptos como gradiente, divergencia y rotacional para analizar cómo varían campos escalares y vectoriales.
Este documento introduce los números naturales y sus propiedades fundamentales. Comienza definiendo los números naturales como el conjunto N que satisface los axiomas de Peano, incluyendo el principio de inducción. Luego describe las propiedades básicas de la suma y el producto de números naturales, así como el orden definido en N. Finalmente, explica cómo usar el principio de inducción para demostrar propiedades de los números naturales y cómo definir sucesiones de forma recursiva haciendo referencia a términos anteriores.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones de números reales y sus límites. Introduce la definición formal de límite de una sucesión como la convergencia de sus términos hacia un número real a cuando el índice tiende a infinito. Explica tipos de sucesiones como crecientes, decrecientes, acotadas y divergentes. Además, establece teoremas sobre operaciones con sucesiones y sus límites, y sobre subsucesiones que convergen al mismo límite que la sucesión original.
1. El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo sus propiedades, ejemplos comunes y definiciones de subespacios vectoriales. 2. También introduce la noción de sistemas de generadores y dependencia lineal entre vectores. 3. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a los fundamentos de los espacios vectoriales para estudiantes.
Este documento describe varios modelos de probabilidad discretos y continuos. Introduce la distribución uniforme discreta, las distribuciones de Bernouilli, binomial, geométrica y binomial negativa definidas sobre experimentos de Bernouilli. También describe la distribución hipergeométrica y las distribuciones de Poisson, exponencial y uniforme continua.
1) El documento describe las relaciones de recurrencia y propiedades especiales de los polinomios de Legendre. 2) Se muestra que los polinomios satisfacen una relación de recurrencia y varias ecuaciones diferenciales. 3) Se analizan valores especiales de los polinomios para diferentes argumentos, así como su paridad.
Este documento describe el problema de la interpolación polinómica, que consiste en estimar valores de una función desconocida a partir de valores conocidos en puntos de datos. Explica que se aproxima la función mediante polinomios que pasan exactamente por los puntos de datos, y describe métodos como la interpolación lineal, cuadrática y la forma de Newton para obtener el polinomio de interpolación.
1. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que son soluciones transversales de dichas ecuaciones y que se propagan a la velocidad de la luz.
2. Las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, transportando energía a través del espacio descrita por el vector de Poynting.
3. El espectro electromagnético clasifica las ondas según su longitud de onda, abarcando desde on
Este documento introduce los campos vectoriales, que asignan un vector a cada punto del espacio. Se definen campos vectoriales en el plano y en el espacio, y se explican conceptos como su dominio, continuidad y representación gráfica. Luego, se presentan varios ejemplos de campos vectoriales como campos de fuerzas, gradientes y velocidades, ilustrando sus propiedades y aplicaciones. Finalmente, se introduce la noción de campo vectorial conservativo.
Este módulo tiene 5 objetivos específicos relacionados con determinar límites de funciones como: 1) probar que el límite de una función es infinito, 2) demostrar que el límite de una constante es igual a la constante, 3) determinar el límite de una suma de funciones, 4) determinar el límite de un producto de funciones, y 5) determinar el límite de un cociente de funciones.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral, mostrando diferentes tipos de integrales y métodos para resolverlas. Se definen las integrales y sus propiedades básicas, y se explican diferentes tipos de integrales inmediatas como las potenciales, logarítmicas y exponenciales. También se describe el método de integración por partes y cómo resolver integrales racionales.
El documento demuestra tres proposiciones sobre conjuntos topológicos:
1) El interior de un conjunto A (A°) es igual al conjunto de puntos adherentes a A (A-).
2) El conjunto cerrado de A (A~) es igual a A.
3) El conjunto de puntos adherentes al conjunto de puntos adherentes de A (A--') es igual al conjunto de puntos adherentes de A (A-).
El documento resume la primera clase de topología. Se explicó que los reportes y exámenes parciales representarían el 40% de la calificación, mientras que el examen final sería el 60% restante. Las exposiciones serían los lunes para repasar lo visto la semana anterior. También se discutió el uso de blogs para subir reportes en equipos de dos integrantes y el enfoque de "proyecto aula" para integrar a los estudiantes y desarrollar habilidades como resolver problemas y expresar ideas de manera crítica.
El documento demuestra tres propiedades de conjuntos topológicos. Primero, que el interior de un conjunto A (A°) es igual al conjunto de puntos adherentes a A (A-). Segundo, que el conjunto cerrado de A (A~) es igual a A. Y tercero, que el conjunto de puntos no interior de A (A--) es igual al conjunto complementario de A (A-).
La tarea 1 de topología describe cómo subir un documento a la plataforma de aprendizaje en línea. Se explica brevemente el proceso de carga del archivo, seleccionando la opción de "Subir archivo" y luego buscar y seleccionar el documento deseado de la computadora local.
Este documento describe un experimento de difracción de rayos X por un cristal de cloruro de potasio. Se observan una serie de círculos concéntricos en una placa fotográfica debido a la difracción de los rayos X por los diminutos cristales de KCl orientados al azar en un polvo. Se calcula la distancia entre iones vecinos de potasio en el cristal de KCl utilizando la posición del círculo más pequeño observado.
Articulo de Variable Compleja: Un Paseo a través de lo InéditoMynorRios
El documento presenta una introducción a los números complejos y funciones analíticas, incluyendo definiciones de funciones derivables, analíticas y armónicas. Explica las condiciones de Cauchy-Riemann y cómo se pueden expresar en coordenadas polares. También menciona aplicaciones de las funciones analíticas en física y la relación entre funciones analíticas y armónicas. El objetivo general es proponer una línea educativa sobre variable compleja dirigida a estudiantes universitarios.
Este documento introduce el concepto de serie numérica y sus propiedades básicas. Define una serie como un par ordenado de sucesiones donde una sucesión proporciona los términos y la otra las sumas parciales. Una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales converge, y divergente si dicha sucesión diverge. Presenta ejemplos como series geométricas y la serie armónica. Establece propiedades como la linealidad de la convergencia y las series telescópicas.
Este documento presenta 8 ejercicios de series numéricas propuestos en exámenes. Cada ejercicio contiene la serie numérica a estudiar y la solución utilizando criterios como el de convergencia, D'Alembert o Cauchy. Los ejercicios cubren series como armónicas, logarítmicas y racionales, y determinan si son convergentes o divergentes.
Bitácora N°2 (07 Feb - 10 Feb) Topología IMiriJaneth
Este documento presenta una introducción a la topología a través de los espacios métricos. Define conceptos fundamentales como métrica, distancia, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado en un espacio métrico. Incluye demostraciones de teoremas como que toda bola abierta es un conjunto abierto y toda bola cerrada es un conjunto cerrado. Finalmente, propone tres tareas que verifican propiedades de métricas y describen geométricamente las bolas en el plano cartesiano con la métrica de Manhattan
Este documento presenta el capítulo 3 sobre la integral definida. Introduce la definición de integral definida como el límite de la suma de Riemann al dividir el área bajo una curva en rectángulos e ir sumando sus áreas. También expone el teorema de integrabilidad para determinar cuándo una función es integrable, y proporciona un ejemplo de cálculo de área bajo una curva.
Este documento describe los conceptos de campo escalar y campo vectorial. Un campo escalar asocia un escalar a cada punto del espacio, mientras que un campo vectorial asocia un vector. Se definen propiedades como estacionario, equiescalar e isoescalar para campos escalares, y líneas de campo para campos vectoriales. También introduce conceptos como gradiente, divergencia y rotacional para analizar cómo varían campos escalares y vectoriales.
Este documento introduce los números naturales y sus propiedades fundamentales. Comienza definiendo los números naturales como el conjunto N que satisface los axiomas de Peano, incluyendo el principio de inducción. Luego describe las propiedades básicas de la suma y el producto de números naturales, así como el orden definido en N. Finalmente, explica cómo usar el principio de inducción para demostrar propiedades de los números naturales y cómo definir sucesiones de forma recursiva haciendo referencia a términos anteriores.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con sucesiones de números reales y sus límites. Introduce la definición formal de límite de una sucesión como la convergencia de sus términos hacia un número real a cuando el índice tiende a infinito. Explica tipos de sucesiones como crecientes, decrecientes, acotadas y divergentes. Además, establece teoremas sobre operaciones con sucesiones y sus límites, y sobre subsucesiones que convergen al mismo límite que la sucesión original.
1. El documento describe los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluyendo sus propiedades, ejemplos comunes y definiciones de subespacios vectoriales. 2. También introduce la noción de sistemas de generadores y dependencia lineal entre vectores. 3. El documento proporciona una introducción concisa pero completa a los fundamentos de los espacios vectoriales para estudiantes.
Este documento describe varios modelos de probabilidad discretos y continuos. Introduce la distribución uniforme discreta, las distribuciones de Bernouilli, binomial, geométrica y binomial negativa definidas sobre experimentos de Bernouilli. También describe la distribución hipergeométrica y las distribuciones de Poisson, exponencial y uniforme continua.
1) El documento describe las relaciones de recurrencia y propiedades especiales de los polinomios de Legendre. 2) Se muestra que los polinomios satisfacen una relación de recurrencia y varias ecuaciones diferenciales. 3) Se analizan valores especiales de los polinomios para diferentes argumentos, así como su paridad.
Este documento describe el problema de la interpolación polinómica, que consiste en estimar valores de una función desconocida a partir de valores conocidos en puntos de datos. Explica que se aproxima la función mediante polinomios que pasan exactamente por los puntos de datos, y describe métodos como la interpolación lineal, cuadrática y la forma de Newton para obtener el polinomio de interpolación.
1. Las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de ondas electromagnéticas que son soluciones transversales de dichas ecuaciones y que se propagan a la velocidad de la luz.
2. Las ondas electromagnéticas consisten en campos eléctrico y magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación, transportando energía a través del espacio descrita por el vector de Poynting.
3. El espectro electromagnético clasifica las ondas según su longitud de onda, abarcando desde on
Este documento introduce los campos vectoriales, que asignan un vector a cada punto del espacio. Se definen campos vectoriales en el plano y en el espacio, y se explican conceptos como su dominio, continuidad y representación gráfica. Luego, se presentan varios ejemplos de campos vectoriales como campos de fuerzas, gradientes y velocidades, ilustrando sus propiedades y aplicaciones. Finalmente, se introduce la noción de campo vectorial conservativo.
Este módulo tiene 5 objetivos específicos relacionados con determinar límites de funciones como: 1) probar que el límite de una función es infinito, 2) demostrar que el límite de una constante es igual a la constante, 3) determinar el límite de una suma de funciones, 4) determinar el límite de un producto de funciones, y 5) determinar el límite de un cociente de funciones.
Este documento presenta una introducción al cálculo integral, mostrando diferentes tipos de integrales y métodos para resolverlas. Se definen las integrales y sus propiedades básicas, y se explican diferentes tipos de integrales inmediatas como las potenciales, logarítmicas y exponenciales. También se describe el método de integración por partes y cómo resolver integrales racionales.
El documento demuestra tres proposiciones sobre conjuntos topológicos:
1) El interior de un conjunto A (A°) es igual al conjunto de puntos adherentes a A (A-).
2) El conjunto cerrado de A (A~) es igual a A.
3) El conjunto de puntos adherentes al conjunto de puntos adherentes de A (A--') es igual al conjunto de puntos adherentes de A (A-).
El documento resume la primera clase de topología. Se explicó que los reportes y exámenes parciales representarían el 40% de la calificación, mientras que el examen final sería el 60% restante. Las exposiciones serían los lunes para repasar lo visto la semana anterior. También se discutió el uso de blogs para subir reportes en equipos de dos integrantes y el enfoque de "proyecto aula" para integrar a los estudiantes y desarrollar habilidades como resolver problemas y expresar ideas de manera crítica.
El documento demuestra tres propiedades de conjuntos topológicos. Primero, que el interior de un conjunto A (A°) es igual al conjunto de puntos adherentes a A (A-). Segundo, que el conjunto cerrado de A (A~) es igual a A. Y tercero, que el conjunto de puntos no interior de A (A--) es igual al conjunto complementario de A (A-).
La tarea 1 de topología describe cómo subir un documento a la plataforma de aprendizaje en línea. Se explica brevemente el proceso de carga del archivo, seleccionando la opción de "Subir archivo" y luego buscar y seleccionar el documento deseado de la computadora local.
Este documento presenta varios teoremas y definiciones relacionados con topología métrica. Introduce conceptos como conjuntos abiertos, cerrados e interiores en un espacio métrico y establece que dos métricas generan la misma familia de conjuntos abiertos si son equivalentes. También demuestra que un conjunto es cerrado si y solo si todos sus puntos son adherentes y que la adherencia de un conjunto A es el menor conjunto cerrado que contiene a A.
Este documento presenta definiciones y teoremas clave de topología métrica. Brevemente, introduce conceptos como espacios métricos, conjuntos abiertos y cerrados, y sus propiedades de unión e intersección. También define adherencia, cerradura, interior y propiedades duales para conjuntos cerrados. Finalmente, relaciona la adherencia de un conjunto con su cerradura como el menor conjunto cerrado que lo contiene.
Este documento presenta 5 demostraciones en topología. La primera demuestra que toda bola cerrada es un conjunto cerrado en un espacio métrico. La segunda verifica que una función específica es una métrica en R2 llamada métrica de Manhattan. La tercera justifica si dos funciones son métricas en R. La cuarta presenta la desigualdad del triángulo y la desigualdad triangular inversa. La quinta demuestra que un conjunto es abierto si y solo si es vecindad de cada uno de sus puntos.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología en espacios métricos. Define puntos aislados, conjuntos acotados y su diámetro. Explica que un conjunto es abierto si es vecindad de cada uno de sus puntos, y presenta un teorema que caracteriza a los conjuntos abiertos de este modo. Finalmente, enuncia las propiedades de la colección de todos los subconjuntos abiertos de un espacio métrico.
El documento presenta definiciones y teoremas clave de topología métrica. Brevemente, introduce la noción de espacio métrico y familia de conjuntos abiertos, y establece que dos métricas generan la misma topología si son equivalentes. Luego define adherencia, cerradura, interior y frontera de conjuntos, y establece propiedades topológicas como que un conjunto es cerrado si y solo si todos sus puntos son adherentes.
Este documento presenta conceptos fundamentales de topología, incluyendo:
1) La definición de campo y sucesión de Cauchy.
2) El concepto de límite y su relación con la continuidad.
3) Definiciones básicas de espacio métrico, bolas abiertas y cerradas, y conjuntos abiertos y cerrados.
Este documento presenta un programa de entrenamiento internacional que cubre cuatro temas principales: geometría, teoría de números, combinatoria y álgebra. En geometría, se discuten triángulos, círculos, cuadriláteros y sólidos platónicos. La teoría de números incluye divisibilidad, MCD, MCM y congruencias. La combinatoria cubre permutaciones, combinaciones y el binomio de Newton. Finalmente, el álgebra trata identidades, polinomios, desigualdades y técnicas
Este documento presenta conceptos fundamentales de topología, incluyendo:
1) La definición de campo y sucesión de Cauchy.
2) El concepto de límite y su importancia para la continuidad.
3) Definiciones de espacio métrico, bola abierta, bola cerrada, conjunto abierto y conjunto cerrado.
1. El documento presenta una guía sobre conceptos básicos de cálculo como funciones, valor absoluto, intervalos, sucesiones y límites.
2. Define funciones, inyectividad, sobreyectividad y graficas funciones. Explica valor absoluto, intervalos abiertos y cerrados.
3. Introduce sucesiones, convergencia, subsucesiones y teoremas relacionados. Finalmente, define límites de forma informal y formal.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con la topología y los espacios métricos. En particular, demuestra que el conjunto de los reales no es numerable y define la noción de sucesión controlada y espacio métrico cuasi-completo asociado a las sucesiones de Cauchy de un espacio métrico.
Este documento contiene definiciones y teoremas relacionados con la topología. Presenta definiciones de conceptos como punto fronterizo, punto de acumulación, conjunto denso y conjunto compacto. Incluye demostraciones del teorema de Baire, el lema de Lebesgue y el teorema de que si una función es continua en todos sus puntos y su dominio es compacto, entonces su imagen también es compacta.
Este documento presenta los teoremas fundamentales sobre la convergencia débil y fuerte en espacios de producto interno. Define la convergencia fuerte como la convergencia de una sucesión a un vector cuando la norma del error tiende a cero. Define la convergencia débil como la convergencia del producto interno de la sucesión con cualquier vector fijo del espacio. Demuestra que la convergencia fuerte implica la convergencia débil y que si una sucesión converge débilmente y fuertemente, entonces converge fuertemente.
Este documento analiza la teoría de la aproximación funcional mediante polinomios de Chebyshev. Introduce los conceptos de conjunto alternante y mejor aproximación uniforme. Explica que los polinomios de Chebyshev de segundo tipo satisfacen una fórmula de recurrencia y tienen n ceros en el intervalo [-1,1]. Finalmente, demuestra que estos polinomios minimizan la norma del máximo entre todos los polinomios reales de grado n con coeficiente principal igual a 1 en dicho intervalo.
El documento habla sobre la varianza como una medida de dispersión que indica cuánto se alejan los valores de una variable aleatoria de su media. Explica que la varianza es la esperanza de los cuadrados de las distancias entre los valores y la media, y que cuanto mayor es la varianza, más dispersos están los valores. También presenta fórmulas para calcular la varianza a partir de la esperanza y la esperanza de los cuadrados, y muestra un ejemplo numérico para ilustrar cómo la varianza captura mejor la dispersión que la media.
El documento habla sobre la varianza como una medida de dispersión que indica cuánto se alejan los valores de una variable aleatoria de su media. Explica que la varianza es la esperanza de los cuadrados de las distancias entre los valores y la media, y provee fórmulas para calcularla. También define el desvío estándar como la raíz cuadrada de la varianza y presenta ejemplos numéricos de cálculos de varianza.
Este documento introduce los conceptos de interpolación polinomial e interpolación por splines. Explica que la interpolación implica encontrar una función que aproxime valores dentro de un intervalo de datos y que extrapole valores fuera de ese intervalo. Luego describe dos métodos de interpolación polinomial: el polinomio de interpolación de Newton basado en diferencias divididas finitas y el polinomio de interpolación de Lagrange.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre sucesiones de números reales. Introduce definiciones como sucesión, subsucesión, acotada, monótona y convergente. Explica teoremas como el de unicidad del límite, Bolzano-Weierstrass y Sandwich. También cubre límites infinitos y operaciones con sucesiones.
Este documento presenta definiciones y teoremas relacionados con topología y funciones continuas entre espacios métricos. Define funciones inducidas, continuidad en puntos y conjuntos, y teoremas como que la imagen de un conjunto compacto bajo una función continua es compacta, y que una función continua desde un espacio compacto es uniformemente continua.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y describe sus características principales. Explica que una variable aleatoria es una función que asigna valores numéricos a los resultados de un espacio muestral de un experimento aleatorio. Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas. También describe cómo calcular la distribución de probabilidad, la distribución de probabilidad acumulada, la esperanza matemática y la varianza para variables aleatorias discretas y continuas.
Este documento presenta un resumen de las funciones de variables aleatorias. Explica que una función de una variable aleatoria es una variable aleatoria si la imagen de la función no incluye puntos al infinito con probabilidad cero. Luego, proporciona teoremas para calcular la distribución de probabilidad de una función de una variable aleatoria discreta, continua o multidimensional. Finalmente, incluye varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Tabla de integrales (integrales trigonometricas)waltergomez627
Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y la fórmula de integración por partes, y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica cómo calcular integrales de funciones racionales mediante la factorización del denominador en fracciones simples. Finalmente, resuelve un ejemplo aplicando estos métodos para calcular la integral 2x+1/(x5+x4−x−1)dx.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y variables aleatorias. Introduce la noción de espacio de probabilidad, variables aleatorias, leyes de probabilidad, esperanza matemática, varianza, vectores aleatorios, convergencia de variables aleatorias, y desigualdades importantes en probabilidad como las desigualdades de Tchebychev, Schwartz y Hölder. También define distribuciones como la normal, binomial y presenta ejemplos para ilustrar los conceptos.
1) Se define un espacio vectorial como un conjunto E con dos operaciones internas y externas que cumplen ciertas propiedades.
2) Se presentan ejemplos de espacios vectoriales como Rn, Cn, las matrices y los polinomios.
3) Un subespacio vectorial es un subconjunto de E que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones.
Este documento introduce conceptos básicos sobre variables aleatorias y funciones de distribución. Explica que una variable aleatoria asigna valores numéricos a los resultados de un experimento aleatorio. Distingue entre variables aleatorias discretas y continuas, y describe cómo se definen sus distribuciones de probabilidad y funciones de distribución. También define parámetros comunes como la esperanza matemática y la varianza para caracterizar las variables aleatorias.
El documento describe tres tipos de conjuntos: conjuntos finitos, numerables e innnumerables. Explica que un conjunto es finito si tiene un número finito de elementos o es vacío, e infinito de lo contrario. Un conjunto es numerable si sus elementos pueden enumerarse en una correspondencia uno a uno con los números naturales. Los conjuntos subconjuntos de un conjunto numerable y uniones de conjuntos numerables también son numerables. No todos los conjuntos infinitos son numerables.
Este documento trata sobre interpolación y aproximación polinomial. Explica que los polinomios son útiles para aproximar funciones continuas debido al teorema de Weierstrass. Describe dos métodos de interpolación polinomial: el método de Lagrange y el método de Newton. El método de Lagrange usa una fórmula general para determinar un polinomio que pasa por puntos de datos específicos. También analiza el error asociado con el polinomio de interpolación de Lagrange.
1) El documento explica cómo aplicar derivadas para calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta. 2) También cubre conceptos como derivadas implícitas, derivadas de orden superior, funciones crecientes y decrecientes, y cómo identificar máximos y mínimos. 3) Finalmente, discute temas como puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión y cómo resolver problemas de máximos y mínimos.
Este documento introduce las series de potencias y su uso para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales en puntos ordinarios. Explica que una serie de potencias converge en un intervalo llamado radio de convergencia y puede usarse para representar funciones analíticas. Luego, detalla cómo usar series de Taylor/Maclaurin para encontrar soluciones en forma de series alrededor de puntos ordinarios.
1. Topolog´ 1
ıa
Veronica Villegas Santiago
Miguel Angel Mora luna
Rodrigo Jos´ Burgos
e
08/03/2012
X espacio m´trico, A ⊂ X, x ⊂ X, x es adherente si ∀V vecindad de x
e
V ∩A=∅
¯
A = {x ∈ X : x es adherente a A}
´
PROPOSICION:
¯
F ⊂ X es cerrado ssi F = F
X espacio m´trico
e
´
DEFINICION:
¯
A ⊂ X, es denso (en X) en cualquier parte si, A = X
x ∈ X, V vecindad cualquiera de x
V ∩A=∅
TAREA: Mostrar que Q es denso en R
Demostraci´n:
o
Sean x, y ∈ R tales que x < y, entonces existe un u−1 tal que xu−1 < yu−1
tambi´n ∃r ∈ Q tal que xu−1 < yu−1 multiplicando todo por u tenemos
e
x < ru < y de aqu´ vemos que entre dos reales existe siempre un racional
ı
Otra desmostraci´n es la siguiente:
o
Sean x, y ∈ R tales que x < y
vemos que y − x > 0 y sabemos que uu−1 = 1
u−1 (y − x) > 0 multiplicamos por u−1
∃n ∈ Z + tal que n(u−1 (y − x)) > 1
=⇒ nu−1 y > nu−1 x + 1
Existe la propiedad siguiente, ∃m ∈ Z tal que m − 1 ≤ nu−1 x < m
=⇒ nu−1 x < m < nu−1 x + 1 < nu−1 y
=⇒ nu−1 x < m < nu−1 y
x < m (u−1 )−1 < y
n
x< m −u<y
n
x<r·u<y
1
2. ´
DEFINICION:
X espacio m´trico
e
N −→ X se llama sucesi´n en X
o
n → xn
Rango de U = Rangu = {x1 , x2 , ..., xn }
= {xn }n∈ℵ
Llamamos subsucesi´n de U : N −→ X a la sucesi´n u ◦ ϕ si ϕ es una funci´n
o o o
ϕ : N −→ N, ϕ es estrictamente creciente
N −→ϕ N −→u X, tal que u ◦ ϕ es sucesi´n o
Ejemplo:
1
y : n −→ n
1 1 1
= {1, 2 , 3 , 4 , ..., } esta es la sucesi´no
= { 1 , 1 , 1 , ..., 2n , ..., } es la subsucesi´n
2 4 6
1
o
´
DEFINICION:
Dada una sucesi´n xn en un espacio m´trico X, un punto L ∈ X es l´
o e ımite
de la sucesi´n (xn ) dado > 0 cualquiera ∃N ∈ N t.q.
o
Xn ∈ B (L) ∀n > N
xn −→ L, xn converge a L, cuando n crece indefinidamente
n →∞
LEMA:
Si xn −→ L , y xϕ(n) es una subsucesi´n de xn entonces xϕ(n) −→ L
o
Como xn −→ L entonces dado > 0 cualquiera, ∃N ∈ N tal que
xn ∈ B (L) ∀n > N
Como xϕ(n) es una subsucesi´n de xn y es estrictamente creciente entonces
o
ϕ(n) > npor lo tanto ϕ(n) > N .
De aqu´ xϕ(n) ∈ B (L)
ı ∀ϕ(n) > N .
Por lo tanto xϕ(n) −→ L .
El rec´
ıproco no es cierto.
DEFINICION:´
Dada (xn ) sucesi´n en un espacio m´trico X ,un punto x ∈ X es punto de
o e
acumulaci´n de(xn ) si dado > 0∃N ∈ N tal que para algun n > N .
o
xn ∈ B (x).
2
3. LEMA:
En un espacio m´trico todo punto adherente a la imagen de una sucesi´n es
e o
un punto de ella o bien un punto de acumulaci´n de ella.
o
Corolario: Si xn es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n entonces xn es
o o
cerrada.
´
DEFINICION:
Dada una suceci´n , decimos que x ∈ X es un punto de acumulaci´n de la
o o
sucesi´n {xn }, si dado > 0 ∀m ∈ N ∃n ∈ N con n > m tal que:
o
xn ∈ B (x)
Observacion:
Si V es una vecindad de X
V ∩ {xn } = ∅
Es decir, para cada vecindad V de X, V tiene infinidad de elementos del rango
de la sucesi´n, es decir, {xn } tiene una subsucesi´n convergente de X.
o o
x es punto de acumulaci´n existe una subsucesi´n de {xn } tal que:
o o
{xϕ(n) } ⊂ {xn } tal que xϕ(n) n→∞ −→ x
TEOREMA:
En un espacio m´trico, dado una sucesi´n {xn } si x es punto adherente a {xn }
e o
entonces x = xm para alg´n m ∈ N o bien x es punto de acumulaci´n de {xn }.
u o
Dem:
Sea x ∈ X un punto adherente a {xn }
si x = xm para alg´n m ∈ N terminamos.
u
ahora, si x = xn , ∀n ∈ N
Como x es adherente a {xn }, para V vecindad de x,
V ∩ {xn } = ∅
Sea Br (x) ⊂ V , si Br (x) ∩ {xn } = {xi1 , ..., xik }
entonces
tendremos Bs (x) donde s = inf d(x, xik )
de manera que Bs (x) ∩ {xn } = ∅
por lo que entonces ∃W vecindad de x tal que W ∩ {xn } = ∅. si esto sucede, x
no es adherente a {xn }!!!
por lo tanto x = xn
Observaciones:
i) A− = A ∪ Aa ; donde A es el rango de los elementos de la sucesi´n.o
ii) si {xn } es una sucesi´n sin puntos de acumulaci´n, el rango es cerrado.
o o
3
4. TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS:
Si una sucesi´n {xn } acotada de Rn contiene una infinidad de puntos, entonces,
o
existe por lo menos un punto de Rn que es un punto de acumulaci´n de {xn }.
o
TAREA
Demostraci´n:
o
Probemos para R1
Como {xn } es una suceci´n acotada, esta contenida en un cierto intervalo.
o
[−a, a], donde por lo menos uno de los subintervalos [−a, 0], [0, a] contiene un
subconjunto infinito de puntos de {xn }.
llamemos a este subintervalo [a1 , b1 ], dividimos el intervalo en dos partes iguales
y obtendremos un subintervalo [a2 , b2 ]que contiene un subconjunto de puntos
de {xn } infinito; y continuemos con este proceso.
De esta manera, hemos obtenido una colecci´n numerable de intervalos, tales
o
que el n-esimo intervalo [an , bn ] tiene longitud bn − an = a/2n−1
Esta claro que el supremo de los puntos extremos de la izquierda de an y el
´
ınfimo de los puntos extremos de la derecha de bn coinciden.
Llamemosle ”y”, el punto ”y” sera punto de acumulaci´n de xn ya que
o
para un r lo suficientemente grande, r > 0
el intervalo [an , bn ] ⊂ Br (y) siempre que n sea lo suficientemente grande para
que bn − an < r/2
As´ el intervalo Br (x) contiene un punto de xn , distinto de ”y” y por lo tanto
ı,
”y” es un punto de acumulaci´n para {xn }
o
Utilicemos estas ideas para Rn n > 1
como {xn } est´ acotada, entonces podr´ ser incluida en cierta n-bola Ba (c) con
a a
a > 0 y tambi´n en el intervalo n-dimencional J1 definido por las desigualdades:
e
−a yk a, k = 1, 2, ..., n.
aqu´ J1 designa el producto cartesiano:
ı,
J1 = I1 (1) XI2 (1) XI3 (1) X....XIn (1)
Es el conjunto de los puntos {y1 , y2 , ...yn } donde yk ∈ Ik (1) , y donde cada
Ik (1) es un intervalo unidimensional
−a yk a.
Cada intervalo Ik (1) se puede subdividir en dos subintervalos Ik,1 (1) e Ik,2 (1)
definida por las desigualdades.
Ik,1 (1) : −a yk 0. ; Ik,2 (1) :0 yk a.
Ahora, consideremos todos los productos cartesianos de la forma:
I1,k1 (1) XI2,k2 (1) XI3,k3 (1) X....XIn,kn (1)
4
5. donde cadaki = 1 o 2.
Hay exactamente 2n productos de este tipo y, ademas, cada uno de ellos es
un intervalo n-dimensional
La re-uni´n de de estos 2n intervalos es el producto original J1 que contiene a
o
{xn } Elijamos uno de los que verifiquen esta propiedad y llamemosle J2 , el cual
tambi´n podr´ expresarse:
e a
J2 = I1 (2) XI2 (2) XI3 (2) X....XIn (2)
donde cada Ik (2) es uno de los subintervalos de Ik (1) de longitud a. Entonces,
procederemos con J2 de la misma manera que hicimos con J1 , dividimos cada
intervalo en dos partes iguales obteniendo un intervalo n-dimensional que con-
tenga una infinidad de puntos de {xn }.
Si continuamos as´ obtendremos una colecci´n numerable de intervalos n-dimensionales
ı, o
J1 , J2 , J3 .... , tales que el intervalo m-esimo Jm verifica la propiedad de contener
un subconjunto de puntos de {xn } y se puede expresar de la forma:
Jm = I1 (m) XI2 (m) XI3 (m) X....XIn (m) , donde Ik m ⊆ Ik 1
Ik m = [ak (m) , bk (m) ], tendremos que :
bk (m) − ak (m) = a/2m−2 ; k = 1, 2, ..., n
Para k fijo, el supremo de los extremos de la izquierda deak (m) , (m = 1, 2, ...),
deber´ ser igual al ´
a ınfimo de los extremos de la derecha de los bk (m) , (m =
1, 2, ...), y a ´ste valor en com´n, lo denotaremos como tk
e u
Ahora, tendremos a t = (t1 , t2 , t3 , ...tn ) que es un punto de acumulaci´n de {xn }
o
Para verlo basta tomar una n-bola, Br (t), r > 0, el punto ”t” pertenece a cada
uno de los intervalos J1 , J2 ..., construidos anteriormente y cuando ”m” es tal
que:
a/2m−2 < r/2 el entorno incluir´ a Jm
a
Pero comoJm contiene una infinidad de puntos de {xn } tambi´n los contendr´
e a
Br (t), por lo que demuestra que ”t” es realmente un punto de acumulaci´n de
o
{xn }.
Q es denso en R:
Demostraci´n:
o
Entre cada dos n´meros reales existe un racional, por tanto hay infinitos. Sean
u
x, y ∈ , x < y.
1
• Como x < y ⇒ y − x > 0.Tomamos y−x . Como el conjunto N no est´ acotado
a
podemos asegurar que:
1 1
∃n ∈ N/n > y−x ; es decir, y − x > n ....(1)
• Sea p ∈ Z la parte entera de nx.
p
Entonces p ≤ nx < p + 1 ⇒ n ≤ x ...(2)
5
6. p+1
yx< n ....(3)
• Aplicando las relaciones (1), (2) y (3) se cumple
p 1 p+1 p+1
y = x+(y −x) > n + n (Por (1) y (2))= n > x(por (3)) Es decir, x < n < y,
p+1
siendo n un n´mero racional.
u
´
SUCESION DE CAUCHY
´
DEFINICION:
Si X es un espacio m´trico (xn )n∈N una sucesi´n en (xn ) es de Cauchy, si
e o
dado ε > 0, ∃Nε ∈ N tal que
d(xn , xm ) < ε n, m > Nε
Observaci´n:
o
Toda subsucesi´n de una sucesi´n de Cauchy es de Cauchy. Es decir, sea xϕ(n)
o o
y ϕ : N → N , y ϕ es estrictamente creciente entonces
(xϕ(n) ) ⊂ xn
DEFINICION: ´
X es un espacio m´trico, X es completo si toda subsucesi´n de cauchy es con-
e o
vergente.
Observaciones:
• La propiedad de ser completo, se llama plenitud.
• es completo
• Q no es completo
• La propiedad de ser de Cauchy es un criterio de convergencia.
LEMA:
En un espacio m´trico toda sucesi´n de cauchy que tiene una subsucesi´n con-
e o o
vergente es convergente.
Sea (xn ) la sucesi´n de cauchy (xϕ(n) ) la subsucesi´n convergente, esto es
o o
xϕ(n) → cuando n → ∞ ahora debemos demostrar que xn → cuando n → ∞.
Como xϕ(n) → cuando n → ∞, dado ε > 0∃N ∈ ℵ tal que
ε
d(xϕ(n) , ) < 2 para n¿N
ε ε
d(xn , ) ≤ d(xn , xϕ(n) ) + d(xϕ(n) , ) < 2 + 2 = ε tal que xn →
LEMA:
n
con la m´trica euclidiana es completo.
e
Queremos probar que dada una sucesi´n de cauchy (xn ) en existe x ∈ n
o
tal que xn → x cuando n → ∞.
Primero mostraremos que con la m´trica usual es completo. Sea (xn ) una
e
6
7. sucesi´n de Cauchy en , queremos probar que ∃ ∈
o tal que xn → cuando
n → ∞. Ahora demostraremos que es acotado.
Como (xn ) es de cauchy.Para ε = 1, ∃N1 ∈ ℵ tal que
|xn − xm | < 1n, m > N1
Sea M = max{|xi |}
con 1 ≤ i ≤ N1
|xr | = |xr − xN1 + xN1 | ≤ |xr − xN1 | + |xN1 | < 1 + M = K
Con lo cual (xn ) est´ acotado. Ahora ya que (xn ) est´ acotado, por lo tanto
a a
tiene un punto de acumulaci´n, como tiene un punto de acumulaci´n tiene una
o o
subsucesi´n que converge a un punto y como tiene una subsucesi´n que converge
o o
entonces la sucesi´n de Cauchy converge.
o
Ahora probaremos que R2 es completo. Supongamos que {(xn , yn )} es de
cauchy.
Si ε > 0 queremos mostrar que para alg´n N ∈ ℵ, n, m ≥ N ⇒ |xn − xm | < ε
u
y |yn − ym | < ε as´ que
ı
xk y yk convergen para alg´n x, y ∈ , respectivamente por suposici´n, y luego
u o
(xk , yk ) → (x, y) ∈ 2 .
Ahora asumiremos para cualquier positivo ε que hay un N tal que si m, n ≥ N :
0 ≤ (xn − xm )2 + (yn − ym )2 < ε.
Pero esto implica que
(|xn − xm | = (xn − xm )2 < ε) ∧ (|yn − ym | = (yn − ym )2 < ε)
√
Esto es obvio ya que: a2 + b2 < c ⇒ |a| < c, si |a| ≥ c entonces
√ √
a2 + b2 ≥ c2 + b2 ≥ c.
As´ tenemos que xk y yk son ambos de Cauchy, y por suposici´n deben converger
ı o
a alg´n x, y ∈
u
7